ESTÁTICA DOS SÓLIDOS

Professor Diminoi
ESTATICA DOS ÓLIDOS
É o capítulo da Mecânica que estuda corpos que não se movem, estáticos. A ausência de movimento é um caso especial de aceleração nula, ou seja, pelas Leis de Newton, uma situação em que todas as forças que atuam sobre um corpo se equilibram. E a parte da física que estuda sistemas sob a ação de forças que se equilibram. De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração destes sistemas é nula. De acordo com a primeira lei de Newton, todas as partes de um sistema em equilíbrio também estão em equilíbrio.

ESTÁTICA DOS SÓLIDOS
Estática é a parte da mecânica que estuda os corpos em equilíbrio.
A condição necessária para um corpo estar em equilíbrio é que a resultante de todas as forças que agem sobre ele seja nula.

EQUILÍBRIO = RESULTANTE NULA

Momento (M)
Momento é a ação de uma força para fazer um corpo girar em torno de um eixo. Considere, por exemplo, um parafuso e uma chave. 
Ao aplicarmos uma força F para girar o parafuso estamos executando um momento, também denominado de torque. Neste caso, podemos verificar que a rotação do parafuso não depende apenas da força, mas também da distância. A experiência mostra que se aplicarmos a força longe do eixo de rotação, fica mais fácil girar o parafuso, não sendo necessário fazer muita força. Já quando fazemos a força perto do eixo de rotação, fica mais difícil rotacionar o parafuso, sendo necessário fazer uma força maior.
O momento de uma força é dado por:

M = F . d

O momento pode ser denominado de momento horário quando a força tende a girar o corpo no sentido horário ou momento anti-horário quando a força tende a girar o corpo no sentido anti-horário.
Condições de equilíbrio
Na prática, a resultante nula impede o movimento de translação do corpo (inicialmente em repouso), entretanto pode não impedir o movimento de rotação de um corpo extenso.
Na barra da figura anterior a resultante é nula porém pode existir movimento de rotação. Para não haver rotação é necessário que o momento horário seja igual ao momento anti-horário.

Condições gerais de equilíbrio
Um corpo rígido qualquer somente estará em equilíbrio de for nulo o somatório de todas as forças e o somatório de todos os momentos (torques) que sobre ele atuam.
Um corpo rígido estará em equilibro, nas seguintes condições:
- Repouso
- Movimento retilíneo uniforme
- Movimento de rotação uniforme
O repouso é um caso de equilibro estático. O movimento retilíneo uniforme e o movimento de rotação uniforme, por sua vez, são casos de equilibro dinâmico.
Quando um corpo está em repouso (equilibro estático), o mesmo poderá ser de três tipos: estável, instável ou indiferente.
O equilíbrio é estável quando o corpo retorna à posição de equilíbrio inicial, caso seja ligeiramente afastado dela.
O equilíbrio é instável quando o corpo, ao ser afastado levemente da posição de equilibro, tende a se afastar mais ainda dela.

Finalmente, tem-se o equilibro indiferente quando o corpo se mantiver em equilibro, qualquer que seja o afastamento que experimente em relação à posição inicial.

MOMENTO DE UMA FORÇA
Até agora estudamos a dinâmica dos movimentos de translação. A dinâmica dos movimentos de rotação só é estudada em cursos de nível avançado pois exige conhecimentos de matemática que não fazem parte do curso de nível médio. No entanto há um caso particular cujo estudo é simples: a estática de rotação, isto é, a condição para que um corpo extenso não sofra rotação.  Para isso precisamos introduzir o conceito de momento de uma força.
Consideremos uma força  atuando em um corpo, como ilustra a Fig. 1.
F é o módulo da força e d é a distância do ponto P à reta suporte de  (que é a reta r na figura). A escolha do sinal depende da tendência de rotação produzida por . Em geral adota-se o sinal positivoquando a tendência da força é produzir rotação no sentido anti-horário (Fig. 2) e negativo quando a tendência é produzir rotação no sentido horário (Fig. 3).
No Sistema Internacional, a unidade de momento é o N.m que, dimensionalmente, é idêntica à unidade de trabalho. No entanto, trabalho e momento são grandezas distintas.

Exemplo 1
Uma força  de intensidade F = 20 N é aplicada a um corpo, como mostra a figura, de modo que a distância entre um ponto P e a reta suporte da força é d = 3,0m.
A tendência de  é produzir uma rotação do corpo no sentido anti-horário, em torno de P e, assim, o momento será positivo:
M_F = + F . d = (20 N) (3,0m) = + 60 N . m
Observações:
O ponto P é denominado polo.
O momento é também chamado de torque.

Propriedade:    
O momento de uma força depende, obviamente, do polo escolhido. No entanto, temos a seguinte propriedade:
Consideramos n forças. . 

Se M_F1 + M_F2 + ... M_Fn = 0

em relação a um polo P, então a soma será também nula em relação a qualquer outro polo.
Suponhamos que um corpo esteja sob a ação de n forças .

Estática de um Ponto Material.
Para um corpo estar em movimento retilíneo com velocidade constante ou em repouso, o somatório das forças que agem nele deve ser nulo.
 
A primeira Lei de Newton diz: que um corpo está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme se a resultante das forças que atuam sobre ele é nula. Nesse caso dizemos que o corpo está em equilíbrio estático quando o corpo está em repouso.

Força de atrito
É uma força que se opõe ao movimento dos corpos. Ela pode ser estática, se o corpo estiver em repouso, ou dinâmica, para corpos em movimento. ... “A força de atrito é uma força que se opõe ao movimento dos corpos.”

Equilíbrio do Ponto Material
Define-se como ponto material todo corpo cujas dimensões, para o estudo em questão, não são importantes, não interferem no resultado final.Por exemplo, o estudo da trajetória de um atleta de saltos ornamentais na piscina a partir de uma plataforma de 10 m. Se o estudo está focalizado na trajetória do atleta da plataforma até a piscina, e não nos seus movimentos em torno de si mesmo, pode-se adotar o centro de massa do atleta, ignorar seu tamanho e desenvolver o estudo. (Caso outros estudos, dos movimentos do atleta em torno do seu centro de massa, sejam necessários, eles poderão ser realizados posteriormente.)

RESOLVIDOS - TORQUE
01) (Mackenzie-SP)
Uma cancela manual é constituída de uma barra homogênea AB de comprimento L = 2,40 m e massa M = 10,0 kg e está articulada no ponto O, onde o atrito é desprezível. A força F tem direção vertical e sentido descendente, como mostra a figura acima. Considerando a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s², a intensidade da força mínima que se deve aplicar em A para iniciar o movimento de subida da cancela é:
(A) 150 N
(B) 175 N
(C) 200 N
(D) 125 N
(E) 100 N
Resolução:
Pelo fato de a barra ser homogênea, podemos afirmar que o seu peso está concentrado em seu centro. Sendo assim, teremos:
Para que o equilíbrio seja mantido, o torque gerado pela força F, no sentido anti-horário, deve ser exatamente igual ao torque gerado pela força peso, no sentido horário.
τ_F = τ_PESO
F . 0,4 = P. 0,8
F . 0,4 = m.g.0,8
F . 0,4 = 10 . 10 . 0,8
F = 80 ÷ 0,4
F = 200 N
A força de 200 N mantém a cancela em equilíbrio, portanto, qualquer força maior que 200 N fará o sistema rotacionar.
Alternativa: C

02) (Udesc) Ao se fechar uma porta, aplica-se uma força na maçaneta para ela rotacionar em torno de um eixo fixo onde estão as dobradiças. Com relação ao movimento dessa porta, analise as proposições.
I. Quanto maior a distância perpendicular entre a maçaneta e as dobradiças, menos efetivo é o torque da força.
II. A unidade do torque da força no SI é o N.m, podendo também ser medida em Joule (J).
III. O torque da força depende da distância perpendicular entre a maçaneta e as dobradiças.
IV. Qualquer que seja a direção da força, o seu torque será não nulo, consequentemente, a porta rotacionará sempre.
Assinale a alternativa correta.
(A) Somente a afirmativa II é verdadeira.
(B) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
(C) Somente a afirmativa IV é verdadeira.
(D) Somente a afirmativa III é verdadeira.
(E) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Resolução:
I: Errada: Quanto maior a distância entre a maçaneta e as dobradiças, maior e mais efetivo será o torque da força;
II: Errada: A unidade joule (J) destina-se à medição de quantidades de energia, portanto, jamais poderá ser utilizada para a determinação do torque;
III: Correta: A força que gera o torque deve ser aplicada perpendicularmente ao eixo de rotação (dobradiças);
IV: Errada: Se a força for paralela ao eixo de rotação (dobradiças), não haverá torque.
Alternativa: D

03) Dois garotos estão sobre uma gangorra que se encontra em uma praça. Um dos garotos tem massa de 50 kg e está a 1,5 m do centro do brinquedo. Sabendo que a massa do segundo garoto é de 62,5 kg, determine a distância entre ele e o centro da gangorra para que o brinquedo permaneça equilibrado na posição vertical.
(A) 1,2
(B) 2,0
(C) 1,5
(D) 0,8
(E) 1,0
Resolução:
Para que exista o equilíbrio, o torque gerado pelo peso de cada um dos garotos deve ser o mesmo. Sendo assim, podemos escrever:
Τ_{garoto 1} = τ_{garoto 2}
P₁.x = P₂. 1,5
62,5 . 10 . x = 50 . 10 . 1,5
625.x = 750
x = 1,2 m.
O garoto mais pesado está a 1,2 m do centro da gangorra.
Alternativa: A

04) Leia as afirmações a seguir:
I – O torque é uma grandeza escalar que possui unidade de medida, definida pelo Sistema Internacional de Unidades, N.m;
II – A força que gera o torque deverá ser aplicada perpendicularmente em relação ao eixo de rotação;
III – Mesmo que a resultante do torque gerado por forças distintas não seja nula, haverá equilíbrio;
IV – A posição ideal para a instalação de maçanetas é no extremo oposto em relação às dobradiças. Nessa posição, a força necessária para girar a porta será a menor possível.
Está correto o que se afirma em:
(A) I
(B) I e II
(C) III e IV
(D) II e IV
(E) II, III e IV
Resolução:
I: Errada – O torque é uma grandeza vetorial;
II: Correta;
III: Errada – Uma das condições de equilíbrio é que a soma dos torques gerados no sistema seja nula;
IV: Correta – Quanto maior a distância em relação ao eixo de rotação, menor será a força necessária para a rotação de um sistema.
Alternativa: D

RESOLVIDOS – EQUÍLIBRIO ESTÁTICO DE UM CORPO EXTENSO
05) (PUC-MG) Uma haste, com massa uniformemente distribuída ao longo do seu comprimento, encontra-se em equilíbrio, na horizontal, apoiada no ponto P, tendo duas massas M e M’ nas suas extremidades, conforme a figura abaixo. Nessas condições, é CORRETO afirmar:
(A) M’ < M
(B) M’ = M
(C) M < M’ < 2M
(D) M’ > 2M
Resolução:
Tomando o ponto P como referência e considerando que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário, temos:
P_haste . (L/2) + Mg . 2L = M’g . L
M’ = 2M + P_haste/2g
Portanto, M’ > 2M
Alternativa: B

06) (UFSM-RGS) A figura representa uma barra homogênea em equilíbrio horizontal, de massa m e comprimento L, estando uma das extremidades articulada a uma parede. Na extremidade oposta, está suspenso um corpo de massa M, estando essa barra sustentada em sua metade por uma mola de constante elástica K. Nessa situação, a mola está distendida de:
(A) (M/K).g
(B) (2M/K).g
(C) [(M+m)/K].g
(D) [(2M+m)/K].g
Resolução: 
Tomando a articulação  como referência e considerando que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário, temos:
Mg . L + mg . (L/2) = Kx . (L/2)
 x = (2M+m) . g/K
Alternativa: B

07) (Mackenzie-SP) A figura mostra um móbile constituído por duas barras de massas desprezíveis que sustentam os corpos A, B e C por fios ideais. Sendo a massa do corpo A 45 g, a massa do corpo C, que mantém o conjunto em equilíbrio na posição indicada, deve ser igual a:
(A) 10 g.
(B) 20 g.
(C) 30 g.
(D) 40 g.
(E) 50 g.
Resolução: 
m_B.g.30 = m_A.g.10
m_B = m_A/3 = 15 gramas.
T = m_A.g + m_B.g
60.g
T.20 = m_C.g.30
60.g.20 = m_C.g.30
m_C = 40 gramas
Alternativa: B

08) (PUC-MG) Na figura desta questão, um jovem de peso igual a 600 N corre por uma prancha homogênea, apoiada em A e articulada no apoio B. A prancha tem o peso de 900 N e mede 9,0 m. Ela não está presa em A e pode girar em torno de B. A máxima distância que o jovem pode percorrer, medida a partir de B, sem que a prancha gire, é:
(A) 1,75 m.
(B) 2,00 m.
(C) 2,25 m.
(D) 2,50 m.
Resolução: 
A máxima distância que o jovem pode percorrer, medida a partir de B, sem que a prancha gire, corresponde ao instante em que a força normal em A torna-se nula. 
Nestas condições, tomando o ponto B como referência e considerando que a soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido horário é igual à soma dos momentos das forças que tendem a produzir rotação no sentido anti-horário, temos:
P_prancha x 1,5 = P_jovem x d
900 x 1,5 = 600 x d
d = 2,25 m
Alternativa: C

09) (PUC-MG) Uma placa de publicidade, para ser colocada em local visível, foi afixada com uma barra homogênea e rígida e um fino cabo de aço à parede de um edifício, conforme ilustração.
Considerando-se a gravidade como 10 m/s², o peso da placa como 200 N, o comprimento da barra como 8 m, sua massa como 10 kg, a distância AC como 6 m e as demais massas desprezíveis, pode-se afirmar que a  força de tração sobre o cabo de aço tem intensidade:
(A) 417 N
(B) 870 N
(C) 300 N
(D) 1200 N
Resolução: 
Tomando o ponto A como referência:
M_Pplaca + M_Pbarra = M_{T . senB}
200 . 8 + 100.4  = T . (6/10).8
1600 + 400 = T . 4,8
T = 2000/4,8
T = 416,66 N
T ≅ 417 N
Alternativa: A

RESOLVIDAS – CORPOS RÍGIDOS
10) Na figura abaixo temos uma barra homogênea AB de peso 80 N, que está em equilíbrio sob ação das forças  e , apoiadas no suporte S, no ponto O.
Sendo = 200 N, qual será a intensidade da força normal  exercida pelo suporte S sobre a barra?
(A) 40 N e 320 N
(B) 60 N e 320 N   
(C) 40 N e 200 N   
(D) 50 N e 200 N  
(E) 200 N e 40 N
Resolução:
Todas as forças que atuam na barra foram colocadas na figura. Como a barra é homogênea, todo o seu peso está em seu centro (centro de gravidade).
Agora vamos aplicar as duas condições de equilíbrio.
1º: A soma de todos os momentos deve ser nula. 
Como não sabemos o valor da força  , vamos escolher a origem O como nosso centro de rotação, assim o momento de uma força da força   se torna nulo.
Como M = +F.d (se o momento de uma força tende a produzir rotação no sentido anti-horário em volta do polo de origem da rotação) e M = -F.d (se o momento de uma força tende a produzir rotação no sentido horário em volta do polo de origem da rotação), 
temos:
MF1 = + F1 .(1) 
MP = - P . (1)
MF2 = - F2 . (3)
Para uma situação de equilíbrio, a soma do momento de todas as forças deve ser igual a zero, lembrando que MFN = 0, pois está no polo de rotação:
MF1 + MP + MF2 + MFN = 0
F1 .(1) - P . (1) - F2 . (3) + 0 = 0
200 . (1) – 80 . (1) - F2 . (3) = 0
200 – 80 – 3F2 = 0
3F2 = 120
F2 = 120/3
F2 = 40 N
Para que a barra esteja em equilíbrio, é necessária outra condição, a resultante das forças também tem que ser nula. Logo:
- F1 - P - F2 + FN = 0
FN = F1 + P + F2
FN = 200 + 80 + 40
FN = 320 N
Alternativa: A

11) Na figura abaixo, os dois blocos, A e B, estão em equilíbrio.
Calcule a massa do bloco A, sabendo que a massa do bloco B é 5 kg. Considere  =10m/s².
Resolução:
Como os dois blocos estão em equilíbrio, a resultante do momento de todas as forças deve ser nula:
Se a massa de B é 5 kg, seu peso será:
P_B=m_B  .g
P_B=5 .10
P_B=50N
Como o torque resultante tem que ser nulo, escolhendo como polo de rotação a origem da figura acima O, temos:
Lembrando que estamos interessados em calcular a massa e não o peso do bloco A, então:
P_A=m_A  .g
75 = m_A   .10
m_A=75/10
m_A=7,5 kg
Resposta: a massa do bloco A é 7,5 kg.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Três partículas localizam-se em posições: a (2,4), b (3,-1), c (1,0), d (-5,-2), e (0,0). Sendo a massa destas partículas, respectivamente, 5kg, 16kg, 0,1kg, 0,9kg e 10kg. Qual é o centro de massa deste sistema?
Resolução:
Utilizando o princípio da média aritmética ponderada, podemos calcular o centro de massa em cada eixo do plano cartesiano:

Logo CM (1,67 , 0,04)


02) Para abrir uma porta de madeira de um metro de largura é necessário aplicar uma força perpendicular de intensidade 50N na sua extremidade contrária à dobradiça. Ao tentar abrir esta porta empurrando-a pelo seu meio, qual deve ser a intensidade da força perpendicular aplicada?
Resolução:


03) Uma barra homogênea de 5kg e 2m apoiada sob um ponto em uma parede é segurada por um cabo ideal, em um ponto A, distante 1,5m da ponta da barra e há um bloco de massa 1kg preso a outra extremidade da barra. Qual a força aplicada ao cabo para que o sistema esteja em equilíbrio?
Resolução:
Conhecendo as duas condições de equilíbrio de um ponto rígido:
1ª condição:

Mas as forças não estão aplicadas sobre a mesma linha de aplicação, então a força válida é a calculada pela segunda condição de equilíbrio:
2ª condição:


EXERCÍCIO RESOLVIDO
01) Dado um corpo arbitrário com massa 12kg concentrada em um ponto P ligado a outro de massa 10kg concentrada em um ponto Q ligado por um fio ideal que atravessa uma polia ideal, assim como na figura abaixo. Qual deve ser o coeficiente de atrito para que este sistema esteja em equilíbrio?
Resolução:
Analisando individualmente cada um dos pontos onde há alguma força aplicada:
 e

No sentido vertical para P:

Montando um sistema de equações com as forças aplicadas em cada corpo temos:

Mas para que o corpo esteja em equilíbrio a=0. Então somando o sistema acima temos:
 

02) Dois cabos seguram um bloco de massa 20kg, um deles, com intensidade 20N, forma um ângulo de 45° com a horizontal. O outro, forma um ângulo de 120° partindo da horizontal. Qual a força aplicada a este cabo para que o bloco fique em equilíbrio verticalmente?
Resolução:
Verticalmente:

 

Continua...