RADICIAÇÃO POTENCIAÇÃO

Professor Diminoi

POTENCIAÇÃO

A potenciação (ou exponenciação) é uma das operações básicas no universo dos números naturais onde um dado número é multiplicado por ele mesmo, uma quantidade n de vezes. Lembrando que para representar a soma de várias parcelas iguais, usamos a multiplicação, podemos recorrer à potenciação para expressar o produto de vários fatores iguais.

Propriedades das potências

Propriedades das potências podem ser usadas para ajudar no cálculo e na simplificação de expressões. As quatro operações matemática básicas são adição, subtração, multiplicação e divisão, entretanto, não são as únicas operações existentes. Quando o produto envolve fatores que são todos iguais, é possível definir uma nova operação matemática: a potenciação. Como tudo na Matemática, com uma nova definição, é possível também encontrar novas propriedades exclusivas a ela.

Propriedades da potenciação

A potenciação possui oito propriedades mais importantes, com as quais é possível resolver quase todos os problemas envolvendo essa operação:

Expoente zero

Sempre que o expoente de uma potência for zero, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência será igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a⁰ = 1

Expoente um

Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a¹ = a

Potência de potência

Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e conservamos a base.

Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, teremos:

(aⁿ)^m = a^n·m

Produto de potência de mesma base

Conserva-se a base e soma-se ou subtrai-se os expoentes.

Exemplos:

a^m . aⁿ = a^{m + n}

Divisão de potência de mesma base

Devemos conservar a base e subtrair os expoentes.

Exemplo:

a^m / aⁿ = a^{m - n}

Base negativa (observe cada caso)

Quando a base e negativa e o expoente é impar o resultado é sempre negativo.

(-2)³ = -8

Quando a base e negativa e o expoente é par, o resultado é sempre positivo.

(-2)² = 4

Potência de potência

Nesse caso, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

Exemplo:

(a^m)ⁿ = a^{m . n}

Potência de um produto

Devemos atribuir o expoente aos fatores do produto.

Exemplo:

(a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

Divisão de potência de mesmo expoente

Numa divisão com expoente devemos elevar tanto o numerador como denominador ao expoente.

Exemplos:

a) (a/b)ⁿ = n^a / bⁿ

b) (5/3)³ = 5³ / 3³ = 125 / 27

Multiplicação de potência om o mesmo expoente.

Quando multiplicamos um expoente com a mesma expoente podemos conservar o expoente e multiplicar as bases.

Exemplo:

(aⁿ . bⁿ) = ( a . b)ⁿ

(3² . 2²) = (3 . 2)² = 6² = 36

Exemplos:

(a) 2³ . 2^-2 = 2^{3 + (-2)}= 2¹

(b) 5^-3 . 2^-3 = (5 . 2)^-3= 10^-³

(c) 5² / 5^-5 = 5^2-(-3)= 5^{2 + 3}= 5⁵

(d) 5^-2 / 3^-2 = (5/3)^-2= (3/5)²= 9/25

(e) (3²)^-1 = 3^{2 . (-1)}= 3^-2 = (1/3)² = 1/9

Expoentes negativos

Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida. Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos:

a^-n = ( 1/a)ⁿ

Potência com expoente fracionário

Quando o expoente é fracionário, podemos transformar essa potência em uma radiciação.

Exemplo:

Potências com expoente racional

Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos:

Quadrados perfeitos

Vamos calcular os quadrados dos primeiros números naturais:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

Os números : 0,1,4,9,16,25,36,49,..........chamam-se quadrado perfeito. Somente esses números possuem raiz quadrada exata em IN.

QUESTÕES RESOLVIDAS

01) Simplificando a expressão (a³ · b^{-7 ·}a²) / (a² · b^-4)², encontraremos:

(A) a/b

(B) ab

(D) a²b

Resolução:

Letra B. Usando as propriedades de multiplicação de potência de mesma base, potência de potência e divisão de potência de mesma base, temos que:

(a³ . b^-7 ·a²) / (a² . b^-4)²
(a^{3 + 2} . b^-5) / (a²² . b^{-4 . 2})
(a⁵ · b^-7) / (a⁴ . b^-8)
a^5-4· b^-7-(-8)
a¹ . b^-7+8
a¹ . b¹
a . b

Alternativa: B

02) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é equivalente a:

(A) 8/17

(B) -8/17

(D) -16/17

Resolução:

Resolvendo primeiro o numerador, temos que:

Agora vamos resolver o denominador:

Como temos uma divisão do numerador pelo denominador, vamos multiplicar pelo inverso da segunda fração:

Alternativa: D

03) Ao término de uma avalição de matemática os colegas da classe estavam discutindo o resultado de uma questão que pedia para calcular 32^3/5 – 27^2/3. Entre os diferentes resultados comentados por eles, o correto é

(A) (1)^1/15

(B) −1.

(D) 5^1/15

Resolução:

Fatorando 32 e 27 respectivamente, têm-se ( 2⁵)^3/5 – (3³)^2/3

Aplicando a propriedade da potência de potência temos 2^15/5– 3^6/3

Simplificando as frações dos expoentes obtêm-se 2³ − 3² = 8 − 9 = −1.

Alternativa: B

04) Qual o valor da expressão abaixo?

(A) 3

(B) 32

(D) 4996

(E) 0,72

Resolução:

Sabemos que

2³ = 8

3⁸= 6561

5⁴ = 652

Assim, 6561 – 652 = 5936 (numerador)

4⁴ = 256

20³ = 8000

Assim, 256 + 8000 = 8256 (denominador)

Fazendo a divisão do numerador pelo denominador temos:

5936 / 8256 = 0,72

Alternativa: E

05) valor da expressão 2^1/4. 2^3/4 + 3^1/3. 3^3/2 é:

(A) 2 3 + 3

(B) 11

(D) 85

Resolução:

Observa-se que se têm uma expressão numérica na qual cada parcela é um produto de potência de mesma base com expoentes fracionários. Primeiramente devemos aplicar a propriedade do produto de potências de mesma base, calcular a potenciação resultante e, em seguida, resolver a adição correspondente.

2^{(1+3) /4}+ 3^{(1+3) /2}

2¹ + 3²

2 + 9 = 11

Alternativa B

06) Em um sítio há 12 árvores. Cada árvore possui 12 galhos e em cada galho tem 12 maçãs.

Quantas maçãs existem no sítio?

(A) 144

(B) 1224

(D) 1728

Resolução:

Resposta correta: 1 728 maçãs.

Temos uma potência onde o número 12 é a base e o número 3 é a quantidade de vezes que a base se repete.

Vamos tomar como exemplo uma das árvores. Em cada um dos 12 galhos de uma árvore encontram-se 12 maçãs, ou seja, 12 galhos vezes 12 maças: 12 . 12 = 144.

Só que no total temos 12 árvores, ou seja, 144 . 12 nos dá o número total de maçãs. Isso pode ser expresso na forma de potência.

12 . 12 . 12 = 12³ = 1 728.

Portanto, o sítio apresenta 1 728 maçãs.

Alternativa: D

07) (UFRGS - 2013) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como

(A) 10⁹

(B) 10¹⁰

(D) 10¹²

(E) 10¹³

Resolução:

Um bilhão é a mesma coisa que mil milhões, ou seja, 1000 . 1 000 000 = 1 000 000 000.

100 bilhões é igual a 100 . 1 000 000 000 = 100 000 000 000.

Números grandes como o dessa questão podem ser escritos em notação científica, cuja escrita segue o padrão N . 10ⁿ, onde N é um número menor que 10 e maior ou igual a 1. Já o expoente da base 10 é o número de casas decimais que a vírgula "andou" para obtermos o valor de N.

Observe que para chegar até ao número 11 foi preciso "andar" 11 casas decimais. Portanto, temos a potência 10¹¹ como resultado.

Alternativa: C

08) (Senai) Considerando que cada aula dura 50 minutos, o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segundos, é de:

(A) 3,0 . 10²

(B) 3,0 . 10³

(D) 6,0 . 10³

(E) 7,2 . 10³

Alternativa: D

09) (ENEM) A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo os pulmões. O vírus influenza é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm.

Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é

(A) 1,1 × 10^-1

(B) 1,1 × 10-2

(D) 1,1 × 10^-4

(E) 1,1 × 10^-5

Alternativa: D

RADICIAÇÃO

É a operação matemática inversa à potenciação. Enquanto a potenciação é uma multiplicação na qual todos os fatores são iguais, a radiciação procura descobrir que fatores são esses, dando o resultado dessa multiplicação

Propriedades da radiciação

A raiz enésima de um número elevado a n é igual a esse mesmo número:

Índice e expoente do radicando podem ser multiplicados ou divididos pelo mesmo número. Assim, dados os números reais a, m, n e p, teremos:

Para simplificar a raiz de uma raiz, basta multiplicar seus índices. Matematicamente, isso pode ser representado da seguinte forma:

A raiz enésima do produto é igual ao produto das raízes enésimas:

A raiz enésima da razão é igual à razão das raízes enésimas, ou seja:

Exemplo:

Escreva na forma simplificada a raiz quadrada de 360.

Vamos realizar a fatoração de 360 utilizando o método das divisões sucessivas.

360|2→ 2 é o menor número primo que divide 360;
180|2→ 2 é o menor número primo que divide 180;
90|2 → 2 é o menor número primo que divide 90;
  45|3 → 3 é o menor número primo que divide 45;
  15|3 → 3 é o menor número primo que divide 15;
    5|5 → 5 é o menor número primo que divide 5.
   1|

Sendo assim, temos que 360= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.

Como o nosso objetivo é simplificar uma raiz quadrada, vamos agrupar esses fatores de 2 em 2, logo, podemos reescrever 200 como:

360= 2² · 2 · 3² · 5

Assim, podemos reescrever a raiz de 360, utilizaremos a primeira propriedade para simplificar a raiz quadrada, o que significa que os termos que estão elevados ao quadrado sairão do radical, e os que não estão permanecem dentro do radical:

QUESTÕES RAIZ QUADRADA

01) Decomponha os números abaixo em fatores primos e encontre as suas respectivas raízes.

a) √625

Resolução:

625|5
125|5
25|5
5|5
1|

b) √100

Resolução:

100|2
50|2
25|5
5|5
1|

c) √81

Resolução:

81|3
27|3
9|3
3|3
1|

02) (Cefet/RJ 2014) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?

(A) 2700

(B) 2800

(D) 3000

Resolução:

A área de um quadrada é igual ao lado ao quadrado, então, para encontrar o valor do lado, vamos calcular a raiz quadrada da área do terreno.

Para calcular a raiz quadrada de 196, vamos fatorar esse número:

Então, temos que:

Alternativa: C

05) O valor da expressão algébrica a seguir é: √4+√16 – √25 ×√9

(A) – 9.

(B) – 6.

(D) – 4.

(E) – 2.

Resolução:

Resolvendo a expressão, temos que:

√4+√16 – √25 ×√9
2 + 4 – 5 × 3
6 – 15
– 9

Alternativa: A

06) Qual é a raiz quadrada de 5184?

(A) 42

(B) 58

(D) 72

(E) 88

Resolução:

Fatorando 5184, temos que:

Então, podemos fazer o seguinte cálculo:

Alternativa: D

07) (Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, são aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.

(A) 35

(B) 24

(D) 17

(E) 49

Resolução:

Então, temos que:

√625 = √5⁴

√625 = 5²

√625 = 25

Alternativa: C

08) Sabendo que √x = 9, então o valor da terça parte de x é:

(A) 81

(B) 72

(D) 27

(E) 9

Resolução:

√x = 9
√x² = 9²
x = 81

Alternativa: A

09) (PM Piauí 2009 – Nucepe) A expressão √18 + √50 é equivalente:

(A) 2√2

(B) 3√2

(D 15√2

(E) 8√3

Resolução

Vamos fatorar os números dentro dos radicais:

18 = 2.3²

50 = 2.5²

Resolvendo a expressão:

√18 + √50

√(2.3²) + √(2.5²)

3√2 + 5√2

8√2

Resposta: C

Continuação ...

Continua...