EM - SISTEMA LINEARES

Professor Diminoi

SISTEMA LINEARES

Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a₁x₁ + a₂x₂+ a₃x₃ + ... + a_nx_n = b
em que a₁, a₂, a₃, ... , a_n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x₁, x₂,x₃, ... , x_n, e b é um número real chamado termo independente (quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea).

Alguns exemplos de equações lineares:
a) 3x - 2y + 4z = 7
b) -2x + 4z = 3t - y + 4
c) x + y – 3z - √7t = 0 (homogênea)

As equações a seguir não são lineares:
a) xy - 3z + t = 8
b) x²- 4y = 3t - 4
c) √x – 2y + z = 7

Sistema linear
Um conjunto de equações lineares da forma:

E um sistema linear de m equações e n incógnitas.
A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r₁, r₂, r₃,..., r_n) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema. 

Matrizes associadas a um sistema linear
A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:

Matriz incompleta
A matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema.

Em relação ao sistema:


A matriz incompleta é:


Matriz completa
A matriz B que se obtém acrescentando à matriz incompleta uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema.
Assim, para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:


Sistemas homogêneos
Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

Observe o exemplo:


A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. 
Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais.

Classificação de um sistema quanto ao número de soluções
Resolvendo o sistema

Encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e determinado (solução única).

No caso do sistema

Verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),...são algumas de suas infinitas soluções. Por isso, dizemos que o sistema é possível (tem solução) e indeterminado (infinitas soluções).
Para

Verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, o sistema é impossível (não tem solução).

Resumindo, um sistema linear pode ser:
a) possível e determinado (solução única);
b) possível e indeterminado (infinitas soluções);
c) impossível (não tem solução).

Sistema normal
Um sistema  é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m = n e det A  0, então o sistema é normal.
 
Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma única solução dada por:
Em que i   { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D_xi é o determinante  obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Discussão de um sistema linear
Se um sistema linear tem n equações e n incógnitas, ele pode ser:

a)possível e determinado, se D = det A 0; caso em que a solução é única.

Exemplo:

M = n = 3

Então, o sistema é possível e determinado, tendo solução única.

b)possível e indeterminado, se D= D_x1 = D_x2= D_x3 = ... = D_xn= 0, para n = 2. Se n 3, essa condição só será válida se não houver equações com coeficientes das incógnitas respectivamente proporcionais e termos independentes não-proporcionais. Um sistema possível e indeterminado apresenta infinitas soluções.
Exemplo:

D = 0, D_x = 0, D_y= 0 e D_z= 0
Assim, o sistema é possível e indeterminado, tendo infinitas soluções.

c)impossível, se D = 0 e  D_xi 0, 1  i n; caso em que o sistema não tem solução.
Exemplo:



Como D = 0 e D_x 0,  o sistema é impossível e não apresenta solução.

Sistemas equivalentes
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. Por exemplo, dados os sistemas:

e 

verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S₁ e S₂ são equivalentes: S₁ ~ S_2.

Propriedades
a) Trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro sistema equivalente.

Exemplo

e 

S₁ ~ S₂

Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número K (K  IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Exemplo
S₁ ~ S₂

c) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por um número k( K  IR*), obtemos um sistema equivalente ao anterior.
Exemplo
Dado
Substituindo a equação (II) pela soma do produto de (I) por -1 com (II), obtemos:
S₁~S₂
Pois (x,y) = (2,1) é solução de ambos os sistemas.

Sistemas escalonados
Utilizamos a regra de Cramer para discutir e resolver sistemas lineares em que o número de equações (m) é igual ao número de incógnitas (n). Quando m e n são maiores que três, torna-se muito trabalhoso utilizar essa regra. Por isso, usamos a técnica do escalonamento, que facilita a discussão e resolução de quaisquer sistemas lineares.
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1ª equação uma das que possuem o coeficiente da 1ª incógnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações.
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Vamos então aplicar a técnica do escalonamento, considerando dois tipos de sistema:
O número de equações é igual ao número de incógnitas (m=n)

Exemplo 1
1ºpasso: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação, aplicando as propriedades dos sistemas equivalentes:
Trocamos de posição a 1ª equação com a 2ª equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1.
Trocamos  a 2ª equação pela soma da 1ª equação, multiplicada por -2, com a 2ª equação:

Trocamos a 3ª equação pela soma da 1ª equação, multiplicada por -3, com a 3ª equação:


2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação:
Trocamos a 3ª equação pela soma da 2ª equação, multiplicada por -1, com a 3ª equação:





Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo.
-2z = -6
Z = 3
Substituindo z = 3 em (II):
-7y - 3(3 )= -2
-7y - 9 = -2
y = -1
Substituindo z = 3 e y = -1 em (I):
x + 2(-1) + 3 = 3
x = 2
Então, x = 2, y = -1 e z = 3

Exemplo 2


1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação:
Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por -2 com a 2ª equação:





Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por -3 com a 3ª equação:






2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:
Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -1 com a 3ª equação:





Dessa forma, o sistema está escalonando. Como não existe valor real de z tal que 0z = -2, o sistema é impossível.

Sistemas escalonados (continuação)
II) O número de equações é menor que o número de incógnitas (m < n)

Exemplo:


1º passo: Anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita a partir da 2ª equação:
Trocamos a 2ª equação pela soma do produto da 1ª equação por -2 com a 2ª equação:





Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 1ª equação por -1 com a 3ª equação:






2º passo: Anulamos os coeficientes da 2ª incógnita, a partir da 3ª equação:
Trocamos a 3ª equação pela soma do produto da 2ª equação por -3 com a 3ª equação





O sistema está escalonado. Como m < n, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de incógnitas (n) e o de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de indeterminação (GI):
GI= n - m

Para resolver um sistema indeterminado, procedemos do seguinte modo:

Consideramos o sistema em sua forma escalonada:

Calculamos o grau de indeterminação do sistema nessas condições:
GI  = n -m = 4 -3 = 1

Como o grau de indeterminação é 1, atribuímos a uma das incógnitas um valor a , supostamente conhecido, e resolvemos o sistema em função desse valor. Sendo t = a, substituindo esse valor na 3ª equação, obtemos:
12z – 6 a = 30
12z= 30 + 6
a = Z = 30 + 6 a /12 =
Z = 5 + a /2

Conhecidos z e t, substituímos esses valores na 2ª equação:

Conhecidos z,t e y, substituímos esses valores na 1ª equação:

Assim, a solução do sistema é dada por
S = 

Com a (pertence)IR.

Para cada valor que seja atribuído a a, encontraremos uma quádrupla que é solução para o sistema.

Continua ...