Professor Diminoi
PROPRIEDADE DISTRIBUITIVA
O que é a propriedade distributiva?
É a propriedade distributiva determina que, em um problema de multiplicação, quando um fator é reescrito como a soma de dois números, o produto não muda.
Quem criou a Propriedade Distributiva?
Criado por Sal Khan e Instituto de Tecnologia e Educação de Monterey.
As propriedades da multiplicação são as seguintes:
- Comutativa
- Associativa
- Distributiva
- Elemento neutro
- Elemento inverso
Resumo sobre propriedades da multiplicação
- As propriedades da multiplicação são utilizadas para simplificar cálculos e expressões.
- Cada propriedade é uma igualdade.
- De acordo com a propriedade comutativa, a ordem dos fatores não altera o produto.
- Segundo a propriedade associativa, o modo com que os números são agrupados não altera o produto entre eles.
- Conforme a propriedade distributiva, a multiplicação de um número pela soma de outros dois pode ser distribuída para cada elemento da soma.
- O número 1 é o elemento neutro da multiplicação, pois o produto de um número real por 1 é 1.
- Dado um número a real não nulo, o número 1/a é seu inverso multiplicativo, pois o produto de a e 1/a
é o elemento neutro.
01) Na multiplicação (2 + 4) . (3+6), teremos:
Resolução:
(2 + 4) . (3+6)
3 + 2 . 6 + 4·3 + 4·6
6 + 12 + 12 + 24
54
02) Na multiplicação (2 + 4) . (7 – 2), teremos:
Resolução:
(2 + 4) . (7 – 2)
(2 + 4) . (7 – 2)
2 . 7 – 2 . 2 + 4 . 7 – 4 . 2
14 – 4 + 28 – 8
30
Quando houver três ou mais parcelas em algum dos fatores, proceda da mesma maneira indicada anteriormente. Observe:
(a + b) . (c + d + e)
a . c + a . d + a . e + b . c + b . d + b . e
03) Na multiplicação (2 + 3)·(4 + b + 7), teremos:
Resolução:
(2 + 3)·(4 + b + 7)
2 . 4 + 2b + 2 . 7 + 3 . 4 + 3b + 3. 7
8 + 2b + 14 + 12 + 3b + 21
55 + 5b
Multiplicações com três ou mais fatores
Quando houver três ou mais fatores, multiplique-os dois a dois, ou seja, aplique a propriedade distributiva nos dois primeiros e utilize o resultado dessa multiplicação como fator para aplicar a mesma propriedade novamente. Observe:
(a + b) . (c + d) . (e + f)
(a .c + a . d + b. c + b . d) . (e + f)
a . c . e + a . d . e + b . c . e + b . d . e + a . c . f + a . f + b . c . f + b . d . f
00) Na multiplicação (2 + 3)·(4 + 5)·(1 + 2), teremos:
Resolução:
(2 + 3) . (4 + 5) . (1 + 2)
(2·4 + 2·5 + 3·4 + 3·5)·(1 + 2)
2·4·1 + 2·5·1 + 3·4·1 + 3·5·1 + 2·4·2 + 2·5·2 + 3·4·2 + 3·5·2
8 + 10 + 12 + 15 + 16 + 20 + 24 + 30
135
QUESTÕES RESOLVIDAS
01) Quanto é 10(2 + 4)?
Resolução:
10(2 + 4)
20 + 40 = 60
02) Quanto é 15(20 - 5)?
Resolução:
15(20 – 5)
300 – 75 = 225
03) Quanto vale 10(a + b)?
Resolução:
10(a + b)
10a + 1b
04) Na multiplicação (2 + 4) . (3 + 6), teremos:
Resolução:
(2 + 4) . (3 + 6)
6 + 12 + 12 + 24 = 54
05) Na multiplicação (2 + 4) . (7 – 2), teremos:
Resolução:
(2 + 4) . (7 – 2)
14 – 4 + 28 – 8
14 + 28 – 4 - 8
42 – 12
30
06) Aplicando a propriedade distributiva na equação 2x – 3(4 – x) = 5 + 4(2x + 1), encontramos que x vale:
Resolução:
2x – 3(4 – x) = 5 + 4(2x + 1)
2x – 12 + 3x = 5 + 8x + 4
2x + 3x – 8x = 5 + 4 + 12
–3x = 21
3x = –21
x= –21/3
x = –7
07) Aplicando a propriedade distributiva na equação 3(x – 5) + 2(2x – 4) = x – 1, encontramos que x vale:
Resolução
3(x – 5) + 2(2x – 4) = x – 1
3x – 15 + 4x – 8 = x – 1
3x + 4x – x = –1 + 15 + 8
6x = 22
x = 22/6
x = 11/3
08) Aplicando a propriedade distributiva na equação 2(x – 3) + 4(2x + 1) = 8 – 5(x – 4), encontramos que x vale:
Resolução:
2(x – 3) + 4(2x + 1) = 8 – 5(x – 4)
2x – 6 + 8x + 4 = 8 – 5x + 20
2x + 8x + 5x = 8 + 20 +6 – 4
15x = 30
x = 30/15
x = 2
Em cada caso encontre o valor da equação
09) 8 (x + 2) = 4 (x + 6)
Resolução:
8 (x + 2) = 4 (x + 6)
8x + 16 = 4x + 24
8x – 4x = 24 – 16
4x = 8
x = 8 / 4
x = 2
10) 8 (x + 3) = 40
Resolução:
8 (x + 3) = 40
8x + 24 = 40
8x = 40 – 24
8x = 16
x = 16 / 8
x = 2
11) 12x – 14 (1 – x) – 2 (10x + 4) = 0
Resolução:
12x – 14 (1 – x) – 2 (10x + 4) = 0
12x – 14 + 14x – 20x – 8 = 0
12x + 14x – 20x = 14 + 8
6x = 22
x = 22 / 6
x = 11 / 3
12) 10 (2x – 1) = 4 (x + 4)
Resolução:
10 (2x – 1) = 4 (x + 4)
20x – 10 = 4x + 16
20x – 4x = 16 + 10
16x = 26
x = 26 / 16
x = 13 / 8
13) 4x – 6 (4 – x) = 10 + 8 (2x + 1)
Resolução:
4x – 6 (4 – x) = 10 + 8 (2x + 1)
4x – 24 + 6x = 10 + 16x + 8
4x + 6x – 16x = 10 + 8 + 24
– 6x = 42 *(–1)
6x = –42
x = –42/6
x = – 7
14) 10x – 20 (x – 1) = 40 – 30 (x – 2)
Resolução:
10x – 20 (x – 1) = 40 – 30 (x – 2)
10x – 20x + 20 = 40 – 30 x + 60
10x – 20x + 30x = 40 + 60 – 20
20x = 80
x = 80 / 20
x = 4
15) 2 (3x – 7) + 3 (x – 1) = 4 (2x – 3)
Resolução:
2 (3x – 7) + 3 (x – 1) = 4 (2x – 3)
6x – 14 + 3x – 3 = 8x – 12
6x + 3x – 8x = –12 +14 + 3
x = 5
16) 6 (x – 3) + 12 (2x + 1) = 24 – 15 (x – 4)
Resolução:
6 (x – 3) + 12 (2x + 1) = 24 – 15 (x – 4)
6x – 18 + 24x + 12 = 24 – 15x + 60
6x + 24x + 15x = 24 + 60 + 18 – 12
45x = 90
x = 90 / 45
x = 2
17) y + [y – (2y – 3 ) – 5] + 2y = –8 – 2(y + 7)
Resolução:
y + [y – (2y – 3 ) – 5] + 2y = –8 – 2(y + 7)
y + [y –2y + 3 – 5] + 2y = –8 –2y –14
y + [–y –2] + 2y = –22 –2y
y – y – 2 + 2y = –22 –2y
y – y + 2y + 2y = –22 +2
4y = –20
y = –20/4
y = –5
18) Calcule o total que será gasto com equipamentos de computadores para reposição na loja de Gustavo. Baseie-se na lista abaixo:
2 monitores de LCD: R$ 780,00
2 monitores de LED: R$ 980,00
3 mouses wireless: R$ 110,00
3 mouses wireless com fio: R$ 50,00
4 teclados com fio: R$ 120,00
4 teclados wireless: R$ 160,00
2 Placas de vídeo VGA: R$ 190,00
2 Placas de vídeo HDMI: R$ 280,00
Resolução:
Para resolver essa questão, devemos montar uma equação com todos os equipamentos. Chamaremos de x o valor que será gasto no total.
x = 2 . (780 + 980) + 3 . (110 + 50) + 4 . ( 120 + 160) + 2 . (190 + 280)
Aplique a propriedade distributiva: a . (x + y) = ax + ay
x = 1560 + 1960 + 330 + 150 + 480 + 640 + 380 + 560
Some todos os valores:
x = 6060
Gustavo gastará com materiais eletrônicos de reposição da sua loja: R$6060,00.
19) Obtenha a solução da equação abaixo, sabendo que a = 2 e b = 5.
(24 + 3a) = 42b + 3 . ( a + b) – 30 + 2x (2 + 3)
Resolução:
(24 + 3a) = 42b + 3 . ( a + b) – 30 + 2x (2 + 3)
Utilize a propriedade distributiva quando necessário: a . (x + y) = ax + ay.
24x + 3ax = 16b + 3a + 3b – 30 + 4x + 6x
Substituta os valores de a e b:
24x + 3 . 2 . x = 16 . 5 + 3 . 2 + 3 . 5 – 30 + 4x + 6x
24x + 6x = 80 + 6 + 15 – 30 + 4x + 6x
24x + 6x – 4x – 6x = 101 – 30
20x = 71
x = 71
20
20) Resolva as equações abaixo aplicando a propriedade distributiva em cada caso:
a) 2 . (x + 3) = 12
Resolução:
2 . (x + 3) = 12
2x + 6 = 12
2x = 12 – 6
2x = 6
x = 6
2
x = 3
b) ( x+ 2)2 = + x2
Resolução:
(x + 2)2 = + x2
(x + 2) . (x + 2) = + x2
x2 + 2x+ 2x + 4 = + x2
x2 – x2 + 4x = - 4
0 + 4x = - 4
4x = - 4
x = 4
4
x = 1
c) 3 . (y + 3) + 5y = 25
Resolução:
3y + 9 + 5y = 25
8y = 25 – 9
8y = 16
y = 16
8
y = 2
