Vistas Ortogonais de Figuras Espaciais

Vistas Ortogonais de Figuras Espaciais

Professor Diminoi

 

Vistas ortogonais de figuras espaciais

 

Projeções ortogonais

São as figuras formadas no plano que resultam da projeção de todos os pontos de outra figura fora dele.

Dada uma figura geométrica qualquer e um plano que não contém nenhum de seus pontos, a projeção ortogonal dessa figura sobre o plano é a imagem formada no plano pelo pé do  segmento de reta ortogonal a esse plano que liga cada ponto dessa figura ao plano.

Uma projeção ortogonal, portanto, pode ser imaginada como a sombra de uma figura geométrica em um plano sob o sol do meio-dia.

Dessa maneira, perceba que nem sempre a projeção ortogonal manterá toda a forma original da figura observada. Imagine que um avião está fazendo uma manobra e fez um giro sobre o próprio eixo de 90º e, assim, suas asas ficaram na posição vertical. A sombra produzida por esse avião no solo não mostrará suas asas, embora saibamos que elas existem.

 

Projeção ortogonal de um ponto sobre o plano

projeção ortogonal do ponto A sobre o plano é exatamente o ponto de encontro entre esse plano e a reta ortogonal a ele que contém o ponto A. Sendo assim, a projeção ortogonal de um ponto sobre o plano também será um ponto.

Projeção ortogonal de uma reta sobre o plano

projeção ortogonal entre uma reta r e um plano α pode ser um ponto ou outra reta. O primeiro caso ocorre quando a reta já é ortogonal ao plano, e o segundo caso ocorre quando a reta não é ortogonal ao plano α. Assim, é necessário encontrar um segundo plano ortogonal ao primeiro que contenha a reta r. A intersecção entre esses dois planos será a projeção ortogonal da reta r sobre o plano α. Sabendo que a intersecção entre dois planos é uma reta, podemos afirmar que a projeção ortogonal entre uma reta e um plano é outra reta ou um ponto.

Projeção ortogonal de um segmento de reta sobre o plano

Essa projeção ortogonal também pode ser um ponto ou outro segmento de reta. Nesse caso, o que muda entre a reta e sua projeção ortogonal ou entre o segmento de reta e sua projeção ortogonal é o ângulo que eles formam com o plano. A projeção ortogonal sempre forma o ângulo , e a reta ou segmento inicial forma um ângulo qualquer.

Se o segmento de reta já for ortogonal ao plano, a sua projeção ortogonal será apenas um ponto. Se o segmento de reta não for ortogonal ao plano, sua projeção ortogonal será o segmento de reta cujas extremidades são as projeções de suas extremidades sobre o plano.

Observe a figura

Projeção ortogonal de uma figura geométrica

Dado o plano α e a figura A, a projeção ortogonal de A sobre α será o conjunto de pontos formado pelas projeções ortogonais de todos os pontos de A sobre α.

É necessário usar a imaginação para observar projeções ortogonais. No caso dessas figuras, é bom pensar no formato que teria sua sombra ao meio-dia em um solo plano.

O exemplo seguinte demonstra o último tipo de projeção ortogonal, que é aquele em que é preciso imaginar a trajetória descrita por pontos e objetos para pensar em sua projeção.

 

Revisão

 

https://quimicayalgomas.com/wp-content/uploads/2014/08/perimetro-y-area1.jpg

 

Teorema de Euler

Válido somente para os Polígonos Regulares, o teorema desenvolvido pelo matemático Euler relaciona os três principais componentes dos poliedros: as faces, os lados e os vértices.

V + F = A + 2

V = número de vértices

F = número de faces

A = número de arestas

 

Exemplo 1

(ENEM) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada em seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando assim o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô:

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é:

Resolução:

Observe que a trajetória dos pontos A e B são partes de uma circunferência. Para quem olha de cima, o ponto B, por exemplo, move-se em linha reta para trás e, depois, para frente. Para quem está de frente para essa gangorra, essa trajetória seria como na letra C da questão. Entretanto, a projeção ortogonal é o movimento equivalente à trajetória vista por cima.

Alternativa: B

 

Exemplo 2

(ENEM) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos AB e C. Os pontos A e B estão localizados sobre um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até C, pela superfície do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e e, o trecho de B até C se dê sobre o meridiano que passa por B e C. Considere que o plano α é paralelo à linha do equador na figura.

projeção ortogonal, no plano α, do caminho traçado no globo pode ser representada por:

Resolução:

Observe que, para quem olha de cima para baixo, a projeção ortogonal forma uma curva que se estende de A até B e, depois disso, faz um pequeno movimento para dentro e para a esquerda, quando “sobe” no mapa.Alternativa: E

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 

01) (PM RJ – Exatus) Sobre retas, planos e suas relações posicionais, Adriana escreveu em seu caderno as seguintes afirmações:

I – Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

II – Se uma reta r está contida em um plano α, então existem retas paralelas a r fora de α.

III – Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.

IV – Dada uma reta r paralela a um plano α, então r não é paralela a todas as retas de α.

Está correto apenas o que se afirma em:

(A) Apenas as afirmativas I e II.

(B) Apenas as afirmativas II e III.

(C) Apenas as afirmativas II e IV.

(D) Apenas as afirmativas III e IV.

Resolução:

Vamos analisar cada uma das afirmações:

I – Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

A afirmação está incorreta. Veja na figura um exemplo de duas retas distintas (r, s), paralelas a um plano (em vermelho), e que não são paralelas entre si.

II – Se uma reta r está contida em um plano α , então existem retas paralelas a r fora de α .

A afirmação está correta. Existem infinitas retas paralelas a r (dentro e fora do plano α).

III – Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.

A afirmação está correta. Basta que o ângulo entre elas seja de 90º.

IV – Dada uma reta r paralela a um plano α , então r não é paralela a todas as retas de α .

A afirmação está incorreta. Veja na figura que a reta r é paralela a α, porém não é paralela a reta s, que pertence a α.

Alternativa: B

 

02) (Prefeitura de Ceará Mirim – RN – Comperve) Um brilhante com formato de um octaedro é exibido em uma concorrida exposição. Por medida de segurança, ele foi colocado no interior de um cubo de vidro com seus vértices tocando, precisamente no meio de cada face do cubo, conforme a figura abaixo.

Se o volume do cubo é 1.728 cm³, o volume do octaedro, em cm³ , será

(A) 144.

(B) 288.

(C) 432.

(D) 576.

Resolução:

O primeiro passo é determinar a medida das arestas do cubo. Como o volume é igual a 1.728 cm³, podemos afirmar que cada aresta mede 12 cm. Veja:

12³ = 1728

O octaedro pode ser dividido em duas pirâmides. Como os vértices tocam precisamente no meio de cada face do cubo, a base dessas pirâmides é um losango onde as diagonais possuem as mesmas medidas da aresta do cubo. Também é possível observar que a altura é exatamente a metade da aresta do cubo.

Área da base da pirâmide (losango):

A = d1 x d2 / 2

A = 12 x 12 / 2

A = 72 cm²

Volume da pirâmide:

V = Ab x h / 3

V = 72 x 6 / 3

V = 144 cm³

Como o octaedro é composto por duas pirâmides:

2 x 144 = 288 cm³

Alternativa: B

 

03) (Bombeiros MG – Igetec) O hexaedro regular que inscreve a esfera de volume 9π/2 cm³, tem a medida da diagonal, em centímetros, igual a:

(A) 2,7

(B) √3

(C) 3√3

(D) 3

Resolução:

Veja como é um hexaedro e o que seria sua diagonal:

Repare que como o hexaedro está inscrito a uma esfera, a diagonal é o dobro do raio da mesma.

Podemos calcular o raio pela fórmula pois sabemos seu volume:

Volume = π.r³.4/3

9π/2 = π.r³.4/3

9/2 = r³.4/3

r³ = 9.3/2.4

r³ = 27/8

r = 3/2

Logo, a diagonal é 2.3/2 = 3

Alternativa: D

 

04) (Vassouras RJ – IBFC) Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Desse modo, o total de vértices desse poliedro é:

(A) 12

(B) 9

(C) 15

(D) 11

(E) 10

Resolução:

Utilizando a relação de Euler:

V + F = A + 2

V + 9 = 16 + 2

V = 18 – 9

V = 9

Alternativa: B

 

05) (PM ES – Exatus – Geometria Espacial) O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 5 cm e base medindo 6 cm, em torno da base é igual a:

(A) 12π cm³

(B) 13π cm³

(C) 14π cm³

(D) 15π cm³

(E) 16π cm³

Resolução:

Veja na figura que após a rotação em torno da base, teremos um sólido formado por dois cones iguais. Basta então calcular o volume de um deles e multiplicar por 2.

Calculando a altura h do cone através do Teorema de Pitágoras:

5² = 3² + r²

r² = 25 – 9

r² = 16

r = 4

Calculando o volume do cone:

V = Área da base x altura / 3

V = π . 4² . 3 / 3

V = π . 16

V = 16π cm³

Alternativa: E

 

06) (TRE PI – FCC) Uma pessoa fez quatro cortes paralelos igualmente espaçados em uma laranja esférica, dividindo-a nas cinco partes indicadas na figura.

Em relação a essa divisão, é correto afirmar que

(A) todas as partes obtidas têm o mesmo volume.

(B) a parte III é a de maior volume.

(C) o volume da parte I é maior do que o volume da parte II.

(D) não foram obtidas duas partes com o mesmo volume.

(E) a soma dos volumes das partes IV e V é menor do que a soma dos volumes das partes I e II.

Resolução:

Como os cortes foram paralelos e igualmente espaçados, a parte que possuirá o maior volume será a que possui o maior raio. Nesta caso, a região de maior volume é a III.

Alternativa: B

 

07) (EsPCEx) A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz.

A medida da altura desse tronco de cone é

(A) 13 cm

(B) 12 cm

(C) 11 cm

(D) 10 cm

(E) 9 cm

Resolução:

Veja na figura abaixo o tronco de cone que foi planificado.

Nela é possível observar que a altura do tronco pode ser calculada através do Teorema de Pitágoras:

13² = h² + 5²

169 = h² + 25

h² = 169 – 25

h² = 144

h = √144

h = 12 cm

Alternativa: B

 

08) (FUVEST) Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é

(A) 2√3

(B) 4

(C) 3√2

(D) 3√3

(E) 6

Resolução:

A parte mais complicada da questão é “enxergar” como os vértices de um tetraedro regular podem ser vértices de um cubo. Veja como isto é possível:

Na figura é possível observar que as arestas do tetraedro regular são diagonais das faces quadradas do cubo. Veja:

Utilizando o Teorema de Pitágoras para descobrir a medida “a” da aresta do tetraedro:

a² = 2² + 2²

a² = 4 + 4

a² = 8

a = √8

a = 2√2

Agora que sabemos a medida das arestas, basta calcular a área de uma das faces do tetraedro, ou seja, a área do triângulo equilátero de lado 2√2:

Alternativa: A

 

09) (EsPCEx – Geometria Espacial) Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11m² por galão.

O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é:

(A) 6

(B) 7

(C) 9

(D) 10

(E) 11

Resolução:

Nosso objetivo é calcular a área lateral do tronco de pirâmide regular, ou seja, devemos calcular a área de um dos trapézios e multiplicar por 4.

As medidas da base maior e da base menor já foram informadas na figura.

Vamos descobrir a medida da altura dos trapézios.

Na figura acima é possível observar que a altura (x) do trapézio pode ser calculada através do Teorema de Pitágoras:

x² = 3,2² + 2,4²

x² = 3,2² + 2,4²

x² = 10,24 + 5,76

x² = 16

x = √16

x = 4 m

Calculando a área do trapézio cuja altura, base menor e base maior medem, respectivamente 4 m, 2,4 m e 7,2 m.

Como cada trapézio possui área de 19,2 m², a área lateral do tronco da pirâmide regular será:

4 . 19,2 = 76,8 m²

Se cada galão pinta uma área de 11 m²:

76,8 / 11 = 6,98

Daí, são necessários 7 galões.

Alternativa: B

 

10) (SISPREM RS – FUNDATEC) Um enfeite em formato de pirâmide regular e de base quadrada tem o lado da base medindo 10 cm e a altura de 30 cm. Qual é o volume em cm³ dessa pirâmide?

(A) 300.

(B) 690.

(C) 830.

(D) 950.

(E) 1.000.

Resolução:

Antes de calcularmos o volume da pirâmide, vamos calcular a área da base (quadrado):

Ab = 10² = 100 cm²

Calculando o volume da pirâmide:

Alternativa: E

 

11) (AFPR – COPS) A figura, a seguir, mostra um pedaço de cartolina que será dobrado e colado ao longo das bordas para formar uma embalagem na forma de um prisma hexagonal regular reto.

Supondo que l = 2 cm e h = 5 cm, qual é o volume dessa embalagem em cm3?

(A) √3 cm³

(B) √3/2 cm³

(C) 30√3 cm³

(D) 6√3 cm³

(E) 3√3 cm³

Resolução:

O volume de um prisma pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela altura.

Como a base é um hexágono regular, podemos calcular a área através da seguinte fórmula:

Ab = 3.l².√3/2

Ab = 3.2².√3/2

Ab = 3.4.√3/2

Ab = 6.√3

Calculando o volume do prisma:

V = h . Ab

V = 5 . 6.√3

V = 30.√3 cm³

Alternativa: C

 

12) (Petrobras – Cesgranrio) Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192π cm³ de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra o modelo abaixo.

A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm², igual a

(A) 8π

(B) 12π

(C) 16π

(D) 24π

(E) 32π

Resolução:

A informação que ainda não temos para calcular a área pedida é o raio da base do cilindro.

Nosso objetivo inicial será utilizar a medida da altura e do volume para descobrirmos o raio.

 Utilizando a fórmula do volume:

V = π.r².h

192π = π.r².12

192 = 12r²

r² = 192/12

r² = 16

r = 4 cm

Agora que sabemos a medida do raio, vamos calcular a área lateral ocupada pela fita, cuja altura é de 2 cm.

Al = 2.π.r.h

Al = 2.π.4.2

Al = 16.π cm²

Alternativa: C

 

13) (SEDUC RJ – COPERJ) A figura abaixo representa uma caixa cúbica onde a distância do ponto A até o ponto B mede 3√5 decímetros:

Os pontos A e B são, respectivamente, o centro de uma face e o ponto médio de uma aresta da face oposta. O volume dessa caixa, em dm³, é igual a:

(A) 125

(B) 216

(C) 343

(D) 512

(E) 729

Resolução:

Precisamos calcular o volume do cubo representado na figura. Nosso primeiro objetivo é calcular a medida da aresta desse cubo, que representaremos inicialmente por x.

Vamos analisar o triângulo retângulo formado pela semi reta AB e pelas semi retas que dividem as faces ao meio. Veja a figura:

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

(3√5)² = x² + (x/2)²

45 = x² + x²/4

45 = 5x²/4

5x² = 4.45

5x² = 180

x² = 180/5

x² = 36

x = 6 dm

Calculando o volume do cubo:

V = x³

V = 6³

V = 216 dm³

Alternativa: B

 

14) (ENEM) Para confeccionar, em madeira, um cesto de lixo que comporá o ambiente decorativo de uma sala de aula, um marceneiro utilizará, para as faces laterais, retângulos e trapézios isósceles e, para o fundo, um quadrilátero, com os lados de mesma medida e ângulos retos. Qual das figuras representa o formato de um cesto que possui as características estabelecidas?

Resolução:

A única figura que representa um cesto com apenas trapézios isósceles e retângulos nas faces laterais é a da alternativa (C)

 

15) (ENEM) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a

(A) 5 cm.
(B) 6 cm.
(C) 12 cm.
(D) 24 cm.
(E) 25 cm.

Resolução:

Sendo a a aresta do cubo, temos:
a3 = 4.18.3
a3 = 216
a = 6


16) (ENEM) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.

produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza

(A) massa.
(B) volume.
(C) superfície.
(D) capacidade.
(E) comprimento.

Resolução:

Multiplicando as dimensões temos o valor de seu volume em m3.


17) (ENEM) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro e vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que e interno, mede 8 cm.

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de

(A) 12 cm3.
(B) 64 cm3.
(C) 96 cm3.
(D) 1 216 cm3.
(E) 1 728 cm3.

Resolução:

V = volume do cubo maior – volume do cubo menor
V = 123 – 83

V = 1728 – 512
V = 1216


18) (ENEM) A figura seguinte ilustra um salão de um clube onde estão destacados os pontos A e B.

Nesse salão, o ponto em que chega o sinal da TV a cabo fica situado em A. A fim de instalar um telão para a transmissão dos jogos de futebol da Copa do Mundo, esse sinal deverá ser levado até o ponto B por meio de um cabeamento que seguirá na parte interna da parede e do teto. O menor comprimento que esse cabo deverá ter para ligar os pontos A e B poderá ser obtido por meio da seguinte representação no plano:

Resolução:

Sabendo que a menor distância entre dois pontos é o segmento de reta que os une, segue que a representação exibida na alternativa (E) é a única que ilustra corretamente a menor distância entre A e B.

 

19) (ENEM) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a

(A) 4.
(B) 8.
(C) 16.
(D) 24.
(E) 32.

Resolução:

a3 = 13 . 824 <-> a = 24cm. Diâmetro da esfera = 12cm No comprimento do cubo podemos colocar 2 esferas Na largura do cubo podemos colocar 2 esferas Na altura do cubo podemos colocar 2 esferas Logo o número de esferas será 2 . 2 . 2 = 8


20) (ENEM) Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas são 5,1 m de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponha que esse caminhão foi contratado para transportar 240 caixas na forma de cubo com 1 m de aresta cada uma e que essas caixas podem ser empilhadas para o transporte. Qual é o número mínimo de viagens necessárias para realizar esse transporte?

(A) 10 viagens.
(B) 11 viagens.
(C) 12 viagens.
(D) 24 viagens.
(E) 27 viagens.

Resolução:

No comprimento conseguiremos colocar 5 caixas, na largura 2 caixas e na altura 2 caixas. Total de caixas 5 . 2 . 2 = 20 caixas.

Número mínimo de viagens é 240/20 = 12


21) (ENEM) Com o objetivo de trabalhar com seus alunos o conceito de volume de sólidos, um professor fez o seguinte experimento: pegou uma caixa de polietileno, na forma de um cubo com 1 metro de lado, e colocou nela 600 litros de água. Em seguida, colocou, dentro da caixa com água, um sólido que ficou completamente submerso. Considerando que, ao colocar o sólido dentro da caixa, a altura do nível da água passou a ser 80 cm, qual era o volume do sólido?

(A) 0,2 m3
(B) 0,48 m3
(C) 4,8 m3

(D) 20 m3
(E) 48 m3

Resolução:

Cálculo da altura inicial do líquido. 1.1.x = 0,6 m3 <-> x = 0,6 m <-> x = 60 cm
O volume do sólido será igual ao volume de água deslocado. V = 1.1.(0,8 – 0,6) = 0,2 m3

 

22) (ENEM) Das alternativas a seguir sobre os poliedros, assinale aquela que for correta:

(A) Um poliedro é um sólido geométrico limitado por qualquer tipo de superfície.

(B) Os elementos dos poliedros são os mesmos elementos dos polígonos, uma vez que ambos possuem vértices.

(C) Prismas são poliedros que possuem duas bases poligonais e todas as faces laterais com formato de paralelogramo.

(D) Prismas e pirâmides são os únicos exemplos de poliedros existentes.

(E) As esferas são poliedros.

Resolução:

a) Incorreta!
Um poliedro é um sólido geométrico limitado por polígonos, ou seja, por figura planas. Os poliedros não podem ser limitados por curvas.

b) Incorreta!
Os poliedros e polígonos possuem em comum os vértices e os segmentos de reta. Entretanto, nos polígonos, esses segmentos são chamados de lados e, nos poliedros, de arestas. Além disso, os polígonos não possuem faces, que são elementos dos poliedros.

c) Correta!

d) Incorreta!
Existe uma terceira classe de poliedros, que são aqueles que não são prismas nem pirâmides. Um exemplo deles são os troncos de pirâmides.

e) Incorreta!
As esferas não são poliedros porque não são limitadas por polígonos.

Alternativa: C

 

23) Observe o sólido geométrico a seguir e assinale a alternativa correta:

(A) É um prisma, pois possui duas bases e faces laterais planas.

(B) É uma pirâmide, pois afunila em sua parte superior.

(C) É um cilindro, pois possui uma parte arredondada.

(D) É um corpo redondo, pois possui uma parte arredondada.

(E) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Resolução:

O sólido em questão não é prisma nem pirâmide, pois possui uma parte arredondada, o que não é encontrado nos sólidos. Também não é cilindro, uma vez que as “bases” de um cilindro são círculos. Além disso, não é um corpo redondo, pois esse tipo de sólido possui a característica de rolar se colocado em uma superfície plana levemente inclinada. O sólido em questão não rola, independentemente do modo como for colocado.

Assim, nenhuma das alternativas está correta.

Alternativa: E

 

24) (ENEM) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

(A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.

(B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

(C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

(D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

(E) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Resolução:

Todo cilindro é formado por duas “bases” com formato de círculo. A parte curva do cilindro, ao ser planificada, gera um retângulo. Por isso, a primeira imagem é a planificação de um cilindro. A segunda imagem possui duas bases poligonais congruentes e cinco faces retangulares, justamente o necessário para a construção de um prisma pentagonal reto. Por fim, temos quatro triângulos regulares e congruentes, o número de faces necessárias para construção de um tetraedro, que é uma pirâmide.

Assim, os sólidos obtidos serão um cilindro, um prisma de base pentagonal e uma pirâmide.

Alternativa: A

 

25) (ENEM) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a seguir, do ponto E ao ponto M e, depois, de M a C.

O desenho que Bruno deve fazer é:

Resolução:

A vista superior dessa pirâmide é a seguinte:

Observe que as ligações propostas por João já foram feitas sobre a vista superior dessa pirâmide. A alternativa que mais se assemelha a essa resposta é a letra C.

Alternativa: C

 

25) (UF – PI) Em um poliedro convexo, o número de arestas excede o número de faces em 18. O número de vértices desse poliedro é:

(A) 10
(B) 20
(C) 24
(D) 30
(E) 32

Resolução:

Através do enunciado recebemos a informação de que F + 18 é igual ao número de arestas, ou seja, o número de arestas é igual ao número de faces mais 18 unidades.

A = F + 18

Após desenvolvermos essa igualdade, devemos substituí-la dentro da Relação de Euler e descobrir o valor que a questão pede, ou seja, o número de vértices.

V + F = A + 2
V + F – A = 2
V + F –(F + 18) = 2
V + F – F -18 = 2
V = 2 + 18
V = 20

O valor de vértices é 20

Alternativa: B

 

27) (Fuvest – SP) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta pirâmide possui:

(A) 33 vértices e 22 arestas.
(B) 12 vértices e 11 arestas.
(C) 22 vértices e 11 arestas.
(D) 11 vértices e 22 arestas.
(E) 12 vértices e 22 arestas.

Resolução:

Como foi informado que temos 11 faces nessa pirâmide, concluindo que existe mais uma face que compõe a base chegamos a um valor de 12 faces no total. Sendo 12 faces triangulares, logo teremos também 12 vértices.

Nesse primeiro momento podemos eliminar as alternativas a, c e d, uma vez que sabemos que o número de vértices é 12 e apenas as opções b e e apresentam essa informação.

Sabendo que essa pirâmide possui 12 faces e 12 vértices devemos inserir essas informações na relação de Euler e descobrir o número de arestas e resolver a questão.

V + F = A + 2
12 + 12 = A + 2
24 = A + 2
A = 24 – 2
A = 22

Se possuímos 12 vértices e 22 arestas

Alternativa: E

 

28) (U.F. – RS) Um poliedro convexo tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é, respectivamente:

(A) 34 e 10
(B) 19 e 10
(C) 34 e 20
(D) 12 e 10
(E) 19 e 12

Resolução:

Em um primeiro momento, precisamos compreender polígonos convexos compartilham arestas. A partir disso, o número de faces triangulares t e o número de faces quadrangulares q será igual a duas vezes o valor da aresta.

2A = 3t + 4q
2A = 3 * 6 + 4 * 5
2A = 18 + 20
2A = 38
A = 19

Conhecendo o número de arestas e faces poderemos descobrir o número de vértices aplicando a relação de Euler.

V + F = A + 2
V + 11 = 19 + 2
V = 21 – 11
V = 10

Tendo 19 arestas e 10 vértices.

Alternativa: B

 

 

Continua...