EQUAÇÃO DO 1º E DO 2º GRAU

EQUAÇÃO DO 1º E DO 2º GRAU

Professor Diminoi

 

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

 

Equação do 1º grau com uma incógnita

Utilizamos uma equação para calcular o valor de um termo desconhecido, que geralmente é representado por uma letra. As equações possuem sinais operatórios como adição, subtração, multiplicação, divisão, radiciação e igualdade. O sinal de igualdade divide a equação em dois membros, os quais são compostos de elementos de dois tipos:

Elemento de valor constante: representado por valores numéricos;
Elemento de valor variável: representado pela união de números e letras.

Exemplos de equações do primeiro grau com uma incógnita:

a) x + 1 = 6

b) 2x + 7 = 18

c) 4x + 1 = 3x – 9

d) 10x + 60 = 12x + 52

 

Exercícios resolvidos

01) Resolva a equação 4x + 2 = 8 – 2x

Resolução:

4x + 2x = 8 – 2

6x = 6

x = 6
      6
x = 1

 

02) Resolva a equação 10x – 9 = 21 + 2x + 3x

Resolução:

10x – 9 = 21 + 2x + 3x

10x – 2x – 3x = 21 + 9

10x – 5x = 30

5x = 30

x = 30
      5

x = 6

 

03) Resolva a equação 3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40

Resolução:

3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40

3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10

3x – 7x = –40

– 4x = – 40

Nos casos em que a parte da variável é negativa, precisamos multiplicar os membros por –1.

– 4x = – 40 . (–1)

4x = 40

x = 40
      4

x = 10

 

04) Resolva a equação 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1)

Resolução:

10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação:

10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2

– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2

– 13x + 8x = – 10

– 5x = – 10 * (–1)

5x = 10

x = 10
      5

x = 2

 

05) O dobro de um número subtraído de 20 é igual a 100. Qual é o número?

Resolução:

Um número: x

O dobro do número: 2x

Como estamos subtraindo 2x de 20 a equação será:

20 – 2x = 100

Resolvendo a equação

20 – 2x = 100

– 2x – 20 + 20 = 100 – 20 (adicionamos 20 aos dois lados da equação)

– 2x = 80 (– 1)

2x = – 80

x = – 80
          2

x = – 40

Conclusão: o número é igual a – 40.



06) O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600. Qual é o número?

Resolução:

Um número: x

O triplo deste número: 3x

O dobro deste número: 2x

O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600: 3x + 2x = 600

Resolvendo a equação:

3x + 2x = 600

5x = 600

x = 600/5

x = 120

Conclusão: temos que o número é igual a 120.



07) Que número eu sou? O dobro de meu antecessor, menos 3, é igual a 25.

Resolução:

Um número: x

Antecessor: x – 1

O dobro de meu antecessor menos 3: 2(x – 1) – 3 = 25

Resolvendo a equação

2(x – 1) – 3 = 25 (aplicar o método da distribuição)

2x – 2 – 3 = 25

2x – 5 = 25

2x = 25 + 5

2x = 30

x = 30/2

x = 15

Conclusão: o número é igual a 15.



08) Carlos tinha certa quantia em dinheiro, foi ao shopping e gastou 1/3 da quantia na compra de uma revista, gastou 1/4 da quantia na compra de um CD e ainda ficou com R$ 25,00. Qual era a quantia que Carlos possuía?

Resolução:

Quantia: x

Um terço da quantia: 1/3x

Um quarto da quantia: 1/4x

Equação do problema: (1/3)x + (1/4)x + 25 = x

MMC (3,4) = 12

(4/12)x + (3/12)x + 300 = (12/12)x (simplificando os denominadores)

4x + 3x + 300 = 12x

12x – 4x – 3x = 300

12x – 7x = 300

5x = 300

x = 300/5

x = 60

Conclusão: Carlos possuía a quantia de R$ 60,00.



09) Os 44 alunos da 7ª série A de uma escola representam 40% de todos os alunos da 7ª série dessa mesma instituição. Quantos são os alunos da 7ª série dessa escola?

Resolução:

Alunos: x

40% = 40/100 = 2 / 5 dos alunos

2 / 5 de x

( 2 / 5 )x = 44

2x = 44 . 5

2x = 220

x = 220/2

x = 110

Conclusão: a escola possui 110 alunos cursando a 7ª série.

 

10) Sabe-se que o triplo do preço do skate com o preço da bola (R$ 50,00) dá um valor de R$ R$ 650,00. Ajude Daniel, encontre o valor unitário do skate.

Resolução:

Chamemos de x o preço skate; 3x é o triplo do preço do skate; R$ 50,00 é preço da bola;     R$ 650,00 é a soma de 3x com R$50,00.

Montando a equação:

3x + 50 = 650

3x = 650 – 50

3x = 600

x = 600 : 3

x = 200

Conclusão: o valor do skate é R$ 200.

 

11) A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Resolução:

Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a = c -4.

Assim: c + a = 22 c + (c - 4) = 22 2c - 4 = 22 2c - 4 + 4 = 22 + 4 2c = 26 c = 13.

Questões de equações do 1º grau

a)  Qual a raiz da equação 20 – 80 + 2x =1 0

2x = 10 - 20 +80

2x = -10 + 80

2x = 70

x = 70/2

x = 35



b) Resolva a equação 23x - 16 = 14 - 17x

23x = 14 - 17x + 16

23x + 17x = 30

40x = 30

= 30/40 = 3/4



c) Encontre o valor de x na equação: 

[ 2( x – 5 ) + 4( 1 - 2x ) ] / 20 = 5 ( 3 – x ) / 20

2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x

-6x - 6 = 15 - 5x

-6x + 5x = 15 + 6

-x = 21 . (-1)

x = -21

Conclusão: Carlos tem 13 anos e André tem 13 -4 = 9 anos

 

12) Um relógio que custa R$ 250,00 está sendo vendido com o seguinte plano de pagamento: R$ 30,00 de entrada e o restante em 4 prestações iguais, sem juros.

Qual é o valor de cada prestação?

Resolução:

R$ 250 – R$ 30 = R$ 220

Equação

30 + 4x = 250

4x = 250 – 30

4x = 220

x = 220/4

x = 55

Conclusão: o valor de cada prestação é R$ 55,00.



13) Sabendo que o triplo de um número somado com 8 é igual ao número somado com 10, descubra qual é o número?

Resolução:

Um número: x

Triplo do número: 3x

Equação

3x + 8 = x + 10

3x – x = 10 – 8

2x = 2

x = 2/2

x = 1

Conclusão: número é igual a 1.



14) Um número adicionado ao seu dobro e ao seu quádruplo resulta em 84. Qual é o número?

Resolução:

Um número: x

Dobro: 2x

Quádruplo: 4x

Equação

x + 2x + 4x = 84

7x = 84

x = 84/7

x = 12

Conclusão: o número é igual a 12.



15) (ENEM) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre

(A) 4,0 m e 5,0 m.

(B) 5,0 m e 6,0 m.

(C) 6,0 m e 7,0 m.

(D) 7,0 m e 8,0 m.

(E) 8,0 m e 9,0 m.

Resolução:

Fazendo-se as considerações que:

  • o alcance do segundo salto é 1,2 m menor que do primeiro salto
  • - o alcance do terceiro salto é 1,5 m menor que do segundo salto
  • - a distância alcançada no primeiro salto é x
  • Logo, para atingir a meta de 17,4 m, tem-se:
  • x + (x – 1,2) + (x – 1,2 – 1,5) = 17,4 ⇔3x = 21,3 ⇔ x = 7,1

 Alternativa: D

 

16) (UNIRIO - RJ) Um grupo de amigos vai acampar num final de semana. Sabendo-se que numa certa hora da manhã de domingo, o equivalente a um terço desse grupo está envolvido com o preparo do almoço, o equivalente à metade do grupo cuida da limpeza do acampamento, o equivalente à décima parte desses dois subgrupos colhe flores nas redondezas e um elemento do grupo deleita-se com um livro de crônicas de Zuenir Ventura, quantos elementos tem esse grupo de amigos?

Resolução:

Considerando:

X - a parte do grupo envolvida com o preparo do almoço

Y - a parte do grupo que cuida da limpeza do acampamento

Z - a parte do grupo que colhe flores

V - total do grupo

Então, sabemos:

X = 1/3 V

Y = 1/2 V

Z = 1/10 (X + Y)

V = X + Y + Z + 1

(Este 1 é o elemento do grupo que está a ler)

Agora é só substituir.

V = 1/3 V + 1/2 V + 1/10 [ (1/3 V) + (1/2 V) ] + 1

V = 1/3 V + 1/2 V + 1/30 V + 1/20 V + 1 (reduzindo os termos com "V" ao mesmo denominador)

V = 20/60 V + 30/60 V + 2/60 V + 3/60 V + 1

V = 55/60 V + 1

V - 55/60V = 1 (reduzindo novamente os termos com "V" ao mesmo denominador)

60/60 V - 55/60V =1

5/60 V = 1

5 V = 60

V = 60/5

Resposta: V = 12

 

17) Num campeonato de futebol, os dois melhores artilheiros pertencem ao mesmo time vencedor. Durante o campeonato, só esses dois jogadores marcaram 32 gols. Se o segundo artilheiro marcou um terço do número de gols do primeiro, quantos gols marcou cada jogador?

Resolução:

1º jogador = x

2º jogador = y

eles juntos marcaram 32, então x + y = 32

o 2º. marcou 1/3 do 1º. , então y = x/3

isolando x na 2ª. equação, fica x = 3y

volte na 1ª. e troque x por 3y

3y + y = 32

4y = 32

y = 8

x = 3y

x = 3.8

x = 24

Conclusão: o 1º. jogador marcou 24 gols e o 2º 8 gols.



18) Em um concurso os participantes devem responder a um total de 20 questões. Para cada resposta correta o candidato ganha 3 pontos e para cada resposta errada perde 2 pontos. Determine o número de acertos e erros que um candidato obteve considerando que ele totalizou 35 pontos. 

Resolução:

Acertos: representados pela letra x.

Erros: representados por 20 − x.

Portanto:

3 . x – 2 . (20 – x) = 35

3x – 40 + 2x = 35

5x = 35 + 40

5x = 75

x = 75/5

x = 15

Conclusão: o candidato obteve 15 acertos e 5 erros.

 

19) (UFG – 2ª Fase) Uma agência de turismo vende pacotes familiares de passeios turísticos, cobrando para crianças o equivalente a 2/3 do valor para adultos. Uma família de cinco pessoas, sendo três adultos e duas crianças, comprou um pacote turístico e pagou o valor total de R$ 8.125,00. Com base nessas informações, calcule o valor que a agência cobrou de um adulto e de uma criança para realizar esse passeio.
Resolução:
 Adulto = x

Criança = 2 / 3 de x

 

 

20) (PUC – RJ) 3/5 de um número somados a ½ é igual a 2/3 desse mesmo número. Indique a opção que apresenta esse número.

(A) 0

(B) 1

(C) 20/33

(D) 33/20

(E) 15/2

Resolução:

Como desconhecemos o número procurado no exercício, podemos identificá-lo como a incógnita x. Sendo assim, podemos escrever a expressão literal 3/5 de um número somados a ½ é igual a 2/3 desse mesmo número” como:

3.x + 1 = 2. x
5       2    3

Calculando o mínimo múltiplo comum entre os denominadores 2, 3 e 5, teremos:

6.3x + 15.1 10.2x
    30            30

18x + 15 = 20x

15 = 20x – 18x

15 = 2x

2x = 15

x = 15
       2

Alternativa: E 

 

21) Resolva a equação do 1° grau: 4.(x + 3) – x = 24 + x

Resolução:

Aplicando a propriedade distributiva ao primeiro membro da equação do 1° grau, temos:

4.(x + 3) – x = 24 + x

4x + 12 – x = 24 + x

Ao organizar a equação, manteremos todos os elementos que possuem a incógnita no lado esquerdo da equação e todos aqueles que não estão acompanhados da incógnita x permanecerão no lado direito:

4x – x – x = 24 – 12

2x = 12

x = 12
       2

x = 6

Conclusão: o valor da incógnita x é 6.

 

22) Encontre a raiz da equação do 1° grau: 9x + 75 = 34
                                                                     x 

Resolução:

Para identificar a raiz da equação, inicialmente vamos trocar de membro a incógnita x. Dessa forma, ela irá para o segundo membro da equação através de uma multiplicação:

9x + 75 = 34
    x

9x + 75 = 34x

75 = 34x – 9x

75 = 25x

25x = 75

x = 75
      25

x = 3

Conclusão: a raiz da equação é 3.

 

23) (Unicamp) Um copo cheio de água pesa 385 g; com 2/3 da água pesa 310 g. Pergunta-se:

a) Qual é o peso do copo vazio?

Resolução:

Se o copo cheio pesa 385 g e, com 2/3 de água, pesa 310 g, podemos encontrar o peso do copo através da diferença entre o peso do copo cheio pelo peso do copo parcialmente preenchido, isto é, se x representa o peso da água, então:

x – 2.x = 385 – 310
      3

1.x = 75
3

x = 75.3

x = 225 g

Seja o peso do copo. Retirando 225 g de água do peso do copo cheio (385 g), teremos:

y = 385 – 225

y = 160 g

Conclusão: o copo vazio pesa 160 g.

 

b)Qual é o peso do copo com 3/5 da água?

Resolução:

Já sabemos que o peso do copo vazio é de 160 g e que a quantidade de água suficiente para encher o copo é de 225 g. Basta então calcular o valor correspondente a 3/5 dessa quantidade de água e adicioná-lo ao peso do copo. Seja z o peso do copo com 3/5 da água:

z = 3.225 + 160
      5

z = 675 + 160
       5

z = 135 + 160

z = 295 g

Conclusão: quando o copo está preenchido com 3/5 da água, seu peso é de 295 g.

 

24) (ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.

De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

(A) R$ 14,00.

(B) R$ 17,00.

(C) R$ 22,00.

(D) R$ 32,00.

(E) R$ 57,00.

Resolução:

De acordo com o enunciado da questão, 50 pessoas já haviam pagado sua parte da despesa total, por isso não consideraremos o valor total para elas, apenas o valor de R$ 7,00 adicional, que deverá ser multiplicado por 50 pessoas. Além desse pessoal, outros cinco juntaram-se ao grupo e precisam pagar sua parte, um valor que não conhecemos e, portanto, podemos identificar como x. Somando-se o valor que essas pessoas pagarão ao valor acrescentado ao restante do grupo, teremos um recolhimento de R$ 510,00. Podemos então montar uma equação do 1° grau:

(50 · 7) + (5 · x) = 510

350 + 5x = 510

5x = 510 – 350

5x = 160

x = 32

Conclusão: cada um pagou o valor total de R$ 32,00.

Alternativa: D

 

25) (ENEM) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre

(A) 4,0 m e 5,0 m.

(B) 5,0 m e 6,0 m.

(C) 6,0 m e 7,0 m.

(D) 7,0 m e 8,0 m.

(E) 8,0 m e 9,0 m.

Resolução:

Podemos interpretar o enunciado da questão como:

No primeiro salto, ele atinge uma distância desconhecida, que pode ser chamada de x m;

No segundo salto, a distância diminui 1,2 m em relação ao primeiro salto, logo a distância é de ( x – 1,2) m;

No terceiro salto, a distância reduz ainda 1,5 m em relação ao anterior, portanto a distância é ( x – 1,2 – 1,5 ) m, que equivale a( x – 2,7 ) m.

Se o atleta pretende alcançar a distância total de 17,4 m, somando as distâncias em cada salto, teremos a seguinte equação do 1° grau:

x + (x – 1,2) + (x – 2,7) = 17,4

x + x – 1,2 + x – 2,7 = 17,4

3x – 3,9 = 17,4

3x = 17,4 + 3,9

3x = 21,3

x = 21,3

​      3

x = 7,1

Conclusão: o valor de alcance do primeiro salto é 7,1 m. Esse valor está entre 7,0 m e 8,0 m.

Alternativa: D

 

26) (ENEM) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.

Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?

(A) 476

(B) 675

(C) 923

(D) 965

(E) 1 538

Resolução: 

Para que fossem enviados 500 selos do segundo tipo, mais x selos do primeiro tipo, totalizando um valor igual ou inferior a R$ 1000,00, tem-se:

x.(0,65)+500(0,65+060+0,20) ≤ 1000. 

x≤423,07. Logo, x=423 selos primeiro tipo.

Assim, o total de selos de R$ 0,65 que foram comprados é de 923.

Alternativa: C

 

27) (ENEM) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre:

(A) 4,0 m e 5,0 m.

(B) 5,0 m e 6,0 m.

(C) 6,0 m e 7,0 m.

(D) 7,0 m e 8,0 m.

(E) 8,0 m e 9,0 m.

Resolução:

Sendo x o valor do primeiro salto, (x - 1,2) será o valor do segundo salto e (x – 2,7) o valor do terceiro salto, logo para que o atleta alcance a meta de 17,4m no salto triplo 

x + (x- 1,2)+(x - 2,7) terá que ser igual a 17,4, tem-se: 

x + (x- 1,2)+(x - 2,7) = 17,4 , x=7,1m. 

Logo, considerando os seus estudos, terá que alcançar 7,1m no primeiro salto para atingir a meta de 17,4 m.

Alternativa: D 

 

28) (ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.

De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

(A) R$ 14,00.

(B) R$ 17,00.

(C) R$ 22,00.

(E) R$ 32,00.

(E) R$ 57,00.

Resolução:

A despesa pode ser escrita de duas formas de acordo com o valor x que será pago por cada uma das 55 pessoas no acerto final. Nesse acerto, a despesa (D) pode ser escrita por D = 55x. No acerto inicial, cada uma das 50 pessoas estava pagando (x - 7) reais e estava faltando 510 reais para completar o valor da despesa, assim D = 50 (x - 7) + 510. Igualando-se às duas equações e realizando a distributiva, tem-se que: 50x – 350 + 510 = 55x. 

Logo 5x = 160, x = 32 reais.

Alternativa: D

 

29) (ENEM) Em quase todo o Brasil existem restaurantes em que o cliente, após se servir, pesa o prato de comida e paga o valor correspondente, registrado na nota pela balança. Em um restaurante desse tipo, o preço do quilo era R$12,80. Certa vez a funcionária digitou por engano na balança eletrônica o valor R$18,20 e só percebeu o erro algum tempo depois, quando vários clientes já estavam almoçando. Ela fez alguns cálculos e verificou que o erro seria corrigido se o valor incorreto indicado na nota dos clientes fosse multiplicado por:

(A) 0,54

(B) 0,65

(C) 0,70

(D) 1,28

(E) 1,42

Resolução:

Montando a equação temos

18,20 x = 12,80 
x = 0.70 

Logo x=0,70
Alternativa: C

 

 

EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Existem diversos modos de se resolver uma equação do segundo grau, contudo, nem sempre essas formas apresentam o melhor método de resolução. Dessa maneira, para agilizar a solução de exercícios de um modo geral, apresentaremos três passos que facilitarão bastante o processo!

Os três passos seguintes baseiam-se na fórmula de Bhaskara, que é o método resolutivo para equações do segundo grau mais popular entre os estudantes.

Primeiro passo: 

Escreva os valores numéricos dos coeficientes a, b e c.

Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0.

Desse modo:

O coeficiente a é o número que esta companho do x2.

O coeficiente b é o número que esta companho do x

O coeficiente c é um número que não esta companho do x.

Portanto, dada uma equação do segundo grau, escreva os valores de a, b e c de forma clara, objetiva e evidente para que eventuais consultas a esses valores sejam feitas rapidamente.

Como exemplo, vamos escrever os coeficientes da equação 2x2 + 8x – 24 = 0.

a = 2

b = 8

c = – 24

Segundo passo: 

Calcule o valor de delta.

O valor de delta é dado pela seguinte expressão: Δ = b2 – 4ac, em que a, b e c são coeficientes da equação e Δ é delta.

Tomando o exemplo anterior, na equação 2x2 + 8x – 24 = 0, delta vale:

Δ = b2 – 4ac

Δ = 82 – 4·2·(– 24)

Δ = 64 + 192

Δ = 256

Terceiro passo: 

calcule os valores de x da equação.

Após calcular o valor de delta, os valores de x podem ser obtidos por meio da seguinte expressão:

x = – b ± √Δ
           2·a

Observe que nessa expressão aparece o sinal ±. Isso indica que x possui dois valores: o primeiro para a √Δ (raiz de delta) negativa e o segundo para √Δ positiva.

Tomando o exemplo já citado, observe a conclusão do terceiro passo:

x = – b ± √Δ
           2·a

x = – 8 ± √256
            2·2

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x = – 8 ± 16
            4

Para √Δ negativa, teremos:

x' = – 8 – 16 = –24 = –6
             4          4         

Para √Δ positiva, teremos:

x'' = – 8 + 16 = 8 = 2
             4         4      

Observações importantes:

Ao calcular o valor de Δ, o aluno depara-se com o jogo de sinais. É preciso ter extrema atenção ao termo “– 4ac”, pois, muitas vezes, c possui um valor negativo, o que torna esse termo positivo em virtude do jogo de sinais.

O mesmo ocorre ao encontrar os valores de x. Repare que existe um “– b” na fórmula. Se b for negativo, por causa do jogo de sinais, – b será positivo (+ b).

O valor de Δ pode ser utilizado como parâmetro para decidir como serão as raízes da equação em que:

Δ > 0 possui duas raízes reais distintas

Δ = 0 possui duas raízes reais iguais ou uma raiz real dupla, isto é, x' = x''

Δ < 0 não possui raízes reais.

Para ajudar a decorar as fórmulas utilizadas, sempre as escreva em seu caderno para cada exercício que for resolvido, recitando-as em voz alta.

 

Exemplo:

Quais são as raízes da equação x2 – x – 30 = 0?

Passo 1:

a = 1

b = – 1

c = – 30.

Passo 2:

cálculo do valor de delta

Δ = b2 – 4ac

Δ = (–1)2 – 4·1·(–30)

Δ = 1 + 120

Δ = 121

Passo 3:

Calcule os valores de x:

x = – b ± √Δ
     2·a

x = – (–1) ± √121
      2·1

x = 1 ± 11
      2

x' = 1 + 11 = 12 = 6
   2         2

x'' = 1 – 11 = – 10 = – 5
2          2

Logo, as raízes ou valores de x para essa equação são 6 e – 5.

 

Fórmula de Bhaskara 

 

 

Exercícios resolvidos

01) Determinar a solução da seguinte equação do 2º graux² + 8x + 16 = 0.

Os coeficientes são:

a = 1

b = 8

c = 16

∆ = b² – 4 . a . c

∆ = 8² – 4 . 1 . 16

∆ = 64 – 64

∆ = 0

x = – b ± √∆
           2a

x = – 8 ± √0
     2 . 1

x' = x'' = –8 = – 4
    2

No exemplo 2, devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única.

 

02) Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau.

∆ = b² – 4 . a . c

∆ = 6² – 4 . 10 . 10

∆ = 36 – 400

∆ = – 364

Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número é negativo, a equação não possui raízes reais.

 

Questões [a, b, c]

(a) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva a seguinte equações do 2º grau 3x² – 7x + 4 = 0.

Resolução:

(b) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva a seguinte equações do 2º grau 9y² – 12y + 4 = 0

Resolução:

 

(c) Aplicando a fórmula de Bhaskara, resolva a seguinte equações do 2º grauc 5x² + 3x + 5 = 0

Resolução:

 

03) Determine quais os valores de k para que a equação 2x² + 4x + 5k = 0 tenha raízes reais e distintas. 

Resolução:

Uma equação do 2º grau possui duas raízes reais e distintas quando ∆ > 0, então:

 

04) Calcule o valor de p na equação x² – (p + 5)x + 36 = 0, de modo que as raízes reais sejam iguais.

Para essa condição, o valor de ∆ precisa ser igual a 0.

Resolução:

 

05) Resolva a seguinte equação do 2º grau.

Resolução:

 

06) Resolva a equação do 2° grau 2x² + x – 3 = 0.

Resolução:

Uma das alternativas para solucionar equações do 2° grau é através da fórmula de Bhaskara. Para tanto, precisamos identificar os coeficientes da equação, que são a = 2b = 1 e c = – 3.

Δ = 1² – 4.2.(– 3)

Δ = 1 + 24

Δ = 25

x = – 1 ± √25
      2.2

x = – 1 ± 5
      4

x' = – 1 + 5 = 1
     4        4

x'' = – 1 – 5 – 6 = – 3
           4        4       2

As raízes da equação 2x² + x – 3 = 0 são – 3/2.

 

07) Determine o conjunto solução da equação – 3x² + 18x – 15 = 0.

Resolução:

Os coeficientes numéricos dessa equação do 2° grau são a = – 3b = 18 e c = – 15. Observe que todos os coeficientes são múltiplos de 3, por isso podemos dividir todos por 3 para obter valores menores e, consequentemente, mais fáceis de calcular. Os novos coeficientes são: a = – 1b = 6 e c = – 5. Ao realizar essa simplificação dos coeficientes, o resultado da equação permanece inalterado.

Vamos aplicar esses coeficientes na fórmula de Bhaskara:

Δ = 6² – 4.(– 1).(– 5)

Δ = 36 – 20

Δ = 16

x = – 6 ± √16
      2.(– 1)

x = – 6 ± 4
     – 2

x' = – 6 + 4 – 2 = 1
    – 2       – 2

x'' = – 6 – 4 – 10 = 5
      – 2      – 2

O conjunto solução é S = {1; 5}.

 

08) (Puc – Rio) As duas soluções de uma equação do 2° grau são – 1 1/3. Então a equação é:

(A) 3x² – x – 1 = 0

(B) 3x² + x – 1 = 0

(C) 3x² + 2x – 1 = 0

(D) 3x² – 2x – 2 = 0

(E) 3x² – x + 1 = 0

Resolução:

Para encontrar a equação do 2° grau a partir de suas raízes, basta fazer:

(x – S1) · (x – S2) = 0

S1 e S2 são as raízes da equação. Vamos substituí-las na operação acima:

(x – (– 1)) · (x – (1/3)) = 0

(x + 1) · (x – (1/3)) = 0

x² – (1/3)x + x – 1/3 = 0

x² + (2/3)x – 1/3 = 0

Podemos multiplicar toda a equação por 3:

3x² + 2x – 1 = 0

Alternativa: C

 

09) (Cesgranrio) A maior raiz da equação – 2x² + 3x + 5 = 0 vale:

(A) – 1

(B) 1

(C) 2

(D) 2,5

(E) (3 + √19)/4

Resolução:

Para resolver essa equação do 2° grau, vamos utilizar a Fórmula de Bhaskara. Os coeficientes da equação são a = – 2b = 3 e c = 5. Substituindo-os na fórmula, temos:

Δ = 3² – 4.(– 2).5

Δ = 9 + 40

Δ = 49

x = – 3 ± √49
      2.(– 2)

x = – 3 ± 7
      – 4

x' = – 3 + 7 = – 1
 – 4     – 4

x'' = – 3 – 7 – 10 = 2,5
– 4       – 4

Encontramos duas raízes para a equação, x' = – 1 e x'' = 2,5; e a maior delas é x'' = 2,5.

Alternativa: B

 

10) Resolva a equação: 4x2 + 8x + 6 = 0

Resolução:

Os coeficientes da equação são: a = 4, b = 8, c = 6. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:

Δ = 8² – 4.4.6

Δ = 64 – 96

Δ = – 32

Como Δ < 0, a equação não possui raiz real.

 

11) Encontre as raízes da equação: x2 – 4x – 5 = 0

Resolução:

Os coeficientes dessa equação são: a = 1, b = – 4, c = – 5. Agora basta aplicar esses valores na fórmula de Bhaskara:

Δ = (– 4)² – 4.1.(– 5)

Δ = 16 + 20

Δ = 36

x = – (– 4) ± √36
             2.1

x = 4 ± 6
         2

x' = 10 = 5
        2

x'' = – 2 = – 1
          2

Nesse caso, a equação tem duas raízes reais: – 1 e 5.

 

Soma e Produto

A soma e produto é um método prático para encontrar as raízes de equações do 2º grau do tipo x2 - Sx + P e é indicado quando as raízes são números inteiros.

Baseia-se nas seguintes relações entre as raízes:

Sendo,

x1 e x2: raízes da equação do 2º grau

a, b e c: coeficientes da equação do 2º grau

Desta forma, podemos encontrar as raízes da equação ax2 + bx + c = 0, se encontrarmos dois números que satisfaçam simultaneamente as relações indicadas acima.

Se não for possível encontrar números inteiros que satisfaçam as duas relações ao mesmo tempo, devemos utilizar outro método de resolução.

Como encontrar esses números?

Para encontrar a solução devemos começar buscando dois números cujo produto seja igual a  c / a. Depois verificamos se esses números também satisfazem o valor da soma.

Como nem sempre as raízes de uma equação do 2º grau são positivas, devemos aplicar as regras de sinais da soma e da multiplicação para identificarmos quais sinais devemos atribuir as raízes.

Para tal, teremos as seguintes situações:

P > 0 e S > 0 ⇒ As duas raízes são positivas.

P > 0 e S

P 0 As raízes possuem sinais diferentes e a de maior valor absoluto é positiva.

P

 

Exercícios Resolvidos

12) Encontre as raízes da equação x2 - 7x + 12 = 0

Nesse exemplo temos:

Assim, temos que encontrar dois números cujo produto é igual a 12.
Sabemos que:

1 . 12 = 12

2 . 6 = 12

3 . 4 = 12

Agora, precisamos verificar os dois números cuja soma é igual a 7.
Assim, identificamos que as raízes são 3 e 4, pois 3 + 4 = 7

 

13) Encontre as raízes da equação x2 + 11x + 24

Procurando o produto igual a 24, temos:

1 . 24 = 24

2 . 12 = 24

3 . 8 = 24

4 . 6 = 24

Como o sinal do produto é positivo e o da soma é negativo (- 11), as raízes apresentam sinais iguais e negativos. Sendo assim, as raízes são - 3 e - 8, pois - 3 + (- 8) = - 11.

 

14) Quais são as raízes da equação 3x2 - 21x - 24 = 0?

O produto poderá ser:

1 . 8 = 8

2 . 4 = 8

Sendo o sinal do produto negativo e da soma positivo (+7), concluímos que as raízes possuem sinais diferentes e que o maior valor possui sinal positivo.

Assim, as raízes procuradas são 8 e (- 1), pois 8 - 1 = 7

 

15) Encontre as raízes da equação x2 + 3x + 5

O único produto possível é 5.1, contudo 5 + 1 ≠ - 3. Desta forma, não é possível encontrar as raízes por esse método.

Calculando o discriminante da equação descobrimos que ∆ = - 11, ou seja, essa equação não possui raízes reais (∆)

 

16) Um retângulo possui a medida de seu lado maior igual ao quádruplo do lado menor, e área medindo 256 m². Determine a medida de seus lados.

Informe que, para calcularmos a área de uma região retangular devemos multiplicar o comprimento pela largura.

Resolução:

O lado de maior comprimento mede 32 metros e o de menor comprimento, 8 metros.

 
17) Um trapézio possui área medindo 384 cm². Temos que a medida da altura é o dobro da medida da base menor, e que a base maior possui a mesma medida da altura. Determine o comprimento da base maior, base menor e altura desta figura.

Resolução:

Área do trapézio

Lado maior: 2 * 8√2 → 16√2 cm

Lado menor: 8√2 cm

Altura: 16√2 cm

 

18) O dobro de um número subtraído de 20 é igual a 100. Qual é o número?

Resolução:

Um número: x

O dobro do número: 2x

Como estamos subtraindo 2x de 20 a equação será:

20 – 2x = 100

Resolvendo a equação

20 – 2x = 100

– 2x – 20 + 20 = 100 – 20 (adicionamos 20 aos dois lados da equação)

– 2x = 80 (– 1)

2x = – 80

x = – 80
          2

x = – 40

Resposta: o número é igual a – 40.



19) O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600. Qual é o número?

Resolução:

Um número: x

O triplo deste número: 3x

O dobro deste número: 2x

O triplo de um número adicionado ao seu dobro resulta em 600: 3x + 2x = 600

Resolvendo a equação:

3x + 2x = 600

5x = 600

x = 600/5

x = 120

Resposta: temos que o número é igual a 120.



20) Que número eu sou? O dobro de meu antecessor, menos 3, é igual a 25.

Resolução:

Um número: x

Antecessor: x – 1

O dobro de meu antecessor menos 3: 2(x – 1) – 3 = 25

Resolvendo a equação

2(x – 1) – 3 = 25 (aplicar o método da distribuição)

2x – 2 – 3 = 25

2x – 5 = 25

2x = 25 + 5

2x = 30

x = 30/2

x = 15

Resposta: o número é igual a 15.



21) Carlos tinha certa quantia em dinheiro, foi ao shopping e gastou 1/3 da quantia na compra de uma revista, gastou 1/4 da quantia na compra de um CD e ainda ficou com R$ 25,00. Qual era a quantia que Carlos possuía?

Resolução:

Quantia: x

Um terço da quantia: 1/3x

Um quarto da quantia: 1/4x

Equação do problema: (1/3)x + (1/4)x + 25 = x

MMC (3,4) = 12

(4/12)x + (3/12)x + 300 = (12/12)x (simplificando os denominadores)

4x + 3x + 300 = 12x

12x – 4x – 3x = 300

12x – 7x = 300

5x = 300

x = 300/5

x = 60

Resposta: Carlos possuía a quantia de R$ 60,00.



22) Os 44 alunos da 7ª série A de uma escola representam 40% de todos os alunos da 7ª série dessa mesma instituição. Quantos são os alunos da 7ª série dessa escola?

Resolução:

Alunos: x

40% = 40/100 = 2/5 dos alunos

2/5 de x

(2/5)x = 44

2x = 44 * 5

2x = 220

x = 220/2

x = 110

Resposta: a escola possui 110 alunos cursando a 7ª série.

 

23) Determine três números inteiros positivos e consecutivos tais que o quadrado do menor seja igual a diferença dos outros dois.

Resolução:

Acreditamos que nesse tipo de problema, os alunos têm dificuldade em interpretar corretamente, visto que é muito comum a montagem da equação errada: x2 = (x + 1) – (x + 2).

O quadrado de um número não pode ser negativo, portanto, neste caso, devemos fazer (x + 2) – (x + 1) e não o contrário.

Devemos, então, enfatizar, que a leitura atenta do enunciado é fundamental para uma correta interpretação!

Uma proposta de solução:

Interpretando o problema e usando a linguagem algébrica:

x, representa o menor número

x + 1, representa o consecutivo de x

x + 2, representa o consecutivo de x + 1

Observação: Poderíamos também representá-los por x, x – 1 e x – 2. Nesse caso, x representa o maior dos três números.

Como estratégia de resolução, procedemos a montagem da equação de acordo com o enunciado do problema:

x2 = (x + 2) – (x + 1)

Desenvolvendo, temos:

x2 = x + 2 – x – 1

x2 = 1

Lembrando que:

Temos:

Logo, x = 1 ou x = –1

Analisando a condição do problema, “três números inteiros positivos e consecutivos”, a única solução que satisfaz é x = 1.

Resposta: os números são 1, 2 e 3.

 

24) Pai e filho têm hoje 45 e 15 anos, respectivamente. Há quantos anos a idade do pai era igual ao quadrado da idade do filho?

Resolução:

Em problemas como esse que envolvem tempo decorrido — Há quantos anos... — é importante comentar na turma, que o sinal de menos (–), não significa “retirar” uma quantidade e sim, voltar no tempo! O mesmo vale para situações que se remetem a tempo futuro: “Daqui a quanto tempo...”. O sinal de mais (+) significa avançar no tempo.

Uma proposta de solução:

De acordo com o enunciado, podemos fazer uma representação algébrica das idades do pai e do filho, há x anos.

idade do pai há x anos: 45 – x

idade do filho há x anos: 15 – x

Equalizando as informações: 45 – x = (15 – x)2

Desenvolvendo a equação, obtemos:

45 – x = 225 – 30x + x2 Utilizando o princípio de equivalência, temos:

x2 – 29x + 180 = 0

Resolvendo a equação utilizando as relações entre coeficientes e raízes:

S = 29

P = 180

Devemos pensar em dois números positivos (soma e produto positivos).

Os números são: 9 e 20.

Analisando os resultados encontrados, o valor 20 não pode ser usado no problema, pois, nesse caso, o filho teria idade negativa!

Portando, para x = 9 temos para idades: 36 e 6 anos.

Resposta:9 anos.

 

25) Um terreno retangular mede 26 m de comprimento e 16 m de largura. Aos fundos do terreno e em uma de suas laterais — como mostra a figura a seguir — serão a acrescentadas duas faixas de mesma largura. Com essa expansão do terreno, a nova área medirá 816 m2. Qual será a largura dessas faixas?

Resolução:

Inúmeras vezes nos deparamos com o questionamento do aluno: “Professor, pra que serve isso?” Essa pergunta, nesse contexto, pode ser respondida com a abordagem de problemas que relacionam a álgebra com a geometria. Os alunos, além de rever conceitos geométricos, podem perceber a relação dos símbolos matemáticos com situações do cotidiano.

Uma proposta de solução:

Interpretando o problema: Com a colocação das faixas, o novo terreno, também retangular, tem dimensões (x + 26) e (x + 16).

Sabendo que a área do retângulo é igual ao produto de suas dimensões e que a nova área é de 816 m2, podemos, então, escrever:

(x + 26) (x + 16) = 816

Desenvolvendo a equação, obtemos:

x2 + 42x +416 = 816

Utilizando o princípio de equivalência, temos:

x2 + 42x + 416 – 816 = 0

x2 + 42x – 400 = 0

Usando o completamento do trinômio e o princípio de equivalência:

x2 + 42x + 441 – 400 = 441

Fatorando o trinômio quadrado perfeito e, novamente, utilizando o princípio de equivalência, temos:

(x + 21)2 = 441 + 400

 

Logo, x = 8 ou x = – 40

Analisando os resultados encontrados, o valor – 40 não pode ser usado no problema, pois não existem medidas negativas para representar a grandeza “largura”.

Resposta: a faixa terá 8 m de largura.

 

26) Quais são as dimensões de um retângulo cujo perímetro e área medem, respectivamente, 50 cm e 150 cm2?

Resolução:

É usual que muitos professores abordem esse tipo de problema quando ministram aulas sobre sistemas de equações do 2º grau. Achamos importante que, ao fazer a interpretação do problema, os alunos percebam que com o uso de apenas uma variável é possível solucioná-lo!

Uma proposta de solução:

Se o perímetro é igual a 50, então o semiperímetro (soma das medidas das dimensões do retângulo) é igual a 25.

Representação algébrica das dimensões do retângulo:

largura: x

comprimento: 25 – x.

Visualizando o retângulo (opcional).

 

 

 

Utilizando o outro dado do problema (área igual a 150), e lembrando que a área de um retângulo é igual ao produto de suas dimensões, podemos afirmar que:

x(25 – x) = 150

Resolvendo, vem que:

25x – x2 = 150 (distributividade)

– x2 + 25x – 150 = 0 (princípio de equivalência)

x2 – 25x + 150 = 0 (princípio de equivalência: multiplicação por –1)

Utilizando a fórmula de resolução de equações de 2º grau:

Concluindo que: x = 15 ou x = 10

Analisando as raízes obtidas, podemos concluir que as dimensões do retângulo são 10 e 15 cm.

Resposta: o retângulo tem 10 cm de comprimento e 15 cm de largura.

 

27) A figura abaixo é composta por um quadrado com um triângulo em seu interior. A área cinza corresponde a 112 unidades de área. Nessas condições, determine o valor de x.

Resolução:

Além da relação entre a álgebra e a geometria enfocada no problema, este requer a visualização e o entendimento de que a área cinza pode ser obtida, mais facilmente, por uma diferença de áreas. Situações como essas devem ser abordadas, de modo a contribuir no desenvolvimento do raciocínio lógico do aluno!

Uma proposta de solução:

Analisando a figura, vemos que a área cinza corresponde a área do quadrado menos a área do triângulo.

Lembre-os que:

Área do quadrado (lado l): l2

Área do triângulo (base b, altura h):

Com os dados das medidas indicadas na figura, o aluno deve representar as áreas algebricamente.

área do quadrado: (x + 4)2

área do triângulo:

A estratégia utilizada aqui é a da resolução da equação:

2x2 + 16x + 32 – x2 = 224 (princípio de equivalência)

x2 + 16x – 192 = 0 (princípio de equivalência e soma algébrica)

Resolvendo por soma e produto das raízes:

S = –16

P = –192

Devemos pensar em dois números de sinais contrários (produto negativo), sendo o de maior valor absoluto, negativo (soma negativa).

Os números são: 8 e –24

Analisando as raízes da equação, verificamos que a raiz válida é 8.

Resposta: o valor de x é 8.

 

28) Um grupo de amigos comprou um camarote no valor de R$1 440,00 para assistir um show. Devido a um contratempo, três dos amigos não puderam ir e o restante resolveu ratear o “prejuízo”, pagando, cada um, R$ 40,00 a mais. Quantas pessoas foram assistir o show?

Resolução:

Esse tipo de problema, que também pode ser resolvido por meio de um sistema de equações do 2º grau, requer uma análise mais detalhada e, provavelmente, os alunos terão dificuldade para interpretá-lo. Por este motivo, sugerimos que sejam dados exemplos numéricos a cada etapa da resolução, conforme exemplificado adiante, para facilitar o entendimento.

Além disto, sabemos que, em geral, os alunos não costumam reler o que está sendo perguntado e a tendência natural é dar como resposta o valor encontrado na resolução da equação. Alerte-os para verificar se a resposta dada corresponde ao que foi perguntado!

Uma proposta de solução:

Interpretando o problema:

Se o valor do camarote é R$ 1 440,00 e havia n amigos, cada um deles pagou o correspondente a 1 440/n.

Clareando as ideias:

Por exemplo, se fossem 10 amigos, cada um pagaria R$ 144,00 (1 440/10).

Com a desistência de três deles, cada um dos n – 3 amigos, pagaram o correspondente a 1 440/n + 40 (R$ 40,00 a mais, conforme enunciado do problema).

Clareando as ideias:

Novamente, se fossem 10 amigos, 7 (10 – 3) pagariam R$ 144,00 + R$ 40,00.

Como o total pago é igual ao número de pessoas multiplicado pelo preço pago por pessoa, concluímos então que:

Logo, n = 12 ou n = –9

No contexto apresentado, a raiz –9 não é válida.

Se eram 12 pessoas inicialmente e três não foram, então nove pessoas assistiram o show.

Resposta: 9 pessoas.

 

 

Continua...