Círculos, Circunferência e Arcos

Círculos, Circunferência e Arcos

Professor Diminoi

Sequencia didática de matemática circunferência e círculo - Escola de  Ensino Fundamental Vicente Celso

Diferença entre Círculo e Circunferência

Muitos acham que circunferência e círculo são a mesma coisa, porém não é bem assim. Vamos entender a diferenças entre estas figuras.

Circunferência

Circunferência é o conjunto de pontos que estão a uma mesma distância do centro.

Círculo

Círculo é a região delimitada pela circunferência.

Comprimento de circunferência

Trata-se da mesma ideia de quando se calcula o perímetro de um polígono.

O comprimento da circunferência é calculado por:

C = 2 . π . r

C = comprimento

r = raio

π = (lê-se: pi)

π é uma letra grega que utilizamos para representar uma constante, sendo útil para cálculos com a circunferência. Como o π é um número irracional (π = 3,141592653589793238...), para fazer as contas, realizamos uma aproximação dele.

Em questões de vestibulares, Enem e concurso, esse valor é dado no enunciado, o mais adotado é o de 3,14, porém há questões que usam 3,1 ou até mesmo 3 como valor de π.

Exercícios resolvidos

01) Calcule o comprimento da circunferência que possui raio igual a 4 cm (use π = 3,1):

Resolução:

C = 2 π r

C = 2 · 3,1 · 4

C = 6,2 · 4

C = 24,8 cm

 

02) Calcule o comprimento da circunferência a seguir sabendo que o seu diâmetro é dado em cm. (Use π = 3,14)

Resolução:

Sendo d = 12 cm, então o raio é a metade do diâmetro, r = 6.

C = 2 π r

C = 2 · 3,14 · 6

C = 6,28 · 6

C = 37,68 cm

Área de círculo

A área de um círculo é calculada utilizando-se a fórmula:

A = π . r2

A = área

r = raio

π =  (lê-se: pi)

 

03) Qual é a área do círculo da imagem a seguir? (π = 3)

Resolução:

r = 8 e π = 3

A = π · r²

A = 3 · 8²

A = 3 · 64

A = 192 cm²

 

04) Calcule a área de um círculo delimitado por uma circunferência de diâmetro igual a 10 cm.

Resolução:

Se o diâmetro é 10 cm, o raio será 5 cm.

Como a questão não nos deu valor para π, não substituiremos nenhum valor no lugar dele.

A = π · r²

A = π · 5²

A = 25 π cm²

 

05) Um ciclista está percorrendo uma praça no formato circular com 15 m de diâmetro. Sabendo-se que, ao final do treino, ele completou 150 voltas, a quantidade de km percorrida foi de: (Use π = 3)

(A) 13,5 km

(B) 135 km

(C) 22,5 km

(D) 250 km

Resolução:

1º passo: calcular o comprimento da circunferência:

C = 2 π r

C = 2 · 3 · 15

C = 6 · 15

C = 90 m

2º passo: multiplicar o último resultado pela quantidade de voltas dadas:

90 · 150 = 13.500 m

3º passo: converter metros para quilômetros (basta dividir por 1000)

13.500 : 1000 = 13,5 km

Alternativa: A

 

06) A tampa de uma bueiro quebrou, e foi necessário confeccionar outra. Para que ela fique perfeita, ela precisa ter a mesma área da tampa anterior. Para isso, a empresa de saneamento fez a medida do raio da tampa anterior conforme a figura a seguir:

A área da tampa é igual a: (Use π = 3,14)

(A) 780,5 cm²

(B) 1875 cm²

(C) 625 cm²

(D) 1962,5 cm²

Resolução:

A = π · r²

A = 3,14 · 25²

A = 3,14 · 625

A = 1962,5 cm²

Alternativa: D

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo.

Ângulos na Circunferência

O Ângulo inscrito na circunferência (β) é o ângulo formado a partir do arco mas com vértice sobre a circunferência. Seu valor corresponde à metade do ângulo central (α).

Ângulo inscrito na circunferência: 

Exemplo: Sendo a medida do arco ABC igual a 110º, determine o valor dos ângulos x e y, conforme a figura abaixo:

Resolução: veja que a medida do arco é 110º e que o ângulo y representa a medida do ângulo central, ou seja, y = arco = 110º.

O ângulo x da figura representa o ângulo inscrito na circunferência proveniente do mesmo arco que y, logo x vale a metade de y, ou seja, 55º.

Resposta:   x = 55º e y = 110º

Algumas consequências do ângulo inscrito

Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência, onde a hipotenusa coincide com o diâmetro.

Em todo triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa hipotenusa.

Todos os ângulos de uma circunferência inscritos no mesmo arco são congruentes.

Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência, os ângulos internos opostos são suplementares (somados valem 180º).

O Círculo Trigonométrico

Quando falamos em seno, cosseno e tangente, tem quem até se arrepie! Todavia, a matéria é mais simples do que parece e ainda por cima é figurinha carimbada no Enem e nos vestibulares. Aqui, vamos simplificar o círculo trigonométrico para você!

Para compreender e desvendar os segredos da trigonometria, o  primeiro passo é entender o ciclo trigonométrico. Observe a imagem, e tente recuperar os conteúdos relacionados que você já estudou antes de prosseguir na leitura.

É um bom exercício para você refrescar a memória, lembrar o que sabe, e recuperar as dúvidas também.

Então quando formamos qualquer ângulo a partir da origem, surgem dois vetores, um no eixo das abscissas, e outro no das ordenadas, assim formando no eixo x os cossenos, e no eixo y o seno, os quais possuem um valor entre 0 e 1, e a tangente é um valor formado prolongando o vetor do ângulo até uma reta tangente à circunferência.

Assim, forma-se um terceiro vetor chamado de tangente, de varia de 0 até tendendo a +/- infinito. 

Seno e Cosseno:

Os sinais de seno, cosseno e tangente são respectivamente:

 

Observe as relações do Círculo Trigonométrico

 

 

Exercício Resolvido de Trigonometria

07) O valor de y = cos 150° + sen 300° – tg 225° – cos 90° é

Resolução:

 

 

 

 

 

08) Sendo sen x = – 4/5 e 3π/2 < x < 2π, então a tg x é igual a

Resolução:

 

09) Calcule o valor do ângulo α.

Resolução:

 

10) Qual é o valor do ângulo α na circunferência a seguir?

Resolução:

Analisando a imagem, sabemos que o ângulo α é igual à metade do arco, ou seja, metade de 120º, então α  = 60º.

 

11) Podemos afirmar que o valor do ângulo BÂC no triângulo a seguir é:

(A) 60º

(B) 65º

(C) 70º

(D) 75º

(E) 90º

Resolução

Analisando a circunferência, o arco formado pelos pontos AB tem amplitude igual à meia circunferência, ou seja, 180º.Como o ângulo C é inscrito, então ele corresponde à metade de 180º, logo o ângulo C é igual a 90º.

A soma dos ângulos internos do triângulo é sempre igual a 180º, então temos que:

25º + BÂC + 90º = 180º

BÂC  = 180º – 90º – 25º

BÂC  = 90º – 25º

BÂC  = 65º

Alternativa: B

 

12) Calcule o valor de x na circunferência a seguir.

(A) 10

(B) 15º

(C) 20º

(D) 40º

(E) 45º

Resolução

Sabendo que AÔB é o ângulo central e que ele corresponde ao valor do arco, então temos que:

2x + 5º = 45º

2x = 45º – 5º

2x = 40º

x = 40º: 2

x = 20º

Alternativa: C

 

13) Determine o valor de α na figura abaixo.

Resolução:


14) Determine o valor de α na figura abaixo.

Resolução

15) Qual valor do ângulo x da figura abaixo

Resolução:

70˚ + x = 90˚

x = 90˚ – 70˚

x = 20˚

 

16) A respeito das definições de círculo e circunferência e dos elementos dessas duas figuras geométricas, assinale a alternativa correta.

(A) As palavras “círculo” e “circunferência” são sinônimas, pois representam o mesmo objeto.

(B) Um círculo e uma circunferência diferem apenas pelo comprimento.

(C) Um círculo e uma circunferência que possuem o mesmo raio também possuem o mesmo comprimento.

(D) O círculo é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é igual a uma constante chamada de raio.

(E) A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é menor que uma constante chamada de raio.

Resolução:

a) Incorreta!

Embora as figuras geométricas planas chamadas de “círculo” e “circunferência” possuam o mesmo formato, elas não são iguais, por isso essas palavras não são sinônimas.

b) Incorreta!

Existem diversas diferenças entre um círculo e uma circunferência, entretanto, se elas possuem raios iguais, seu comprimento também será igual.

c) Correta!

d) Incorreta!

O círculo é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é menor que a constante chamada de raio.

e) Incorreta!

A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é igual a uma constante chamada de raio.

Alternativa: C

 

17) Um jardineiro possui um espaço em sua casa usado para o cultivo de algumas plantas. O formato desse canteiro é de um setor circular de raio 10 m. Sabendo que o ângulo central desse setor circular é de 60°, qual é a área do espaço usado para plantio na casa desse jardineiro?

(A) 52,33 m2

(B) 10,47 m2

(C) 31,4 m2

(D) 20,94 m2

(E) 100 m2

Resolução:

A área do setor circular é parte da área do círculo. Para encontrar a área dessa figura, basta calcular a área do círculo e usar regra de três para determinar a área do setor circular. Para isso, lembre-se de que a área do círculo é equivalente à área de um setor circular com ângulo central de 360°.

Ac = π·r2

Ac = 3,14·102

Ac = 3,14·100

Ac = 314 m2

Fazendo a regra de três, temos:

Ac = 360°

A      60°

314 = 360

A        60

360A = 60·314

360A = 18840

A = 18840

360

A = 52,33 m2, aproximadamente.

Alternativa: A

 

18) Duas circunferências concêntricas são usadas para determinar a área de um terreno, de modo que a primeira possui raio 10 m, a segunda possui raio 15 m e a área entre as duas é a área a ser determinada. Qual é a área desse terreno?

(A) 942,5 m2

(B) 628 m2

(C) 157 m2

(D) 392,5 m2

(E) 250 m2

Resolução:

Como a área a ser descoberta está entre as circunferências, calculamos a área dos círculos determinados por cada uma delas e subtraímos a área da menor da área da maior.

AC = π·r2

AC = 3,14·152

AC = 3,14·225

AC = 706,5 m2

Ac = π·r2

Ac = 3,14·102

Ac = 3,14·100

Ac = 314 m2

A diferença entre as áreas é:

A = AC – Ac

A = 706,5 – 314

A= 392,5 m2

Alternativa: D

 

19) Um círculo e um retângulo possuem mesma área. Sabendo que o retângulo possui base igual a 1000 cm e altura igual a 314 cm, qual é o raio do círculo?

(A) 10 cm

(B) 25 cm

(C) 50 cm

(D) 75 cm

(E) 100 cm

Resolução:

A área do quadrado é dada pelo quadrado da medida de seu lado:

Ar = b . h

1000 . 314

31400 cm2

A área do círculo é dada pela fórmula a seguir. Substituindo a área do círculo nessa fórmula, temos:

A = π·r2

31400 = 3,14·r2

31400 = r2

3,14

10000 = r2

r = √10000

r = 100 cm

Alternativa: E

 

Continua...