EM - GEOMETRIA ESPACIAL

Professor Diminoi
GEOMETRIA ESPACIAL

Pontos, retas e planos
Na geometria espacial, são conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 
Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
Planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos.

Postulados sobre pontos e retas
P₁) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P₂) Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
P₃) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
P₄) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semirretas.
Postulados sobre o plano e o espaço
P₅) Por três pontos não-colineares passa um único plano.
P₆) O plano é infinito, isto é, ilimitado.

P₇) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.
P₈) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.

P₉) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.

Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:

Temos que considerar dois casos particulares:

Retas perpendiculares: 
Retas ortogonais:

Postulado de Euclides ou das retas paralelas   
P₁₀) Dados uma reta  r e um ponto P   r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:      

Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares. Um plano também pode ser determinado por:

Uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:
                                                                        
Duas retas distintas concorrentes:
                                                                               
Duas retas paralelas distintas:
Posições relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situações:

a) reta contida no plano: se uma reta rtem dois pontos distintos num plano  , então r está contida nesse plano:

b) reta concorrente ou incidente ao plano: dizemos que a reta r"fura" o plano  ou que r e   são concorrentes em P quando
Observação: a reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.

c) reta paralela ao plano: se uma reta re um plano  não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano; portanto,
r//a
Em a existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.
P₁₁) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.

Perpendicularismo entre reta e plano
Uma reta r é perpendicular a um plano a se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de a que passam pelo ponto de intersecção de r e a.
Observe que:
Se uma reta r é perpendicular a um plano a, então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de a:

Para que uma reta r seja perpendicular a um plano a, basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em a:

Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de   para que seja perpendicular ao plano:

Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:

a) planos coincidentes ou iguais

b) planos concorrentes ou secantes
Dois planos,
São concorrentes quando sua intersecção é uma única reta:

c) planos paralelos
Dois planos,
São paralelos quando sua intersecção é vazia:

Perpendicularismo entre planos
Dois planos, 
São perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.

Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano   é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano   é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre  :

Distâncias entre ponto, reta e planos
A distância entre um ponto e um plano é a medida  do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:

Ângulos entre retas e planos
O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que uma delas forma com uma reta paralela à outra:
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano:
Observações:


 

Diedros, triedos, poliedros
Diedros
Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:
Triedos
Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:

Ângulo poliédrico
Sejam  n ( ) 
Semirretas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semirretas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semirretas em um mesmo semiespaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum.

Exemplos

Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.

Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semiespaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.

Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por

Exemplos
- Tetraedro: quatro faces
- Pentaedro: cinco faces
- Hexaedro: seis faces
- Heptaedro: sete faces
- Octaedro: oito faces
- Icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

Existem cinco poliedros regulares, que são apresentados a seguir:


Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

Em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces. Observe os exemplos:
V = 8  
A = 12   
F = 6
8 - 12 + 6 = 2

V = 12 
A = 18  
F = 8
12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

Prismas
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,
Um polígono convexo R contido em   e uma reta r que intercepta
Mas não R:
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento PP, paralelo à reta r
Assim, temos:
Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes PP paralelos a r.

Elementos do prisma
Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:
- Bases: as regiões poligonais R e S
- Hltura: a distância h entre os planos
- Arestas das bases: os lados
( dos polígonos)

- Arestas laterais: os segmentos 

- Faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A.

Classificação dos prismas

Um prisma pode ser:
- reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
- oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Observe os solidos a seguir
Prisma reto
Prisma oblíquo
Chamamos de prisma regular todo  prisma reto cujas bases são polígonos regulares:

Prisma regular triangular
Prisma regular hexagonal
Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção e áreas do prisma
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções transversais são congruentes (figura 2).
Áreas
Em um prisma, distinguimos dois tipos de superfície: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (A_F): área de um dos paralelogramos que constituem as faces;
b) área lateral (A_L): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

No prisma regular, temos:
A_L = n . A_F (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (A_B): área de um dos polígonos das bases;
d) área total (A_T): soma da área lateral com a área das bases.
A_T = A_L + 2A_B

Vejamos um exemplo. Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo. Assim, podemos ter:
a) paralelepípedo oblíquo
b) paralelepípedo reto
Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo, ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
d_b = diagonal da base
d_p = diagonal do paralelepípedo
Na base ABFE, temos:
No triângulo AFD, temos:

Área lateral
Sendo A_L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:
A_L= ac + bc + ac + bc
A_L= 2ac + 2bc
A_L = 2(ac + bc)

Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
A_T= 2( ab + ac + bc)

Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:
V = abc

Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base A_B pela medida da altura h:

Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes (a = b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
d_c = diagonal do cubo
d_b = diagonal da base

Na base ABCD, temos:
No triângulo ACE, temos:

Área lateral
A área lateral A_L é dada pela área dos quadrados de lado a:
A_L = 4a²

Área total
A área total A_T é dada pela área dos seis quadrados de lado a:
A_T = 6a²

Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a³

Generalização do volume de um prisma
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri (matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano a, se todo plano B, paralelo a a, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = A_Bh.
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:
V_prisma = A_Bh

Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,
um círculo R contido em   e uma reta r que intercepta 

Mas não R:
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento CC, paralelo à reta r

Assim, temos:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos CC congruentes e paralelos a r.

Elementos do cilindro
Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:
- Bases: os círculos de centro O e O'e raios r
- Altura: a distância h entre os planos

- Geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, AA) e paralelo à reta r

Classificação do Cilindro
Um cilindro pode ser:
- Circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
- Circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

Observe:
O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado   gera o cilindro a seguir:
A reta BC contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Secção
Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.
Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.
Área do cilindro
Em um cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (A_L)

Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões
b) área da base (A_B): área do círculo de raio r.
c) área total (A_T): soma da área lateral com as áreas das bases.

Volume do cilindro
Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano a, se todo plano B, paralelo ao plano a, intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = A_Bh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:
V_cilindro = A_Bh
No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r: A_B = pi.r²  .

Portanto, seu volume é:

Cilindro equilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado (altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro equilátero.

Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano a e um ponto V (vértice) fora de a, chamamos de cone circular o conjunto de todos os segmentos

Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:
- Altura: distância h do vértice V ao plano a.
- Geratriz (g): segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência.
- Raio da base: raio R do círculo.
- Eixo de rotação: reta VO determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone.

Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:
g² = h² + R²

Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.
Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:


Área e volume do cone
Área
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e comprimento 
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (A_L): área do setor circular.
b) área da base (A_B): área do circulo do raio R.
c) área total (A_T): soma da área lateral com a área da base.

Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:
d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e
S = área da superfície

Sabemos, pelo Teorema de Pappus-Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:


Vamos então determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:
O CG do triângulo está a uma distância  
Do eixo de rotação. Logo:

Pirâmide
Dados um polígono convexo R, contido em um plano  , e um ponto V (vértice) fora de  , chamamos  de pirâmide o conjunto de todos os segmentos

Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:
- Base: o polígono convexo R.
- Arestas da base: os lados 
Do polígono.
- Arestas laterais: os segmentos
- Faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA.
- Altura: distância h do ponto V ao plano.

Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base. Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

Observe
Observações
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos equiláteros, ele é denominado regular (todas as faces e todas as arestas são congruentes).
2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos equiláteros, o octaedro é regular.

Secção paralela à base de uma pirâmide
Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:
- As arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
- A secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
- As áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:
Assim, temos:
A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.
A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles


Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
Área e volume da pirâmide

Área
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral (A_L): reunião das áreas das faces laterais.
b) área da base (A_B): área do polígono convexo (base da pirâmide).
c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base.

A_T = A_L + A_B

Para uma pirâmide regular, temos:
em que:


 

 

 

Volume
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
Tronco de pirâmide
Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide, paralelamente às suas bases, dividirá o sólido em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide. Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:
- As bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
- As faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Áreas
Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (A_L): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais.
b) área total (A_T): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (A_b) e maior (A_B).
A_T = A_L + A_B + A_b

Volume
O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:
Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção, é válida a relação:

Tronco de cone
Se um plano interceptar todas as arestas de um cone, paralelamente às suas bases, dividirá o sólido em dois outros: um novo cone e um tronco de cone. Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:
- As bases maior e menor são paralelas;
- A altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.

Áreas Temos:
a) área lateral
b) área total
Volume
Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção, são válidas as relações:

Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.
Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.
A área da superfície esférica é dada por:
Outras partes da esfera
Zona esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
A área da zona esférica é dada por:
Calota esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
A área da calota esférica é dada por:

Fuso esférico
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semicircunferência de um ângulo
Em torno de seu eixo:
A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:


Cunha esférica
Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo 
O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:


Continua ...