EM - TEORIA DOS CONJUNTOS

Professor Diminoi

TEORIA DOS CONJUNTOS

A teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Vamos começar estudando os símbolos matemáticos usados neste ramo. Por meio dela, estudamos as propriedades, as características e as operações envolvendo os conjuntos.

Podemos representar os conjuntos utilizando o diagrama de Venn



A teoria dos conjuntos é estudada na álgebra, que é uma área da Matemática. Um conjunto é um agrupamento de elementos que possuem uma determinada característica em comum, como o conjunto de vogais, conjunto de números, conjunto de pessoas, entre outros.

Existem algumas relações importantes na teoria dos conjuntos, como pertinência, inclusão, entre outras, e podemos realizar operações entre eles, como união, intersecção e diferença. Vale dizer ainda que um conjunto pode ser representado por meio do chamado digrama de Venn, fundamental para o estudo das operações entre os conjuntos.

 

Resumo sobre a teoria dos conjuntos

- A teoria dos conjuntos é a área da Matemática que estuda as características e propriedades dos conjuntos.

- Um conjunto é formado por elementos que possuem uma mesma característica.

- Quando o elemento está em um conjunto, dizemos que ele pertence ao conjunto. Caso contrário, dizemos que ele não pertence ao conjunto.

- Quando todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B, dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B.

Conhecemos como subconjunto de A um conjunto que está contido no conjunto A.


Existem alguns casos particulares de conjunto:
Conjunto vazio: não possui elementos.
Conjunto unitário: possui um único elemento.
Conjunto universo: contém todos os outros conjuntos.
Conjunto complementar: o complementar de um conjunto A é composto por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A.

Podemos realizar operações entre conjuntos. São elas a união, a intersecção e a diferença.

Notação e representação dos conjuntos
A representação de um conjunto é feita utilizando uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos do conjunto estão sempre entre chaves e separados por vírgula. 

Por exemplo, o conjunto A formado pelas vogais do alfabeto é o conjunto A = {a, e, i, o, u}. O conjunto M é o conjunto dos números múltiplos de 5: M = {0, 5, 10, 15, 20, 25...}

Diagrama de Venn
O diagrama de Venn é uma outra forma de representar os conjuntos. Ele é muito utilizado para resolver problemas envolvendo operações entre conjuntos, pois facilita a visualização dos elementos.
Veja a seguir a representação dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8} no diagrama de Venn.
Relação de pertinência
Um conjunto é composto por elementos. Quando o elemento está no conjunto, dizemos que esse elemento pertence ao conjunto.

O símbolo para representar isso é ∈">∈∈
(lê-se: pertence). Quando um elemento não está no conjunto, dizemos que esse elemento não pertence ao conjunto.

A não pertinência é representada por ∉">∉∉.

Exemplos:
a ∈">∈∈ ao conjunto das vogais {a, e, i, o, u}.
2 ∈">∈∈ ao conjunto dos números pares.
a ∉">∉∉ ao conjunto das consoantes {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}.
2 ∉">∉∉ ao conjunto dos números ímpares.

Relação de continência
Quando fazemos a comparação de dois conjuntos, notamos uma relação importante chamada de continência. Dizemos que um conjunto A está contido no conjunto B quando todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B. Podemos dizer também que o conjunto B contém o conjunto A. 

Para expressar essa relação, utilizamos os símbolos a seguir:
⊃ = contém
⊂ = está contido
⊅ = não contém
⊄ = não está contido

Exemplo:
Dados os conjuntos A = {0, 5, 10} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, podemos dizer que:
B ⊃ A (B contém A) ou também que A ⊂ B (A está contido em B).

Subconjuntos
Chamamos de subconjunto de um conjunto B o conjunto A que está contido no conjunto B. Em um determinado conjunto, podemos ter vários subconjuntos.

Exemplo: 
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Alguns subconjuntos de B são:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
C = {2, 4, 6, 8, 10}
D = {10}

Casos particulares de conjuntos

Conjunto vazio
Um conjunto é conhecido como vazio quando ele não possui nenhum elemento. Ele pode ser representado por { } ou pelo símbolo ∅">∅∅  — ambos possuem o mesmo significado. O conjunto vazio está contido em todo e qualquer conjunto.

Conjunto unitário
Conhecemos como conjunto unitário aquele que possui somente um único elemento pertencente a ele — por exemplo, os conjuntos A = {0}, B ={1} e C = {2}.

Conjunto universo
O conjunto universo é definido como o conjunto formado por todos os elementos que devem ser considerados para uma determinada situação. Todo elemento pertence ao conjunto universo e todo conjunto está contido nele.

Operações entre os conjuntos
Existem três importantes operações entre os conjuntos:
- União
- Intersecção
- Diferença

União de conjuntos
Conhecemos como união de dois (ou mais) conjuntos o conjunto formado por todos os elementos de ambos. Para representar a união de dois conjuntos, utilizamos a notação A ∪">∪∪  B (lê-se: A união com B).

Exemplo:
Seja A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a união entre ambos será: A ∪">∪∪  B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10}

Veja a seguir a representação da união no diagrama de Venn:
A união de dois conjuntos é formada por todos os elementos de ambos.
Intersecção de conjuntos
A intersecção de dois (ou mais) conjuntos é formada pelos elementos que pertencem a ambos ao mesmo tempo. A intersecção é representada por A ∩">∩∩ B (lê-se: A intersecção com B).

Exemplo:
Seja A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, temos que: A ∩">∩∩ B = {2, 4, 6}.

Veja a seguir a representação da intersecção de dois conjuntos no diagrama:
Diferença entre conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é representada por A – B. Calcular essa diferença é encontrar os elementos que pertencem exclusivamente ao conjunto A, ou seja, pertencem ao A e não pertencem ao B.

Exemplo:
Seja A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, a diferença entre os conjuntos A e B é igual a:
A – B = {8, 10}

Conjunto complementar
O conjunto complementar é um caso especial de diferença entre dois conjuntos. Dado um universo U, o conjunto complementar de A é denotado por Ac é igual a U – A, ou seja, o conjunto de elementos que estão no universo, mas não pertencem ao conjunto A.

Exemplo:
Seja U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, e dado o conjunto A = {2, 4, 6, 8, 10}, o conjunto complementar de A, ou seja, AC é igual a U – A = {1, 3, 5, 7, 9}.

Exercícios resolvidos 
02) (Fafipa) Considere os conjuntos A = {3, 6, 11, 13, 21} e B = {2, 3, 4, 6, 9, 11, 13, 19, 21, 23, 26}. Sobre os conjuntos A e B, podemos afirmar que:
(A) A ⊂ B
(B) 9 ∉ B
(C) 17 ∈  A
(D) A ⊃ B
Resolução:
Analisando os conjuntos, é possível perceber que todos os elementos do conjunto A pertencem ao conjunto B. Quando isso acontece, dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B, então temos que A ⊂ B.
Alternativa A

04) (ENEM) No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma Universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
(A) 20 alunos
(B) 26 alunos
(C) 34 alunos
(D) 35 alunos
(E) 36 alunos
Resolução
Esse é um exercício sobre operações com conjuntos. Nele temos o conjunto A e o B. Esses dois conjuntos formam uma intersecção.
A = 42 → quantidade de alunos cujo sangue possui o antígeno A.
B = 36 → quantidade de alunos cujo sangue possui o antígeno B.
A n B = 12 → quantidade de alunos cujo sangue possui o antígeno AB.
Precisamos determinar o total de alunos que possuem os antígenos A e B. Para isso, faça:
A u B = A + B – A n B
A u B = 42 + 36 – 12
A u B = 66
Para saber a quantidade de alunos cujo sangue tem o antígeno O teremos que subtrair 66, que representa a quantidade de alunos que tem sangue com o antígeno A ou B, de 100, que é o total de alunos.
O = 100 – 66
O = 34
Então, 34 alunos tem em seu sangue o antígeno O.
Alternativa C

05) Dados os conjuntos A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {-1, 0, 2, 3}, represente as operações abaixo.
(A) A u B
(B) A n B
(C) A – B
(D) B – A
Resolução
a) A u B
Devemos realizar a união dos conjuntos A e B.
Se A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A u B = {-1, 0, 2, 3, 4, 5, 6}
b) A n B
Vamos realizar a intersecção do conjunto A com o conjunto B.
Sendo A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A n B = {2, 3}
c) A – B
Nessa questão devemos verificar os elementos do conjunto A que não são elementos do conjunto B.
Para A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então A – B = {4, 5, 6}

d) B – A
Teremos que averiguar a diferença entre B e A (conjunto formado pelos elementos do conjunto B que não pertencem ao conjunto A). O conjunto diferença é representado por B – A.
A = {2, 3, 4, 5, 6} e B = {- 1, 0, 2, 3}, então B – A = {-1, 0}

07) (UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:
23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;
23 alunos torcem pelo Clube do Remo;
15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;
6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;
5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo. 
Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos dessa turma é
(A) 49.
(B) 50.
(C) 47.
(D) 45.
(E) 46.
Resolução
Para resolver essa questão, devemos desenhar os diagramas de todos os conjuntos descritos no enunciado, destacando a sua intersecção.

Efetuando a adição, temos que: 17 + 18 + 5 + 6 + 4 = 50
O número n de alunos dessa turma é 50.
Alternativa B

08) Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = { 4, 5, 6, 7 } e C = { 4, 5, 6, 8}, descubra o resultado de: (A - C) ∩ (B - C)
Resolução
A – C = {0, 1, 2, 3} → Esse é o conjunto de todos os elementos de A que não pertencem a B;
B – C = {7} → Esse é o conjunto de todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a C;
Logo, a intersecção entre (A - C) ∩ (B – C) é vazia, visto que nenhum número se repete nesses dois conjuntos.

09) Dados os conjuntos C = {15,25,30,35} e D = {15, 25,40,50}, obtenha o n (AUB):
Resolução
n (C U D) → Significa a união dos elementos do conjunto C e D.
C U D = { 15,25,30, 35, 40, 50}
A união é dada pela representação de todos os termos numéricos sem repetição em um mesmo conjunto.
 

Continua...