EM - DETERMINANTE

Professor Diminoi
DETERMINANTES

Introdução
Como já vimos, matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo n x n). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante.

Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos:
- Resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares;
- Cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices;

Determinates de 1ª ordem
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M = [a₁₁], o seu determinante é o número real a₁₁:
det M =Ia₁₁I = a₁₁

Observação: representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
Exemplo
M= [5]   det M = 5 ou  |5| = 5
M = [-3]   det M = -3 ou |-3| = -3

Determinante de 2ª ordem
Dada a matriz
De ordem 2, por definição o determinante associado a M, de 2ª ordem, é dado por:
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

Observe o exemplo a seguir.
Menor complementar
Chamamos de menor complementar relativo a um elemento a_ij de uma matriz M, quadrada e de ordem n > 1, o determinante MC_ij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M quando suprimimos a linha e a coluna que passam por a_ij . 

Observe  como determiná-lo pelos exemplos a seguir:
a) Dada a matriz
De ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a₁₁(MC₁₁), retiramos a linha 1 e a Coluna 1:
Da mesma forma, o menor complementar relativo ao elemento a₁₂ é:
b) Sendo
De ordem 3, temos:
Cofator
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento a_ij de uma matriz quadrada de ordem n o número A_ij tal que  A_ij = (-1)^i+j . MC_ij .

Exemplo
a) Dada
Os cofatores relativos aos elementos a₁₁ e a₁₂ da matriz M são:
b) Sendo
Vamos calcular os cofatores A₂₂, A₂₃ e A₃₁:
Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada
M = [a_ij]_mxn  

Pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores.

Assim, fixando
Temos:
Em que 
E o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m, 
Exemplo
Calcule o determinante da matriz A, aplicando o Teorema de Laplace:
Destacando a segunda linha da matriz, temos
D = 5 . A₂₁ + 0 . A₂₂ + 1 . A₂₃ + (-3) . A₂₄.
Calculando os cofatores:

Para finalizar, calculamos o determinante:
D = 5 . A₂₁ + 0 . A₂₂ + 1 . A₂₃ + 3 . A₂₄
D = 5 . (–411) + 0 . (462) + 1 . (60) + (–3) . (–399)
D = –2055 + 0 + 60 + 1197
D = – 798

Regra de Sarrus
O cálculo do determinante de 3ª ordem pode ser feito por meio de um dispositivo prático, denominado regra de Sarrus.
Acompanhe como aplicamos essa regra para

1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal negativo):
Assim:
Observação: Se desenvolvermos esse determinante de 3ª ordem aplicando o Teorema de Laplace, encontraremos o mesmo número real.

Determinante de ordem n > 3
Vimos que a regra de Sarrus é válida para o cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3.
Quando a matriz é de ordem superior a 3, devemos empregar o Teorema de Laplace para chegar a determinantes de ordem 3 e depois aplicar a regra de Sarrus.

Propriedades dos determinantes
Os determinantes associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P₁) Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.
Exemplo


P₂) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo
P₃) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.
Exemplo
7P₄) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.
Exemplos


P₅) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.
Exemplo





Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:





Propriedades dos determinantes (continuação)
P₆) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.
Exemplo
P₇) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.
Exemplos

P₈) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.

Exemplo
P₉) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.

Exemplos


Propriedades dos determinantes (continuação)
P₁₀) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por 
Exemplos


P₁₁) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n como: 
Exemplo
P₁₂) 
Exemplo
 

Continua ...