EM - FUNCAO

Professor Diminoi
FUNCAO

O que é uma função?
O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função.
O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos.

Eexemplo
- Na tabela de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço.
- O preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida.

Observe, por exemplo, o diagrama das relações abaixo:
A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não está associado a nenhum elemento do conjunto B.

Vamos ver outro caso:
A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A, que está associado a mais de um elemento do conjunto B.

Agora preste atenção no próximo exemplo:
A relação acima é uma função, pois todo elemento do conjunto A está associado a somente um elemento do conjunto B.
um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma função de A em B se e somente se, para todo x   A existe um único y   B de modo que x se relacione com y.

Domínio e imagem de uma função
O domínio de uma função de A em B é sempre o próprio conjunto de partida, ou seja, D = A.
Se um elemento x   A estiver associado a um elemento y   B, dizemos que y é a imagem de x (indica-se y = f(x) e lê-se “y é igual a f de x”).

Observe o domínio e a imagem na função abaixo.

Outro exemplo
se f é uma função de IN em IN (isto significa que o domínio e o contradomínio são os números naturais) definida por y = x + 2, então temos que:
A imagem de 1 através de f é 3, ou seja, f(1) = 1 + 2 = 3
A imagem de 2 através de f é 4, ou seja, f(2) = 2 + 2 = 4

De modo geral, a imagem de x através de f é x + 2, ou seja: f(x) = x + 2

Em uma função f de A em B, os elementos de B que são imagens dos elementos de A através da aplicação de f formam o conjunto imagem de f. Segundo o conceito de funcao, existem duas condições para que uma relação f seja uma função:
1ª) O domínio deve sempre coincidir com o conjunto de partida, ou seja, todo elemento de A é ponto de partida de flecha. Se tivermos um elemento de A do qual não parta flecha, a relação não é função.
2ª) De cada elemento de A deve partir uma única flecha. Se de um elemento de A partir mais de uma flecha, a relação não é função.

Observações
Como x e y têm seus valores variando nos conjuntos A e B, recebem o nome de variáveis.
A variável x é chamada variável independente e a variável y, variável dependente, pois para obter o valor de y dependemos de um valor de x.
Uma função f fica definida quando são dados seu domínio (conjunto A), seu contradomínio (conjunto B) e a lei de associação y = f(x).

Questoes resolvidas
1) Considere a função f: A   B representada pelo diagrama a seguir:
Determine:
a) o domínio (D) de f;
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2);
c) o conjunto imagem (Im) de f;
d) a lei de associação
Resolução
a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D = A.
b) f(1) = 1, f(-3) = 9, f(3) = 9 e f(2) =
c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto:
Im = {1,4,9}.
d) Com
o 1² = 1, (-3)² = 9, 3² = 9 e 2² = 4, temos y = x².

2) Dada a função f: IR IR (ou seja, o domínio e a contradomínio são os números reais) definida por f(x)=x²-5x+6, calcule:
a) f(2), f(3) e f(0);
b) o valor de x cuja imagem vale 2.
Resolução:
a) f(2) = 2² -5(2) + 6 = 4 -10 + 6 = 0
f(3) = 3² -5(3) + 6 = 9 -15 + 6 = 0
f(0) = 0² -5(0) + 6 = 0 -0 + 6 = 6

b) Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f(x) = 2, ou seja,
x² -5x + 6 = 2. Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4. Portanto os valores de x que têm imagem 2 são 1 e 4.

Obtenção do domínio de uma função
O domínio é o subconjunto de IR no qual todas as operações indicadas em y = f(x) são possíveis. Vamos ver alguns

Exemplos


Agora o denominador: como 3-x está dentro da raiz, devemos ter 3-x 0, mas além disso ele também está no denominador, portanto devemos ter 3-x 0. Juntando as duas condições devemos ter: 3-x > 0, ou seja, x < 3 (condição 2). Resolvendo o sistema formado pelas condições 1 e 2
Temos:
Devemos considerar o intervalo que satisfaz as duas condições ao mesmo tempo.
Portanto, D = {x   IR | 2   x < 3}.

Construção do gráfico cartesiano de uma função
Para construir o gráfico de uma função f, basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores da variável y.
Vamos construir o gráfico da função definida por y = x/2. Escolhemos alguns valores para o domínio, como por exemplo D = {2,4,6,8}. Agora calculamos os respectivos valores de y. Assim temos:
x = 2   y = 2/2 = 1
x = 4   y = 4/2 = 2
x = 6   y = 6/2 = 3
x = 8   y = 8/2 = 4
Então, montamos a seguinte tabela:
Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano:
O gráfico da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta, e o gráfico estará construído.
Observacao: para desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. No exemplo acima escolhemos 4 pontos, mas bastaria escolher dois elementos do domínio, encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa por esses 2 pontos.

Raízes de uma função
Dada uma função y = f(x), os valores de x para os quais f(x) = 0 são chamados raízes da função. No gráfico cartesiano, as raízes são abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal.
Observe o gráfico abaixo:
Neste gráfico, temos:
f(x₁) = 0
f(x₂) = 0
f(x₃) = 0
Portanto x₁, x₂ e x₃ são raízes da função.

Propriedades de uma função
Estas são algumas propriedades que caracterizam uma função f:A B.
 
Função sobrejetora
Dizemos que uma função é sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio, isto é, se Im = B. Em outras palavras, não pode sobrar elementos no conjunto B sem receber flechas.

Exemplo

Função injetora
A função é injetora se elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas, ou seja, dois elementos não podem ter a mesma imagem. Portanto, não pode haver nenhum elemento no conjunto B que receba duas flechas.

Exemplo
Por exemplo, a função f:IR IR definida por f(x) = 3x é injetora, pois se x₁ x₂ então 3x₁ 3x₂, portanto f(x₁) f(x₂).

Função bijetora
Uma função é bijetora quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo. Por exemplo, a função f: IR IR definida por y = 3x é injetora, como vimos no exemplo anterior. Ela também é sobrejetora, pois Im = B = IR.
Logo, esta função é bijetora.

Já a função f: IN IN definida por y = x + 5 não é sobrejetora, pois Im={5,6,7,8,...} e o contradomínio CD = IN, mas é injetora, já que valores diferentes de x têm imagens distintas. Então essa função não é bijetora.

Resumindo, observe os diagramas abaixo:
- Essa função é sobrejetora, pois não sobra elemento em B.
- Essa função não é injetora, pois existem dois elementos com mesma imagem.
- Essa função não é bijetora, pois não é injetora.
- Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez.
- Essa função não é sobrejetora, pois existem elementos sobrando em B.
- Essa função não é bijetora, pois não é sobrejetora.
- Essa função é injetora, pois elementos de B são “flechados” só uma vez.
- Essa função é sobrejetora, pois não existem elementos sobrando em B.
- A função é bijetora, pois é injetora e sobrejetora.

Função par e função ímpar
Dada uma função f: A B, dizemos que f é par se, e somente se, f(x) = f(-x) para todo x   A. Ou seja: os valores simétricos devem possuir a mesma imagem.
O diagrama a seguir mostra um exemplo de função par:
Por exemplo, a função f: IR IR definida por f(x) = x² é uma função par, pois f(x) = x² = (-x)² = f(-x). Podemos notar a paridade dessa função observando o seu gráfico:
Notamos no gráfico que existe uma simetria em relação ao eixo vertical. Elementos simétricos têm a mesma imagem. Os elementos 2 e –2, por exemplo, são simétricos e possuem a imagem 4.

Por outro lado, dada uma função f: A B, dizemos que f é ímpar se, e somente se, f(-x) = -f(x) para todo x   A. Ou seja: valores simétricos possuem imagens simétricas. O diagrama a seguir mostra um exemplo de função ímpar:
Por exemplo, a função f: IR IR definida por f(x) = x³ é uma função ímpar, pois f(-x) = (-x)³= -x³ = -f(x). Podemos notar que a função é ímpar observando o seu gráfico:
Notamos no gráfico que existe uma simetria em relação a origem 0. Elementos simétricos têm imagens simétricas. Os elementos 1 e –1, por exemplo, são simétricos e possuem imagens 1 e –1 (que também são simétricas).

Observacao: Uma função que não é par nem ímpar é chamada função sem paridade.

Questoes resolvidas
Classifique as funções abaixo em pares, ímpares ou sem paridade:
a) f(x) = 2x
f(-x) = 2(-x) = -2x 
f(-x) = -f(x), portanto f é ímpar.

b) f(x) = x² -1
f(-x) = (-x)² -1 = x²-1
f(x) = f(-x), portanto f é par.

c) f(x) = x² -5x + 6
f(-x) = (-x)² -5(-x) + 6 = x² + 5x + 6

Como f(x) f(-x), então f não é par.
Temos também que –f(x) f(-x), logo f não é ímpar.
Por não ser par nem ímpar, concluímos que f é função sem paridade.

Função crescente e função decrescente
Dada uma função f: A B, dizemos que f é crescente em algum conjunto A’ A, se, e somente se, para quaisquer x₁   A’ e x₂   A’, com x₁ < x₂, tivermos f(x₁) < f(x₂).

Por exemplo, a função f: IR IR definida por f(x) = x+1 é crescente em IR, pois:
x₁ < x₂ => x₁ + 1 <x₂ + 1 => f(x₁) < f(x₂)
Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas imagens também crescem.
Por outro lado, dada uma função f: A B, dizemos que f é decrescente em algum conjunto A’   A, se, e somente se, para quaisquer x₁   A’ e x₂   A’, com x₁<x₂, tivermos f(x₁) > f(x₂).
Por exemplo, a função f: IR IR definida por f(x) = -x+1 é decrescente em IR, pois:
x₁<x₂ => -x₁>-x₂ => -x₁+1>-x₂+1 => f(x₁)>f(x₂).
Ou seja: quando os valores do domínio crescem, suas correspondentes imagens decrescem.

Exemplos
Este é um exemplo de função crescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens também vão aumentando.
Este é um exemplo de função decrescente. Podemos notar no gráfico que à medida que os valores de x vão aumentando, suas imagens vão diminuindo.

Função composta
Vamos analisar um exemplo para entender o que é uma função composta. Consideremos os conjuntos:
A = {-2,-1,0,1,2}
B = {-2,1,4,7,10}
C = {3,0,15,48,99}

E as funções:
f:A B definida por f(x) = 3x + 4
g:B C definida por g(y) = y² -1
Como nos mostra o diagrama acima, para todo x   A temos um único y   B tal que y = 3x + 4, e para todo y   B existe um único z   C tal que z = y²-1. Então, concluímos que existe uma função h de A em C, definida por h(x) = z ou h(x) = 9x² + 24x + 15, pois:
h(x) = z
h(x) = y²  1

E sendo y = 3x + 4, então h(x) = (3x + 4)² -1 
h(x) = 9x² + 24x +1 5.
A função h(x) é chamada função composta de g com f. Podemos indicá-la por g o f (lemos “g composta com f”) ou g[f(x)] (lemos “g de f de x”).
Agora vamos ver alguns exercícios para entender melhor a ideia de função composta.

Exercícios resolvidos
a) Dadas as funções f(x) = x² -1 e g(x) = 2x, calcule f[g(x)] e g[f(x)].
Resolução
f[g(x)] = f(2x) = (2x)² -1 = 4x² -1
g[f(x)] = g(x² -1) = 2(x² - 1) = 2x² -2

b) Dadas as funções f(x) = 5x e f[g(x)] = 3x + 2, calcule g(x).
Resolução
Como f(x) = 5x, então f[g(x)] = 5.g(x).
Porém, f[g(x)] = 3x + 2, logo:
5.g(x) = 3x + 2, e daí g(x) = (3x + 2)/5

c) Dadas as funções f(x) = x² + 1 e g(x) = 3x -4, determine f[g(3)].
Resolução
g(3) = 3.3 -4 = 5 
f[g(3)] = f(5) = 5² +1 = 25 + 1 = 26.

Função inversa
Consideremos os conjuntos A = {0,2,4,6,8} e B = {1,3,5,7,9} e a função f:A B definida por
y =x  + 1. A função f está representada no diagrama abaixo:
A função f é bijetora. A cada elemento x de A está associado um único elemento y de B, de modo que y = x + 1. Porém, como f é bijetora, a cada elemento y de B está associado um único elemento x de A, de modo que x = y -1; portanto temos uma outra função g:B A, de modo que x = y-1 ou

g(y)  = y -1. Essa função está representada no diagrama abaixo:
Pelo que acabamos de ver, a função f leva x até y, enquanto a função g leva y até x.
A função g:B A recebe o nome de função inversa de f e é indicada por f^-1.
O domínio de f é o conjunto imagem de g, e o conjunto imagem de f é o domínio de g. Quando queremos, a partir da sentença y = f(x), obter a sentença de f^-1(x), devemos realizar os seguintes passos:

1º) Isolamos x na sentença y = f(x)
2º) Pelo fato de ser usual a letra x como símbolo da variável independente, trocamos x por y e y por x.

Exemplo
Para obter a função inversa de f:IR IR definida por y = 2x + 1, devemos:
1º) isolar x em y = 2x + 1.
Assim y = 2x + 1   y -1 = 2x    x = (y -1)/2
2º) trocar x por y e y por x: y = (x -1)/2.
Portanto a função inversa de f é: f^-1(x) = (x -1)/2.

Observação: Para que uma função f admita a inversa f^-1 é necessário que ela seja bijetora. Se f não for bijetora, ela não possuirá inversa.

Exercício resolvido


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