QUESTÕES - JUROS COMPOSTOS

Professor Diminoi

JUROS COMPOSTOS
Os Juros Compostos são calculados levando em conta a atualização do capital, ou seja, o juro incide não apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros sobre juros).
Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado nas transações comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos).

A fórmula dos juros compostos é formada por quatro variáveis, são elas: capital, juros, taxa de juros, tempo e montante.
M C(1 + i)t
M = montante
C = capital
i =taxa de juros
t = tempo

01) Um capital de R$ 4000 foi aplicado a juros compostos, com taxa de 10% a.a. Qual será o montante e os juros gerados após 3 anos?
Resolução:
Dados:
C = 4000
t = 3 anos
i = 10% a.a.
Vamos representar 10% em sua forma decimal = 0,1.
Temos que:
M = C (1 + i) t
M = 4000 (1 + 0,1)³
Após a substituição, vamos resolver a equação:
M = 4000 (1,1)³
M = 4000 . 1331
M = 5324
Para encontrar os juros, basta calcular a diferença
J = M – C:
J = M – C = 5324 – 4000 = 1324
Então, temos que:
M = R$ 5324
J = R$ 1324

02) Os juros adquiridos ao investir-se um capital de R$ 20.000 a juros compostos, de 3% a.a., durante um período de 24 meses, serão de:
(A) R$ 22.315
(B) R$ 21.218
(C) R$ 1218
(D) R$ 2414
(E) R$ 1310
Resolução
Dados: C = 20.000
i = 3% a.a.
t = 24 meses = 2 anos (note que a taxa está em anos)
M = C (1 + i)t
M = 20 000 (1 + 0,03)2
M = 20 000 (1,03)²
M = 20.000 . 1,0609
M = 21.218
J = M – C = 21.218 – 20.000 = 1218
Alternativa: C

03) (Fauel) Um pequeno investidor decide realizar uma aplicação no Tesouro Direto, um fundo de investimento muito pouco arriscado, porém que rende mais que a poupança tradicional. Considerando-se que tal investimento rende aproximadamente 7% ao ano no regime de juros composto, quanto uma aplicação de R$ 100 renderia ao final de dois anos?
(A) R$ 13,85
(B) R$ 14,00
(C) R$ 14,49
(D) R$ 15,23
Resolução
C = 100
t = 2 anos
i = 7%
M = C (1 + i)t
M = 100 (1 + 0,07)²
M = 100 (1,07)²
M = 100 .1,1449
M = 114,49
Calculando os juros, temos que:
J = M – C  
J = 114,49 – 100 = 14,49
Alternativa: C

04) Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$5.000,00, à taxa de 1% ao mês?
Resolução:
C = 5000
i = 1% ao mês (0,01)
t = 1 semestre = 6 meses
Substituindo, temos:
M = 5000 (1 + 0,01)6
M = 5000 (1,01)6
M = 5000 . 1,061520150601
M = 5307,60
Para encontrar o valor dos juros devemos diminuir do montante o valor do capital, assim:
J = 5307,60 - 5000 = 307,60
O juro recebido será de R$ 307,60.

05) Anita resolve aplicar R$300 num investimento que rende 2% ao mês no regime de juros compostos. Nesse caso, calcule o valor que ela terá de investimento ao final de três meses.
Resolução:
Ao aplicar a fórmula dos juros compostos teremos:
Mn= C (1+i)t
M3 = 300.(1+0,02)3
M3 = 300.1,023
M3 = 300.1,061208
M3 = 318,3624
Lembre-se que no sistema de juros compostos o valor de rendimento será aplicado ao montante acrescido por cada mês. Sendo assim:
1°mês: 300 + 0,02.300 = R$306
2°mês: 306 + 0,02.306 = R$312,12
3° mês: 312,12 + 0,02.312,12 = R$318,36
Ao final do terceiro mês Anita terá aproximadamente R$318,36.

06) Um capital de R$ 2500 foi investido a juros compostos durante 36 meses, com a taxa de juros de 12% a.a. Os juros gerados por esse capital foram de:
(A) R$ 3512,32
(B) R$ 3400
(C) R$ 2520,25
(D) R$ 1012,32
(E) R$ 900
Resolução:
Dados:
C = 2500
i = 12% a.a.
Note que a taxa é anual e o tempo está em meses, e sabemos que 36 meses correspondem a 3 anos.
t = 36 meses → 3 anos
Substituindo na fórmula, temos que:
M = C(1 + i)t
M = 2500 (1 + 0,12)3
M = 2500 (1,12)³
M = 2500 · 1,404928
M = 3512,32
Então os juros serão a diferença entre M e C:
J = M – C
J = 3512,32 – 2500
J = 1012,32
Alternativa: D

07) Qual deve ser o valor aplicado em um fundo imobiliário, aproximadamente, para que, após 5 anos, com uma taxa de 8% a.a., gere um montante de R$ 50.000?
(A) R$ 34.029,16
(B) R$ 30.253,45
(C) R$ 28.117,20
(D) R$ 27.919,18
(E) R$ 25.550,50
Resolução:
Dados:
M = 50.000
t = 5 anos
i = 8% a.a.
Substituindo na fórmula, temos que:
M = C(1 + i)t
50.000 = C(1 + 0,08)5
50.000 = C(1,08)5
50.000 = C · 1,469328
50.000 / 1,469328 = C
C = 34.029,16
Alternativa: A

08) Durante quanto tempo um capital deve ficar em um fundo de investimentos para que ele triplique o seu valor com uma taxa de 10% a.a.? (Use log3 = 0,48 e log1,1 = 0,04.)
(A) 1 ano
(B) 5 anos
(C) 10 anos
(D) 12 anos
(E) 15 anos
Resolução:
Dados:
Sabemos que o montante é o triplo do capital, então, temos que:
M = 3C
i = 10% a.a.
Substituindo na fórmula, temos que:
M = C(1 + i)t
3C = C(1 + 0,1)t
3C = C(1,1)t
3C : C = 1,1t
3 = 1,1t
Aplicando o logoritmo dos dois lados, temos que:
log3 = log1,1t
log3 = t log1,1
0,48 = t · 0,04
0,48 : 0,04 = t
t = 12 anos
Alternativa: D

09) Ao realizar o investimento em renda fixa, o investidor conseguiu valorizar o seu capital a uma taxa de 9% a.a. O investidor tinha R$ 95.000 e resgatou R$ 112.869,50, quanto tempo esse investimento ficou aplicado?
(A) meio ano
(B) 1 ano
(B) 1 ano e meio
(D) 2 anos
(E) 3 anos
Resolução:
Dados:
C = 95.000
M = 112.869,50
i = 9% a.a.
Substituindo na fórmula, temos que:
M = C(1 + i)t
112.869,50 = 95.000 (1 + 0,09)t
112.869,50 = 95.000 (1,09)t
112.869,50 : 95.000 (1,09)t
1,1881 = (1,09)t
1,09² = 1,09t
t = 2 anos
Alternativa: D

10) Qual é a taxa de juros aplicada ao ano para que um capital de R$ 8000 gere juros de R$ 3520, em dois anos, a juros compostos?
(A) 22% a.a.
(B) 20% a.a.
(C) 18% a.a.
(D) 16% a.a.
(E) 15% a.a.
Resolução:
Dados:
J = 3520
C = 8000
t = 2
Para encontrar o montante, basta somar capital mais juros.
M = 8000 + 3520 = 11.520
Agora, vamos substituir na fórmula:
M = C(1 + i)t
11.520 = 8000 (1 + i)2
11.520 : 8000 = (1 + i)²
1,44 = (1 + i)²
√1,44 = 1 + i
1,2 = 1 + i
1,2 – 1 = i
i = 0,2
Alternativa: B

11) (Fauel) Um pequeno investidor decide realizar uma aplicação no Tesouro Direto, um fundo de investimento muito pouco arriscado, porém que rende mais que a poupança tradicional. Considerando-se que tal investimento rende aproximadamente 7% ao ano no regime de juros compostos, quanto uma aplicação de R$ 100 renderia ao final de dois anos?
(A) R$ 13,85
(B) R$ 14,00
(C) R$ 14,49
(D) R$ 15,23
Resolução:
Dados:
C = 100
t = 2 anos
i = 7% a.a.
Substituindo na fórmula dos juros compostos, temos que:
M = C(1 + i)t
M = 100 (1 + 0,07)²
M = 100 (1,07)²
M = 100 · 1,1449
M = 114,49
Agora que temos o montante, basta calcular a diferença entre o montante e o capital para encontrar os juros.
J = M – C
J = 114,49 – 100 = 14,49
Alternativa: C

12) (Enem - PPL) Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200 em um fundo de investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse fundo possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do fundo sem movimentação do cliente). Os planos são:
- Plano A: carência de 10 meses;
- Plano B: carência de 15 meses;
- Plano C: carência de 20 meses;
- Plano D: carência de 28 meses;
- Plano E: carência de 40 meses.
O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado se duplique, quando somado aos juros do fundo. Considere as aproximações: log2 = 0,30 e log1,05 = 0,02.
Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor carência possível, deverá optar pelo plano
(A) A.
(B) B.
(C) C.
(D) D.
(E) E.
Resolução:
Dados:
C = 200
i = 5% a.m.
O montante é o dobro do capital, ou seja:
M = 400
Substituindo na fórmula:
M = C(1 + i)t
400 = 200 (1 + 0,05)t
400 : 200 = 1,05t
2 = 1,05t
Aplicando logaritmo dos dois lados, temos que:
log2 = log1,05t
log2 = t log1,05
0,30 = t · 0,02
0,30 : 0,02 = t
t = 15 meses
Alternativa: B

13) (Fauel) Luís aplicou R$ 5000 em uma poupança que rende 1% a.m. no regime de juros compostos, podendo resgatar todo o valor com juros a qualquer momento. Assinale a alternativa CORRETA.
(A) Se Luís resgatar todo o valor um mês depois, não terá juro algum.
(B) Quanto mais tempo Luís demorar para resgatar todo o valor, menos juros ele ganhará.
(C) Ao resgatar todo o valor no segundo mês, Luís receberá R$ 5100,50.
(D) Todos os meses, a aplicação de Luís rende R$ 5.
Resolução:
Analisando as alternativas, temos que:
A) Falsa, pois, após o primeiro mês, já terá juro.
B) Falsa. Como a aplicação foi feita sob o regime de juros compostos, ao decorrer do tempo, o juro mensal aumenta.
C) Verdadeira
Calculando, temos que:
M = C(1 + i)t
M = 5000 (1 + 0,01)²
M = 5000 (1,01)²
M = 5000 · 1,0201
M = 5100,50
D) Falsa, pois o valor foi aplicado a juros compostos, logo, o juro não pode ser um valor fixo mensal.
Alternativa: C

14) Um capital de R$ 1500 foi aplicado a juros compostos com taxa percentual de 2% a.a. O montante gerado ao final de 2 anos será de:
(A) R$ 1320,80
(B) R$ 1450,20
(C) R$ 1560,60
(D) R$ 1700,50
(E) R$ 1975,30
Resolução:
Dados:
C = 1500
i = 2% a.a.
t = 2 anos
Substituindo na fórmula, temos que:
M = C(1 + i)t
M = 1500 (1 + 0,02)²
M = 1500 (1,02)²
M = 1500 · 1,0404
M = 1560,60
Alternativa: C

15) (UniFil) Um investidor, tentando melhorar os rendimentos das suas aplicações, fez um investimento de R$ 100.000 a uma taxa de juros compostos de 1% ao mês, durante 4 meses. Assinale a alternativa que representa o valor de juros que o investidor resgatou no final da aplicação.
(A) R$ 4060,40 de juros
(B) R$ 4000 de juros
(C) R$ 3900 de juros
(D) R$ 3800 de juros
Resolução:
Dados:
C = 100.000
i = 1% a.m.
t = 4 meses
Substituindo, temos que:
M = C(1 + i)t
M = 100.000 (1 + 0,01)4
M = 100.000 (1,01)4
M = 100.000 · 1,04060401
M = 104.060,40
Sabemos que J = M – C:
J = 104.060,40 – 100.000,00 = 4060,40 de juros.
Alternativa: A

16) Um certo capital foi investido durante 2 anos, com uma taxa de 8% ao ano, gerando um montante de R$ 29.160. Então o valor desse capital é igual a:
(A) R$ 20.000
(B) R$ 22.000
(C) R$ 25.000
(D) R$ 27.000
(E) R$ 29.000
Resolução:
Dados:
M = 29.160
t = 2 anos
i = 8% a.a.
Substituindo os valores na fórmula:
M = C(1 + i)t
29.160 = C(1 + 0,08)²
29.160 = C(1,08)²
29.160 = C · 1,1664
29.160 : 1,1664 = C
C = 25.000
Alternativa: C

17) Márcio fez um empréstimo no banco de R$ 2000 que foi pago em 4 parcelas sob o regime de juros compostos. Pagando, ao final, R$ 2251,02, então o valor da taxa de juros foi de, aproximadamente:
(A) 2,4%.
(B) 3,0%.
(C) 3,4%.
(D) 4,0%.
(E) 4,2%.
Resolução:
Dados:
C = 2000
M = 2251,02
t = 4
M = C(1 + i)t
2251,02 = 2000 (1 + i)4
2251,02 : 2000 = (1 + i)4
1,12551 = (1 + i) 4
1,034 = (1 + i)4
1,03 = 1 + i
1,03 – 1 = i
i = 0,03
i = 3%
Alternativa: B
 
18) Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado ao final de 4 anos, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?
Resolução:
S = P(1+i)n
P= 20000
i = 0,5%a.m. = 0,005
n = 4 anos = 48 meses (observe que o tempo e a taxa devem estar no mesmo período)
S = ?
Aplicando a fórmula:
S = 20000 . (1+0,005)48
S = 20000 . (1,005)48
S= 20000 . 1,2704891611
S = 25409,78
O montante produzido será de R$ 25409,78.

19) Determinado capital gerou, após 24 meses, um montante de R$ 15.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, determine o valor desse capital.
Resolução:
S = P(1+i)n


20) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?
Resolução:
S = P(1+i)n


21) Um capital de R$ 5000,00, aplicado durante um ano e meio, produziu um montante de R$ 11.000,00. Determine a taxa de juros dessa aplicação.
Resolução:
S = P(1+i)n


22) Quanto terei de aplicar hoje num fundo de renda fixa para que, ao final de 10 anos a uma taxa de 1,3%a.m., haja um montante de R$ 100.000,00? 
Resolução:
S = P(1+i)n


23) (PUC-RJ/2000) Um banco pratica sobre o seu serviço de cheque especial a taxa de juros de 11% ao mês. Para cada 100 reais de cheque especial, o banco cobra 111 no primeiro mês, 123,21 no segundo, e assim por diante. Sobre um montante de 100 reais, ao final de um ano o banco irá cobrar aproximadamente:
(A) 150 reais.
(B) 200 reais
(C) 250 reais.
(D) 300 reais.
(E) 350 reais.
Resolução:
Pelas informações dadas no problema, identificamos que a correção do valor cobrado pelo cheque especial é por juros compostos.
Note que o valor cobrado do segundo mês foi calculado considerando o valor já corrigido do primeiro mês, ou seja:
J = 111. 0,11 = R$ 12,21
M = 111 + 12,21 = R$ 123,21
Sendo assim, para encontrar o valor que o banco irá cobrar no final de um ano, vamos aplicar a fórmula de juros compostos, isto é:
M = C (1+i)t
Sendo:
C = R$100,00
i = 11% = 0,11 ao mês
t = 1 ano = 12 meses
M = 100 (1+0,11)12
M = 100.1,1112
M = 100.3,498
349,8
Alternativa: E

24) (UERJ/2017) Um capital de C reais foi investido a juros compostos de 10% ao mês e gerou, em três meses, um montante de R$ 53240,00. Calcule o valor, em reais, do capital inicial C.
Resolução:
Resposta correta: C = R$ 40 000,00.
Temos os seguintes dados no problema:
M = R$53240,00
i = 10% = 0,1 ao mês
t = 3 meses
C = ?
Substituindo esses dados na fórmula de juros compostos, temos:
M = C (1+i)t
53240 = C (1+0,1)3
53240 = 1,331 C
53240 / 1,331= C
C = 40 000