CIRCULOS, CIRCINFERENCIAS E ARCOS

Professor Diminoi

Diferença entre Círculo e Circunferência
Muitos acham que circunferência e círculo são a mesma coisa, porém não é bem assim. Vamos entender a diferenças entre estas figuras.

Circunferência
Circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro.

Círculo
Círculo é a região delimitada pela circunferência.

Comprimento de circunferência
Trata-se da mesma ideia de quando se calcula o perímetro de um polígono.

O comprimento da circunferência é calculado por:
C = 2 . π . r
C = comprimento
r = raio
π = (lê-se: pi)

O π é uma letra grega que utilizamos para representar uma constante, sendo útil para cálculos com a circunferência. Como o π é um número irracional (π = 3,141592653589793238...), para fazer as contas, realizamos uma aproximação dele.

Em questões de vestibulares, Enem e concurso, esse valor é dado no enunciado, o mais adotado é o de 3,14, porém há questões que usam 3,1 ou até mesmo 3 como valor de π.

Exercícios resolvidos
01) Calcule o comprimento da circunferência que possui raio igual a 4 cm (use π = 3,1):
Resolução:
C = 2 π r
C = 2 · 3,1 · 4
C = 6,2 · 4
C = 24,8 cm

02) Calcule o comprimento da circunferência a seguir sabendo que o seu diâmetro é dado em cm. (Use π = 3,14)
Resolução:
Sendo d = 12 cm, então o raio é a metade do diâmetro, r = 6.
C = 2 π r
C = 2 · 3,14 · 6
C = 6,28 · 6
C = 37,68 cm

Área de círculo
A área de um círculo é calculada utilizando-se a fórmula:
A = π . r²
A = área
r = raio
π =  (lê-se: pi)

03) Qual é a área do círculo da imagem a seguir? (π = 3)
Resolução:
r = 8 e π = 3
A = π · r²
A = 3 · 8²
A = 3 · 64
A = 192 cm²

04) Calcule a área de um círculo delimitado por uma circunferência de diâmetro igual a 10 cm.
Resolução:
Se o diâmetro é 10 cm, o raio será 5 cm.
Como a questão não nos deu valor para π, não substituiremos nenhum valor no lugar dele.
A = π · r²
A = π · 5²
A = 25 π cm²
 
05) Um ciclista está percorrendo uma praça no formato circular com 15 m de diâmetro. Sabendo-se que, ao final do treino, ele completou 150 voltas, a quantidade de km percorrida foi de: (Use π = 3)
(A) 13,5 km
(B) 135 km
(C) 22,5 km
(D) 250 km
Resolução:
1º passo: calcular o comprimento da circunferência:
C = 2 π r
C = 2 · 3 · 15
C = 6 · 15
C = 90 m
2º passo: multiplicar o último resultado pela quantidade de voltas dadas:
90 · 150 = 13.500 m
3º passo: converter metros para quilômetros (basta dividir por 1000)
13.500 : 1000 = 13,5 km
Alternativa: A

06) A tampa de uma bueiro quebrou, e foi necessário confeccionar outra. Para que ela fique perfeita, ela precisa ter a mesma área da tampa anterior. Para isso, a empresa de saneamento fez a medida do raio da tampa anterior conforme a figura a seguir:
A área da tampa é igual a: (Use π = 3,14)
(A) 780,5 cm²
(B) 1875 cm²
(C) 625 cm²
(D) 1962,5 cm²
Resolução:
A = π · r²
A = 3,14 · 25²
A = 3,14 · 625
A = 1962,5 cm²
Alternativa: D

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo.

Ângulos na Circunferência
O Ângulo inscrito na circunferência (β) é o ângulo formado a partir do arco mas com vértice sobre a circunferência. Seu valor corresponde à metade do ângulo central (α).

Ângulo inscrito na circunferência: 
Exemplo: Sendo a medida do arco ABC igual a 110º, determine o valor dos ângulos x e y, conforme a figura abaixo:
Resolução: veja que a medida do arco é 110º e que o ângulo y representa a medida do ângulo central, ou seja, y = arco = 110º.
O ângulo x da figura representa o ângulo inscrito na circunferência proveniente do mesmo arco que y, logo x vale a metade de y, ou seja, 55º.
Resposta:   x = 55º e y = 110º

Algumas consequências do ângulo inscrito
Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência, onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.

Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.

Todos os ângulos de uma circunferência inscritos no mesmo arco são congruentes.

Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos opostos são suplementares (somados valem 180º).

O Círculo Trigonométrico
Quando falamos em seno, cosseno e tangente, tem quem até se arrepie! Todavia, a matéria é mais simples do que parece e ainda por cima é figurinha carimbada no Enem e nos vestibulares. Aqui, vamos simplificar o círculo trigonométrico para você!

Para compreender e desvendar os segredos da trigonometria, o  primeiro passo é entender o ciclo trigonométrico. Observe a imagem, e tente recuperar os conteúdos relacionados que você já estudou antes de prosseguir na leitura.

É um bom exercício para você refrescar a memória, lembrar o que sabe, e recuperar as dúvidas também.
Então quando formamos qualquer ângulo a partir da origem, surgem dois vetores, um no eixo das abscissas, e outro no das ordenadas, assim formando no eixo x os cossenos, e no eixo y o seno, os quais possuem um valor entre 0 e 1, e a tangente é um valor formado prolongando o vetor do ângulo até uma reta tangente à circunferência.

Assim, forma-se um terceiro vetor chamado de tangente, de varia de 0 até tendendo a +/- infinito. 

Seno e Cosseno:
Os sinais de seno, cosseno e tangente são respectivamente:




Observe as relações do Círculo Trigonométrico




Exercício Resolvido de Trigonometria
07) O valor de y = cos 150° + sen 300° – tg 225° – cos 90° é
Resolução:


08) Sendo sen x = – 4/5 e 3π/2 < x < 2π, então a tg x é igual a
Resolução:

09) Calcule o valor do ângulo α.
Resolução:
 

10) Qual é o valor do ângulo α na circunferência a seguir?
Resolução:
Analisando a imagem, sabemos que o ângulo α é igual à metade do arco, ou seja, metade de 120º, então α  = 60º.

11) Podemos afirmar que o valor do ângulo BÂC no triângulo a seguir é:
(A) 60º
(B) 65º
(C) 70º
(D) 75º
(E) 90º
Resolução
Analisando a circunferência, o arco formado pelos pontos AB tem amplitude igual à meia circunferência, ou seja, 180º.Como o ângulo C é inscrito, então ele corresponde à metade de 180º, logo o ângulo C é igual a 90º.
A soma dos ângulos internos do triângulo é sempre igual a 180º, então temos que:
25º + BÂC + 90º = 180º
BÂC  = 180º – 90º – 25º
BÂC  = 90º – 25º
BÂC  = 65º
Alternativa: B

12) Calcule o valor de x na circunferência a seguir.
(A) 10
(B) 15º
(C) 20º
(D) 40º
(E) 45º
Resolução
Sabendo que AÔB é o ângulo central e que ele corresponde ao valor do arco, então temos que:
2x + 5º = 45º
2x = 45º – 5º
2x = 40º
x = 40º: 2
x = 20º
Alternativa: C

13) Determine o valor de α na figura abaixo.
Resolução:


14) Determine o valor de α na figura abaixo.
Resolução


15) Qual valor do ângulo x da figura abaixo
Resolução:
70˚ + x = 90˚
x = 90˚ – 70˚
x = 20˚

16) A respeito das definições de círculo e circunferência e dos elementos dessas duas figuras geométricas, assinale a alternativa correta.
(A) As palavras “círculo” e “circunferência” são sinônimas, pois representam o mesmo objeto.
(B) Um círculo e uma circunferência diferem apenas pelo comprimento.
(C) Um círculo e uma circunferência que possuem o mesmo raio também possuem o mesmo comprimento.
(D) O círculo é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é igual a uma constante chamada de raio.
(E) A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é menor que uma constante chamada de raio.
Resolução:
a) Incorreta!
Embora as figuras geométricas planas chamadas de “círculo” e “circunferência” possuam o mesmo formato, elas não são iguais, por isso essas palavras não são sinônimas.
b) Incorreta!
Existem diversas diferenças entre um círculo e uma circunferência, entretanto, se elas possuem raios iguais, seu comprimento também será igual.
c) Correta!
d) Incorreta!
O círculo é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é menor que a constante chamada de raio.
e) Incorreta!
A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é igual a uma constante chamada de raio.
Alternativa: C

17) Um jardineiro possui um espaço em sua casa usado para o cultivo de algumas plantas. O formato desse canteiro é de um setor circular de raio 10 m. Sabendo que o ângulo central desse setor circular é de 60°, qual é a área do espaço usado para plantio na casa desse jardineiro?
(A) 52,33 m²
(B) 10,47 m2
(C) 31,4 m²
(D) 20,94 m²
(E) 100 m²
Resolução:
A área do setor circular é parte da área do círculo. Para encontrar a área dessa figura, basta calcular a área do círculo e usar regra de três para determinar a área do setor circular. Para isso, lembre-se de que a área do círculo é equivalente à área de um setor circular com ângulo central de 360°.
Ac = π·r²
Ac = 3,14·10²
Ac = 3,14·100
Ac = 314 m²
Fazendo a regra de três, temos:
Ac = 360°
A      60°
314 = 360
A        60
360A = 60·314
360A = 18840
A = 18840
360
A = 52,33 m², aproximadamente.
Alternativa: A

18) Duas circunferências concêntricas são usadas para determinar a área de um terreno, de modo que a primeira possui raio 10 m, a segunda possui raio 15 m e a área entre as duas é a área a ser determinada. Qual é a área desse terreno?
(A) 942,5 m2
(B) 628 m²
(C) 157 m²
(D) 392,5 m²
(E) 250 m²
Resolução:
Como a área a ser descoberta está entre as circunferências, calculamos a área dos círculos determinados por cada uma delas e subtraímos a área da menor da área da maior.
AC = π·r²
AC = 3,14·152
AC = 3,14·225
AC = 706,5 m²
Ac = π·r²
Ac = 3,14·102
Ac = 3,14·100
Ac = 314 m²
A diferença entre as áreas é:
A = AC – Ac
A = 706,5 – 314
A= 392,5 m²
Alternativa: D

19) Um círculo e um retângulo possuem mesma área. Sabendo que o retângulo possui base igual a 1000 cm e altura igual a 314 cm, qual é o raio do círculo?
(A) 10 cm
(B) 25 cm
(C) 50 cm
(D) 75 cm
(E) 100 cm
Resolução:
A área do quadrado é dada pelo quadrado da medida de seu lado:
Ar = b . h
1000 . 314
31400 cm²
A área do círculo é dada pela fórmula a seguir. Substituindo a área do círculo nessa fórmula, temos:
A = π·r2
31400 = 3,14·r²
31400 = r²
3,14
10000 = r²
r = √10000
r = 100 cm
Alternativa: E

 

Continua...