Professor Diminoi

MOVIMENTO UNIFORMENTE VARIADO – (MUV)

É um movimento no qual a mudança de velocidade, chamada de aceleração, ocorre a uma taxa constante. O movimento uniformemente variado é um caso particular do movimento variado. Neste, a velocidade apenas varia, enquanto naquele a velocidade varia de maneira constante, isto é, sua magnitude sofre acréscimos ou reduções iguais, a cada segundo.

Aceleração média do MUV

am = aceleração média (m/s²)

Δv = variação da velocidade (m/s)

Δt = variação de tempo (s)

Função horária da velocidade no MUV:

v = velocidade final (m/s)

v_o = velocidade inicial (m/s)

a = aceleração (m/s²)

t = tempo (s)

Função horária da posição no MUV

S = posição final (m)

S_o = posição inicial (m)

v_o = velocidade inicial (m/s)

a = aceleração (m/s²)

t = tempo (s)

Equação de Torricelli

A equação de Torricelli é bastante útil quando precisamos resolver algum problema relacionado ao movimento uniformemente variado e não sabemos em qual intervalo de tempo ele ocorreu.

v = velocidade final (m/s)

v_o = velocidade inicial (m/s)

a = aceleração (m/s²)

ΔS = distância (m)

Gráficos do MUV

Os gráficos do MUV são utilizados para relacionar grandezas como posição, velocidade e aceleração com um determinado instante de tempo.

Os gráficos do MUV são recursos utilizados para estudarmos a posição, a velocidade ou ainda a aceleração de um corpo que se move com aceleração constante durante um certo intervalo de tempo. Eles geralmente são feitos tendo como variável o tempo ao longo do eixo horizontal (eixo das abscissas).

A reta pode ser ainda paralela ao eixo horizontal, no caso em que a velocidade permanece constante durante certo intervalo de tempo. Além disso, nesse gráfico, a inclinação da reta (que pode ser calculada pela tangente) representa a aceleração do móvel.

A figura a seguir mostra essas três situações ilustradas em um gráfico da velocidade em função do tempo v(t).

- 1º caso [reta vermelha] – movimento acelerado

- 2º caso [reta azul] – movimento retardado

- 3º caso [reta amarela] – movimento uniforme

A partir do gráfico de v(t), é possível determinar o espaço percorrido por uma partícula movendo-se em MRUV. Para tanto, calculamos a área abaixo do gráfico entre os instantes de tempo desejados.

Gráfico do MUV: posição x tempo

Os gráficos da posição em função do tempo para o MUV são representados por parábolas, uma vez que as funções da posição no MUV são equação do 2º grau.

Um aspecto importante desses gráficos de posição é a concavidade das parábolas.

- Se a concavidade estiver voltada para cima, o movimento é acelerado.

- Se a concavidade estiver para baixo, o movimento é retardado.

Além disso, é importante perceber em qual ponto a curva cruza o eixo vertical. Essa informação serve para determinar qual é a posição inicial do móvel.

Nos gráficos de s(t), a inclinação da curva representa a velocidade em cada instante.

Gráficos do MUV: aceleração x tempo

Os gráficos do MUV que relacionam a aceleração com o tempo são bastante simples: trata-se de retas paralelas ao eixo horizontal. No caso em que o movimento é acelerado, a reta é desenhada acima do eixo das abscissas; caso contrário, ela é desenhada abaixo desse mesmo eixo.

QUESTÕES RESOLVIDAS – (MRV)

01) Um móvel desloca-se com velocidade inicial de 20 m/s, quando inicia um processo de frenagem, com desaceleração de 2,5 m/s². Determine o tempo necessário para que esse móvel inverta o seu sentido de movimento.

(A) 8,0 s

(B) 50,0 s

(C) 5,0 s

(D) 10,0 s

(E) 12,5 s

Resolução:

Para resolvermos esse exercício, faremos uso da função horária da velocidade. Nesse sentido, podemos afirmar que o móvel inverterá o sentido de seu movimento no instante seguinte àquele em que a sua velocidade torna-se nula. Desse modo, encontraremos o tempo necessário para que a velocidade final desse móvel seja de 0 m/s, sabendo que a sua velocidade inicial era de 20 m/s:

Nesse cálculo, utilizamos o sinal negativo para a aceleração devido ao fato de que o móvel tinha a sua velocidade diminuída a cada segundo, o que caracteriza um movimento retardado.

Alternativa: A

02) Um móvel tem a sua função horária de deslocamento dada por S = 5 + t². Assinale a alternativa que indica a velocidade inicial e a aceleração desse móvel, respectivamente:

(A) 5 m/s e 1 m/s²

(B) 0 m/s e 2 m/s²

(C) 1 m/s e 5 m/s²

(D) 5 m/s e 2 m/s²

(E) 3 m/s e 5 m/s²

Resolução:

Sabemos que as funções horárias de deslocamento seguem o formato ax² + bx +c = 0, mas também sabemos que o coeficiente b equivale à velocidade inicial do móvel e que o coeficiente a equivale à metade de sua aceleração. Desse modo, temos que: v0 = 0 e a = 2 m/s².

Alternativa: B

03) Em um gráfico de posição em função do tempo, observa-se que a curva descreve uma parábola com a sua concavidade voltada para baixo. Em relação a esse gráfico, assinale a alternativa correta:

(A) Trata-se de um movimento acelerado.

(B) Trata-se do gráfico de um movimento retrógrado.

(() Trata-se do gráfico de um movimento retardado.

(D) Trata-se de um gráfico de aceleração variável.

(E) Trata-se de um gráfico de velocidade crescente.

Resolução:

Quando o gráfico de posição em função do tempo tem o formato de uma parábola, sabemos que esse movimento apresenta aceleração constante. O que nos diz se o movimento representado pelo gráfico é retardado ou acelerado é a concavidade da parábola, que, nesse caso, é voltada para baixo. Portanto, o gráfico em questão representa um movimento retardado."

Alternativa: C

04) (Unicamp) A Agência Espacial Brasileira está desenvolvendo um veículo lançador de satélites (VLS) com a finalidade de colocar satélites em órbita ao redor da Terra. A agência pretende lançar o VLS em 2016, a partir do Centro de Lançamento de Alcântara, no Maranhão.

a) Considere que, durante um lançamento, o VLS percorre uma distância de 1200 km em 800 s. Qual é a velocidade média do VLS nesse trecho?

Resolução:

A primeira coisa que devemos fazer é lembrar da fórmula da velocidade média:

V_m = 1500 m/s

b) Suponha que no primeiro estágio do lançamento o VLS suba a partir do repouso com aceleração resultante constante de módulo a_R. Considerando que o primeiro estágio dura 80 s, e que o VLS percorre uma distância de 32 km, calcule a_R.

Resolução:

Se o corpo parte do repouso, temos que v₀ = 0. E se a aceleração é constante, temos um MUV. Veja também que Δt = 80 e que Δs = 32000.

Temos que encontrar uma fórmula que contenha todas as grandezas pedidas. No caso, não sabemos apenas a aceleração. Portanto:

a = 10 m/s

05) (Pucrs) Muitos acidentes acontecem nas estradas porque o motorista não consegue frear seu carro antes de colidir com o que está à sua frente. Analisando as características técnicas, fornecidas por uma revista especializada, encontra-se a informação de que um determinado carro consegue diminuir sua velocidade, em média, 5,0 m/s a cada segundo. Se a velocidade inicial desse carro for 90,0 km/h (25,0 m/s), a distância necessária para ele conseguir parar será de, aproximadamente,

(A) 18,5 m

(B) 25,0 m

(C) 31,5 m

(D) 45,0 m

(E) 62,5 m

Resolução:

Repare: quando ele fala que o carro diminui sua velocidade, temos um Δv negativo. Nesse caso: Δv = -5 m/s. Já Δt = 1 s e v₀ = 25 m/s. Note, agora, que ele nos diz que o carro vai parar, ou seja, a velocidade final será igual a zero (v = 0).

Vamos novamente buscar uma fórmula que atenda à nossa necessidade, que nesta questão é o Δs. Então, nosso primeiro passo será:

a = -5 m/s²

Veja que temos duas situações: as informações que utilizamos para calcular a aceleração não fazem parte da mesma situação dos outros dados que temos, incluindo o Δs que queremos encontrar.

Como não temos a grandeza tempo, podemos usar Torricelli:

v² = v₀² 2 + 2. a . Δs

0 = 25 . 2 . (-5) . Δs

Δs = 62,5 m

Alternativa: E

06) (Uern) Seja o gráfico da velocidade em função do tempo de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado representado abaixo.

Considerando a posição inicial desse movimento igual a 46 m, então a posição do corpo no instante t = 8 s é

(A) 54 m.

(B) 62 m.

(C) 66 m.

(D) 74 m.

Resolução:

Vamos lembrar que a equação que nos dá a posição é:

Porém, ainda precisamos da aceleração para usar essa fórmula. Como não temos a posição (s), a fórmula que podemos utilizar para calcular a aceleração é:

Para isso, vou usar os dados que já tenho no gráfico. Repare que, como a aceleração é constante (MUV), o mesmo valor que posso calcular entre t = 0 e t = 5 s vale para o intervalo de t = 5 s a t = 8 s.

a = -2 m/s

Agora, basta substituir:

Δs = 62 m

07) Determine a velocidade escalar média entre os instantes t = 0 e t = T, para o movimento descrito pelo gráfico v x t abaixo.

Resolução:

Vamos lembrar que temos duas maneiras de calcular a velocidade média:

Essas fórmulas valem para um único MUV, como vemos no gráfico. Atenção: se o gráfico não possuir apenas uma reta, então há mais de um MUV.

Então, utilizado as informações que temos:

V_m = 15 m/s

08) (Fuvest-SP-modificada) Um corpo movimenta-se sobre o eixo X, com aceleração constante, de acordo com a função horária x = 2 + 2 . t – 2t², em que t é dado em segundos e x em metros.

a) Qual a velocidade escalar média entre t = 0 e t = 2 s?

Resolução:

Repare que em t = 0, temos que x₀ = 2 m. Já para t = 2, basta usar a fórmula que ele nos deu:

x = 2 + 2 . 2 – 2 . 2²

x = -2 m

Agora:

V_m = -2 m/s

b) Qual a velocidade no instante t = 2 s?

Resolução:

Veja que o que calculamos não é a velocidade instantânea final. Para isso, precisamos utilizar: 

v = v₀ + a . t

Veja que a fórmula que temos no enunciado nada mais é que:

Então, basta comparar essa equação com a do enunciado. Sabemos, portanto, que v₀ = 2 m/s e que a/2 = -2, então a = -4 m/s². Agora basta voltar à equação da velocidade:

v = v₀ + a . t

v = 2 – 4 . 2

v = -6 m/s

c) Em que instante esse corpo inverte o sentido do movimento? Em que posição ocorre essa inversão?

Inverter o sentido significa parar. Então, v = 0:

Resolução:

v = 2 – 4 . t

0 = 2 – 4 . t

t = 0,5 s

Para achar a posição de inversão, basta substituir na fórmula que a própria questão nos deus:

x = 2 + 2 . 0,5 – 2 . 0,5²

x = 2,5 m

09) Um móvel parte do repouso e desenvolve uma aceleração constante de 3 m/s² durante 4 segundos. O deslocamento desse móvel foi de:

(A) 12,0 m

(B) 24,0 m

(C) 22,0 m

(D) 18,0 m

(E) 30,0 m

Resolução:

A função horária da posição para o Movimento Uniformemente Variado é a apresentada a seguir:

De acordo com o enunciado do exercício, o móvel parte do repouso, portanto, sua velocidade inicial é igual a 0 m/s. Sua aceleração tem valor constante de 3 m/s². Esse corpo move-se durante um intervalo de tempo de 3 s, dessa forma:

O deslocamento do móvel foi de 24 m.

Alternativa:    B

10) Um motorista dirige seu carro a uma velocidade de 108 km/h quando avista a placa de pare. Ao acionar os freios, ocorre uma desaceleração constante, e o carro leva um tempo de 3,0 s até parar completamente. A distância percorrida pelo automóvel até a frenagem total é de:

(A) 45,0 m

(B) 15,0 m

(C) 300,0 m

(D) 324,0 m

(E) 36,0 m

Resolução:

Sabemos que o deslocamento de um móvel com aceleração constante é determinado por:

De acordo com os dados fornecidos pelo enunciado, a velocidade inicial do carro é de 108 km/h. Esse valor deve ser expresso em unidades do Sistema Internacional, sendo necessária a sua conversão para km/h. Dessa forma, divide-se esse valor pelo fator 3,6, resultando em 30 m/s. Para calcular o deslocamento do carro, entretanto, é necessário saber o valor de sua aceleração (nesse caso, uma desaceleração.). Para tanto, utilizamos a definição de aceleração média:

Com isso, a aceleração sofrida pelo automóvel tem valor igual a:

Seu deslocamento será, portanto:

Logo, o carro sofrerá um deslocamento de 45 m antes de parar por completo.

Alternativa: A

11) A função horária da posição de um ponto material, dada em unidades do Sistema Internacional, que se move com aceleração constante é fornecida a seguir:

S = 15 + 10.t + 2.t²

Sua velocidade inicial, posição inicial e aceleração são respectivamente iguais a:

(A) S₀ = 2 m, v₀ = 15 m/s e a = 10 m/s²

(B) S₀ = 10 m, v₀ = 15 m/s e a = 2 m/s²

(C) S₀ = 15 km, v₀ = 10 km/h e a = 2 m/s²

(D) S₀ = 15 m, v₀ = 10 m/s e a= 4 m/s²

(E) S₀ = 4 m, v₀ = 10 m/s e a= 15 m/s²

Resolução:

A função horária da posição para móveis com aceleração constante é determinada por:

No entanto, o deslocamento ΔS é dado por ΔS = S – S₀ (S é a sua posição final, e S₀, sua posição inicial). Portanto, podemos reescrevê-la como:

Ao compararmos a equação acima com aquela fornecida pelo enunciado do exercício, observa-se que, em unidades do Sistema Internacional, sua posição inicial é de 15 m, sua velocidade inicial é de 10 m/s, e sua aceleração deve ser de 4 m/s², pois, na equação acima, a aceleração vem dividida por um fator 2.

Alternativa:  D

12) Certo móvel, inicialmente na velocidade de 3 m/s, acelera constantemente a 2 m/s² até se distanciar 4 m de sua posição inicial. O intervalo de tempo decorrido até o término desse deslocamento foi de:

(A) 4,0 s

(B) 1,0 s

(C) 3,0 s

(D) 5,0 s

(E) 2,5 s

Resolução:

A função horária da posição de um móvel cuja aceleração é constante é dada por:

De acordo com os dados do exercício, a velocidade inicial do móvel é de 3 m/s, sua aceleração é de 2 m/s² e o seu deslocamento é de 4 m. A incógnita do exercício é o tempo necessário para que ocorra esse deslocamento, portanto:

Portanto, para encontrarmos o tempo, devemos resolver uma equação do segundo grau:

As raízes da equação acima são determinadas por:

Portanto, os possíveis valores de tempo são:

Como não admitimos a existência de tempo negativo, a resposta é t = 1,0s.

Alternativa: B

13) (UTF-PR) Um ciclista movimenta-se em sua bicicleta, partindo do repouso e mantendo uma aceleração aproximadamente constante de valor médio igual a 2,0 m/s². Depois de 7,0 s de movimento, atinge uma velocidade, em m/s, igual a:

(A) 49

(B) 14

(C) 98

(D) 35

(E) 10

Resolução:

Vamos resolver a questão e, para isso, utilizaremos os dados informados pelo exercício, bem como a função horária da posição.

v(t) = v_o + at

V = 0 + 2 . 7 = 14m/s

Alternativa: B

14) (UFPR) Um motorista conduz seu automóvel pela BR-277 a uma velocidade de 108 km/h quando avista uma barreira na estrada, sendo obrigado a frear (desaceleração de 5 m/s²) e parar o veículo após certo tempo. Pode-se afirmar que o tempo e a distância de frenagem serão, respectivamente:

(A) 6 s e 90 m.

(B) 10 s e 120 m.

(C) 6 s e 80 m.

(D) 10 s e 200 m.

(E) 6 s e 120 m.

Resolução:

Primeiramente vamos determinar qual é o tempo de frenagem. Observe o cálculo a seguir, pois fazemos uso da função horária da velocidade:

Para fazermos o cálculo acima, foi necessário transformar a unidade da velocidade, que estava em km/h, em m/s, dividindo-a pelo fator 3,6. O próximo cálculo diz respeito ao deslocamento do carro até a parada completa. Para fazê-lo, vamos usar a função horária da posição:

Com base no cálculo, descobrimos que o deslocamento do veículo, desde o início da frenagem até a parada completa, é de 90 m.

Alternativa: A