FRACAO 2022

Professor Diminoi
FRAÇÃO

Fração é a forma de dividir alguma coisa através da razão de dois números inteiros. Dessa forma, nada mais é do que uma divisão onde o dividendo é numerador e o divisor é o denominador.
Quando dividimos uma pizza, por exemplo, estamos fracionando a pizza. Cada fatia representa uma parte da pizza, ou seja, uma fração. Geralmente ela é dividida em 8 pedaços, então cada pedaço de uma pizza representa  1 / 8 (um oitavo) de uma pizza.

Exemplo - 1
Exemplo - 2


Tipos de fração
Existem três classificações possíveis para uma fração, as frações aparentes, as frações próprias e as frações impróprias. Para compreender como transformar uma fração em um número misto, antes precisamos entender cada uma dessas classificações. Representamos como números mistos somente frações impróprias.

Fração aparente
Uma fração é aparente quando ela é a representação de um número inteiro, ou seja, o denominador é divisível pelo numerador.
Exemplos:

Fração própria
Uma fração é própria quando o numerador é menor que o denominador.
Exemplos:
Fração imprópria
Uma fração é imprópria quando o numerador é maior que o denominador e ela não representa um número inteiro, ou seja, o numerador não é divisível pelo denominador:
Exemplos:
Fracao Mista ou Números Mistos
Chamamos de fração mista, ou número misto, o número cuja representação possui uma parte inteira e uma parte fracionária, representando primeiro um número inteiro e, ao lado dele, a fração que representa a parte não inteira da fração.
Exemplos:
Multiplicação de fração
Basta multiplicar o numerador de uma fração pelo numerador (número de cima) da outra fração, e multiplicar o denominador ( número de baixo) de uma pelo denominador da outra.
Exemplos:


Divisão de fração
Copia a primeira e multiplica pelo inverso da segunda
Exemplos:


 

 

 

 

 

 

Adição e subtração com denominadores iguais
Basta subtrair e/ou somar os numeradores e conservar apenas “um” denominador.
Exemplos:


Adição e/ou Subtração com denominadores diferentes
Passo 1: Calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. ...
Passo 2: Reescrever as frações com o novo denominador, deixando o espaço do numerador para os números que serão encontrados no passo seguinte. ...
Passo 3: Encontre os numeradores das novas frações.
Exemplos:


REVISANDO:
Efetuar adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Método do MMC
Exemplo – 1:
Determine o MMC (8,4) utilizando a decomposição em fatores primos.
Logo, o MMC (8,4) = 2 · 2 ·2 = 8, como mostrou o primeiro método.

Exemplo – 2:
Calcule o mínimo múltiplo comum entre 5 e 21.
Como os números não possuem divisor em comum, ou seja, são primos entre si, o menor múltiplo entre eles é o produto entre eles, assim, MMC (21,5) = 21 · 5 = 105.
De fato, isso é verdade, como podemos ver na decomposição em fatores primos.
MMC (21 ,5) = 3 ·5 ·7 = 105

Exemplo - 3:
Como as frações possuem denominadores diferentes, não é possível somá-las ou subtraí-las diretamente. O MMC entre seus denominadores 4, 12 e 50 será:
4, 12, 50| 2
  2, 6, 25| 2
  1, 3, 25| 3
  1, 1, 25| 5
    1, 1, 5| 5
     , 1, 1| 300

O número 300 será o denominador das frações equivalentes, por isso, podemos escrever:
2 +  10  –   2 =        +        –         
4     12     50   300   300   300 

Encontrar o numerador
Para encontrar o primeiro numerador, utilize a primeira fração da soma original. Divida o MMC encontrado pelo denominador da primeira fração e multiplique o resultado pelo seu numerador. O número obtido será o numerador da primeira fração equivalente.
(300:4)·2 = 75·2 = 150. Então, basta colocar o numerador da primeira fração em seu lugar.
Observe:
2 + 10 –  2 = 150 +        –        
4    12    50   300   300    300

Encontrar o restante dos numeradores
Repita o procedimento anterior para cada fração presente na operação. Ao final, terá encontrado todas as frações equivalentes.
Agora realizando o mesmo procedimento para as duas últimas frações, encontraremos os resultados (300:12)·10 = 25·10 = 250 e (300:50)·2 = 6·2 = 12.
2 + 10 –   2 = 150 + 250 –  12 
4    12    50    300   300    300
Após encontrar todas as frações equivalentes, elas terão denominadores iguais e sua adição ou subtração poderá ser feita exatamente como no primeiro caso – de frações que possuem denominadores iguais. No exemplo utilizado, o resultado da primeira soma de frações é equivalente ao resultado da segunda, portanto:
2 + 10 –  2 = 150 + 250 – 12 = 150 + 250 – 12 = 400 – 12 = 388
4    12    50   300   300   300            300                300       300
Dessa maneira, podemos escrever o seguinte:
2 + 10 –  2 = 388
4    12    50   300

Soma de frações com denominadores diferentes
Se os denominadores forem números diferentes, existem duas formas de realizar a soma: descobrindo o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos denominadores ou multiplicando os mesmos.

Método do MMC

Exemplo:
1/4+ 3/8 + 5/10 =
O primeiro passo é determinar o MMC de 4, 8 e 10.
Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Sabe-se que o denominador em comum é 40. Por isso, devemos fazer as seguintes substituições para a soma das frações acima: dividir o termo resultante do MMC (40) pelos denominadores das frações (4,8 e 10). Com o resultado da divisão, multiplica-se os valores pelos numeradores (1,3,5).
Sistema do MMC
Após as operações obtivemos uma fração em que os termos de cima são quocientes da divisão seguida da multiplicação, sendo o denominador o próprio resultado do MMC. Ou seja, a soma será estabelecida por:

Soma de Denominadores Diferentes

Simplificando a fração:
Simplificação
Então, o resultado da soma das frações acima é 9/8. 

Transformar uma Fração imprópria para Número misto
Este processo é um pouco diferente. Primeiro, fazemos a divisão inteira do numerador pelo denominador. O quociente desta divisão será o primeiro número e o resto da divisão será o novo numerador, permanecendo igual apenas o denominador:
Exemplo 1
Exemplo 2

Exemplos 3


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Como transformar um Número misto em uma Fração imprópria?
Agora fazendo o processo inverso, para transformar um número misto em uma fração imprópria, basta realizarmos a soma da parte inteira com a parte fracionária.

Exemplo 1
Exemplo 2

Exemplo 3


ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
A soma de fracoes é a operação matemática básica mais difícil de ser realizada, pois possui um algoritmo próprio e complicado. Diferentemente da multiplicação, em que só multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador, a adição é dividida em dois casos.
Agora vamos explicar o modo como a adição e a subtração de frações devem ser feitas para ambos os casos e, para o mais difícil deles, um passo a passo que facilitará o processo.

Primeiro caso: Soma ou subtração de frações com denominadores iguais
Quando os denominadores das frações forem iguais, basta somar ou subtrair seus numeradores conforme for solicitado no exercício e manter o denominador intacto.
Exemplo
13 – 16 = 13 – 16 = – 3
10    10       10         10

Exemplo
7 + 9 – 3 = 7 + 9 – 3 = 16 – 3 = 13
3    3    3           3              3         3

Observação: a subtração de frações de denominadores iguais segue o mesmo padrão da adição.

Segundo caso: Soma ou subtração de frações com denominadores diferentes
Quando os denominadores forem diferentes, é necessário realizar um procedimento para encontrar frações equivalentes às que foram dadas no exercício. Para isso, poderemos realizar o passo a passo seguinte:

Passo 1: Mínimo Múltiplo Comum
Calcule o minimo Multiplo Comum entre os denominadores das frações a serem somadas ou subtraídas.
Exemplo:
22 + 15
10    50
Nas frações acima, os denominadores são 10 e 50. O MMC entre eles é 50, pois:
10, 50| 2
 5, 25| 5
   1, 5| 5
    1,1| 50

Passo 2: Novos denominadores
O valor encontrado no passo anterior será o denominador das frações equivalentes procuradas. Para cada fração dada, escreva uma nova fração em que o denominador é o MMC obtido no passo anterior e deixe o espaço do numerador para ser preenchido no passo seguinte.
Exemplo:
22 + 15 =      +     
10    50    50     50

Passo 3: Encontrando os numeradores das frações equivalentes
Divida o MMC obtido no primeiro passo pelo denominador da primeira fração e multiplique o valor desse cálculo pelo numerador dessa fração. Esse resultado é o numerador da primeira fração equivalente. Repita o procedimento para encontrar todos os numeradores das frações equivalentes.
Desse modo, o numerador da primeira fração é 110 e da segunda é 15. Colocando esses resultados nos espaços deixados no passo anterior, teremos:
22 + 15 = 110 + 15
10    50     50    50

Passo 4: Somar (ou subtrair) as frações
Agora basta somar os numeradores das frações equivalentes, que possuem denominadores iguais.
Finalizando o exemplo, teremos:
22 + 15 = 110 + 15 = 110 + 15 = 125
10    50      50     50         50          50

Exemplo
1  + 7
16   9  

Passo 1
Calcule o MMC entre os denominadores das frações a serem somadas.
16, 9 |2 
8, 9 |2
4, 9 |2
2, 9 |2
1, 9 |3
1, 3 |3
1, 1   
MMC = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 = 144

Passo 2
Utilize o MMC encontrado como denominador das duas novas frações.
1 + 7 =  9  +      
16   9   144   144

Passo 3
Divida o MMC pelo denominador da primeira fração, multiplique o resultado dessa divisão pelo numerador dessa mesma fração e coloque o resultado final como numerador da primeira fração cujo denominador é o MMC.

Divisão do MMC por 16:
 144  | 16
-144   9   
   0
Agora você multiplica o resultado dessa divisão pelo numerador da mesma fração:
9 . 1 = 9
Como o resultado dessa multiplicação é o numerador da primeira fração cujo denominador é o MMC, então, atualizando o esquema anterior, teremos:
1 + 7 =  9_ +      
16   9   144   144

Passo 4
Repita o terceiro e quarto passos anteriores até que se tenha esgotado as frações a serem somadas ou subtraídas. Observe:
Divisão do MMC por 9 (denominador da segunda fração):
144 | 9
-144 16 
   0   
Agora você multiplica o resultado dessa divisão pelo numerador da mesma fração:
16 . 7 = 112
Como o resultado dessa multiplicação é o numerador da primeira fração cujo denominador é o MMC, então, atualizando o esquema anterior, teremos:
1 + 7 =   9  + 112
16   9    144    144

Passo 5
Finalizado o quarto passo, basta realizar a soma de frações com denominadores iguais. A única diferença entre soma e subtração de frações está nesse último passo. Se for subtração, no lugar de somar, subtraia os numeradores.
1 + 7 =   9 + 112 = 121
16   9    144   144   144

Adição e subtração de números decimais
Outra possibilidade de adição de frações é dividir o numerador pelo denominador de cada uma das frações a serem somadas e somar os decimais resultantes.
1 + 2 =   0,25 + 15 = 175
4    3

Como fazer uma divisão de fração
Para realizarmos a operação de divisão de frações, basta manter uma fracao, inferter a outra e aplicar a multiplicacao.


Exemplo
Vamos dividir a fração 2/3 pela fração 5/6:
Resolucao
Determine o quociente entre os números um centésimo e um milésimo.
Exemplo
Determine o resultado da divisão a seguir:
Resolucao
De acordo com o algoritmo, devemos manter a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda fração, assim:

QUESTOES RESOLVIDAS 
01) (TJ CE) Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646… em representação decimal?
(A) 2.521 / 990
(B) 2.546 / 999
(C) 2.546 / 990
(D) 2.546 / 900
(E) 2.521 / 999
Resolução
Observacao que o 46 está se repetindo infinitamente a partir da segunda casa decimal.
2,5 + 0,04646…
25/10 + 46/990
(2475 + 46)990
2521/990
Alternativa A

02) (Enem) Antônio, Joaquim e José são sócios de uma empresa cujo capital é dividido, entre os três, em partes proporcionais a: 4, 6 e 6, respectivamente. Com a intenção de igualar a participação dos três sócios no capital da empresa, Antônio pretende adquirir uma fração do capital de cada um dos outros dois sócios.
A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/9
(D) 2/3
(E) 4/3
Resolucao
Do enunciado sabemos que a empresa foi dividida em 16 partes, pois 4 + 6 + 6 = 16.
Essas 16 partes devem ser divididas em três partes iguais para os sócios.
Como 16/3 não é uma divisão exata, podemos multiplicar por um valor comum, sem perder a proporcionalidade.
Vamos multiplicar por 3 e verificar a igualdade.
4.3 + 6 . 3 + 6.3 = 16.3
12 + 18 + 18 = 48
48 = 48
Dividindo 48 por 3 o resultado é exato.
48/3 = 16
Agora, a empresa está dividida em 48 partes, das quais:
Antônio possui 12 partes das 48.
Joaquim possui 18 partes das 48.
José possui 18 partes das 48.
Dessa forma, Antônio, que já tem 12, precisa receber mais 4 para ficar com 16.
Por isso, cada um dos outros sócios, precisam passar 2 partes, das 18, para Antônio.
A fração que Antônio precisa adquirir de casa sócio é 2/18, simplificando:
2/18 = 1/9
Alternativa C

03) (ETEC/SP) Tradicionalmente, os paulistas costumam comer pizza nos finais de semana. A família de João, composta por ele, sua esposa e seus filhos, comprou uma pizza tamanho gigante cortada em 20 pedaços iguais. Sabe-se que João comeu 3/12 e sua esposa comeu 2/5 e sobraram N pedaços para seus filhos. O valor de N é?
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
Resolucao
Sabemos que as frações representam a parte de um todo, que nesse caso são os 20 pedaços de uma pizza gigante.
Para resolver esse problema, temos que obter a quantidade de pedaços correspondente a cada fração:
João: comeu 3/12
Esposa de João: comeu 2/5
N: o que sobrou (?)
Vamos então descobrir quantos pedaços que cada um deles comeu:
João: 3/12 de 20 = 3/12 . 20 = 60/12 = 5 pedaços
Esposa: 2/5 de 20 = 2/5 . 20 = 8 pedaços
Se somarmos os dois valores (5 + 8 = 13) temos a quantidade de fatias que foram comidas por eles. Portanto, sobraram 7 pedaços que foram divididos entre os filhos.
Alternativa A

04) (Enem) O pantanal é um dos mais valiosos patrimônios naturais do Brasil. É a maior área úmida continental do planeta - com aproximadamente 210 mil km2, sendo 140 mil km2 em território brasileiro, cobrindo parte dos estados de Mato Grosso e Mato Grosso do Sul. As chuvas fortes são comuns nessa região. O equilíbrio desse ecossistema depende, basicamente, do fluxo de entrada e saída de enchentes. As cheias chegam a cobrir até 2/3 da área pantaneira. Durante o período chuvoso, a área alagada pelas enchentes pode chegar a um valor aproximado de:
(A) 91,3 mil km2
(B) 93,3 mil km2
(C) 140 mil km2
(D) 152,1 mil km2
(E) 233,3 mil km2
Resolucao
Primeiramente, devemos anotar os valores oferecidos pelo exercício:
210 mil km2: total da área
2/3 é o valor que as cheias cobrem dessa área
Para resolver basta saber o valor dos 2/3 de 210 mil Km2
210.000 . 2/3 = 420 000/3 = 140 mil km2
Portanto, durante o período chuvoso, a área alagada pelas enchentes pode chegar a um valor aproximado de 140 mil km2.
Alternativa C

05) (Vunesp) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81 quilômetros restantes, determine a extensão total dessa estrada.  
Resolucao
Uma das empresas irá pavimentar 2/5 e a outra os 81 quilômetros restantes que representam, na forma de fração, 3/5. Dessa forma, temos que cada 1/5 de pavimentação corresponde a 27 quilômetros. Portanto, as cinco partes de pavimentação correspondem a 5 * 27 = 135 quilômetros.  
Podemos resolver o problema utilizando a equação:


06) (Uece) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 1/10 de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Determine o comprimento, em metros, da peça antes da lavagem. 
Resolucao
Podemos resolver diretamente pela equação: 

 
07) As árvores de um parque estão dispostas de tal maneira que se construíssemos uma linha entre a primeira árvore (A) de um trecho e a última árvore (B) conseguiríamos visualizar que elas estão situadas à mesma distância uma das outras.
De acordo com a imagem acima, que fração que representa a distância entre a primeira e a segunda árvore?
(A) 1/6
(B) 2/6
(C) 1/5
(D) 2/5
Resolucao
Uma fração corresponde à representação de algo que foi dividido em partes iguais.
Observe que, pela imagem, o espaço entre a primeira árvore e a última foi dividido em cinco partes. Portanto, este é o denominador da fração.
Já a distância entre a primeira e a segunda árvore é representada por apenas uma das partes e, por isso, trata-se do numerador.
1/5
Sendo assim, a fração que representa o espaço entre a primeira e a segunda árvore é 1/5, pois entre os 5 trechos em que o percurso foi dividido as duas árvores estão situadas no primeiro.
Alternativa C

08) Observe a barra de chocolate a seguir e responda: quantos quadradinhos deve-se comer para consumir 5/6 da barra?
(A) 15
(B) 12
(C) 14
(D) 16
Resolucao
Se contarmos quantos quadradinhos de chocolate temos na barra apresentada na imagem encontraremos o número de 18.
O denominador da fração consumida (5/6) é 6, ou seja, a barra foi dividida em 6 partes iguais, cada uma com 3 quadradinhos.
Para consumir a fração de 5/6 então devemos pegar 5 pedaços de 3 quadradinhos cada e, assim, consumir 15 quadradinhos de chocolate.
Alternativa A

09) 20 colegas de trabalho resolveram fazer uma aposta e premiar aqueles que mais acertassem os resultados dos jogos de um campeonato de futebol.
Sabendo que cada pessoa contribuiu com 30 reais e que os prêmios seriam distribuídos da seguinte forma:
1º primeiro colocado: 1/2 do valor arrecadado;
2º primeiro colocado: 1/3 do valor arrecadado;
3º primeiro colocado: recebe a quantia restante.
Quanto, respectivamente, cada participante premiado recebeu?
(A) R$ 350; R$ 150; R$ 100
(B) R$ 300; R$ 200; R$ 100
(C) R$ 400; R$ 150; R$ 50
(D) R$ 250; R$ 200; R$ 150
Resolucao
b) R$ 300; R$ 200; R$ 100.
Primeiramente, devemos calcular o valor arrecadado.
20 x R$ 30 = R$ 600
Como cada uma das 20 pessoas contribuíram com R$ 30, então a quantia utilizada para premiação foi de R$ 600.
Para saber quanto cada ganhador recebeu devemos realizar a divisão do valor total pela fração correspondente.
1º colocado:
600/2 = 300
2º colocado:
600/3 =200
3º colocado:
Para o último premiado, devemos somar quanto os outros ganhadores receberam e subtrair do valor arrecadado.
300 + 200 = 500
600 - 500 = 100
Portanto, temos a seguinte premiação:
1º colocado: R$ 300,00;
2º colocado: R$ 200,00;
3º colocado: R$ 100,00.
Alternativa B

10) (ENEM) Antônio, Joaquim e José são sócios de uma empresa cujo capital é dividido, entre os três, em partes proporcionais a: 4, 6 e 6, respectivamente. Com a intenção de igualar a participação dos três sócios no capital da empresa, Antônio pretende adquirir uma fração do capital de cada um dos outros dois sócios.
A fração do capital de cada sócio que Antônio deverá adquirir é
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/9
(D) 2/3
(E) 4/3
Resolucao
Do enunciado sabemos que a empresa foi dividida em 16 partes, pois 4 + 6 + 6 = 16.
Essas 16 partes devem ser divididas em três partes iguais para os sócios.
Como 16/3 não é uma divisão exata, podemos multiplicar por um valor comum, sem perder a proporcionalidade.
Vamos multiplicar por 3 e verificar a igualdade.
4 . 3 + 6.3 + 6 . 3 = 16 . 3
12 + 18 + 18 = 48
48 = 48
Dividindo 48 por 3 o resultado é exato.
48/3 = 16
Agora, a empresa está dividida em 48 partes, das quais:
Antônio possui 12 partes das 48.
Joaquim possui 18 partes das 48.
José possui 18 partes das 48.
Dessa forma, Antônio, que já tem 12, precisa receber mais 4 para ficar com 16.
Por isso, cada um dos outros sócios, precisam passar 2 partes, das 18, para Antônio.
A fração que Antônio precisa adquirir de casa sócio é 2/18, simplificando:
2/18 = 1/9
Alternativa C

11) (ENEM) Um jogo pedagógico é formado por cartas as quais está impressa uma fração em uma de suas faces. Cada jogador recebe quatro cartas e vence aquele que primeiro consegue ordenar crescentemente suas cartas pelas respectivas frações impressas. O vencedor foi o aluno que recebeu as cartas com as frações: 3/5, 1/4, 2/3 e 5/9.
A ordem que esse aluno apresentou foi
(A) 1/4, 5/9, 3/5, 2/3
(B) 1/4, 2/3, 3/5, 5/9
(C) 2/3, 1/4, 3/5, 2/3
(D) 5/9, 1/4, 3/5, 2/3
(E) 2/3, 3/5, 1/4, 5/9
Resolucao
Para comparar frações elas devem possuir os denominadores iguais. Para isso, calculamos o MMC entre 5, 4, 3 e 9, que são os denominadores das frações sorteadas.
Para encontrar as frações equivalentes, dividimos 180 pelos denominadores das frações sorteadas e, multiplicamos o resultado pelos numeradores.
Para 3/5
180 / 5 = 36, como 36 x 3 = 108, a fração equivalente será 108 / 180.
Para 1/4
180/4 = 45, como 45 x 1 = 45, a fração equivalente será 45/180
Para 2/3
180/3 = 60, como 60 x 2 = 120, a fração equivalente será 120/180
Para 5/9
180/9 = 20, como 20 x 5 = 100. a fração equivalente será 100/180
Com as frações equivalentes, basta ordenar pelos numeradores em ordem crescente e associar com as frações sorteadas.
Alternativa A

12) (ETEC/SP) Tradicionalmente, os paulistas costumam comer pizza nos finais de semana. A família de João, composta por ele, sua esposa e seus filhos, comprou uma pizza tamanho gigante cortada em 20 pedaços iguais. Sabe-se que João comeu 3/12 e sua esposa comeu 2/5 e sobraram N pedaços para seus filhos. O valor de N é?
(A) 7
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 11
Resolucao
Sabemos que as frações representam a parte de um todo, que nesse caso são os 20 pedaços de uma pizza gigante.
Para resolver esse problema, temos que obter a quantidade de pedaços correspondente a cada fração:
João: comeu 3/12
Esposa de João: comeu 2/5
N: o que sobrou (?)
Vamos então descobrir quantos pedaços que cada um deles comeu:
João: 3/12 de 20 = 3/12 . 20 = 60/12 = 5 pedaços
Esposa: 2/5 de 20 = 2/5 . 20 = 8 pedaços
Se somarmos os dois valores (5 + 8 = 13) temos a quantidade de fatias que foram comidas por eles. Portanto, sobraram 7 pedaços que foram divididos entre os filhos.
Alternativa A

13) (Enem) O pantanal é um dos mais valiosos patrimônios naturais do Brasil. É a maior área úmida continental do planeta - com aproximadamente 210 mil km2, sendo 140 mil km2 em território brasileiro, cobrindo parte dos estados de Mato Grosso e Mato Grosso do Sul. As chuvas fortes são comuns nessa região. O equilíbrio desse ecossistema depende, basicamente, do fluxo de entrada e saída de enchentes. As cheias chegam a cobrir até 2/3 da área pantaneira. Durante o período chuvoso, a área alagada pelas enchentes pode chegar a um valor aproximado de:
(A) 91,3 mil km2
(B) 93,3 mil km2
(C) 140 mil km2
(D) 152,1 mil km2
(E) 233,3 mil km2
Resolucao
Primeiramente, devemos anotar os valores oferecidos pelo exercício:
210 mil km2: total da área
2/3 é o valor que as cheias cobrem dessa área
Para resolver basta saber o valor dos 2/3 de 210 mil Km2
210.000 . 2/3 = 420 000/3 = 140 mil km2
Portanto, durante o período chuvoso, a área alagada pelas enchentes pode chegar a um valor aproximado de 140 mil km2.
Alternativa C

14) (TJ CE)  Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646… em representação decimal?
(A) 2.521 / 990
(B) 2.546 / 999
(C) 2.546 / 990
(D) 2.546 / 900
(E) 2.521 / 999
Resolucao
A parte (período) que se repete é o 46.
Uma estratégia usual para encontrar a fração geratriz é isolar a parte que se repete, de duas formas.
Chamando 2,54646… de x, temos:
X = 2,54646… (equação 1)
Na equação 1, multiplicando por 10 os dois lados da igualdade , temos:
10x = 25,4646… (equação 2)
Na equação 1, multiplicando por 1000 os dois lados da igualdade, temos:
100x = 2546,4646… (equação 2)
Agora que nos dois resultados, apenas o 46 se repete, para eliminá-lo, vamos subtrair a segunda equação da primeira.
990x = 2521
Isolando x, temos:
x = 2521/990
Alternativa: A

15) (SEAP-AuxiliarEnfermagem-V)  Um auxiliar de enfermagem deve trabalhar 30 horas semanais. Devido a um acúmulo de serviço na semana passada, ele precisou fazer 12 horas extras. A fração que corresponde a quanto ele trabalhou a mais do que o previsto é :
(A) 1/4.
(B) 1/5.
(C) 2/5.
(D) 2/3.
(E) 1/3.
Resolucao
Dados da questão:
Total de horas: 30 horas.
Horas extras: 12 horas
Fração que corresponde à quantidade de horas a mais de trabalho: ? → Esse é o valor que precisa ser encontrado.
Devemos escrever uma fração que represente o que o exercício está solicitando. Essa fração é dada por:
12 : 2=6 : 3 = 2 → A
Alternativa C

16) (ENEM) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.
Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4 , poderia ser preenchido com:
(A) 24 fusas.
(B) 3 semínimas.
(C) 8 semínimas.
(D) 24 colcheias e 12 semínimas.
(E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.
Resolucao
Para solucionar essa questão, devemos inicialmente calcular quanto vale 8 compassos de 3/4
8 de 3 = 8 x 3 = 24 = 6
       4         4     4
Temos então que a alternativa correta para essa questão será aquela que apresentar 6 como resultado da fórmula do compasso.
Por meio do método de tentativas, verificaremos a alternativa correta.

a) 24 fusas
1 fusa = 1 , então 24 fusas de 1 é ?
            32                            32
24 de 1 = 24 x 1  = 24 : 8 = 3 = 0,75
        32          32    32 : 8     4
A alternativa a não é a correta.

b) 3 semínimas
1 semínima = 1 , então 3 semínimas de 1 são?
                     4                                   4
3 de 1 = 3 x 1 = 3 = 0,75
       4         4     4

c) 8 semínimas
1 semínima = 1 , então 8 semínimas de 1 são ?
                     4                                    4
8 de 1 = 8 x 1 = 8 = 2
       4          4    4

d) 24 colcheias e 12 semínimas.
Na alternativa d, devemos efetuar a soma entre: 24 colcheias + 12 semínimas
1 colcheia = 1 , então 24 colcheias de 1 são ?
                   8                                   8
24 de 1 = 24 x 1 = 24 = 3
         8           8     8
1 semínima = 1 , então 12 semínimas de 1 são ?
                     4                                      4
12 de 1 = 12 x 1 = 12 = 3
         4           4      4
24 colcheias + 12 semínimas = 3 + 3 = 6
Obtivemos 6 como resultado da fórmula do compasso.
Alternativa D

17) Vanessa comprou uma caixa de chocolate e deixou suas amigas, Carla e Mariana, comerem à vontade. Carla comeu 1/7 do total de chocolates. Depois Marina comeu 1/6 do que ficou. Em seguida, Vanessa comeu metade do que havia ficado. Nessa caixa, restam ainda 15 chocolates. Qual é a quantidade total de chocolates que havia na caixa?
Resolucao
Para solucionar essa questão, devemos descobrir a quantidade de chocolates que Carla, Marina e Vanessa comeram juntas.
Quantidade de chocolate que Carla comeu: 1 , sobrou 6 .
                                                                       7              7
Quantidade de chocolate que Mariana comeu: 1 de 6 = 1 . 6 = 6 = 1
                                                                           6      7    6    7  42   7
Quantidade de chocolate que Vanessa comeu : 5
                                                                           14
Para saber isso, devemos calcular a quantidade de chocolates que Marina e Carla comeram juntas, que foi:
1 + 1 = 2, sobraram 5 de chocolate na caixa.
7    7    7                7
Desses 5 , Vanessa comeu metade, o que equivale a: 5 : 2 = 5 . 1 = 5
            7                                                                 7         7   2   14
As três juntas comeram:
1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 5 = 9
7    7   14        14        14
Para sabermos o valor inteiro de chocolates que Marina, Carla e Vanessa comeram juntas, basta resolver a regra de três simples abaixo
5            15
14

9             x
14
5 . x = 9 . 15
14     14
5x = 135
x = 135
        5
x = 27
Sendo assim, a quantidade total de chocolates dentro da caixa é dada por: 27 + 15 = 42 chocolates.

18) Trinta alunos realizaram uma prova de Química. Deles, 2/5 tiraram a nota acima de oito, 1/3 tirou entre cinco e oito e o restante tirou abaixo de cinco. Calcule a quantidade de alunos que tirou a nota da prova abaixo de cinco.
Resolucao
2 de 30 = 2 x 30 = 60 = 12. Doze alunos tiveram a sua nota acima de oito
5              5             5
1 de 30 = 1 x 30 = 30 = 10. Dez alunos tiveram a sua nota entre cinco e oito.
3              3             3
Para saber a quantidade de alunos que tiraram a nota abaixo de cinco, faça:
30 – 12 – 10 = 30 – 22 = 8.
Então 8 alunos tiraram nota abaixo de cinco na avaliação de Química.

19) (TJ - CE) Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646… em representação decimal?
(A) 2.521 / 990
(B) 2.546 / 999
(C) 2.546 / 990
(D) 2.546 / 900
(E) 2.521 / 999
Resolução:
Veja que o 46 está se repetindo infinitamente a partir da segunda casa decimal.
2,5 + 0,04646…
25/10 + 46/990
(2475 + 46)990
2521/990
Alternativa: A

20) (TJ - RS) Se cada círculo desenhado abaixo está dividido em partes iguais entre si, assinale a alternativa que apresenta o círculo que tem 12,5% de sua área hachurada.

Resolução:
A fração que corresponde a 12,5% é:
12,5/100 = 125/1000 = 1/8
Como os círculos estão divididos em partes iguais, o desenho corresponde a uma parte de oito.
Alternativa: D

21) Resolva as operações
Resolução:


22) Resolva as operações
Resolução:

Sempre que resolver uma equação desse modelo, fique atento aos sinais existentes e ao jogo de sinal em algumas multiplicações. Ao trocar um elemento de membro, não se esqueça de inverter o sinal. Veja mais exemplos resolvidos detalhadamente:

23) Resolva as operações
Resolução:


24) Resolva as operações
Resolução:


25) (ENEM) O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas).
De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas à produção de tecidos e malhas, em kton, é mais aproximada de
(A) 16,0
(B) 22,9
(C) 32,0
(D) 84,6
(E) 106,6
Resolução:
Observe que a porcentagem destinada a tecidos e malhas é 30% dos usos finais têxteis, que, por sua vez, é uma porcentagem de 37,8% de todos os usos finais. Sendo assim, precisaremos calcular 30% de 37,8% de 282 kton. Esse cálculo pode ser expresso por multiplicações da seguinte maneira:
30%·37,8%·282
Para resolver essa questão, lembre-se de que uma porcentagem é uma fração de denominador 100. Logo, podemos transformar a multiplicação acima na multiplicação de frações a seguir:
 30 · 37,8·282
100  100        
Conforme as regras de multiplicação de frações dadas no início do texto, basta multiplicar numeradores por numeradores e denominadores por denominadores. A única observação é a de que o denominador de 282 é 1.
 30 · 37,8·282 = 319788
100  100            10000
Dividindo numerador por denominador, pois toda fração representa uma divisão, teremos:
319788 = 31,9788
10000               
Esse valor é aproximadamente 32 kton.
Alternativa: C

26) (ENEM) – A expressão “Fórmula de Young” é utilizada para calcular a dose infantil de um medicamento, dada a dose do adulto:
Dose de criança =     Idade da criança (em anos)    · dose de adulto
                                  Idade da criança (em anos) + 12
Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto é de 60 mg. A enfermeira não consegue descobrir onde está registrada a idade da criança no prontuário, mas identifica que, algumas horas antes, foi administrada a ela uma dose de 14 mg do medicamento Y, cuja dosagem de adulto é 42 mg. Sabe-se que a dose da medicação Y administrada à criança estava correta.
Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X, em miligramas, igual a
(A) 15
(B) 20
(C) 30
(D) 36
(E) 40
Resolução:
Esse exercício envolverá uma multiplicação de frações, mas, antes, é preciso resolver equações. Para resolvê-lo, mudaremos a fórmula para facilitar a organização dos cálculos, portanto, C = dose da criança, i = Idade da criança e A = Dose do adulto.
C =      i     · A
  i + 12
Substituindo os valores conhecidos para o medicamento Y, teremos:
14 =      i     · 42
        i + 12
Resolvendo a equação, teremos:
(i + 12)14 = i . 42
14i + 168 = 42i
42i – 14i = 168
28i = 168
i = 168
     28
i = 6
Sabendo que a idade da criança é 6 anos, temos que:
C =      6     · 60
        6 + 12
C =  6 · 60
      18
Observe que é necessário multiplicar uma fração por um número inteiro. Como todo número inteiro é uma fração de denominador 1, teremos:
C =  6 · 60 = 360
      18   1      18 
Dividindo numerador por denominador, encontraremos 20 mg como dosagem do medicamento X.
Alternativa: B

27) Determine qual das opções abaixo não é equivalente a:
11
12
(A) 22
     24
(B) 121
    132
(C) 164
     180
(D) 220
      240
(E) 440
      480
Resolução:
Existem várias maneiras de descobrir se uma fração é equivalente à outra. A primeira é tentar simplificá-las. Se forem equivalentes, terão a mesma fração irredutível ao final da simplificação. A segunda maneira é dividir o numerador pelo denominador para conferir o resultado. Frações equivalentes têm resultados exatamente iguais. Observe:
a)Equivalente!
Note que é possível simplificar essa fração por 2, obtendo o seguinte resultado:
22 = 11
24    12
b)Equivalente!
Simplificando a fração por 11, teremos:
121 = 11
132    12
c)Não equivalente!
Simplificando a fração por 4, teremos:
164 = 41
180    35
Essa fração irredutível com certeza é diferente da fração proposta no exercício.
d)Equivalente!
Simplificando a fração por 20, encontraremos 11/22.
e) Equivalente!
Simplificando a fração por 40, encontraremos 11/22.
Alternativa: C

28) Determine qual das imagens abaixo não representa uma fração equivalente a:
2
8

Resolução:
Observe que a fração 2/8 pode ser simplificada e que sua irredutível é 1/4. Sendo assim, basta procurar entre os desenhos qual é aquele que não representa 1/4.
Na letra
a), temos exatamente um quarto. Na letra
b), temos exatamente dois oitavos. Na letra a divisão, aproxima-se muito de um quarto.
A letra
e) mostra como a figura foi dividida em quatro partes e como o espaço colorido cobriu uma por inteiro e avançou sobre outra. Logo, a alternativa
e) é a fração não equivalente a dois oitavos.
Alternativa: E

29) Determinado condomínio trocou seu reservatório de água, com capacidade para 15000 litros, por outro dois terços maior. Qual é a capacidade do novo reservatório?
(A) 10000 l.
(B) 15000 l.
(C) 20000 l.
(D) 25000 l.
(E) 0,0000 l.
Resolução:
Essa questão pode ser resolvida por meio de equivalência de frações. Para tanto, basta encontrar uma fração equivalente a dois terços e que o denominador seja 15000. Nesse caso, o numerador é exatamente o valor que deve ser acrescido ao novo reservatório para obtermos sua capacidade total. Observe:
2 . 5000 = 10000
3 . 5000    15000
Multiplicamos numerador e denominador por 5000, pois, assim, a fração iguala seu denominador a 15000 como pretendido. Dessa maneira, o acréscimo foi de 10000 litros e a capacidade do novo reservatório é:
10000 + 15000 = 25000 litros
Alternativa: D

30) Para redução de custos e aumento de lucratividade, determinada lanchonete diminuiu em sete vinte avos a quantidade de bacon presente em todos os sanduíches. Sabendo que eram gastos 100 g de bacon por sanduíche, qual é a nova quantidade gasta?
(A) 35 g
(B) 65 g
(C) 45 g
(D) 25 g
(E) 55 g
Resolução:
Para encontrar a quantidade de bacon retirada do sanduíche, basta encontrar uma fração equivalente a sete vinte avos que possua 100 no denominador. Para tanto, multiplicaremos a fração por 5. Observe:
 7 .5   = 35
20 . 5   100
Assim, a quantidade de bacon retirada do sanduíche foi de 35 g. Dessa maneira, teremos:
100 – 35 = 65 g de bacon
Alternativa: B

31) Carlos fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcule quantos quilômetros Carlos percorreu a cavalo.
Resolução:


32) Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?
Resolução:


33) Juliana tinha R$ 245,00 e gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou?
Resolução:

Conclusão: Juliana tinha R$ 245,00 e gastou R$ 7,00, portanto ficou com R$ 238,00. 

34) (Vunesp) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81 quilômetros restantes, determine a extensão total dessa estrada.
Resolução: 
Uma das empresas irá pavimentar 2/5 e a outra os 81 quilômetros restantes que representam, na forma de fração, 3/5. Dessa forma, temos que cada 1/5 de pavimentação corresponde a 27 quilômetros. Portanto, as cinco partes de pavimentação correspondem a 5 . 27 = 135 quilômetros.  
Podemos resolver o problema utilizando a equação:



35) (Uece) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 1/10 de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Determine o comprimento, em metros, da peça antes da lavagem.
Resolução: 
Podemos resolver diretamente pela equação: 



36) (Olimpíada Brasileira de Matemática) Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida à três lojas. Para a loja A foi vendida a metade da produção; para a loja B foram vendidos 2/5 da produção e para a loja C foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica? 
Resolução:


37) Quando as frações possuem denominadores diferentes, é necessário encontrar outras frações equivalentes a essas que possuam denominadores iguais.
10 + 12 – 3
 4      5    6
Resolução:
Passo 1: Calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. O valor encontrado será o denominador comum que possibilitará substituir as frações dadas por outras com denominadores iguais. No exemplo, temos:
4,5,6| 2
2,5,3| 2
1,5,3| 3
1,5,1| 5
 1,1,1| 60
Passo 2: Reescrever as frações com o novo denominador, deixando o espaço do numerador para os números que serão encontrados no passo seguinte.
10 + 12 – 3 =       +      –      
 4     5     6      60    60     60
Passo 3: Encontre os numeradores das novas frações. Para isso, o seguinte cálculo deverá ser feito: Para encontrar o numerador da primeira fração, divida o MMC pelo denominador da primeira fração e multiplique o resultado pelo seu numerador. O resultado obtido por esse cálculo será o numerador da primeira fração que possui denominador igual ao MMC. Repita o procedimento para todas as frações presentes na soma ou subtração.
10 + 12 – 3 = 150 + 144 – 30
 4      5    6     60      60    60

38) Lúcio comprou uma pizza pequena. Em um primeiro momento, comeu metade da pizza e, posteriormente, conseguiu comer mais um pedaço equivalente à sexta parte dessa mesma pizza. Que fração representa a quantidade total de pizza que Lúcio comeu?
Resolução:
Basta observar que a metade é representada pela fração um meio 1 / 2 e que a sexta parte é representada por um sexto 1 / 6.
Somando essas frações, teremos a quantidade ingerida por Lúcio.
1 + 1
2    6
Primeiro passo, teremos: MMC (2, 6) = 6. De fato,
2, 6| 2
1, 3| 3
1, 1| 6
Segundo passo, teremos:
1 + 1 =      +     
2    6     6      6
Terceiro passo, teremos: (6 / 2) · 1 = 3 e (6 / 6)·1 = 1
1 + 1 = 3 + 1
2    6    6    6
Quarto passo, teremos:
1 + 1 = 3 + 1 = 4
2    6    6    6    6
Conclusão: Lúcio comeu quatro sextos, número que, simplificado, é equivalente a dois terços 2 / 3 da quantidade total de pizza disponível.

39) A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5/9 da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
(A) 1/9
(B) 2/9
(C) 3/9
(D) 4/9
Resolução:
Quando as frações possuem denominadores iguais, conserve-se o dinominadores e subtra-se os numeradores.
Sabemos que 9/9 = 1 (um inteiro). Portanto, 9/9 – 5/9 = 4/9
Alternativa: D

40) Em uma sala de aula com 10 alunos, 3/5 tiraram nota acima de 7 numa prova de matemática. 1/5 foram reprovados, pois tiraram notas abaixo de 5. Calcule a quantidade de alunos que tiraram notas 5, 6 ou 7. Respectivamente.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Resolução:
3/5 de 10 alunos é 3/5 . 10 = 30/5 = 6. Temos que 6 alunos tiraram nota acima de 7.
1/5 de 10 alunos é 1/5 . 10 = 10/5 = 2. Temos que 2 alunos foram reprovados com notas abaixo de 5.
Usando o raciocínio lógico temos:
6 + 2 = 8
Então, sendo assim, temos que 2 alunos tiraram notas 5, 6 ou 7, pois 6 (nota 7) + 2 (nota 5) = 8 e 10 (total de alunos) – 8 = 2.
Alternativa: B

41) 20 colegas de trabalho resolveram fazer uma aposta e premiar aqueles que mais acertassem os resultados dos jogos de um campeonato de futebol.
Sabendo que cada pessoa contribuiu com 30 reais e que os prêmios seriam distribuídos da seguinte forma:
1º primeiro colocado: 1/2 do valor arrecadado;
2º primeiro colocado: 1/3 do valor arrecadado;
3º primeiro colocado: recebe a quantia restante.
Quanto, respectivamente, cada participante premiado recebeu?
(A) R$ 350; R$ 150; R$ 100
(B) R$ 400; R$ 150; R$ 50
(C) R$ 250; R$ 200; R$ 150
(D) R$ 300; R$ 200; R$ 100
Resolução:
Resposta correta:
b) R$ 300; R$ 200; R$ 100.
Primeiramente, devemos calcular o valor arrecadado.
20 x R$ 30 = R$ 600
Como cada uma das 20 pessoas contribuíram com R$ 30, então a quantia utilizada para premiação foi de R$ 600.
Para saber quanto cada ganhador recebeu devemos realizar a divisão do valor total pela fração correspondente.
1º colocado: 600/1/2 = 600/2 = 300
2º colocado: 600/1/23 = 600/3 = 200
3º colocado:
Para o último premiado, devemos somar quanto os outros ganhadores receberam e subtrair do valor arrecadado.
300 + 200 = 500
600 - 500 = 100
Portanto, temos a seguinte premiação:
1º colocado: R$ 300,00;
2º colocado: R$ 200,00;
3º colocado: R$ 100,00.
Alternativa: D

42) (ETEC/SP) Tradicionalmente, os paulistas costumam comer pizza nos finais de semana. A família de João, composta por ele, sua esposa e seus filhos, comprou uma pizza tamanho gigante cortada em 20 pedaços iguais. Sabe-se que João comeu 3/12 e sua esposa comeu 2/5 e sobraram N pedaços para seus filhos. O valor de N é?
(A) 4
(B) 6
(C) 7
(D) 10
Resolução:
Sabemos que as frações representam a parte de um todo, que nesse caso são os 20 pedaços de uma pizza gigante.
Para resolver esse problema, temos que obter a quantidade de pedaços correspondente a cada fração:
João: comeu 3/12
Esposa de João: comeu 2/5
N: o que sobrou (?)
Vamos então descobrir quantos pedaços que cada um deles comeu:
João: 3/12 temso 20 = 3/12 . 20 = 60/12 = 5 pedaços
Esposa: 2/5 temso 20 = 2/5 . 20 = 8 pedaços. Somarmos os dois valores (5 + 8 = 13) temos a quantidade de fatias que foram comidas por eles.
Portanto, sobraram 7 pedaços que foram divididos entre os filhos.
Alternativa: C
 

Continua...