EF II - EQUACAOES DO 1º GRAU COM DUAS VARIAVEL

Professor Diminoi
EQUACAOES DO 1º GRAU COM DUAS VARIAVEL

Pares ordenados
Muitas vezes, para localizar um ponto em um plano, utilizamos dois números racionais, em uma certa ordem.
Denominamos esses números de par ordenado.

Exemplos:


 

 


Assim: Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Observações:
a) De um modo geral, sendo x e ydois números racionais quaisquer, temos:
Exemplos:
b) Dois pares ordenados (x,  y) e (r, s) são iguais somente se x= r e  y = s.

Representação gráfica de um par ordenado
Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano. Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.
 
Coordenadas cartesianas
Os números do par ordenados são chamados coordenadas cartesianas. 

Exemplo
A (3, 5) =>  3 e 5 são as coordenadas do ponto A.
Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:


Plano cartesiano
Representamos um par ordenado em um plano cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.
A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).
A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).
O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).
Localização de um ponto
Para localizar um ponto em um plano cartesiano, utilizamos a sequência prática:
- O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.
- O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.
- No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado.

Exemplo:
Localize o ponto (4, 3).
Produto cartesiano
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3}  e  B = {3, 4}.
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado, formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.
Assim, obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, sendo indicado por:
Observacao
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produto cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde
O que é uma equaçao do 1º grau com duas variáveis?
Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y.
Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, que pode ser transformada numa equação equivalente mais simples.
Observe:
2x + 3y = 5 + 6
2x + 3y = 11  
Equação do 1º grau na forma ax + by = c.

Observação
Denominamos equação do 1º grau com duas variáveis, x e y, toda equação que pode ser reproduzida na forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.
Na equação ax + by = c, denominamos:
x e y = variavel ou incognita
b = coeficiente de y
a = coeficiente de x
c = termo independent

Exemplos:
a) x + y = 30
b) 2x + 3y = 15
c) x – 4y = 10
d) – 3x – 7y = -48
e) 2x – 3y = 0
f) x – y = 8

Solução de uma equação do 1º grau com duas variáveis
Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?

Observe os pares abaixo:
x = 6,  y = 1
x - 2y = 4
6 - 2 . 1 = 4
6 - 2 = 4
4 = 4

(V)
x = 8,  y = 2
x - 2y = 4
8 - 2 . 2 = 4
8 - 4 = 4
4 = 4

(V)
x = -2,  y = -3
x - 2y = 4
-2 - 2 . (-3) = 4
-2 + 6 = 4
4 = 4  

(V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4. Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.
Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) -, sendo portanto seu conjunto universo Q x Q.
Podemos determinar essas soluções atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra.

Exemplo:
Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.
Atribuímos para x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim:
3x - y = 8
3 . (1) - y = 8
3 - y = 8
-y = 5

Multiplicamos por -1
y = -5
O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.
V = {(1, -5)}
Resumo: Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (sendo a e b não-nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis
Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).
Dispondo de dois pares ordenados de um equação, podemos representá-los graficamente em um plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das soluções dessa equação.

Exemplo:
Construir um gráfico da equação x + y  = 4.
Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.
1º par: A (4, 0)
2º par: B (0, 4)
A seguir, representamos esses pontos em um plano cartesiano.
x          y
4          0
0          4
Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.
A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.

Sistemas de Equações
Considere o seguinte problema:
O jogador Pipoca, em sua última partida de basquete, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?
Podemos traduzir essa situação através de duas equações:
x + y = 25     (total de arremessos certos)
2x + 3y = 55     (total de pontos obtidos)
Essas equações formam um sistema de equações. Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. A seguir, aprenderemos como solucionar um sistema desse tipo.

Resolução de Sistemas
A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. Estudaremos a seguir alguns métodos:

Método de substituição
Resolucao
Determinamos o valor de x na 1ª equação.
x = 4 - y
Substituímos esse valor na 2ª equação.
2 . (4 - y) -3y = 3
Resolvemos a equação formada.
8 – 2y – 3y = 3
-5y = -5
Mulriplicadondo-se po 1
5y = 5
y = 1
Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.
x + y = 4
x + 1 = 4
x = 4 – 1
x = 3
A solução do sistema é o par ordenado (3, 1).
V = {(3, 1)}

Método da adição
Sendo U = Q x Q, observe a solução do sistema a seguir, pelo método da adição.
Resolucao:
Adicionamos membro a membro as equações:
2x = 16
x = 8
Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinando y:
x + y = 10
8 + y = 10
y = 10 - 8
y = 2
A solução do sistema é o par ordenado (8, 2).
V = {(8, 2)}
 

Continua ...