EM - GEOMETRIA ANALITICA – RETAS

Professor Diminoi
GEOMETRIA ANALITICA – RETAS

Introdução
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa.
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta (origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:
Medida algébrica de um segmento 
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais x_A e x_B , temos:

A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

Plano cartesiano
A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes (1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.
Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano).
Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferência) e da álgebra (relações, equações, etc), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas.

Observe o plano cartesiano nos quatro quadrantes:


Exemplos
A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (x_A > 0 e y_A > 0)
B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante ( x_B < 0 e y_B < 0)

Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante.

Distância entre dois pontos
Dados os pontos A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) e sendo d_AB a distância entre eles, temos:


Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem:
Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Razão de secção
Dados os pontos A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C) de uma mesma reta
O ponto C divide AB numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada por:
Em que
Pois se
Então A = B.

Observe a representação a seguir:
Como o
Podemos escrever:
Exemplos
Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide AB é:
Se calculássemos r_p usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado:
Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:
Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado AB contido em um eixo, temos:
- se P é interior a AB, então r_p > 0  
- se P é exterior a AB, então r_p < 0
- se P = A, então r_p =0
- se P = B, então não existe r_p (PB = 0)
- se P é o ponto médio de AB, então r_p =1
Ponto médio
Dados os pontos A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e P,  que divide AB ao meio, temos:

Assim:
Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por:
Baricentro de um triângulo
Observe o triângulo da figura a seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados
Rrespectivamente.

Portanto,
São as medianas desse triângulo:
Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo. Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado.

Observe


Cálculo das coordenadas do baricentro
Sendo A(X_A, Y_A), B(X_B, Y_B) e C(X_C, Y_C) vértices de um triângulo, se N é ponto médio de BC, temos:


Analogamente, determinamos
Assim:

Condições de alinhamento de três pontos
Se três pontos, A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) e C(x_C, y_C), estão alinhados, então:

Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos:

a) três pontos alinhados horizontalmente
Neste caso, as ordenadas são iguais:
y_A = y_B = y_C
e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais.

b) três pontos alinhados verticalmente
Neste caso, as abscissas são iguais:
x_A = x_B = x_C

E o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais.

c) três pontos numa reta não-paralela aos eixos
Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes.

Então:
Desenvolvendo, vem:

Como:

Então

Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se

Eentão os pontos A(x_A,y_A), B(x_B,y_B) e C(x_C, y_C) estão alinhados.

Equações de uma reta
Equação geral
Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos.
Dada uma reta r, sendo A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo y_A - y_B = a, x_B - x_A = b e x_Ay_B - x_By_A = c, como a e b não são simultaneamente nulos
Temos:
ax + by + c = 0
(equação geral da reta r)

Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta.
Assim, dado o ponto P(m, n):
- se am + bn + c = 0, P é ponto da reta;
- se am + bn + c  0, P não é ponto da reta.

Exemplos
Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).
Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os  pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos:
-3 - (-1) + 2 = 0  -3 + 1 + 2 = 0

Como a igualdade é verdadeira, então P   r.

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:
1 - 2 + 2   0
Como a igualdade não é verdadeira, então Q  r.
 
Equação segmentária
Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com
A equação geral de r é dada por:

Dividindo essa equação por pq
Temos:

Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico:

Equações paramétricas
São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma  = f(t) e y = g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t.

Exemplo

São equações paramétricas de uma reta r.
Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações:
x = t + 2
t = x -2

Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos:
y = -(x - 2) + 1 = -x + 3   x + y - 3 = 0  (equação geral de r)

Equação reduzida
Considere uma reta r não-paralela ao eixo Oy:
Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos:
Fazendo
Vem:
y = mx + q

Esta é a equação reduzida da reta, em que 
Fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida.

Coeficiente angular
Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que:
O ângulo   é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre
Assim:

- para
 (a tangente é positiva no 1º quadrante)
- para
(a tangente é negativa no 2º quadrante)

Exemplos





Determinação do coeficiente angular
Observe os três casos:

a) o ângulo (teta)é conhecido

b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B)
Como
(ângulos correspondentes) temos que
Mas, m = tg  (ângulo)
Então:
Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) é:

c) a equação geral da reta é conhecida
Se uma reta passa por dois pontos distintos A(X_A, Y_A) e B(X_B, Y_B), temos:

Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem:
(Y_A - Y_B)x + (X_B - X_A)y + X_AY_A - X_BY_B = 0
Da equação geral da reta, temos:

Substituindo esses valores em
Temos:

Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r
Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X₀, Y₀), P   r, e Q(x,y) um ponto qualquer de r(Q P), podemos escrever:
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m = 3. Assim, temos x₀ = 1  e y₀= 2. Logo:
y - y₀ = m(x-x₀)
y -2 = 3(x - 1)
y -2 = 3x - 3
3x - y - 1 = 0
Que é a equação geral de r.

Representação gráfica de retas
Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 0 ( b 0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da reta.
Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado.

Coordenadas do ponto de intersecção de retas
A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas.
Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x + y - 4 = 0 e s: x - y + 1 = 0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:
Substituindo esse valor em x - y = -1, temos:
1 - y = -1
y = 2
Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s.

Graficamente, temos:
Posições relativas entre retas

Paralelismo
Duas retas, r e s, distintas e não-verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.

Concorrência
Dadas as retas r: a₁x +b₁y + c₁ = 0 e s: a₂x + b₂y + c₂ = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:
Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0  e  s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes:  


Perpendicularismo
Se r  e s são duas retas não-verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1.
Lê-se
Observe o desenho:

Ângulo entre duas retas
Sendo r e s duas retas não-verticais e não-perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo
Temos:

Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo (ângulo teta)  pode ser agudo ou obtuso.
Logo:
Essa relação nos fornece o ângulo agudo (ângulo teta) entre r e s, pois
O ângulo obtuso (ângulo teta)  será o suplemento de (ângulo teta) 

Distância entre ponto e reta

Dados:
- um ponto P(x₁, y₁)
- uma reta r: ax + by + c = 0

A distância entre eles (d_pr) é dada por:
Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r: x - 2y + 1 = 0.
Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2  e  c = 1.
Assim:

Bissetrizes
Considere as retas concorrentes:
r: a₁x + b₁y + c₁ = 0 
s: a₂x + b₂y + c₂ = 0,

Elas se interceptam em um ponto Q.
Se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das  bissetrizes, P(diferente)Q, então P equidista de r e s:

Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra. Vejamos um exemplo:
Se r: 3x + 2y - 7 = 0  e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissetrizes são:


 

Continua ...