PLANO CARTSIANO

PLANO CARTSIANO

Professor Diminoi

 

PLANO CARTESIANO

Sistema de orientação e localização

Plano cartesiano, também conhecido como sistema cartesiano, é um traçado de retas perpendiculares onde perpassa outra, sendo uma na horizontal e outra na vertical, formando quadrantes de 90°. Esse esquema serve para variados cálculos. 

Quem teorizou e desenvolveu o plano foi René Descartes. Ele simplificou a álgebra através da geometria euclidiana, fazendo cálculos em um pressuposto plano. Para entender do que se trata o sistema de orientação e cálculos de Descartes é importante aprender sobre as retas e infinidade dos números.

Propriedades

Entende-se que uma reta, além de ser o caminho mais curto de um ponto a outro, não possui nem início nem fim (infinita). Como não existe um início ou final, foi-se estabelecido que para criar um norte é necessário um ponto de origem. Esse tal ponto conta sempre como 0, sendo também o eixo e o meio. 

Cada ponto que a reta segue para cima ou à direita os valores passam a ser positivos. Já os pontos para baixo ou à esquerda os  números passam a ser negativos. 

Os eixos do plano cartesiano 

Uma das principais partes que formam o plano cartesiano são os eixos, que são chamados de abscissas e ordenadas. Servem para ajudar na orientação dos cálculos, principalmente na identificação das direções corretas.

Abscissa significa cortada, em latim. É uma coordenada na horizontal. Denomina-se x eixo da abscissasy eixo das ordenadas.

Quadrantes

Os quadrantes são numerados no sentido anti-horário. Começa pelo lado em que as abscissas e ordenadas são coordenadas positivas. Vejamos o exemplo: 

A relação dos quadrantes é dada por: 

Quadrante I: positivo, positivo;
Quadrante II: negativo, positivo;
Quadrante III: negativo, negativo;
Quadrante IV: positivo negativo.

Os formatos que as retas perpendiculares desenham assemelham-se com o desenho de uma cruz ou a letra L. Por isso, elas também formam áreas que lembram um quadrado,  que na verdade são quadrantes. Cada quadrante deve conter 90° graus, ainda que se recorte apenas um deles para exemplo.

 

Produto cartesiano

O produto cartesiano é a multiplicação entre os pares ordenados (xy) onde x ∈ A e y ∈ B, sendo A e B conjuntos. O produto cartesiano foi criado também por René Descartes e é amplamente usado na teoria dos conjuntos.

Definição:

Sejam os conjuntos A e B, não-vazios, chamamos produto cartesiano A x B, o conjunto dos pares ordenados (xy), onde x ∈ A e y ∈ B. Assim:

A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}

Exemplo:

Considere os conjuntos: A = {1, 2} e B = {2, 4}

O conjuntos dos pares ordenados de A e B é: A x B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)}; o diagrama de flechas abaixo mostra essa relação do produto A x B.

 

 

Exercícios resolvidos

01) Marque os pontos A (2, 3), B (-2,5), C (-3, -2) e D (1, -4) no plano cartesiano.

Resolução:

 

02) Em um ponto Q (a, b) do plano cartesiano, a abscissa é menor que a ordenada, assim, em que quadrante esse ponto não pode estar?

Resolução:

Do enunciado, temos que o valor da abscissa é menor que o da ordenada, ou seja:

a < b

O único quadrante em que o ponto Q não pode estar é no quarto, visto que o valor da abscissa é sempre maior que o valor da ordenada.

 

03) Localize os pares ordenados no plano cartesiano:

a) (-9, 4)

b) (8, 3)

c) (0, -3)

d) (-4, -9)

e) (8, 0)

Resolução:

 

04) Em quais quadrantes estão localizados os pontos:

a) (-2, -4)
b) (3, 1)
c) (0, 6)
d) (8, -7)
e) (9, -3)

Resolução:

a) 3.° quadrante
b) 1.° quadrante
c) 1.° quadrante
d) 4.° quadrante
e) 4.° quadrante

 

05) Qual par ordenado não está representado no plano cartesiano?

(A) (3, -4)
(B) (4, -3)
(C) (-8, -9)
(D) (8, 9)
(E) (9, -8)

Alternativa: E

 

06) (PM ES 2013 – Exatus) Clarence desenhou o triângulo determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5), B(3;2) e C(7;2). Ao calcular a área e o perímetro desse triângulo, os valores obtidos foram, respectivamente:

(A) 3 e 3

(B) 3 e 6

(C) 6 e 6

(D) 6 e 12

(E) 12 e 12

Resolução:

Desenhando o triângulo:

Pela figura, temos um triângulo retângulo com BC = 4 e AC = 3. Vamos descobrir AB usando teorema de Pitágoras:

AB² = 4² + 3²

AB² = 16 + 9

AB² = 25

AB = 5

 Perímetro = AB + BC + CA

Perímetro = 5 + 4 + 3 = 12

Área = 3×4/2 = 6

Alternativa: D

 

07) (PM Pará 2012)  Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. A área desse triângulo é:

(A) 5 u.a

(B) 6 u.a

(C) 7 u.a

(D) 8 u.a

(E) 9 u.a

Resolução:

Desenhando o triângulo do plano cartesiano:

Nele é possível observar que:

A altura mede 7 – 3 = 4

A base mede 5 – 2 = 3

Calculando a área do triângulo:

A = base x altura / 2

A = 3 . 4/2

A = 6

Alternativa: B

 

08) Um triângulo equilátero tem seus vértices com as seguintes coordenadas no plano cartesiano:

A(2, 1), B(5, 1) e C(2, 4)

Quais são as coordenadas do baricentro desse triângulo?

(A) G = (3, 2)

(B) G = (2, 3)

(C) G = (3, 3)

(D) G = (2, 2)

(E) G = (1, 2)

Resolução:

Para responder a essa questão, basta usar a fórmula a seguir para determinar as coordenadas do baricentro do triângulo:

G = (x1 + x2 + x3y1 + y2 + y3)
      3                  3

G = (2 + 5 + 21 + 1 + 4)
       3             3

G = (3, 2)

Alternativa A

 

09) (Unirio) A função linear f(x) = ax + b é representada por uma reta que contém o ponto (2,-1) e que passa pelo vértice da parábola y = 4x – 2x². A função é:

(A) f(x) = -3x + 5

(B) f(x) = 3x – 7

(C) f(x) = 2x – 5

(D) f(x) = x – 3

(E) f(x) = x/3 – 7/3

Resolução:

Se a equação passa pelo ponto (2,-1) do plano cartesiano, -1 = 2a + b .: b = -1 -2a. O vértice da parábola 4x – 2x² tem a seguinte configuração:

Logo, a função também passa pelo ponto (1,2) do plano cartesiano. E, por isso, 2 = 1a + b, mas, b = -1 -2a, portanto, temos que 2 = a -1 -2a ⇒ 2 + 1 = -a ⇒ a = -3. Como b = -1 -2a, b = -1 -2.(-3) = -1 + 6 ⇒ b = 5. Assim, y = -3x + 5.

Alternativa: A

 

10) (Pucsp) Os pontos A=(-1; 1), B=(2; -1) e C=(0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal BD, desse quadrado, é:

(A) x + 5y + 3 = 0.

(B) x – 2y – 4 = 0.

(C) x – 5y – 7 = 0.

(D) x + 2y – 3 = 0.

(E) x – 3y – 5 = 0.

Resolução:

No quadrado, as diagonais são perpendiculares, desta maneira, BD⊥AC. Sendo r a reta suporte de AC, sabemos que r: y = ax + b, A (-1,1) e C (0,-4). Logo, -4 = 0a + b ⇔ b = -4 e 1 = -a + b ⇔ a = b – 1 = -4 – 1 ⇔ a = -5 e, por isso, r: y = -5x – 4. Sendo s a reta suporte de BD, sabemos que ms.mr = -1 ⇒ ms.(-5) =-1 ⇔ ms = 1/5. Por conseguinte, s: y = x/5 + b, mas B (2,-1) é um ponto de s, então: -1 = 2/5 + b ⇒ b = -1 – 2/5 = (-5-2)/5 ⇔ b = -7/5 e, enfim, s: y = x/5 – 7/5 ⇔ s: x – 5y -7 = 0.

Alternativa: C

 

11) Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.

Resolução:

Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.

Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos:

 

12) Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c , 3), (2 , c) e (14, -3) sejam colineares?

Resolução:

 

13) Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do segmento de extremos A(x , 5) e B(3 , x).

Resolução:

 

14) (Fuvest-SP) Se (m+2n , m – 4) e (2 – m , 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:

(A) – 2      

(B) 0        

(C) √2        

(D) 1        

(E) ½ 

Resolução:

 

15) (FEI-SP) Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0 , 0) e P(3 , h). Assinale a alternativa cuja expressão representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h.

(A) d = √(9 + h2)       

(B) d = h + 3      

(C) d = 3h    

(D) d = √(9 + 6h + h2)   

(E) d = 9 + h

Resolução:

 

 

 

Continua...