FRAÇÃO

FRAÇÃO

Professor Diminoi

 

FRAÇÃO

Fração é a forma de dividir alguma coisa através da razão de dois números inteiros. Dessa forma, nada mais é do que uma divisão onde o dividendo é numerador e o divisor é o denominador.

Quando dividimos uma pizza, por exemplo, estamos fracionando a pizza. Cada fatia representa uma parte da pizza, ou seja, uma fração. Geralmente ela é dividida em 8 pedaços, então cada pedaço de uma pizza representa  1 / 8 (um oitavo) de uma pizza.

ExemplO - 1

ExemplO - 2

Tipos de frações

As frações, na matemática, recebem classificações, para orientar o estudante. Os nomes servem somente para dizer de que tipo de solução se trata aquele problema matemático.

As frações podem ser representadas de quatro formas distintas que podem ser:

Fração Própria - A fração é própria quando o numerador é menor que o denominador.

Fração Imprópria - A fração é imprópria quando o numerador é maior que o denominador.

Mista - A fração é mista quando ela for constituída por um número inteiro e também por uma fração própria.

, 

Fração aparente -  É um tipo de fração imprópria onde o numerador é divisível pelo denominador, portanto, equivale a quantidades inteiras.

Frações equivalentes -  São frações que representam a mesma parte do todo. são equivalentes. Para encontrar frações equivalentes, devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

 

Multiplicação de fração

Basta multiplicar o numerador de uma fração pelo numerador (número de cima) da outra fração, e multiplicar o denominador ( número de baixo) de uma pelo denominador da outra.

Exemplos:

 

 

Divisão de fração

Copia a primeira e multiplica pelo inverso da segunda

Exemplos:

 

Adição e subtração com denominadores iguais

Basta subtrair e/ou somar os numeradores e conservar apenas “um” denominador.

Exemplos:

 

Adição e/ou Subtração com denominadores diferentes

Passo 1: Calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. ...

Passo 2: Reescrever as frações com o novo denominador, deixando o espaço do numerador para os números que serão encontrados no passo seguinte. ...

Passo 3: Encontre os numeradores das novas frações.

Exemplos:

 

Exercícios resolvidos

01) (TJ - CE) Qual a fração que dá origem à dízima 2,54646… em representação decimal?

(A) 2.521 / 990

(B) 2.546 / 999

(C) 2.546 / 990

(D) 2.546 / 900

(E) 2.521 / 999

Resolução:

Veja que o 46 está se repetindo infinitamente a partir da segunda casa decimal.

2,5 + 0,04646…

25/10 + 46/990

(2475 + 46)990

2521/990

Alternativa: A

 

02) (TJ - RS) Se cada círculo desenhado abaixo está dividido em partes iguais entre si, assinale a alternativa que apresenta o círculo que tem 12,5% de sua área hachurada.

Resolução:

A fração que corresponde a 12,5% é:

12,5/100 = 125/1000 = 1/8

Como os círculos estão divididos em partes iguais, o desenho corresponde a uma parte de oito.

Alternativa: D

 

03) Resolva as operações

Resolução:


04) Resolva as operações

Resolução:


Sempre que resolver uma equação desse modelo, fique atento aos sinais existentes e ao jogo de sinal em algumas multiplicações. Ao trocar um elemento de membro, não se esqueça de inverter o sinal. Veja mais exemplos resolvidos detalhadamente:



05) Resolva as operações

Resolução:


06) Resolva as operações

Resolução:

 

07) (ENEM) O polímero de PET (Politereftalato de Etileno) é um dos plásticos mais reciclados em todo o mundo devido à sua extensa gama de aplicações, entre elas, fibras têxteis, tapetes, embalagens, filmes e cordas. Os gráficos mostram o destino do PET reciclado no Brasil, sendo que, no ano de 2010, o total de PET reciclado foi de 282 kton (quilotoneladas).

De acordo com os gráficos, a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas à produção de tecidos e malhas, em kton, é mais aproximada de

(A) 16,0

(B) 22,9

(C) 32,0

(D) 84,6

(E) 106,6

Resolução:

Observe que a porcentagem destinada a tecidos e malhas é 30% dos usos finais têxteis, que, por sua vez, é uma porcentagem de 37,8% de todos os usos finais. Sendo assim, precisaremos calcular 30% de 37,8% de 282 kton. Esse cálculo pode ser expresso por multiplicações da seguinte maneira:

30%·37,8%·282

Para resolver essa questão, lembre-se de que uma porcentagem é uma fração de denominador 100. Logo, podemos transformar a multiplicação acima na multiplicação de frações a seguir:

 30 · 37,8·282
 100   100        

Conforme as regras de multiplicação de frações dadas no início do texto, basta multiplicar numeradores por numeradores e denominadores por denominadores. A única observação é a de que o denominador de 282 é 1.

 30 · 37,8·282 = 319788
100  100            10000

Dividindo numerador por denominador, pois toda fração representa uma divisão, teremos:

319788 = 31,9788
10000               

Esse valor é aproximadamente 32 kton.

Alternativa: C

 

08) (ENEM) – A expressão “Fórmula de Young” é utilizada para calcular a dose infantil de um medicamento, dada a dose do adulto:

Dose de criança =     Idade da criança (em anos)    · dose de adulto
                          Idade da criança (em anos) + 12

Uma enfermeira deve administrar um medicamento X a uma criança inconsciente, cuja dosagem de adulto é de 60 mg. A enfermeira não consegue descobrir onde está registrada a idade da criança no prontuário, mas identifica que, algumas horas antes, foi administrada a ela uma dose de 14 mg do medicamento Y, cuja dosagem de adulto é 42 mg. Sabe-se que a dose da medicação Y administrada à criança estava correta.

Então, a enfermeira deverá ministrar uma dosagem do medicamento X, em miligramas, igual a

(A) 15

(B) 20

(C) 30

(D) 36

(E) 40

Resolução:

Esse exercício envolverá uma multiplicação de frações, mas, antes, é preciso resolver equações. Para resolvê-lo, mudaremos a fórmula para facilitar a organização dos cálculos, portanto, C = dose da criança, i = Idade da criança e A = Dose do adulto.

C =      i     · A
  i + 12

Substituindo os valores conhecidos para o medicamento Y, teremos:

14 =      i     · 42
        i + 12

Resolvendo a equação, teremos:

(i + 12)14 = i· 42

14i + 168 = 42i

42i – 14i = 168

28i = 168

i = 168
     28

i = 6

Sabendo que a idade da criança é 6 anos, temos que:

C =      6     · 60
        6 + 12

C =  6 · 60
      18

Observe que é necessário multiplicar uma fração por um número inteiro. Como todo número inteiro é uma fração de denominador 1, teremos:

C =  6 · 60 = 360
      18   1      18 

Dividindo numerador por denominador, encontraremos 20 mg como dosagem do medicamento X.

Alternativa: B

 

09) Determine qual das opções abaixo não é equivalente a:

11
12

(A) 22
     24

(B) 121
      132

(C) 164
      180

(D) 220
      240

(E) 440
      480

Resolução:

Existem várias maneiras de descobrir se uma fração é equivalente à outra. A primeira é tentar simplificá-las. Se forem equivalentes, terão a mesma fração irredutível ao final da simplificação. A segunda maneira é dividir o numerador pelo denominador para conferir o resultado. Frações equivalentes têm resultados exatamente iguais. Observe:

a) Equivalente!

Note que é possível simplificar essa fração por 2, obtendo o seguinte resultado:

22 = 11
24    12

b) Equivalente!

Simplificando a fração por 11, teremos:

121 = 11
132    12

c) Nãoequivalente!

Simplificando a fração por 4, teremos:

164 = 41
180    35

Essa fração irredutível com certeza é diferente da fração proposta no exercício.

d) Equivalente!

Simplificando a fração por 20, encontraremos 11/22.

e) Equivalente!

Simplificando a fração por 40, encontraremos 11/22.

Alternativa: C

 

 

10) Determine qual das imagens abaixo não representa uma fração equivalente a:

2
8

Resolução:

Observe que a fração 2/8 pode ser simplificada e que sua irredutível é 1/4. Sendo assim, basta procurar entre os desenhos qual é aquele que não representa 1/4.

Na letra a), temos exatamente um quarto. Na letra b), temos exatamente dois oitavos. Na letra c), temos três doze avos, que podem ser simplificados para um quarto. A letra d), apesar de não mostrar a divisão, aproxima-se muito de um quarto. A letra e) mostra como a figura foi dividida em quatro partes e como o espaço colorido cobriu uma por inteiro e avançou sobre outra. Logo, a alternativa e) é a fração não equivalente a dois oitavos.

Alternativa: E

 

11) Determinado condomínio trocou seu reservatório de água, com capacidade para 15000 litros, por outro dois terços maior. Qual é a capacidade do novo reservatório?

(A) 10000 l.

(B) 15000 l.

(C) 20000 l.

(D) 25000 l.

() ,0000 l.

Resolução:

Essa questão pode ser resolvida por meio de equivalência de frações. Para tanto, basta encontrar uma fração equivalente a dois terços e que o denominador seja 15000. Nesse caso, o numerador é exatamente o valor que deve ser acrescido ao novo reservatório para obtermos sua capacidade total. Observe:

2·5000 = 10000
3·5000    15000

Multiplicamos numerador e denominador por 5000, pois, assim, a fração iguala seu denominador a 15000 como pretendido. Dessa maneira, o acréscimo foi de 10000 litros e a capacidade do novo reservatório é:

10000 + 15000 = 25000 litros

Alternativa: D

 

12) Para redução de custos e aumento de lucratividade, determinada lanchonete diminuiu em sete vinte avos a quantidade de bacon presente em todos os sanduíches. Sabendo que eram gastos 100 g de bacon por sanduíche, qual é a nova quantidade gasta?

(A) 35 g

(B) 65 g

(C) 45 g

(D) 25 g

(E) 55 g

Resolução:

Para encontrar a quantidade de bacon retirada do sanduíche, basta encontrar uma fração equivalente a sete vinte avos que possua 100 no denominador. Para tanto, multiplicaremos a fração por 5. Observe:

 7 ·5 = 35
20·5   100

Assim, a quantidade de bacon retirada do sanduíche foi de 35 g. Dessa maneira, teremos:

100 – 35 = 65 g de bacon

Alternativa: B

 

13) (ENEM) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.

Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4 , poderia ser preenchido com:

(A) 24 fusas.

(B) 3 semínimas.

(C) 8 semínimas.

(D) 24 colcheias e 12 semínimas.

(E) 16 semínimas e 8 semicolcheias.

Resolução:

Para solucionar essa questão, devemos inicialmente calcular quanto vale 8 compassos de 3/4

8 de = 8 x 3 = 24 = 6
       4         4     4

Temos então que a alternativa correta para essa questão será aquela que apresentar 6 como resultado da fórmula do compasso.

Por meio do método de tentativas, verificaremos a alternativa correta.

a) 24 fusas

1 fusa = , então 24 fusas de 1 é ?
            32                            32
24 de 1 = 24 x 1  = 24 : 8 = 3 = 0,75
        32          32    32 : 8     4
A alternativa a não é a correta.

b) 3 semínimas

1 semínima = 1 , então 3 semínimas de 1 são?
                     4                                   4

3 de 1 = 3 x 1 = 3 = 0,75
       4         4     4

A alternativa b não é a correta.

c) 8 semínimas

1 semínima = 1 , então 8 semínimas de 1 são ?
                     4                                    4

8 de 1 = 8 x 1 = 8 = 2
       4          4    4

A alternativa c não é a correta.

d) 24 colcheias e 12 semínimas.

Na alternativa d, devemos efetuar a soma entre: 24 colcheias + 12 semínimas

1 colcheia = 1 , então 24 colcheias de 1 são ?
                   8                                   8

24 de 1 = 24 x 1 = 24 = 3
         8           8     8

1 semínima = 1 , então 12 semínimas de 1 são ?
                     4                                      4

12 de 1 = 12 x 1 = 12 = 3
         4           4      4

24 colcheias + 12 semínimas = 3 + 3 = 6

Obtivemos 6 como resultado da fórmula do compasso.

Alternativa: D

 

14) Carlos fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcule quantos quilômetros Carlos percorreu a cavalo.

Resolução:

 

15) Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?

Resolução:

 

16) Juliana tinha R$ 245,00 e gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou?

Resolução: 

Conclusão: Juliana tinha R$ 245,00 e gastou R$ 7,00, portanto ficou com R$ 238,00. 

 

17) (Vunesp) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81 quilômetros restantes, determine a extensão total dessa estrada.

Resolução: 

Uma das empresas irá pavimentar 2/5 e a outra os 81 quilômetros restantes que representam, na forma de fração, 3/5. Dessa forma, temos que cada 1/5 de pavimentação corresponde a 27 quilômetros. Portanto, as cinco partes de pavimentação correspondem a 5 * 27 = 135 quilômetros.  

Podemos resolver o problema utilizando a equação:

 

18) (Uece) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 1/10 de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Determine o comprimento, em metros, da peça antes da lavagem.

Resolução: 

Podemos resolver diretamente pela equação: 

 

19) (Olimpíada Brasileira de Matemática) Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida à três lojas. Para a loja A foi vendida a metade da produção; para a loja B foram vendidos 2/5 da produção e para a loja C foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica? 

Resolução:

 

20) Quando as frações possuem denominadores diferentes, é necessário encontrar outras frações equivalentes a essas que possuam denominadores iguais.

10 + 12 – 3
 4      5    6

Passo 1: Calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. O valor encontrado será o denominador comum que possibilitará substituir as frações dadas por outras com denominadores iguais. No exemplo, temos:

4,5,6| 2
2,5,3| 2
1,5,3| 3
1,5,1| 5
 1,1,1| 60

Passo 2: Reescrever as frações com o novo denominador, deixando o espaço do numerador para os números que serão encontrados no passo seguinte.

10 + 12 – 3 =       +      –      
 4     5     6      60    60     60

Passo 3: Encontre os numeradores das novas frações. Para isso, o seguinte cálculo deverá ser feito: Para encontrar o numerador da primeira fração, divida o MMC pelo denominador da primeira fração e multiplique o resultado pelo seu numerador. O resultado obtido por esse cálculo será o numerador da primeira fração que possui denominador igual ao MMC. Repita o procedimento para todas as frações presentes na soma ou subtração.

10 + 12 – 3 = 150 + 144 – 30
 4      5    6     60      60    60

 

21) Lúcio comprou uma pizza pequena. Em um primeiro momento, comeu metade da pizza e, posteriormente, conseguiu comer mais um pedaço equivalente à sexta parte dessa mesma pizza. Que fração representa a quantidade total de pizza que Lúcio comeu?

Resolução:

Basta observar que a metade é representada pela fração um meio 1 / 2 e que a sexta parte é representada por um sexto 1 / 6. Somando essas frações, teremos a quantidade ingerida por Lúcio.

1 + 1
2    6

Primeiro passo, teremos: MMC (2, 6) = 6. De fato,

2, 6| 2
1, 3| 3
1, 1| 6

Segundo passo, teremos:

1 + 1 =      +     
2    6     6      6

Terceiro passo, teremos: (6 / 2) · 1 = 3 e (6 / 6)·1 = 1

1 + 1 = 1
2    6    6    6

Quarto passo, teremos:

1 + 1 = 4
2    6    6    6    6

Conclusão: Lúcio comeu quatro sextos, número que, simplificado, é equivalente a dois terços 2 / 3 da quantidade total de pizza disponível.

 

 

 

Continua...