EQUAÇÃO DO 1º E DO 2º GRAU

EQUAÇÃO DO 1º E DO 2º GRAU

Professor Diminoi

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Equação do 1º grau com uma incógnita
Utilizamos uma equação para calcular o valor de um termo desconhecido, que geralmente é representado por uma letra. As equações possuem sinais operatórios como adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais são compostos de elementos de dois tipos:

Elemento de valor constante: representado por valores numéricos;

Elemento de valor variável: representado pela união de números e letras.

Exemplos de equações do primeiro grau com uma incógnita:
a) x + 1 = 6
b) 2x + 7 = 18
c) 4x + 1 = 3x – 9
d) 10x + 60 = 12x + 52

Exercícios resolvidos
01) Resolva a equação 4x + 2 = 8 – 2x
Resolução:
4x + 2x = 8 – 2
6x = 6
x = 6
      6
x = 1

02) Resolva a equação 10x – 9 = 21 + 2x + 3x
Resolução:
10x – 9 = 21 + 2x + 3x
10x – 2x – 3x = 21 + 9
10x – 5x = 30
5x = 30
x = 30
      5
x = 6

03) Resolva a equação 3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
Resolução:
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10
3x – 7x = –40
– 4x = – 40
Nos casos em que a parte da variável é negativa, precisamos multiplicar os membros por –1.
– 4x = – 40 . (–1)
4x = 40
x = 40
      4
x = 10

04) Resolva a equação 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)
Resolução:
10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação:
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2
– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2
– 13x + 8x = – 10
– 5x = – 10 . (–1)
5x = 10
x = 10
      5
x = 2

05) O dobro de um número subtraído de 20 é igual a 100. Qual é o número?
Resolução:
Um número: x
O dobro do número: 2x
Como estamos subtraindo 2x de 20 a equação será:
20 – 2x = 100
Resolvendo a equação
20 – 2x = 100
– 2x – 20 + 20 = 100 – 20 (adicionamos 20 aos dois lados da equação)
– 2x = 80 (– 1)
2x = – 80
x = – 80
2
x = – 40
Conclusão: o número é igual a – 40.

06) O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600. Qual é o número?
Resolução:
Um número: x
O triplo deste número: 3x
O dobro deste número: 2x
O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600: 3x + 2x = 600
Resolvendo a equação:
3x + 2x = 600
5x = 600
x = 600/5
x = 120
Conclusão: temos que o número é igual a 120.

07) Que número eu sou? O dobro de meu antecessor, menos 3, é igual a 25.
Resolução:
Um número: x
Antecessor: x – 1
O dobro de meu antecessor menos 3: 2(x – 1) – 3 = 25
Resolvendo a equação
2(x – 1) – 3 = 25 (aplicar o método da distribuição)
2x – 2 – 3 = 25
2x – 5 = 25
2x = 25 + 5
2x = 30
x = 30/2
x = 15
Conclusão: o número é igual a 15.

08) Carlos tinha certa quantia em dinheiro, foi ao shopping e gastou 1/3 da quantia na compra de uma revista, gastou 1/4 da quantia na compra de um CD e ainda ficou com R$ 25,00. Qual era a quantia que Carlos possuía?
Resolução:
Quantia: x
Um terço da quantia: 1/3x
Um quarto da quantia: 1/4x
Equação do problema: (1/3)x + (1/4)x + 25 = x
MMC (3,4) = 12
(4/12)x + (3/12)x + 300 = (12/12)x (simplificando os denominadores)
4x + 3x + 300 = 12x
12x – 4x – 3x = 300
12x – 7x = 300
5x = 300
x = 300/5
x = 60
Conclusão: Carlos possuía a quantia de R$ 60,00.

09) Os 44 alunos da 7ª série A de uma escola representam 40% de todos os alunos da 7ª série dessa mesma instituição. Quantos são os alunos da 7ª série dessa escola?
Resolução:
Alunos: x
40% = 40/100 = 2 / 5 dos alunos
2 / 5 de x
( 2 / 5 )x = 44
2x = 44 . 5
2x = 220
x = 220/2
x = 110
Conclusão: a escola possui 110 alunos cursando a 7ª série.

10) Sabe-se que o triplo do preço do skate com o preço da bola (R$ 50,00) dá um valor de R$ R$ 650,00. Ajude Daniel, encontre o valor unitário do skate.
Resolução:
Chamemos de x o preço skate; 3x é o triplo do preço do skate; R$ 50,00 é preço da bola; R$ 650,00 é a soma de 3x com R$50,00.
Montando a equação:
3x + 50 = 650
3x = 650 – 50
3x = 600
x = 600 : 3
x = 200
Conclusão: o valor do skate é R$ 200.

11) A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Resolução:
Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a = c -4.
Assim:
c + a = 22 c + (c - 4)
22 2c - 4 = 22 2c - 4 + 4
22 + 4 2c
26 c = 13.

Questões de equações do 1º grau
a) Qual a raiz da equação 20 – 80 + 2x =1 0
2x = 10 - 20 +80
2x = -10 + 80
2x = 70
x = 70/2
x = 35

b) Resolva a equação 23x - 16 = 14 - 17x
23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = 3/4

c) Encontre o valor de x na equação:
[ 2( x – 5 ) + 4( 1 - 2x ) ] / 20 = 5 ( 3 – x ) / 20
2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x
-6x - 6 = 15 - 5x
-6x + 5x = 15 + 6
-x = 21 . (-1)
x = -21
Conclusão: Carlos tem 13 anos e André tem 13 -4 = 9 anos

12) Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com o seguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e o restante em 4 prestações iguais, sem juros.
Qual é o valor de cada prestação?
Resolução:
R$ 250 – R$ 30 = R$ 220
Equação
30 + 4x = 250
4x = 250 – 30
4x = 220
x = 220/4
x = 55
Conclusão: o valor de cada prestação é R$ 55,00.

13) Sabendo que o triplo de um número somado com 8 é igual ao número somado com 10, descubra qual é o número?
Resolução:
Um número: x
Triplo do número: 3x
Equação
3x + 8 = x + 10
3x – x = 10 – 8
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Conclusão: número é igual a 1.

14) Um número adicionado ao seu dobro e ao seu quádruplo resulta em 84. Qual é o número?
Resolução:
Um número: x
Dobro: 2x
Quádruplo: 4x
Equação
x + 2x + 4x = 84
7x = 84
x = 84/7
x = 12
Conclusão: o número é igual a 12.

15) (ENEM) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre
(A) 4,0 m e 5,0 m.
(B) 5,0 m e 6,0 m.
(C) 6,0 m e 7,0 m.
(D) 7,0 m e 8,0 m.
(E) 8,0 m e 9,0 m.
Resolução:
Fazendo-se as considerações que:
o alcance do segundo salto é 1,2 m menor que do primeiro salto
- o alcance do terceiro salto é 1,5 m menor que do segundo salto
- a distância alcançada no primeiro salto é x
Logo, para atingir a meta de 17,4 m, tem-se:
x + (x – 1,2) + (x – 1,2 – 1,5) = 17,4 ⇔3x = 21,3 ⇔ x = 7,1

Alternativa: D

16) (UNIRIO - RJ) Um grupo de amigos vai acampar num final de semana. Sabendo-se que numa certa hora da manhã de domingo, o equivalente a um terço desse grupo está envolvido com o preparo do almoço, o equivalente à metade do grupo cuida da limpeza do acampamento, o equivalente à décima parte desses dois subgrupos colhe flores nas redondezas e um elemento do grupo deleita-se com um livro de crônicas de Zuenir Ventura, quantos elementos tem esse grupo de amigos?
Resolução:
Considerando:
X - a parte do grupo envolvida com o preparo do almoço
Y - a parte do grupo que cuida da limpeza do acampamento
Z - a parte do grupo que colhe flores
V - total do grupo
Então, sabemos:
X = 1/3 V
Y = 1/2 V
Z = 1/10 (X + Y)
V = X + Y + Z + 1
(Este 1 é o elemento do grupo que está a ler)
Agora é só substituir.
V = 1/3 V + 1/2 V + 1/10 [ (1/3 V) + (1/2 V) ] + 1
V = 1/3 V + 1/2 V + 1/30 V + 1/20 V + 1 (reduzindo os termos com "V" ao mesmo denominador)
V = 20/60 V + 30/60 V + 2/60 V + 3/60 V + 1
V = 55/60 V + 1
V - 55/60V = 1 (reduzindo novamente os termos com "V" ao mesmo denominador)
60/60 V - 55/60V =1
5/60 V = 1
5 V = 60
V = 60/5
Resposta: V = 12

17) Num campeonato de futebol, os dois melhores artilheiros pertencem ao mesmo time vencedor. Durante o campeonato, só esses dois jogadores marcaram 32 gols. Se o segundo artilheiro marcou um terço do número de gols do primeiro, quantos gols marcou cada jogador?
Resolução:
1º jogador = x
2º jogador = y
eles juntos marcaram 32, então x + y = 32
o 2º. marcou 1/3 do 1º. , então y = x/3
isolando x na 2ª. equação, fica x = 3y
volte na 1ª. e troque x por 3y
3y + y = 32
4y = 32
y = 8
x = 3y
x = 3.8
x = 24
Conclusão: o 1º. jogador marcou 24 gols e o 2º 8 gols.

18) Em um concurso os participantes devem responder a um total de 20 questões. Para cada resposta correta o candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada perde 2 pontos. Determine o número de acertos e erros que um candidato obteve considerando que ele totalizou 35 pontos.
Resolução:
Acertos: representados pela letra x.
Erros: representados por 20 − x.
Portanto:
3 . x – 2 . (20 – x) = 35
3x – 40 + 2x = 35
5x = 35 + 40
5x = 75
x = 75/5
x = 15
Conclusão: o candidato obteve 15 acertos e 5 erros.

19) (UFG – 2ª Fase) Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos, cobrando para crianças o equivalente a 2/3 do valor para adultos. Uma família de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 8.125,00. Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio.
Resolução:
Adulto = x
Criança = 2 / 3 de x

20) (PUC – RJ) ³/₅ de um número somados a ½ é igual a ²/₃ desse mesmo número. Indique a opção que apresenta esse número.
(A) 0
(B) 1
(C) ²⁰/₃₃
(D) ³³/₂₀
(E) ¹⁵/₂
Resolução:
Como desconhecemos o número procurado no exercício, podemos identificá-lo como a incógnita x. Sendo assim, podemos escrever a expressão literal “³/₅ de um número somados a ½ é igual a ²/₃ desse mesmo número” como:
3.x + 1 = 2. x
5 2 3
Calculando o mínimo múltiplo comum entre os denominadores 2, 3 e 5, teremos:
6.3x + 15.1 = 10.2x
   30 30
18x + 15 = 20x
15 = 20x – 18x
15 = 2x
2x = 15
x = 15
2
Alternativa: E

21) Resolva a equação do 1° grau: 4.(x + 3) – x = 24 + x
Resolução:
Aplicando a propriedade distributiva ao primeiro membro da equação do 1° grau, temos:
4.(x + 3) – x = 24 + x
4x + 12 – x = 24 + x
Ao organizar a equação, manteremos todos os elementos que possuem a incógnita no lado esquerdo da equação e todos aqueles que não estão acompanhados da incógnita x permanecerão no lado direito:
4x – x – x = 24 – 12
2x = 12
x = 12
2
x = 6
Conclusão: o valor da incógnita x é 6.

22) Encontre a raiz da equação do 1° grau: 9x + 75 = 34
x
Resolução:
Para identificar a raiz da equação, inicialmente vamos trocar de membro a incógnita x. Dessa forma, ela irá para o segundo membro da equação através de uma multiplicação:
9x + 75 = 34
x
9x + 75 = 34x
75 = 34x – 9x
75 = 25x
25x = 75
x = 75
   25
x = 3
Conclusão: a raiz da equação é 3.

23) (Unicamp) Um copo cheio de água pesa 385 g; com 2/3 da água pesa 310 g. Pergunta-se:
a) Qual é o peso do copo vazio?
Resolução:
Se o copo cheio pesa 385 g e, com 2/3 de água, pesa 310 g, podemos encontrar o peso do copo através da diferença entre o peso do copo cheio pelo peso do copo parcialmente preenchido, isto é, se x representa o peso da água, então:
x – 2.x = 385 – 310
   3
1.x = 75
3
x = 75.3
x = 225 g
Seja y o peso do copo. Retirando 225 g de água do peso do copo cheio (385 g), teremos:
y = 385 – 225
y = 160 g
Conclusão: o copo vazio pesa 160 g.

b)Qual é o peso do copo com 3/5 da água?
Resolução:
Já sabemos que o peso do copo vazio é de 160 g e que a quantidade de água suficiente para encher o copo é de 225 g. Basta então calcular o valor correspondente a 3/5 dessa quantidade de água e adicioná-lo ao peso do copo. Seja z o peso do copo com 3/5 da água:
z = 3.225 + 160
   5
z = 675 + 160
     5
z = 135 + 160
z = 295 g
Conclusão: quando o copo está preenchido com 3/5 da água, seu peso é de 295 g.

24) (ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
(A) R$ 14,00.
(B) R$ 17,00.
(C) R$ 22,00.
(D) R$ 32,00.
(E) R$ 57,00.
Resolução:
De acordo com o enunciado da questão, 50 pessoas já haviam pagado sua parte da despesa total, por isso não consideraremos o valor total para elas, apenas o valor de R$ 7,00 adicional, que deverá ser multiplicado por 50 pessoas. Além desse pessoal, outros cinco juntaram-se ao grupo e precisam pagar sua parte, um valor que não conhecemos e, portanto, podemos identificar como x. Somando-se o valor que essas pessoas pagarão ao valor acrescentado ao restante do grupo, teremos um recolhimento de R$ 510,00. Podemos então montar uma equação do 1° grau:
(50 · 7) + (5 · x) = 510
350 + 5x = 510
5x = 510 – 350
5x = 160
x = 32
Conclusão: cada um pagou o valor total de R$ 32,00.
Alternativa: D

25) (ENEM) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre
(A) 4,0 m e 5,0 m.
(B) 5,0 m e 6,0 m.
(C) 6,0 m e 7,0 m.
(D) 7,0 m e 8,0 m.
(E) 8,0 m e 9,0 m.
Resolução:
Podemos interpretar o enunciado da questão como:
No primeiro salto, ele atinge uma distância desconhecida, que pode ser chamada de x m;
No segundo salto, a distância diminui 1,2 m em relação ao primeiro salto, logo a distância é de ( x – 1,2) m;
No terceiro salto, a distância reduz ainda 1,5 m em relação ao anterior, portanto a distância é ( x – 1,2 – 1,5 ) m, que equivale a( x – 2,7 ) m.
Se o atleta pretende alcançar a distância total de 17,4 m, somando as distâncias em cada salto, teremos a seguinte equação do 1° grau:
x + (x – 1,2) + (x – 2,7) = 17,4
x + x – 1,2 + x – 2,7 = 17,4
3x – 3,9 = 17,4
3x = 17,4 + 3,9
3x = 21,3
x = 21,3
3
x = 7,1
Conclusão: o valor de alcance do primeiro salto é 7,1 m. Esse valor está entre 7,0 m e 8,0 m.
Alternativa: D

26) (ENEM) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
(A) 476
(B) 675
(C) 923
(D) 965
(E) 1 538
Resolução:
Para que fossem enviados 500 selos do segundo tipo, mais x selos do primeiro tipo, totalizando um valor igual ou inferior a R$ 1000,00, tem-se:
x.(0,65)+500(0,65+060+0,20) ≤ 1000.
x≤423,07. Logo, x=423 selos primeiro tipo.
Assim, o total de selos de R$ 0,65 que foram comprados é de 923.
Alternativa: C

27) (ENEM) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre:
(A) 4,0 m e 5,0 m.
(B) 5,0 m e 6,0 m.
(C) 6,0 m e 7,0 m.
(D) 7,0 m e 8,0 m.
(E) 8,0 m e 9,0 m.
Resolução:
Sendo x o valor do primeiro salto, (x - 1,2) será o valor do segundo salto e (x – 2,7) o valor do terceiro salto, logo para que o atleta alcance a meta de 17,4m no salto triplo
x + (x- 1,2)+(x - 2,7) terá que ser igual a 17,4, tem-se:
x + (x- 1,2)+(x - 2,7) = 17,4 , x=7,1m.
Logo, considerando os seus estudos, terá que alcançar 7,1m no primeiro salto para atingir a meta de 17,4 m.
Alternativa: D

28) (ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
(A) R$ 14,00.
(B) R$ 17,00.
(C) R$ 22,00.
(E) R$ 32,00.
(E) R$ 57,00.
Resolução:
A despesa pode ser escrita de duas formas de acordo com o valor x que será pago por cada uma das 55 pessoas no acerto final. Nesse acerto, a despesa (D) pode ser escrita por D = 55x. No acerto inicial, cada uma das 50 pessoas estava pagando (x - 7) reais e estava faltando 510 reais para completar o valor da despesa, assim D = 50 (x - 7) + 510. Igualando-se às duas equações e realizando a distributiva, tem-se que: 50x – 350 + 510 = 55x.
Logo 5x = 160, x = 32 reais.
Alternativa: D

29) (ENEM) Em quase todo o Brasil existem restaurantes em que o cliente, após se servir, pesa o prato de comida e paga o valor correspondente, registrado na nota pela balança. Em um restaurante desse tipo, o preço do quilo era R$12,80. Certa vez a funcionária digitou por engano na balança eletrônica o valor R$18,20 e só percebeu o erro algum tempo depois, quando vários clientes já estavam almoçando. Ela fez alguns cálculos e verificou que o erro seria corrigido se o valor incorreto indicado na nota dos clientes fosse multiplicado por:
(A) 0,54
(B) 0,65
(C) 0,70
(D) 1,28
(E) 1,42
Resolução:
Montando a equação temos
18,20 x = 12,80
x = 0.70
Logo x=0,70
Alternativa: C

EQUAÇÃO DO 2º GRAU
O conteúdo de equação de segundo grau é de extrema importância para o progresso na matemática e outras disciplinas como física, sendo necessária uma abordagem ampla e detalhada.

Os quatro passos seguintes baseiam-se na Fórmula de Baskara, que é o método resolutivo para equações do segundo grau mais popular entre os estudantes.

Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma  ax² + bx + c = 0

a = valor que está ao lado do x²
b = valor que está ao lado do x
c = valor que não está acompanhado de x

Passos para resolução da equação do segundo grau.
1º passo:
Identificar os valores dos coeficientes.
a =
b =
c =

2º passo:
Aplicar a Fórmula de Baskara para calcule o valor do delta.

EXERCÍCIOS
01) Resolva a equação: 4x² + 8x + 6 = 0

02) Encontre as raízes da equação: x² – 4x – 5 = 0

03) x² - 5x + 6 = 0          (R: 2, 3)

04) x² - 8x + 12 = 0        (R: 2, 6)

05) x² + 2x - 8 = 0          (R: 2, -4)

06) x² - 5x + 8 = 0          (R: vazio)

07) 2x² - 8x + 8 = 0        (R: 2,)

08) x² - 4x - 5 = 0           (R: -1, 5)

09) -x² + x + 12 = 0        (R: -3, 4)

10) -x² + 6x - 5 = 0         (R: 1, 5)

PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU

01) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R: 9 e -10)

02) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero. (R: 3 e -4)

03) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R: 1)

04) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R: 10 e -8)

05) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

06) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número. (R: 0 e 4)

07) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

08) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

09) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R: 3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R: -8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R: -7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R: 8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R: 4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R: 8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R: 1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? (R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.  (R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R: 7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número?  (R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)

24) Analisando a equação do segundo grau x² – 2x +1 = 0, podemos afirmar que ela possui:
(A) nenhuma solução real.
(B) uma única solução real.
(C) duas soluções reais.
(D) três soluções reais.
(E) infinitas soluções reais.
Resolução:
Para encontrar o número de soluções reais de uma equação do 2º grau, é necessário encontrar o valor do discriminante (delta). Para isso, encontraremos primeiro o valor dos coeficientes a, b e c na equação:
a = 1
b = -2
c = 1
Agora vamos calcular o valor de delta:
Δ = b² – 4ac
Δ = (-2)² – 4 ·1·1
Δ = 4 – 4
Δ = 0
O valor de delta mostra o número de soluções da equação, sem ter a necessidade de calcular os valores dessas raízes. Como Δ = 0, a equação possui uma única solução real.
Alternativa: B

25) Dada a equação -x² -4x +5 = 0, podemos afirmar que o conjunto de soluções dessa equação é:
(A) x’ = 2 e x” = - 1
(B) x’ = -10 e x” = -1
(C) x’ = -5 e x” = 1
(D) x’ =5 e x” = 1
(E) x’ =6 e x” = - 6
Resolução:
Queremos encontrar as soluções da equação -x² -4x +5 = 0.
Para calcular o valor de delta, temos que:
a = - 1
b = -4
c = 5
Δ = (-4)² -4·(-1)·5
Δ = 16 + 4 ·5
Δ = 16 + 20
Δ = 36
Agora utilizando a fórmula de Bhaskara, temos que:
Alternativa: C

26) (Fatec) Se a equação x² - 10x + k = 0 tem uma raiz de multiplicidade 2, então o valor de k é
(A) 100
(B) 25
(C) 5
(D) 1
(E) 0
Resolução:
Para que uma raiz tenha multiplicidade 2, a equação precisa ter uma única solução, ou seja, Δ = 0. Vamos calcular o valor de Δ na equação x² - 10x + k = 0, em que
a = 1
b = -10
c = k.
Δ = b² – 4ac
Δ = (-10)² – 4 ·1·k
Δ = 100 – 4k
Mas Δ= 0, então:
100 – 4k = 0
100 = 4k
100 : 4 = k
25 = k
Logo, k = 25 é o valor que faz com que a equação tenha uma solução de multiplicidade 2.
Alternativa B

27) Uma região retangular teve as suas dimensões descritas em metros, conforme a imagem a seguir:
O valor de x que faz com que a área dessa região seja igual a 21 é:
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) -6
Resolução:
A área de um retângulo é calculada pelo produto entre as medidas de seus lados, então:
(x + 3) ( x – 1) = 21
Aplicando a propriedade distributiva, temos que:
x² – 1x +3x – 3 = 21
x² +2x – 3 = 21
Para que seja possível aplicar a fórmula de Bhaskara, vamos igualar a equação a zero:
x² + 2x – 3 – 21 = 0
x² + 2x – 24 = 0
Os coeficientes da equação são:
a = 1
b= 2
c = - 24
Calculando o valor de delta, temos que:
Δ = b² – 4ac
Δ = (2)² – 4 ·1·(-24)
Δ = 4 + 96
Δ = 100
Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontraremos:
Note que o valor x = -6 faria com que os lados do retângulo fossem valores negativos, logo, entre as soluções da equação, a única que faz sentido é x = 4.
Alternativa: D

28) Uma equação foi descrita da seguinte maneira:
(k² – 4) x³ + ( k – 2 )x² + 7x - 8 = 0
Analisando os coeficientes, o valor de k que faz com que essa equação seja uma equação do 2º grau é:
(A) k = ± 2
(B) k = + 2
(C) k = - 2
(D) k = 0
(E) k = 4
Resolução:
Para que essa equação seja do 2º grau, o coeficiente de x³ tem que ser igual a zero, e o coeficiente de x² tem que ser diferente de zero, ou seja:
Condição I:
k² – 4 = 0
k² = 4
k = ±√4
k = ± 2
Logo, para satisfazer a primeira condição, temos k = 2 ou k = -2.
Agora vamos analisar a segunda condição.
Condição II:
k – 2 ≠ 0
k ≠ 2.
O valor que satisfaz ambas as condições é k = -2.
Alternativa: C

29) Das equações quadráticas abaixo e sabendo que a = 1, qual é a equação que possui as soluções x₁ = 2 e x₂= - 3?
(A) x² + x – 6 = 0
(B) x² – x – 6 = 0
(C) x² +5x + 6 = 0
(D) x² – 5x +6 = 0
(E) x² + x – 1 = 0
Resolução:
Conhecendo as soluções da equação, temos que:
a(x – x₁) (x – x₂) = 0
Substituindo os valores dados, temos que:
1·( x – 2 ) ( x - (-3)) = 0
(x – 2 ) ( x + 3) = 0
x² +3x – 2x – 6 = 0
x² + x – 6 = 0
Alternativa: A

30) Utilizando seus conhecimentos sobre equação do segundo grau, julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas.
I – Toda equação do segundo grau possui pelo menos uma solução real.
II – Uma equação do segundo grau é conhecida como incompleta quando o coeficiente b ou c é igual a zero.
III – Quando o valor do discriminante é um número positivo que não possui raiz quadrada exata, dizemos que a equação não possui solução.
Analisando as afirmativas, podemos afirmar que:
(A) todas estão incorretas.
(B) somente a afirmativa I está correta.
(C) somente a afirmativa II está correta.
(D) somente a afirmativa III está correta.
(E) todas estão corretas.
Resolução:
Vamos analisar cada uma das afirmativas.
I – Falsa. Nem sempre a equação do segundo grau possui solução. Uma forma de verificar se a equação possui solução nos números reais é calcular o delta. Caso ele seja negativo, a equação não possui solução real.
II — Verdadeira. Por definição, a equação é incompleta quando b = 0 ou quando c = 0.
III – Falsa. Quando o valor do discriminante é positivo, há duas soluções reais na equação, independentemente de ele possuir raiz quadrada exata ou não.
Alternativa: B

SOMA E MULTIPICAÇÃO
31) (UERGS) Sendo S a soma e P o produto das raízes da equação 2x² − 5x − 7 = 0, pode-se afirmar que:
(A) S − P = 6.
(B) S + P = 2.
(C) S ⋅ P = 4.
(D) S/P= 1
(E) S < P
Resolução:
Dada a equação 2x² − 5x − 7 = 0, sabemos que a soma e o produto das raízes podem ser calculados da seguinte maneira:

Os coeficientes da equação são:
a = 2
b = -5
c= -7
Então, a soma S e o produto P serão:

Agora, sabendo que S = 2,5 e P = -3,5 e analisando as afirmativas, é possível verificar que a alternativa A é a correta, pois:
S – P = 6
2,5 - (-3,5) = 6
2,5 + 3,5 = 6
Alternativa: A

00) Como exemplo, vamos escrever os coeficientes da equação 2x² + 8x – 24 = 0.
a = 2
b = 8
c = – 24

Segundo passo:
Calcule o valor de delta.
O valor de delta é dado pela seguinte expressão: Δ = b² – 4ac, em que a, b e c são coeficientes da equação e Δ é delta.

Tomando o exemplo anterior, na equação 2x² + 8x – 24 = 0, delta vale:
Δ = b² – 4ac
Δ = 8² – 4·2·(– 24)
Δ = 64 + 192
Δ = 256

Terceiro passo:
calcule os valores de x da equação.
Após calcular o valor de delta, os valores de x podem ser obtidos por meio da seguinte expressão:
x = – b ± √Δ
2·a
Observe que nessa expressão aparece o sinal ±. Isso indica que x possui dois valores: o primeiro para a √Δ (raiz de delta) negativa e o segundo para √Δ positiva.

Tomando o exemplo já citado, observe a conclusão do terceiro passo:
x = – b ± √Δ
2·a
x = – 8 ± √256
2·2
x = – 8 ± 16
4
Para √Δ negativa, teremos:
x' = – 8 – 16 = –24 = –6
4 4
Para √Δ positiva, teremos:
x'' = – 8 + 16 = 8 = 2
             4 4

Observações importantes:
Ao calcular o valor de Δ, o aluno depara-se com o jogo de sinais. É preciso ter extrema atenção ao termo “– 4ac”, pois, muitas vezes, c possui um valor negativo, o que torna esse termo positivo em virtude do jogo de sinais.

O mesmo ocorre ao encontrar os valores de x. Repare que existe um “– b” na fórmula. Se b for negativo, por causa do jogo de sinais, – b será positivo (+ b).

O valor de Δ pode ser utilizado como parâmetro para decidir como serão as raízes da equação em que:
Δ > 0 possui duas raízes reais distintas
Δ = 0 possui duas raízes reais iguais ou uma raiz real dupla, isto é, x' = x''
Δ < 0 não possui raízes reais.

Para ajudar a decorar as fórmulas utilizadas, sempre as escreva em seu caderno para cada exercício que for resolvido, recitando-as em voz alta.

Exemplo:
Quais são as raízes da equação x² – x – 30 = 0?

Passo 1:
a = 1
b = – 1
c = – 30.

Passo 2:
cálculo do valor de delta
Δ = b² – 4ac
Δ = (–1)² – 4·1·(–30)
Δ = 1 + 120
Δ = 121

Passo 3:
Calcule os valores de x:
x = – b ± √Δ
2·a
x = – (–1) ± √121
2·1
x = 1 ± 11
2
x' = 1 + 11 = 12 = 6
2 2
x'' = 1 – 11 = – 10 = – 5
2    2
Logo, as raízes ou valores de x para essa equação são 6 e – 5.

Fórmula de Bhaskara

Exercícios resolvidos
01) Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + 16 = 0.
Resolução:
Os coeficientes são:
a = 1
b = 8
c = 16
∆ = b² – 4 . a . c
∆ = 8² – 4 . 1 . 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
x = – b ± √∆
2a
x = – 8 ± √0
     2 . 1
x' = x'' = –8 = – 4
    2
No exemplo 2, devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

02) Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.
Resolução:
∆ = b² – 4 . a . c
∆ = 6² – 4 . 10 . 10
∆ = 36 – 400
∆ = – 364
Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número é negativo, a equação não possui raízes reais.
Questões [a, b, c]

(a) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva a seguinte equações do 2º grau 3x² – 7x + 4 = 0.
Resolução:

(b) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva a seguinte equações do 2º grau 9y² – 12y + 4 = 0
Resolução:

(c) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva a seguinte equações do 2º grauc 5x² + 3x + 5 = 0
Resolução:

03) Determine quais os valores de k para que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 tenha raízes reais e distintas.
Resolução:
Uma equação do 2º grau possui duas raízes reais e distintas quando ∆ > 0, então:

04) Calcule o valor de p na equação x² – (p + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes reais sejam iguais.
Para essa condição, o valor de ∆ precisa ser igual a 0.
Resolução:

05) Resolva a seguinte equação do 2º grau.

Resolução:

06) Resolva a equação do 2° grau 2x² + x – 3 = 0.
Resolução:
Uma das alternativas para solucionar equações do 2° grau é através da fórmula de Bhaskara. Para tanto, precisamos identificar os coeficientes da equação, que são a = 2, b = 1 e c = – 3.

Δ = 1² – 4.2.(– 3)
Δ = 1 + 24
Δ = 25
x = – 1 ± √25
2.2
x = – 1 ± 5
4
x' = – 1 + 5 = 4 = 1
4 4
x'' = – 1 – 5 = – 6 = – 3
4 4 2
As raízes da equação 2x² + x – 3 = 0 são 1 e ^{– 3}/_2.

07) Determine o conjunto solução da equação – 3x² + 18x – 15 = 0.
Resolução:
Os coeficientes numéricos dessa equação do 2° grau são a = – 3, b = 18 e c = – 15. Observe que todos os coeficientes são múltiplos de 3, por isso podemos dividir todos por 3 para obter valores menores e, consequentemente, mais fáceis de calcular. Os novos coeficientes são: a = – 1, b = 6 e c = – 5. Ao realizar essa simplificação dos coeficientes, o resultado da equação permanece inalterado.

Vamos aplicar esses coeficientes na fórmula de Bhaskara:

Δ = 6² – 4.(– 1).(– 5)
Δ = 36 – 20
Δ = 16
x = – 6 ± √16
2.(– 1)
x = – 6 ± 4
– 2
x' = – 6 + 4 = – 2 = 1
– 2 – 2
x'' = – 6 – 4 = – 10 = 5
– 2 – 2
O conjunto solução é S = {1; 5}.

08) (Puc – Rio) As duas soluções de uma equação do 2° grau são – 1 e ¹/₃. Então a equação é:
(A) 3x² – x – 1 = 0
(B) 3x² + x – 1 = 0
(C) 3x² + 2x – 1 = 0
(D) 3x² – 2x – 2 = 0
(E) 3x² – x + 1 = 0
Resolução:
Para encontrar a equação do 2° grau a partir de suas raízes, basta fazer:
(x – S₁) · (x – S₂) = 0
S₁ e S₂ são as raízes da equação. Vamos substituí-las na operação acima:
(x – (– 1)) · (x – (¹/₃)) = 0
(x + 1) · (x – (¹/₃)) = 0
x² – (¹/₃)x + x – ¹/₃ = 0
x² + (²/₃)x – ¹/₃ = 0
Podemos multiplicar toda a equação por 3:
3x² + 2x – 1 = 0
Alternativa: C

09) (Cesgranrio) A maior raiz da equação – 2x² + 3x + 5 = 0 vale:
(A) – 1
(B) 1
(C) 2
(D) 2,5
(E) (3 + √19)/4
Resolução:
Para resolver essa equação do 2° grau, vamos utilizar a Fórmula de Bhaskara. Os coeficientes da equação são a = – 2, b = 3 e c = 5. Substituindo-os na fórmula, temos:

Δ = 3² – 4.(– 2).5
Δ = 9 + 40
Δ = 49
x = – 3 ± √49
2.(– 2)
x = – 3 ± 7
– 4
x' = – 3 + 7 = 4 = – 1
– 4 – 4
x'' = – 3 – 7 = – 10 = 2,5
– 4 – 4
Encontramos duas raízes para a equação, x' = – 1 e x'' = 2,5; e a maior delas é x'' = 2,5.
Alternativa: B

10) Resolva a equação: 4x² + 8x + 6 = 0
Resolução:
Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

Δ = 8² – 4.4.6
Δ = 64 – 96
Δ = – 32
Como Δ < 0, a equação não possui raiz real.

11) Encontre as raízes da equação: x² – 4x – 5 = 0
Resolução:
Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = – 4, c = – 5. Agora basta aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara:

Δ = (– 4)² – 4.1.(– 5)
Δ = 16 + 20
Δ = 36
x = – (– 4) ± √36
2.1
x = 4 ± 6
2
x' = 10 = 5
2
x'' = – 2 = – 1
2
Nesse caso, a equação tem duas raízes reais: – 1 e 5.

Soma e Produto
A soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau do tipo x² - Sx + P e é indicado quando as raízes são números inteiros.
x₁ e x₂: raízes da equação do 2º grau
a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau
Desta forma, podemos encontrar as raízes da equação ax² + bx + c = 0, se encontrarmos dois números que satisfaçam simultaneamente as relações indicadas acima.
Se não for possível encontrar números inteiros que satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, devemos utilizar outro método de resolução.

Como encontrar esses números?
Para encontrar a solução devemos começar buscando dois números cujo produto seja igual a c / a. Depois verificamos se esses números também satisfazem o valor da soma.
Como nem sempre as raízes de uma equação do 2º grau são positivas, devemos aplicar as regras de sinais da soma e da multiplicação para identificarmos quais sinais devemos atribuir as raízes.

Para tal, teremos as seguintes situações:
P > 0 e S > 0 ⇒ As duas raízes são positivas.
P > 0 e S
P 0 ⇒ As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é positiva.

Exercícios Resolvidos
16) Um retângulo possui a medida de seu lado maior igual ao quádruplo do lado menor, e área medindo 256 m². Determine a medida de seus lados.
Informe que, para calcularmos a área de uma região retangular devemos multiplicar o comprimento pela largura.
Resolução:

O lado de maior comprimento mede 32 metros e o de menor comprimento, 8 metros.

17) Um trapézio possui área medindo 384 cm². Temos que a medida da altura é o dobro da medida da base menor, e que a base maior possui a mesma medida da altura. Determine o comprimento da base maior, base menor e altura desta figura.
Resolução:
Área do trapézio

Lado maior: 2 * 8√2 → 16√2 cm
Lado menor: 8√2 cm
Altura: 16√2 cm

18) O dobro de um número subtraído de 20 é igual a 100. Qual é o número?
Resolução:
Um número: x
O dobro do número: 2x
Como estamos subtraindo 2x de 20 a equação será:
20 – 2x = 100
Resolvendo a equação
20 – 2x = 100
– 2x – 20 + 20 = 100 – 20 (adicionamos 20 aos dois lados da equação)
– 2x = 80 (– 1)
2x = – 80
x = – 80
2
x = – 40
Resposta: o número é igual a – 40.

19) O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600. Qual é o número?
Resolução:
Um número: x
O triplo deste número: 3x
O dobro deste número: 2x
O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600: 3x + 2x = 600
Resolvendo a equação:
3x + 2x = 600
5x = 600
x = 600/5
x = 120
Resposta: temos que o número é igual a 120.

20) Que número eu sou? O dobro de meu antecessor, menos 3, é igual a 25.
Resolução:
Um número: x
Antecessor: x – 1
O dobro de meu antecessor menos 3: 2(x – 1) – 3 = 25
Resolvendo a equação
2(x – 1) – 3 = 25 (aplicar o método da distribuição)
2x – 2 – 3 = 25
2x – 5 = 25
2x = 25 + 5
2x = 30
x = 30/2
x = 15
Resposta: o número é igual a 15.

21) Carlos tinha certa quantia em dinheiro, foi ao shopping e gastou 1/3 da quantia na compra de uma revista, gastou 1/4 da quantia na compra de um CD e ainda ficou com R$ 25,00. Qual era a quantia que Carlos possuía?
Resolução:
Quantia: x
Um terço da quantia: 1/3x
Um quarto da quantia: 1/4x
Equação do problema: (1/3)x + (1/4)x + 25 = x
MMC (3,4) = 12
(4/12)x + (3/12)x + 300 = (12/12)x (simplificando os denominadores)
4x + 3x + 300 = 12x
12x – 4x – 3x = 300
12x – 7x = 300
5x = 300
x = 300/5
x = 60
Resposta: Carlos possuía a quantia de R$ 60,00.

22) Os 44 alunos da 7ª série A de uma escola representam 40% de todos os alunos da 7ª série dessa mesma instituição. Quantos são os alunos da 7ª série dessa escola?
Resolução:
Alunos: x
40% = 40/100 = 2/5 dos alunos
2/5 de x
(2/5)x = 44
2x = 44 * 5
2x = 220
x = 220/2
x = 110
Resposta: a escola possui 110 alunos cursando a 7ª série.

23) Determine três números inteiros positivos e consecutivos tais que o quadrado do menor seja igual a diferença dos outros dois.
Resolução:
Acreditamos que nesse tipo de problema, os alunos têm dificuldade em interpretar corretamente, visto que é muito comum a montagem da equação errada:
x²= (x + 1) – (x + 2).
O quadrado de um número não pode ser negativo, portanto, neste caso, devemos fazer (x + 2) – (x + 1) e não o contrário.
Devemos, então, enfatizar, que a leitura atenta do enunciado é fundamental para uma correta interpretação!
Uma proposta de solução:
Interpretando o problema e usando a linguagem algébrica:
x, representa o menor número
x + 1, representa o consecutivo de x
x + 2, representa o consecutivo de x + 1
Observação: Poderíamos também representá-los por x, x – 1 e x – 2. Nesse caso, x representa o maior dos três números.
Como estratégia de resolução, procedemos a montagem da equação de acordo com o enunciado do problema:
x² = (x + 2) – (x + 1)
Desenvolvendo, temos:
x² = x + 2 – x – 1
x²= 1
Lembrando que:
Temos:
Logo, x = 1 ou x = –1
Analisando a condição do problema, “três números inteiros positivos e consecutivos”, a única solução que satisfaz é x = 1.
Resposta: os números são 1, 2 e 3.

24) Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente. Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da idade do filho?
Resolução:
Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido — Há quantos anos... — é importante comentar na turma, que o sinal de menos (–), não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no tempo! O mesmo vale para situações que se remetem a tempo futuro: “Daqui a quanto tempo...”. O sinal de mais (+) significa avançar no tempo.
Uma proposta de solução:
De acordo com o enunciado, podemos fazer uma representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos.
idade do pai há x anos: 45 – x
idade do filho há x anos: 15 – x
Equalizando as informações: 45 – x = (15 – x)²
Desenvolvendo a equação, obtemos:
45 – x = 225 – 30x + x² Utilizando o princípio de equivalência, temos:
x²– 29x + 180 = 0
Resolvendo a equação utilizando as relações entre coeficientes e raízes:
S = 29
P = 180
Devemos pensar em dois números positivos (soma e produto positivos).
Os números são: 9 e 20.
Analisando os resultados encontrados, o valor 20 não pode ser usado no problema, pois, nesse caso, o filho teria idade negativa!
Portando, para x = 9 temos para idades: 36 e 6 anos.
Resposta: há 9 anos.

continua...