EM - MATRIZES

Professor Diminoi
MATRIZES

Introdução
O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras.

Exemplo.
A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:
Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.
Vamos agora considerar uma tabela de números  dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas (m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

Exemplos

E uma matriz do tipo 2 x 3

E uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral das matrizes
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

Ou, abreviadamente, A = [a_ij]_{m x n}, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Exemplo
Na matriz anterior, a₂₃ é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.
Na matriz 

Temos:

Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos:
a₁₁ = -1
a₁₂ = 0
a₁₃ = 2
a₁₄ = 5

Matriz linha, matriz coluna e matriz quadrada
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

Matriz linha
A matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha.

Exemplo
A matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
   
Matriz coluna
A matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna.

Exemplo
Do tipo 3 x 1


Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n.
Exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2


Em uma matriz quadrada, definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a_ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
Observe

Observe a matriz a seguir:

a₁₁ = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1.
a₃₁= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3  + 1 = 3 + 1).

Matriz nula, matriz diagonal e matriz identidade

Matriz nula
A matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por: 0_{m x n.}

Exemplo

Matriz diagonal
A matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Exemplo


Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por I_n, sendo n a ordem da matriz.
Exemplo



Assim, para uma matriz identidade 


Matriz transposta, matriz simétrica e matriz oposta

Matriz transposta: matriz A^t obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas.
Exemplo

Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A^t é do tipo n x m. Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A^t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A^t.

Matriz simétrica
A matriz quadrada de ordem n tal que A = A^t . 

Exemplo
Sempre      é simétrica, pois a₁₂ = a₂₁ = 5, a₁₃ = a₃₁ = 6, a₂₃ = a₃₂ = 4, ou seja, temos sempre a _ij = a _ji.


Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A.

Exemplo
 

Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:



Adição e subtração de matrizes

Adição
Dadas as matrizes

Chamamos de soma dessas matrizes a matriz 

Tal que C_ij = a_ij + b_ij , para todo 

A + B = C

Exemplos



Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n
d) elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = 0

Subtração
Dadas as matrizes chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A – B = A + (-B)

Observe


Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b_ij = xa_ij:
B = x . A

Exemplo


Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: x . (yA) = (xy) . A
b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA
d) elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, A = A

Multiplicação de matrizes
O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos seus respectivos elementos.
Assim, o produto das matrizes A = (a_ij)_{m x p}  e B = (b_ij)_{p x n} é a matriz C = (c_ij) _{m x n}, em que cada elemento c_ij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Vamos multiplicar as matrizes para entender como se obtém cada elemento c_ij:


1ª linha e 1ª coluna


1ª linha e 2ª coluna

2ª linha e 1ª coluna
 

2ª linha e 2ª coluna

Assim, 

Agora observe o que aconteceria se fosse feito o contrário, ou seja, multiplicar B por A:

Portanto,


A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.

Exemplo com as matrizes




Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B (n):

Se A_{3 x 2} e B _{2 x 5} , então ( A . B ) _{3 x 5}
Se A _{4 x 1} e B _{2 x 3}, então não existe o produto
Se A _{4 x 2} e B _{2 x 1}, então ( A . B ) _{4 x 1}

Propriedades
Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades:
a) associativa: (A . B) . C = A . (B . C)
b) distributiva em relação à adição: A . (B + C) = A . B + A . C ou (A + B) . C = A . C + B . C
c) elemento neutro: A . I_n = I_n. A = A, sendo I_na matriz identidade de ordem n

Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 _{m x n} uma matriz nula, A .B =0_{m x n} não implica, necessariamente, que A = 0_{m x n} ou B = 0_{m x n}.

Matriz inversa
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A .
A' = A' . A = I_n , então A' é matriz inversa de A . Representamos a matriz inversa por A^-1 .  


Continua ...