RADICIA플O POTENCIA플O

RADICIA플O POTENCIA플O

Professor Diminoi

- Radiciação

- Potenciação

 

RADICIAÇÃO

 

A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e analisar suas propriedades.
Dados um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz enésima de x o número real não negativo y tal que yn = x. O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é  e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é o índice.

Pela definição de radiciação, temos que:

Exemplo 1.

Propriedades da radiciação.

 

Exemplo 2

Simplifique a expressão

 

 Exemplo 3

Racionalize as seguintes frações:
Racionalizar a fração é fazer com que no denominador não exista uma raiz enésima de um número.

 

Exemplo 4

Verifique as propriedades da radiciação.

https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/upload/conteudo/raiz6.jpg

 

Exemplo 5

Obtenha a forma mais reduzida possível da expressão:

Resolução:

Podemos reescrever cada uma das raízes utilizando as propriedades da radiciação.

 

Exercícios resolvidos Radiciação

01) Aplique as propriedades da radiciação para simplificar a expressão numérica abaixo [ √( 2 . √10 ) + 9 . ( 4 . √3 ) ]

Resolução:

Aplicando as propriedades da radiciação, podemos reescrever essa expressão como:

2.[√(2.√10) + 9.(4.√3)]

2.[√(√2².10) + 9.(√4².3)]

2.[√(√40) + 9.(√48)]

2.[√(√40) + √(9². 48)]

2.[ 4√40 + √(81. 48)]

2.[ 4√40 + √3888]

4√(24 . 40) + √3888

4√640 + √3888

2.√2. 4√5 + 36√3

 

02) Observa a expressão abaixo escreva ela da  forma mais reduzida possível.

Resolução:

Primeiramente vamos utilizar a fatoração para calcular o valor de 3√75000:

75000 = 3.5².10³

Portanto, 3√75000 = 10. 3√(3.5²). Através da fatoração, vamos agora calcular o valor de √60:

60 = 2².3.5

Então √60 = 2√3.5. Sendo assim, temos:

 

 

03) (Mack) O valor de √2 + √3 . √18 é igual a:

(A) √56

(B) √108

(C) √2 + 54

(D) √6 + 6

(E) √2.(1 + 3.√3)

Resolução:

Sabendo que uma das propriedades da radiciação garante que o produto de raízes é igual à raiz do produto, temos:

√2 + √3.√18 = √2 + √(3.18) = √2 + √54

Através da fatoração sabemos que 54 = 2 . 3 . 3 . 3 = 2 . 3² . 3. Podemos então reescrever a raiz de 54 como:

√54 = √(2 . 3² . 3) = √2 . √3² . √3 = √2 . 3.√3

Substituindo √2 . 3.√3 no lugar de √54, temos:

√2 + √54 = √2 + √2 . 3.√3 = √2 . (1 + 3√3)

Alternativa: E

 

04) (FGV) Simplificando-se 2√3 + 2√12 – 2√75 obtém-se:

(A) 0

(B) – 2√3

(C) – 4√3

(D) – 6√3

(E) – 8√3

Resolução:

Através da fatoração, podemos alterar a forma de representar as raízes de 12 e 75:

√12 = √(2² . 3) = 2.√3

√75 = √(3 . 5²) = 5.√3

Podemos reescrever a expressão 2√3 + 2√12 – 2√75 como:

2√3 + 2√12 – 2√75

2.√3 + 2.(2.√3) – 2.(5.√3)

2.√3 + 4.√3 – 10.√3

√3 . (2 + 4 – 10)

– 4.√3

Alternativa: C

 

05) Calcule o valor da expressão:

Resolução:

 

06) Calcule o valor da expressão:

Resolução:

 

07) Simplifique a expressão:

Resolução:

  

08) Ache o resultado da expressão:

Resolução:

 

09) Resolva a expressão:

Resolução:

Assim como em uma expressão numérica, vamos começar a resolver essa expressão pelas raízes quadradas que estão dentro dos parênteses:

3

Como a raiz cúbica de 27 é 3

Conclui-se que: o resultado da expressão  é 3.

 

10) Simplifique a expressão a seguir: 

Resolução:

Para simplificar a expressão, podemos tentar reescrever algumas das raízes quadradas:

√8 = √4.2 = √4.√2 = 2√2

√27 = √9.3 = √9.√3 = 3√3

Reescreveremos a expressão com essas raízes:

Colocando o 2 e o 3 em evidência, o resultado será:

 

11) (UTF - PR) Considere as seguintes expressões:

I. 

II. 

III. 

É (são) verdadeira(s), somente:

(A) I.

(B) II.

(C) III.

(D) I e II.

(E) I e III.

Resolução:

Vamos analisar cada uma das expressões individualmente:

Através da fatoração, podemos escrever a raiz quadrada de 12 como a raiz do produto (4.3). Mas uma das propriedades da radiciação é que “a raiz de um produto é igual ao produto das raízes”. Logo:

Substituindo √12 por 23 na expressão, teremos:

Portanto, a expressão I está incorreta.

O expoente – 1 no primeiro membro da equação garante que podemos escrever 2como denominador de uma fração que possua 1 no numerador, isto é:

I. 

Fazendo a racionalização do denominador, teremos:

II. 

Portanto, a expressão II é verdadeira.

III. 

No primeiro membro da equação, há a potência 24. Desenvolvendo-a, temos:

24 = 2.2.2.2 = 16

Ainda no primeiro membro temos o expoente ½, que pode ser substituído por uma raiz quadrada:

(24)1/2 = 161/2 = 16 = 4

Portanto, essa expressão também está incorreta.

Alternativa: B

 

12) (UFRGS) A expressão  abaixo é igual a:

(A) √2 + 3√3
        4√2

(B) 5√2

(C) √3

(D) 8√2

(E) 1

Resolução:

Antes de resolver a expressão, vamos tentar simplificar ou resolver todas as raízes até alcançar valores menores.

18 = √9.2 = √9.√2 = 3√2

50 = √25.2 = √25.√2 = 5√2

Substituiremos na expressão os valores encontrados:

Observe que o numerador e o denominador da fração ficaram iguais. Dividindo-os, podemos concluir que essa expressão é igual a 1.

Alternativa: E.

 

13) (UFCE) Simplificar a expressão:

Resolução:

Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por

14) Calcular o quociente:

Resolução:

Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

 

15) Escrever em ordem de grandeza crescente os radicais:

Resolução:

Para fazer a comparação entre os radicais devemos, inicialmente, reduzí-los ao mesmo índice. Isto é feito calculando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos índices e, após, aplicando a propriedade P6. O mmc(2, 4, 3, 6) = 12 e reescrevendo os radicais (P6) vem:

Agora, basta considerar a ordem dos radicandos para estabelecer a ordem crescente dos radicais:

 

16) Efetuar

Resolução:

Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável – PN) e as propriedades da Radiciação indicadas:

 

POTENCIAÇÃO

potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação:

Sendo a ≠ 0, temos:

a = base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo)
n =  expoente (número de vezes que o número é multiplicado)

Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois elevado ao cubo), tem-se:

23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8

Exemplo

2: Base
3: Expoente
8: Potência (resultado do produto)

 

Exemplo

A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma:

an = a . a . a . a …

= base
= expoente
a . a . a . a … = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência

 

Exemplos:

2= 2 . 2 . 2 = 8

= base
= expoente
2 . 2 . 2 = produto de fatores
= potência

 

Como o expoente é 3, tivemos que repetir a base, que é 2 três vezes, em um produto.

Exemplos:

54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

= base
= expoente
5 . 5 . 5 . 5 = produto de fatores
625 = potência

 

Como o expoente é 4, tivemos que repetir a base, que é 5 quatro vezes, em um produto.

Exemplos:

102 = 10 . 10 = 100

10 = base
= expoente
10 . 10 = produto de fatores
100 = potência

Como o expoente é 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes, em um produto.

 

Tipos de potenciação

Base real e expoente inteiro

Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.

Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores.

Exemplos:

a) 2+2= 2 . 2 = 4
b) 0,3+3 = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027
c) (½ )+2= ½ . ½ = ¼

Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo.

Exemplos:

a: am = an = an - m
              am

a) 56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54
                   52

b) 92 : 93 92 = 92 – 3 = 9-1
                   93

Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes.

Exemplos:

(an)m = an . m

a) ( 7)= 74 . 2 = 78

b) ( 123 )2= 123 . 2 = 126

 

Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores.

Exemplos:

(a . b)n = ( an . bn)

a) (4 . 5)2= (42. 52)

b) (12 . 9)3 = (123 . 93)

 

Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases.

Exemplo:

an . bn = (a . b)n

a) 42. 62= (4 . 6)2

b) 73 . 43 = (7 . 4)3

c) 2-2  1  11 = 1
             2+2     2   2   

d) 0,3– 3 =(3)-3 = (10)+3 = 10 . 10 . 10 1000 = 37,037
                (10)-3     (3)+3        3 . 3 . 3        27

e) (½ )-2= (2/1)+2= 2 . 2 = 4

 

Expoente igual a 1

Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:

a1 = a
21 = 2
41 = 4
1001 = 100

 

Expoente igual a 0

Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:

a0 = 1
10000 = 1
25= 1

 

Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:

Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.

Exemplos:

an . am = an + m

22 . 23 = 22 + 3 = 25

45 . 42 = 45 + 2 = 47

 

Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes.

Exemplos:

a: am = an = an - m
    am

56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54
             52

92 : 93 92 = 92 – 3 = 9-1
             93

 

Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes.

Exemplos:

(an)m = an . m

a) (7)2 = 74 . 2 = 78

b) (123 )2 = 123 . 2 = 126

 

Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores.

Exemplos:

(a . b)n = ( an . bn)

a) (4 . 5)2 = (42 . 52)

b) (12 . 9)3 = (123 . 93)

 

Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases.

Exemplo:

an . bn = (a . b)n

a) 42 . 62 = (4 . 6)2

b) 73 . 43 = (7 . 4)3

 

Leitura dos expoentes:

21 = dois elevado a um

22 = dois elevado a dois ou dois levado à segunda potência

23 = dois elevado a três ou dois elevado à terceira potência

24 = dois elevado a quatro ou dois elevado à quarta potência

25 = dois elevado a cinco ou dois elevado à quinta potência

26 = dois elevado a seis ou dois elevado à sexta potência

27 = dois elevado a sete ou dois elevado à sétima potência

28 = dois elevado a oito ou “dois elevado à oitava potência

29 = dois elevado a nove ou “dois elevado à nona potência

2n = dois elevado a n ou dois elevado à enésima potência

Em geral, quando nos deparamos com uma potência, precisamos repetir o produto da base quantas vezes indicar o expoente. Mas três regras são facilmente vistas:

Quando a base for zero, o resultado da potência será zero.

0n = 0

Quando o expoente for um, o resultado da potência será exatamente o valor da base.

a1 = a

Quando o expoente for zero, o resultado da potência será sempre um.

a0 = 1

 

Exercícios resolvidos Potenciação

17)

 

Continua...