FUN플O/COEFICIENTE LINEAR/ANGULA E EQUA플O DA RETA

FUN플O/COEFICIENTE LINEAR/ANGULA E EQUA플O DA RETA

Professor Diminoi

 

Função do 1º e do 2º Grau

 

Noção básica de função e ideia de interdependência

Independente da função trabalhada, é fundamental conhecer algumas definições:

 

Função

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro. O primeiro conjunto é chamado de domínio, e o segundo, contradomínio da função.

As funções possuem diversas aplicações no cotidiano, sempre relacionando grandezas, valores, índices, variações entre outras situações. Por exemplo, a inflação é medida através da função que relaciona os preços atuais com os preços anteriores, dentro de um determinado período, caso ocorra variação para mais dizemos que houve inflação, e havendo variação para menos, denominamos deflação. A distância percorrida por um veículo depende da quantidade de combustível presente no tanque. Ciências como a Física, a Química e a Biologia utilizam em seus cálculos as propriedades das funções para demonstrarem a ocorrência de determinados fenômenos. Dessa forma, é muito importante obter o conhecimento adequado sobre as propriedades e definições das funções matemáticas.

A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um conjunto com elementos de X e Y um conjunto dos elementos de y, temos que:

f: x → y

Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação.

A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente e que é a variável dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o valor de x.

Um exemplo prático é a relação existente em um posto de gasolina entre a quantidade de litros de gasolina e o preço a pagar:

Enfatize que existe uma relação lógica entre os dois conjuntos, o valor a ser pago depende da quantidade de litros de gasolina. Podemos perceber que o valor do litro da gasolina é R$2,50. Dizemos que o preço a pagar é dado em função da quantidade de litros. A linguagem matemática utilizada para expressar esse tipo de situação pode ser dada da seguinte maneira:

Cada valor x de A corresponde a um único valor f(x) em B, dado pela função f.

Demonstre a linguagem existente nas funções através de gráficos envolvendo os diagramas de flecha: domínio, contradomínio e imagem.

Ressalte que A é o domínio, B é o contradomínio e C a imagem do conjunto A.
Elemento y de B, associado ao elemento x de A, é denominado imagem de x.

É importante dizer que para ser uma função, todos os elementos do domínio precisam estar associados a um único elemento do contradomínio, formando a imagem.

Observe:
Tipos de funções

As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber:

Função injetora ou injetiva

Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são diferentes.

Exemplo:

Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8}

Conjunto dos elementos da imagem da função: Im(f) = {A, C, D}

Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, D}

 Função Sobrejetora ou sobrejetiva

Na função sobrejetiva, todos os elementos do domínio possui um elemento na imagem. Pode acontecer de dois elementos do domínio possuírem a mesma imagem.

Nesse caso, imagem e contradomínio possuem a mesma quantidade de elementos.

Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-10, 2, 8, 25}

Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C}

Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C}

Função bijetora ou bijetiva

Essa função é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x relaciona-se a um único elemento de f(x). Nessa função, não acontece de dois números distintos possuírem a mesma imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mesma quantidade de elementos.

Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-12, 0, 1, 5}
Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, B, C, D}

Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD (f) = {A, B, C, D}

As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, utilizamos duas coordenadas, que são x e y. O plano desenhado é bidimensional. A coordenada x é chamada de abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas formam leis de formação. Veja a imagem do gráfico do eixo x e y:

Do último ano do Fundamental e ao longo do Ensino Médio, geralmente estudamos doze funções, que são:

1 – Função constante;

2 – Função par;

3 – Função ímpar;

4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau;

5 – Função Linear;

6 – Função crescente;

7 – Função decrescente;

8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau;

9 – Função modular;

10 – Função exponencial;

11 – Função logarítmica;

12 – Funções trigonométricas;

13 – Função raiz.

 

Gráfico e a fórmula geral de cada uma das funções listadas acima:

1 - Função constante

Na função constante, todo valor do domínio (x) tem a mesma imagem (y).

Fórmula geral da função constante:

f(x) = c

x = Domínio

f(x) = Imagem

c = constante, que pode ser qualquer número do conjunto dos reais.

 

Exemplo de gráfico da função constante: f(x) = 2

2 – Função Par

função par é simétrica em relação ao eixo vertical, ou seja, à ordenada y. Entenda simetria como sendo uma figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente.

Fórmula geral da função par:

f(x) = f(- x)

x = domínio

f(x) = imagem

- x = simétrico do domínio

 

Exemplo de gráfico da função par: f(x) = x2

3 – Função ímpar

função ímpar é simétrica (figura/gráfico que, ao dividi-la em partes iguais e sobrepô-las, as partes coincidem-se perfeitamente) em relação ao eixo horizontal, ou seja, à abscissa x.

Fórmula geral da função ímpar

f(– x) = – f(x)

– x = domínio

f(– x) = imagem

- f(x) = simétrico da imagem

 

Exemplo de gráfico da função ímpar: f(x) = 3x

4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau

Para saber se uma função é polinomial do primeiro grau, devemos observar o maior grau da variável x (termo desconhecido), que sempre deve ser igual a 1. Nessa função, o gráfico é uma reta. Além disso, ela possui: domínio x, imagem f(x) e coeficientes a e b.

Fórmula geral da função afim ou polinomial do primeiro grau

f(x) = ax + b

x = domínio

f(x) = imagem

= coeficiente

b = coeficiente

 

Exemplo de gráfico da função polinomial do primeiro grau: f(x) = 4x + 1

5 – Função Linear

função linear tem sua origem na função do primeiro grau (f(x) = ax + b). Trata-se de um caso particular, pois b sempre será igual a zero.

Fórmula geral da função linear

f(x) = ax

x = domínio

f(x) = imagem

= coeficiente

 

Exemplo de gráfico da função linear: f(x) = -x/3

6 – Função crescente

A função polinomial do primeiro grau será crescente quando o coeficiente a for diferente de zero e maior que um (a > 1).

Fórmula geral da função crescente

f(x) = + ax + b

x = domínio

f(x) = imagem

= coeficiente sempre positivo

b = coeficiente

 

Exemplo de gráfico da função crescente: f(x) = 5x

7 – Função decrescente

Na função decrescente, o coeficiente a da função do primeiro grau (f(x) = ax + b) é sempre negativo.

Fórmula geral da função decrescente

f(x) = - ax + b

x= domínio/ incógnita

f(x) = imagem

- a = coeficiente sempre negativo

= coeficiente

 

Exemplo de gráfico da função decrescente: f(x) = - 5x

8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau

Identificamos que uma função é do segundo grau quando o maior expoente que acompanha a variável x (termo desconhecido) é 2. O gráfico da função polinomial do segundo grau sempre será uma parábola. A sua concavidade muda de acordo com o valor do coeficiente a. Sendo assim, se a é positivo, a concavidade é para cima e, se for negativo, é para baixo.

Fórmula geral da função quadrática ou polinomial do segundo grau

f(x) = ax2 + bx + c

x = domínio

f(x) = imagem

= coeficiente que determina a concavidade da parábola.

= coeficiente.

= coeficiente.

 

Exemplo de gráfico da função polinomial do segundo grau: f(x) = x2 – 6x + 5

9 – Função modular

função modular apresenta o módulo, que é considerado o valor absoluto de um número e é caracterizado por (| |). Como o módulo sempre é positivo, esse valor pode ser obtido tanto negativo quanto positivo. Exemplo: |x| = + x ou |x| = - x.

Fórmula geral da função modular

f(x) = x, se x≥ 0

ou

f(x) = – x, se x < 0

x = domínio

f(x) = imagem

- x = simétrico do domínio

 

Exemplo de gráfico da função modular: f(x) =

10 – Função exponencial

Uma função será considerada exponencial quando a variável x estiver no expoente em relação à base de um termo numérico ou algébrico. Caso esse termo seja maior que 1, o gráfico da função exponencial é crescente. Mas se o termo for um número entre 0 e 1, o gráfico da função exponencial é decrescente.

Fórmula geral da função exponencial

f(x) = ax

a > 1 ou 0 < a < 1

x = domínio

f(x) = imagem

a = Termo numérico ou algébrico

 

Exemplo de gráfico da função exponencial crescente: f(x) = (2)x, para a = 2

Exemplo de gráfico da função exponencial decrescente: f(x) = (1/2)para a = ½

11 - Função logarítmica

Na função logarítmica, o domínio é o conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio é o conjunto dos elementos dependentes da função, sendo todos números reais.

Fórmula geral da função logarítmica

f(x) = loga x

a = base do logaritmo
f(x) = Imagem/ logaritmando
x = Domínio/ logaritmo

 

Exemplo de gráfico da função logarítmica: f(x) = log10 (5x - 6)

12 – Funções trigonométricas

As funções trigonométricas são consideradas funções angulares e são utilizadas para o estudo dos triângulos e em fenômenos periódicos. Podem ser caracterizadas como razão de coordenadas dos pontos de um círculo unitário. As funções consideradas elementares são:

Seno: f(x) = sen x

- Cosseno: f(x) = cos x

- Tangente: f(x) = tg x

 

Exemplo de gráfico da função trigonométrica seno: f(x) = sen (x + 2)

Exemplo de gráfico da função trigonométrica cosseno: f(x) = cos (x + 2)

Exemplo de gráfico da função tangente: f(x) = tg (x + 2)

13 – Função raiz

O que determina o domínio da função raiz é o termo n que faz parte do expoente. Se n for ímpar, o domínio (x) será o conjunto dos números reais; se n for par, o domínio (x) será somente os números reais positivos. Isso porque, quando o índice é par, o radicando (termo que fica dentro da raiz) não pode ser negativo.

Fórmula geral da função raiz

f(x) = x 1/n 

f(x) = Imagem

x = domínio/ base

1/n = expoente

 

Exemplo de gráfico da função raiz: f(x) = (x)1/2

Noção básica de interdependência

Exemplo:

Podemos estabelecer uma relação de dependência entre o preço do litro do combustível e a quantidade de litros usados no abastecimento de um carro. Suponhamos que o preço do litro de gasolina seja R$ 2,50, dessa forma, podemos determinar a seguinte função y = 2,5 . x, que determina o preço a pagar y em decorrência da quantidade de litros abastecidos x.

Exemplo:

Uma viagem, um automóvel mantém uma velocidade constante de 60 km/h. Com o passar do tempo, esse veículo irá percorrer uma determinada distância. De tal modo, podemos determinar a distância percorrida pelo veículo relacionando a velocidade média e o tempo do movimento utilizando a seguinte expressão matemática, D = V . t, onde:

D = distância (m)

V = velocidade média (m/s)

T = tempo (s)

Observe a tabela de valores para essa função:

 

Exemplo:

Uma indústria de brinquedos possui um custo mensal de produção equivalente a R$ 5.000,00 mais R$ 3,00 reais por brinquedo produzido. Determine a lei de formação dessa função e o valor do custo na produção de 2.000 peças.

A lei de formação será formada por uma parte fixa e outra variável. Observe:

C = 5000 + 3 . p, onde C: custo da produção e p: o número de brinquedos produzidos. Como serão produzidos 2.000 brinquedos temos:

C = 5000 + 3 * 2000
C = 5000 + 6000
C = 11.000

Conclusão: o custo na produção de 2.000 brinquedos será de R$ 11.000,00.

 

FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO 

Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função da intensidade de luz a que ela é exposta ou pessoa em função da impressão digital, lucros e investimentos de uma empresa, horas de funcionamento de uma máquina e consumo de energia percebemos quão importantes são os conceitos de funções para compreendermos as relações entre os fenômenos físicos, biológicos, sociais.

Plano Cartesiano

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P = (a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O ponto “O” equivalente ao número zero, é a origem do plano cartesiano, ou seja, o cruzamento dos eixos.

Representamos os pontos A e B como:

Como construir o gráfico de uma função?

Quando trabalhamos com funções, a construção de gráficos é de extrema importância. Podemos dizer que assim como vemos nossa imagem refletida no espelho, o gráfico de uma função é o seu reflexo. Através do gráfico, podemos definir de que tipo é a função mesmo sem saber qual é a sua lei de formação. Isso porque cada função tem sua representação gráfica particular.

Independente da função trabalhada, é fundamental conhecer algumas definições:

Plano Cartesiano → é o ambiente onde o gráfico será construído. Ele é estabelecido pelo encontro dos eixos cartesianos y, conhecidos como eixo das abcissas eixo das ordenadas, respectivamente.

Cada ponto do gráfico é conhecido como par ordenado, pois ele é formado pelo encontro de um valor das abcissas com um valor das ordenadas. A linha que une os pares ordenados é conhecida como curva da função.

Representação do ponto de coordenadas (1,2) no plano cartesiano

Vamos ver aqui alguns princípios básicos para a construção do gráfico de uma função, seja ela uma função do 1° grau ou uma função do 2° grau.

1°) Escolher valores para x

Para iniciar a construção do gráfico, é necessário escolher valores para a variável x. Esses valores serão substituídos na lei de formação da função para que o valor correspondente de seja determinado, bem como o par ordenado. Para montar o gráfico de uma função do 1° grau, é necessário encontrar apenas dois pontos que já visualizamos no gráfico.

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É também importante escolher valores próximos, como números subsequentes. Além disso, é sempre bom saber os pontos em que x = 0 e y = 0 (zero da função).

Considere a função y = x + 1. Montaremos uma tabela com os valores de x para encontrar os valores de y:

2°) Encontrar os pares ordenados no plano cartesiano

Lançando cada um desses pares ordenados no plano cartesiano, encontramos os seguintes pontos:


Pares ordenados lançados no plano cartesiano

3°) Traçando o gráfico

Basta ligar os pontos através de uma reta para determinar o gráfico da função y = x + 1.

Gráfico de uma Função do 1º grau

Toda função definida por f(x) = ax + b, com a e b pertencentes aos reais e a 0 é considerada uma função do 1º grau e possui representação gráfica no plano cartesiano.
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta podendo ser crescente ou decrescente.

 

FUNÇÃO DO 1º GRAU

A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a e b são números reais e a é diferente de 0.

Consideremos x e y duas variáveis, sendo uma dependente da outra, isto é, para cada valor atribuído a x corresponde um valor para y. Definimos essa dependência como função, nesse caso, y está em função de x. O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função e os valores de y são a imagem da função.

Toda função é definida por uma lei de formação, no caso de uma função do 1º grau a lei de formação será a seguinte: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0.
Esse tipo de função deve ser dos Reais para os Reais.

A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

      Função crescente                         Função decrescente

Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente:
à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.


Exemplos de funções do 1º grau

y = 4x + 2, a = 4 e b = 2

y = 5x – 9, a = 5 e b = –9

y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10

y = 3x, a = 3 e b = 0

y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1 

y = – 7x + 7, a = –7 e b = 7

Raiz ou zero de uma função do 1º grau

Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.

Características de um gráfico de uma função do 1º grau

Com a > 0 o gráfico será crescente.
Com a < 0 o gráfico será decrescente.
O ângulo α formado com a reta e com o eixo x será agudo (menor que 90°) quando a > 0.
O ângulo α formado com reta e com o eixo x será obtuso (maior que 90º) quando a < 0.
Na construção de um gráfico de uma função do 1º grau basta indicar apenas dois valores pra x, pois o gráfico é uma reta e uma reta é formada por, no mínimo, 2 pontos.
Apenas um ponto corta o eixo x, e esse ponto é a raiz da função.
Apenas um ponto corta o eixo y, esse ponto é o valor de b.

 

Exercícios resolvidos:

Determine as raízes das funções a seguir:

01) y = 4x + 2

Resolução:

y = 0

4x + 2 = 0

4x = –2

x = –2/4

x = –1/2

Resposta: a reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2


02) y = – 2x + 10

Resolução:

y = 0

– 2x + 10 = 0

– 2x = – 10 (–1)

2x = 10

x = 10/2

x = 5

Resposta: a reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5 


03) y = – 7x + 7

Resolução:

y = 0

–7x + 7 = 0

–7x = –7

x = 1

Resposta: a reta representada pela função y = –7x + 7 intersecta o eixo x no seguinte valor: 1

 

04) y = 3x

y = 0

3x = 0

x = 0

Resposta: a reta representada pela função y = 3x intersecta o eixo x no seguinte valor: 0

 

05) Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B.
Condições dos planos:

Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta num certo período.

Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta num certo período.

Temos que o gasto total de cada plano é dado em função do número de consultas x dentro do período pré-estabelecido.

Resolução:

a) A função correspondente a cada plano.

b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equivalem.

a) Plano A: f(x) = 20x + 140

Plano B: g(x) = 25x + 110

b) Para que o plano A seja mais econômico:

g(x) > f(x)

25x + 110 > 20x + 140

25x – 20x > 140 – 110

5x > 30

x > 30/5

x > 6

Para que o Plano B seja mais econômico:

g(x) < f(x)

25x + 110 < 20x + 140

25x – 20x < 140 – 110

5x < 30

x < 30/5

x < 6

Para que eles sejam equivalentes:

g(x) = f(x)

25x + 110 = 20x + 140

25x – 20x = 140 – 110

5x = 30

x = 30/5

x = 6

O plano mais econômico será:

Plano A = quando o número de consultas for maior que 6.

Plano B = quando número de consultas for menor que 6.

Reposta: os dois planos serão equivalentes quando o número de consultas for igual a 6.


06) Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 16,00 mais um custo variável de R$ 1,50 por unidade produzida. Sendo x o número de peças unitárias produzidas, determine:

a) A lei da função que fornece o custo da produção de x peças;

b) Calcule o custo de produção de 400 peças.

Resolução:

a) f(x) = 1,5x + 16

b) f(x) = 1,5x + 16

f(400) = 1,5*400 + 16

f(400) = 600 + 16

f(400) = 616

Resposta: o custo para produzir 400 peças será de R$ 616,00.


07) Um motorista de táxi cobra R$ 4,50 de bandeirada mais R$ 0,90 por quilômetro rodado. Sabendo que o preço a pagar é dado em função do número de quilômetros rodados, calcule o preço a ser pago por uma corrida em que se percorreu 22 quilômetros?

Resolução:

f(x) = 0,9x + 4,5

f(22) = 0,9*22 + 4,5

f(22) = 19,8 + 4,5

f(22) = 24,3

Resposta: o preço a pagar por uma corrida que percorreu 22 quilômetros é de R$ 24,30.

 

08) Determine os zeros das funções a seguir:

a) y = 5x + 2

Resolução:

Primeiramente, façamos y = 0, então:

5x + 2 = 0, o número 2 mudará de lado e o sinal também será mudado.

5x = – 2, o número 5 mudará de lado e realizará uma divisão.

x = – 2
        5

Resposta: o zero da função y = 5x + 2 é o valor: x = – 2
                                                           5

 

b) y = – 2x

Resolução:

Façamos y = 0, então:

– 2x = 0, o número – 2 mudará de lado e realizará uma divisão. Mas como o número zero dividido por qualquer número resulta em zero, x = 0.

Resposta: o zero da função y = – 2x é x = 0.

 

c) f(x) = + 4
            2

Resolução:

Façamos f(x) = 0, então:

x + 4 = 0, o número 4 mudará de lado e o sinal também será mudado.
2

x = - 4, o número 2 mudará de lado e realizará uma multiplicação.
2

x = (– 4) . 2
x = – 8

Resposta: Portanto, o zero da função f(x) = x + 4 é dado por x = – 8.

09) Classifique cada uma das funções seguintes em crescente ou decrescente:

Comentário para resolução: Em uma função do tipo y = ax + b, o coeficiente a de x indica se a função é crescente ou decrescente.

a) y = 4x + 6

Resolução:

Nessa função, a = 4 > 0, portanto, é uma função crescente.

 

b) f(x) = – x + 10

Resolução:

Como a = – 1 < 0f(x) é uma função decrescente.

 

c) y = (x + 2)2– (x – 1)2

Resolução:

Nesse caso precisamos desenvolver os parênteses através dos produtos notáveis.

x2 + 4x + 4 – (x – 1)2

x2 + 4x + 4 – (x2 – 2x + 1)

x2 + 4x + 4 – x2 + 2x – 1

6x + 3

y = 6x + 3. Como a = 6 > 0, y é uma função crescente.

 

10) (UFPI) A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando:

(A) a > 0

(B) a < 3/2

(C) a = 3/2

(D) a > 3/2

(E) a < 3

Resolução:

Para que a função seja crescente, é necessário que o coeficiente de x seja positivo, logo:

3 – 2a > 0

– 2a > 0 – 3

(– 1). (– 2a) > (– 3). (– 1)

2a < 3

a < 3
       2

Alternativa: B

 

11) (FGV) O gráfico da função f (x) = mx + n passa pelos pontos (– 1, 3) e (2, 7). O valor de m é:

(A) 5/3

(B) 4/3

(C) 1

(D) 3/4

(E) 3/5

Resolução:

O primeiro ponto que é dado é o (– 1, 3), em que o valor de é – 1 e o valor de f(x) é 3. Substituindo esses valores na função, temos:

f (x) = mx + n

3 = m.(– 1) + n

n = 3 + m

Vamos também substituir o segundo ponto (2, 7) na função, sendo que x vale 2 e f(x) vale 7:

f (x) = mx + n

7 = m.2 + n

n = 7 – 2m

Nas duas substituições feitas, encontramos dois valores para n. Se igualarmos essas duas equações, teremos:

3 + m = 7 – 2m

m + 2m = 7 – 3

3m = 4

m = 4
       3

Alternativa: B

 

FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

A função do 2º grau (também chamada de função quadrática) traz o expoente 2 em sua incógnita, sendo escrita por meio da função f(x) = ax² + bx + c. Para que essa função seja válida, é necessário que ab e c pertençam ao conjunto dos números reais e a deve ser diferente de zero.

Definição

equação do 2º grau é determinada pelo expoente 2 que estiver na incógnita.

Exemplo:

x² + 5x + 8 = 0 (equação do 2º grau)

x² + 9 = 0 (equação do 2º grau)

A forma de encontrar o valor da incógnita x na equação de 2º grau é mediante a fórmula de Bhaskara.

x = – b ± √Δ
          2a

Δ = b2 – 4·a·c

Mas de onde vieram as letras ab e c que estão descritas na fórmula? É só analisar a equação em si:

a + bx + c = 0

Assim, a representa qualquer número que esteja multiplicando x², b é o número que multiplica a incógnita x e c é o número sozinho.

Cada equação apresenta uma característica quando representada em um gráfico. A equação do 1º grau, por exemplo, é uma reta, portanto, ela encontra o eixo x apenas em um ponto (justamente o valor de “x” encontrado na equação). Já a equação do 2º grau tem a característica de ser uma parábola, encontrando em dois pontos do eixo x, por isso, temos duas respostas da equação e as chamamos de raízes da função.

Sendo uma parábola, é necessário encontrar os valores do vértice, ou seja, o ponto de virada da parábola.

x do vértice é dado pela fórmula:

Xv = – b
         2a

E o y do vértice é o resultado da fórmula:

Yv = – Δ
         4a

 

Características de um gráfico de uma função do 2º grau

Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c ou y = ax² + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Sua representação no plano cartesiano é uma parábola que, de acordo com o valor do coeficiente a, possui concavidade voltada para cima ou para baixo. A função do 2º grau assume três possibilidades de resultados ou raízes, que são determinadas quando fazemos f(x) ou y igual a zero, transformando a função em uma equação do 2º grau, que pode vir a ser resolvida por Bháskara.

Gráfico da função do 2º grau

Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo

? > 0 – A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.

? = 0 – A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.

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? < 0 – A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).

O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos, observe:

Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.

Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.

Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. Verifica-se que o valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.

 

Função do 2º Grau

O gráfico da função de 2º grau é formado pela parábola, que pode ter concavidade para baixo ou para cima.

 

Gráficos Fundamentais

 

 

 

Exercícios resolvidos

12) Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0

Resolução:

Os coeficientes dessa função são: a = 1, b = 3 c = – 10. Para resolver essa equação, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = b² – 4.a.c

Δ = 3² – 4.1.(– 10)

Δ = 9 + 40

Δ = 49

x = – b ± √Δ
        2.a

x = – 3 ± √49
           2.1

x = – 3 ± 7
      2

x1 = – 3 + 7
        2

x1 = 4
        2
x1 = 2

x2 = – 3 – 7
         2

x2 = – 10
        2
x2 = – 5

Resposta: os dois valores de para que f(x) = 0 são x1 = 2 x2 = – 5.

 

13) Calcule o valor de 5x² + 15x = 0 para que f(x) = 0

Vamos resolver essa função do 2° grau isolando a variável x:

5x² + 15x = 0

5x.(x + 3) = 0

x1 = 0

x2 + 3 = 0

x2 = – 3

Resposta: Portanto, os valores de x para os quais f(x) = 0 são 0 e – 3.

 

14) (UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, apos o chute:

a) o instante em que a bola retornará ao solo.

Resolução:

Houve dois momentos em que a bola tocou o chão: o primeiro foi antes de ela ser chutada e o segundo foi quando ela terminou sua trajetória e retornou para o chão. Em ambos os momentos a altura h(t) era igual a zero, sendo assim:

h(t) = – 2t² + 8t

0 = – 2t² + 8t

2t² – 8t = 0

2t.(t – 4) = 0

t' = 0

t'' – 4 = 0


t'' = 4

Resposta: o segundo momento em que a bola tocou no chão foi no instante de quatro segundos.

 

b) a altura atingida pela bola.

Resolução:

A altura máxima atingida pela bola é dada pelo vértice da parábola. As coordenadas do seu vértice podem ser encontradas através de:

xv = – b
          2a

yv = – Δ
          4a

No caso apresentado, é interessante encontrar apenas yv:

yv = – Δ
          4a

yv = – (b² – 4.a.c)
              4a

yv = – (8² – 4.(–2).0)
               4.(– 2)

yv = – (64 – 0)
               – 8
yv = 8

Resposta: a altura máxima atingida pela bola foi de 8 metros.

 

15) Determine x pertence aos reais tal que (x² – 100x)².(x² – 101x + 100)² = 0.

Resolução:

Devemos encontrar as raízes de cada equação dentro dos parênteses. Para isso, vamos resolver a primeira equação colocando em evidência:

x² – 100x = 0

x(x – 100) = 0

x1 = 0

x2 – 100 = 0

x2 = 100

A segunda equação pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara:

x² – 101x + 100 = 0

Δ = b² – 4.a.c

Δ = (– 101)² – 4.1.100

Δ = 10201 – 400

Δ = 9801

x = – b ± √Δ
           2.a

x = – (– 101) ± √9801
              2.1

x = 101 ± 99
           2

x3 = 101 + 99
             2

x3 = 200
         2

x3 = 100

x4 = 101 – 99
            2

x4 = 2
       2

x4 = 1

Resposta: os valores de x que satisfazem a equação são 0, 1 100.

 

16) Calcule o valor de k de modo que a função f(x) = 4x² – 4x – k não tenha raízes, isto é, o gráfico da parábola não possui ponto em comum com o eixo x.

Resolução:

∆ < 0

b² – 4ac < 0

(–4)² – 4 * 4 * (–k) < 0

16 + 16k < 0

16k < – 16

k < –1

Resposta: o valor de k para que a função não tenha raízes reais deve ser menor que – 1.

 

17) Determine os valores de m, para que a função f(x) = (m – 2)x² – 2x + 6 admita raízes reais.

Resolução:

Para essa situação temos que ∆ ≥ 0.

∆ ≥ 0

b² – 4ac ≥ 0

(–2)² – 4 * (m – 2) * 6 ≥ 0

4 – 4 * (6m – 12) ≥ 0

4 – 24m + 48 ≥ 0

– 24m ≥ – 48 – 4

– 24m ≥ – 52

24m ≤ 52

m ≤ 52/24

m ≤ 13/6

Resposta: o valor de m que satisfaça a condição exigida é m ≤ 13/6.

 

18) (Vunesp-SP) O gráfico da função quadrática definida por y = x² – mx + (m – 1), em que m Є R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Determine y associado ao valor de x = 2.

Resolução:

Um ponto em comum significa dizer uma única raiz, então ∆ = 0.

y = x² – mx + (m – 1)

Substituir m = 2, no intuito de obter a lei da função

y = x² – 2x + (2 – 1)

y = x² – 2x +1

Substituindo x = 2, para determinarmos o valor de y

y = 2² – 2 * 2 + 1

y = 4 – 4 + 1

y = 1

Resposta: a equação possui a lei de formação y = x² – 2x +1. E quando x = 2, o valor de y se torna igual a 1.

 

19) (UCSal-BA) Determine os pontos de intersecção da parábola da função f(x) = 2x² – 3x + 1, com o eixo das abscissas.

Resolução:

No instante em que a parábola cruza o eixo das abscissas o valo de y ou f(x) é igual a zero. Portanto:

f(x) = 0

2x² – 3x + 1 = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Resposta: os pontos de interseção são:

x = 1 e y = 0

x = 1/2 e y = 0

 

 

Exercícios resolvidos:

20) Dada a função y = 2x + 5, construa o gráfico.

Comentário: na função crescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam; ou à medida que os valores de x diminuem, os valores de y diminuem.

21) Dado a função y = –2x +3, construa o gráfico.

Comentário: na função decrescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem; ou, à medida que os valores de x diminuem, os valores de y aumentam.

 

22) Construa o gráfico da função dada pela seguinte lei de formação:  y = f(x) = 2x – 1.

Resolução:

 

 

 

y = 2*(–2) – 1 → y = –4 –1 → y = –5

y = 2*(–1) –1 → y = –2 – 1 → y = –3

y = 2 * 0 – 1 → y = –1

y = 2 * 1 – 1 → y = 2 – 1 → y = 1

y = 2 * 2 – 1 → y = 4 – 1 → y = 3

 

23) Construa o gráfico da função dada por y = f(x) = x².
Resolução:

y = (–2)² = 4

y = (–1)² = 1

y = (0)² = 0

y = (1)² = 1

y = (2)² = 4

 

24) Construa o gráfico da função dada por y = f(x) = x³.
Resolução:

y = (–1)³ = –1

y = 0³ = 0

y = 1³ = 1

y = 1,5³ = 3,375

y = 2³ = 8


 

25) Construa o gráfico da função y = f(x) = 4x4 – 5x3 – x2 + x – 1.
Resolução:

 

 

y = 4 * (0,5)4 – 5 * (0,5)3 – 0,52 + 0,5 – 1 = 0,25 – 0,625 – 0,25 + 0,5 – 1 = – 1,155

y = 4 * 04 – 5 * 03 – 02 + 0 – 1 = –1

y = 4 * 14 – 5 * 13 – 12 + 1 – 1 = –2

 

Coeficiente Angular

coeficiente angular, também chamado de declividade de uma reta, determina a inclinação de uma reta.

Para calcular o coeficiente angular de uma reta utiliza-se a seguinte fórmula:

m = tg α

Sendo m um número real e α o ângulo de inclinação da reta.

Observação:

Quando o ângulo é igual a : m = tg 0 = 0

Quando o ângulo α é agudo (menor que 90º): m = tg α > 0

Quando o ângulo α é reto (90º): não é possível calcular o coeficiente angular, pois não existe a tangente de 90º

Quando o ângulo α é obtuso (maior que 90º) : m = tg α

Para calcular o coeficiente angular de uma reta a partir de dois pontos devemos dividir a variação entre os eixos x y:

Uma reta que passa por A (xa,ya) e B (xb,yb) temos a relação:

Essa relação pode ser escrita da seguinte forma:

Onde:

Δy: representa a diferença entre as ordenadas de A e B
Δx: representa a diferença entre as abcissas de A e B

 

Exercícios resolvidos:

26) Para compreender melhor vamos calcular o coeficiente angular da reta que passa por A (– 5; 4) e B (3,2):

Resolução:

m = Δy/Δx

Coeficiente angular (m) = -a / b

m = 4 – 2 / –5 – 3

m = 2/–8

m = –1/4

Esse valor é referente ao cálculo de diferença de A para B.

Da mesma forma, poderíamos calcular a diferença de B para A e o valor seria o mesmo:

m = Δy/Δx

m = 2 – 4 / –3 –(– 5)

m = –2/8

m = –1/4

 

26) Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?

Resolução:

m = Δy/Δx

Coeficiente angular (m) = -a / b

m = 4 - 3 / (-2) - (-1)

m = 1 / -1

m = -1



27) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:

Resolução:

m = Δy/Δx

Coeficiente angular (m) = -a / b

m = 14 – 6/4 – 2

m = 8/2

m = 4


28) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:

Resolução:

m = Δy/Δx

Coeficiente angular (m) = -a / b

m = 6 – 1/9 – 8

m = 5/1

m = 5

 

Coeficiente Linear de uma Função do 1º Grau

As funções do tipo f(x) = y = ax + b, com a e b números reais e a ≠ 0, são consideradas do 1º grau. Ao serem representadas no plano cartesiano, constituem uma reta crescente ou decrescente. E no caso de a = 0, a função é chamada de constante.

Uma função possui pontos considerados essenciais para a composição correta de seu gráfico, e um desses pontos é dado pelo coeficiente linear da reta representado na função pela letra b, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).

 

Coeficiente Angular e Linear

Coeficiente angular (m) = - a / b

Coeficiente linear (n) = - c / b

Coeficiente angular = m

Coeficiente linear = n

 

Exercícios resolvidos:

Nas funções a seguir, observe o valor numérico do coeficiente linear e construa o gráfico representativo da função:

 

29) y = x + 1

Resolução:

b = 1

 

30) y = –x – 1

Resolução:

b = –1

 

31) y = 2x + 4

Resolução:

b = 4


32) y = 2x – 4

Resolução:

b = – 4

 

33) y = 6x – 3

Resolução:

b = – 3

 

34) y = 5x

Resolução:

b = 0

 

Equação Reduzida da Reta

Uma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y = mx + c, onde x e y são os pontos pertencentes à reta, m é o coeficiente angular da reta e c o coeficiente linear. Essa forma reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, isto é, as duas variáveis possuem uma relação de dependência. No caso dessa expressão, ao atribuirmos valores a x (eixo das abscissas), obtemos valores para y (eixo das ordenadas). No caso de funções matemáticas do 1º grau, estamos relacionando o domínio (x) de uma função com sua imagem (y). Outra característica desse modelo de representação é quanto ao valor do coeficiente angular e linear.

O coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas (x) e o coeficiente linear (c) representa o valor numérico por onde a reta passa no eixo das ordenadas (y).

 

Exercícios resolvidos

35) Construa a equação reduzida de uma reta de acordo com os pontos P(2, 7) e Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa equação há duas maneiras, observe:

Modo - 1

Determinar o coeficiente angular da reta.

Coeficiente angular (m) = -a / b

m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

m = (–5 – 7) / (–1 – 2)

m = –12 / –3

m = 4

De acordo com o ponto P(2, 7), temos:

y – y1 = m * (x – x1)

y – 7 = 4 * (x – 2)

y – 7 = 4x – 8

y = 4x – 8 + 7

y = 4x – 1


Modo - 2

Temos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é dada por y = mx + c.

Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos:

P(2, 7)

7 = m . 2 + c

7 = 2m + c

2m + c = 7

Q(–1, –5)

–5 = m . (–1) + c

–5 = –m + c

–m + c = –5

Nesse caso, os valores dos coeficientes angular (m) e linear (c) serão calculados por um sistema de equações. 

Isolando c na 2ª equação:

–m + c = –5

c = –5 + m

Substituindo c na 1ª equação:

2m + c = 7

2m + (–5 + m) = 7

2m – 5 + m = 7

3m = 7 + 5

3m = 12

m = 12/3

m = 4

Calculando o valor de c:

c = –5 + m

c = –5 + 4

c = –1

Resposta: a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 7) e Q(–1, –5), corresponde à expressão y = 4x – 1.

 

Em cada caso, identifique os valores dos coeficientes angular e linear a partir da equação reduzida da reta 36 ao 39.

 

36) y = 3x – 5

Resolução:

 

m = 3

n = -5

 

37) y = -x + 2

Resolução:

 

m = -1

n = 2

 

38) y = x/2

Resolução:

 

m = 1/2

n = 0

 

39) y = -x/3 + 1

Resolução:

 

m = -1/3

n = 1

 

40) (Aeronáutica – 2015) A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0, 1) e B(6, 8) é dada por

(A) y = 7x + 1

(B) y = 6x + 1

(C) y = 7/6 x + 1

(D) y = 6/7 x + 1

Resolução:

Determinando o coeficiente angular (m):

Determinando o coeficiente linear (n) a partir do ponto A:

y = m.x + n

1 = (7/6).0 + n

1 = 0 + n

n = 1

A equação reduzida da reta será y = 7/6 x + 1.

Alternativa: C

 

41) (PM PA – UEPA 2012) O gráfico abaixo representa a função de sobrevivência do ser humano. Sabendo-se que x representa uma idade da vida das pessoas e S(x) a probabilidade de sobrevivência das pessoas. O modelo matemático que melhor representa esse gráfico é:

Resolução:

Recordando a equação reduzida da reta:

y = mx + n

onde:

m = coeficiente angular (inclinação)

n = coeficiente linear (onde a reta passa pelo eixo y)

Vamos substituir os pontos que conhecemos:

8/11 = m.30 + n

5/11 = m.60 + n

Subtraindo a primeira da segunda:

8/11 – 5/11 = 30m – 60m + n – n

3/11 = -30m

m = -3/11.30

m = -1/110

Para acharmos n, vamos substituir na segunda equação:

5/11 = (-1/110).60 + n

n = 5/11 + 6/11

n = 11/11 = 1

Alternativa: D

 

 

 

Continua....