Probabilidade, Permutação e Arranjos

Probabilidade, Permutação e Arranjos

Professor Diminoi

PROBABILIDADE, PERMUTAÇÃO  E ARRANJOS

 

Probabilidade

Probabilidade é o estudo das chances de ocorrência de um resultado, que são obtidas pela razão entre casos favoráveis e casos possíveis.

Para compreender esse ramo, é extremamente importante conhecer suas definições mais básicas, como a fórmula para o cálculo de probabilidades em espaços amostrais equiprováveis, probabilidade da união de dois ou mais eventos, probabilidade do evento etc.

 

Experimento aleatório

É qualquer experiência cujo resultado não seja conhecido. Por exemplo: ao jogar uma moeda e observar a face superior, é impossível saber qual das faces da moeda ficará voltada para cima, exceto no caso em que a moeda seja viciada (modificada para ter um resultado mais frequentemente).

Suponha que uma sacola de supermercado contenha maçãs verdes e vermelhas. Retirar uma maçã de dentro da sacola sem olhar também é um experimento aleatório.

 

Ponto amostral

Um ponto amostral é qualquer resultado possível em um experimento aleatório. Por exemplo: no lançamento de um dado, o resultado (o número que aparece na face superior) pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Então, cada um desses números é um ponto amostral desse experimento.

 

Espaço amostral

espaço amostral é o cunjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento aleatório, ou seja, por todos os seus resultados possíveis. Dessa maneira, o resultado de um experimento aleatório, mesmo que não seja previsível, sempre pode ser encontrado dentro do espaço amostral referente a ele.

Como os espaços amostrais são conjuntos de resultados possíveis, utilizamos as representações de conjuntos para esses espaços. Por exemplo: O espaço amostral referente ao experimento “lançamento de um dado” é o conjunto Ω, tal que:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Esse conjunto também pode ser representado pelo Diagrama de Venn ou, dependendo do experimento, por alguma lei de formação.

número de elementos dos espaços amostrais é representado por n(Ω). No caso do exemplo anterior, n(Ω) = 6. Lembre-se de que os elementos de um espaço amostral são pontos amostrais, ou seja, resultados possíveis de um experimento aleatório.

 

Evento

Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Um evento pode conter desde zero a todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, ou seja, o evento pode ser um conjunto vazio ou o próprio espaço amostral.

No primeiro caso, ele é chamado de evento impossível.

No segundo, é chamado de evento certo.

Ainda no experimento aleatório do lançamento de um dado, observe os seguintes eventos:

A = Obter um número par:

A = {2, 4, 6} e n(A) = 3

B = Sair um número primo:

B = {2, 3, 5} e n(B) = 3

C = Sair um número maior ou igual a 5:

C = {5, 6} e n(C)= 2

D = Sair um número natural:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(D) = 6

 

Espaços equiprováveis

Um espaço amostral é chamado equiprovável quando todos os pontos amostrais dentro dele têm a mesma chance de ocorrer. É o caso de lançamentos de dados ou de moedas não viciados, escolha de bolas numeradas de tamanho e peso idênticos etc.

Observação: um exemplo de espaço amostral que pode ser considerado não equiprovável é o formado pelo seguinte experimentoescolher entre tomar sorvete ou fazer caminhada.

 

Cálculo de probabilidades

As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis:

P = n(E)
      n(Ω)

Nesse caso, E é um evento que se quer conhecer a probabilidade, e Ω é o espaço amostral que o contém.

Por exemplo, no lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número um?

 

Exemplo 1

Sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço amostral desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6.

Resolução:

P = n(E)
      n(Ω)

P = 1
      6

P = 0,1666…

P = 16,6%

 

Exemplo 2

Qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado?

Resolução:

Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3.

P = n(E)
      n(Ω)

P = 3
      6

P = 0,5

P = 50%

Observação:

As probabilidades sempre resultarão em um número dentro do intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Isso acontece porque E é um subconjunto de Ω. Dessa maneira, E pode conter desde zero até, no máximo, o mesmo número de elementos que Ω.

 

Fórmula e cálculo da probabilidade

A probabilidade de acontecer determinado evento A, representado por P(A), é a divisão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Podemos representar, então, a chance de ocorrer o evento A por:

 

A regra do “ou”

Outro princípio de probabilidade diz que a ocorrência de dois eventos que se excluem mutuamente é igual à soma das probabilidades com que cada evento ocorre. Esse princípio é conhecido popularmente como regra do “ou”, pois corresponde à pergunta: qual é a probabilidade de ocorrer um evento OU outro?

 

Exemplo 1

A probabilidade de obter “cara” ou “coroa”, ao lançarmos uma moeda, é igual a 1, porque representa a probabilidade de ocorrer “cara” somada à probabilidade de ocorrer “coroa” (1/2 + 1/2 =1).

Resolução:

Para calcular a probabilidade de obter “face 1” ou “face 6” no lançamento de um dado, basta somar as probabilidades de cada evento: 1/6 + 1/6 = 2/6.

Em certos casos precisamos aplicar tanto a regra do “e” como a regra do “ou” em nossos cálculos de probabilidade.

 

Exemplo 2

No lançamento de duas moedas, qual a probabilidade de se obter “cara” em uma delas e “coroa” na outra?

Resolução:

Para ocorrer “cara” na primeira moeda E “coroa” na segunda, OU “coroa” na primeira e “cara” na segunda. Assim nesse caso se aplica a regra do “e” combinada a regra do “ou”. A probabilidade de ocorrer “cara” E “coroa” (1/2 X 1/2 = 1/4) OU “coroa” e “cara” (1/2 X 1/2 = 1/4) é igual a 1/2 (1/4 + 1/4).

 

Eventos Independentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

 

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

 

Exemplo 1

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição:

P(A e B) = P(A).P(B).

Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos:

10/30 . 20/30 = 2/9

Observação: na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) = P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.

 

EXERCÍCIOS DE EVENTOS INDEPENDENTES

01) Em uma gaveta temos 12 camisas, das quais, quatro são de gola polo e o restante, de gola normal. Retirando duas camisas sucessivamente ao acaso e sem reposição, qual é a probabilidade de as  duas camisas serem de gola polo?

Resolução:

 

02) Em uma cesta, temos oito bombons de morango, dez bombons de maracujá e quatro bombons de uva. Determine a probabilidade de retiramos sucessivamente com reposição, três bombons de maracujá. 

Resolução:

03) Sabemos que um baralho é composto de 52 cartas, onde temos a representação de quatro naipes: copas, ouro, paus e espadas. Dessa forma, cada naipe é representado por 13 cartas. Determine a probabilidade de escolhermos ao acaso e sucessivamente, três cartas de um mesmo naipe sem reposição.

Resolução:

 

04) Em relação ao enunciado da questão 03, determine a probabilidade de retirarmos ao acaso e sucessivamente quatro cartas, considerando uma de cada naipe e sem reposição, isto é: 1 carta de ouro, 1 carta de copas, 1carta de paus e 1 carta de espadas. 

Resolução:

05) (Cesgranrio – RJ) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira ao acaso, um cartão do bolso mostrando-o  a um jogador. Qual é a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha, e de a outra face mostrada ao jogador, ser amarela? 

Resolução:

Eventos Dependentes

Exemplos de eventos dependentes

A Faculdade de Educação da Universidade da Georgia define um evento dependente como duas variáveis ​​em uma probabilidade de que se influenciam mutuamente. Por exemplo: existem apenas 52 cartas em um baralho, e todas são pretas ou vermelhas, têm números, imagens de reis e rainhas e símbolos como espadas, ases, ouros e paus. Assim, caso alguém pegue duas cartas em um jogo, essa pessoa pode calcular a probabilidade de quais cartas tirou.

 

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um, exclui a realização do(s) outro(s). Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro ocorra é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize, ou seja, os elementos desses eventos não se repetem.

P (A U B) = P(A) + P(B)

Considerando dois eventos A e B contidos num mesmo espaço amostral, existirá a presença de elementos repetidos. Sendo assim:

P(A U B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B)

Exemplo 1

Uma urna contém 20 bolas idênticas numeradas de 1 a 20. Extraindo-se uma bola ao acaso dessa urna, qual a probabilidade de o número da bola sorteada ser:

 

a) múltiplo de 2 ou 3?

Resolução:

Consideramos os seguintes eventos:
A → o número múltiplo de 2:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} →
B → o número múltiplo de 3:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
B = {3, 6, 12, 15, 18} →
A ∩ B = {6, 12, 18} →
Como ou 65%.

 

b) múltiplo de 5 ou 7?

Resolução:

Consideramos os seguintes eventos:
A → o número é múltiplo de 5:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
A = {5, 10, 15, 20} =
B → o número é múltiplo de 7:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
B = {7, 14} =
Como A ∩ B = ?, então P (A U B) = P(A) + P(B). Assim:
ou 30%

 

Probabilidade de Eventos Simultâneos

O cálculo da probabilidade de eventos simultâneos determina a chance de dois eventos ocorrerem simultânea ou sucessivamente.

A fórmula para o cálculo dessa probabilidade decorre da fórmula da probabilidade condicional. Assim, teremos:

Se os eventos A e B forem independentes, ou seja, se o fato de ocorrer o evento B não alterar a probabilidade de ocorrer o evento A, a fórmula para o cálculo da probabilidade condicional será:

Vamos fazer alguns exemplos para explorar o uso da fórmula e a maneira correta de interpretar os problemas relacionados à probabilidade de eventos simultâneos.

Exemplo 1

Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de ocorrer um número maior que 3 e o número 2?

Resolução:

A ocorrência de um evento não influencia a probabilidade de outro ocorrer, portanto são dois eventos independentes. Vamos distinguir os dois eventos:
A: sair um número maior que 3 → temos como possíveis resultados os números 4, 5 ou 6.
B: sair o número 2
Vamos calcular a probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos. Observe que no lançamento de um dado, temos 6 valores possíveis.

Assim:

Dessa forma, teremos:

 

Exemplo 2

Numa urna há 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Serão retiradas dessa urna duas bolinhas, ao acaso, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 na primeira e um número ímpar na segunda?

Resolução:

O fato de a retirada das bolinhas ocorrer sem reposição, implica que a ocorrência do primeiro evento interfere na probabilidade do segundo ocorrer. Portanto, esses eventos não são independentes. Vamos determinar cada um dos eventos.
A: sair um múltiplo de 10 → {10, 20, 30}
B: sair um número ímpar → {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
A probabilidade de ocorrer os dois eventos sucessivamente será dada por:

Faremos os cálculos separadamente:

Para o cálculo de p(B|A) é preciso notar que não teremos mais 30 bolinhas na urna, pois uma foi retirada e não houve reposição, restando 29 bolinhas na urna. Assim,

Logo,

 

Exemplo 3

Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de ocorrer coroa e número primo?

Resolução:
Primeiro, vamos determinar o espaço amostral S, que é o conjunto com todos os possíveis resultados. Para melhor compreensão, iremos denominar cara de C e coroa de K.

Assim:

 S = {(C, 1); (C; 2); (C, 3); (C, 4); (C, 5); (C, 6); (K; 1), (K, 2); (K, 3); (K, 4); (K, 5); (K, 6)} à n(S) = 12
Vamos descrever os eventos A e B.
A: ocorrer coroa
B: ocorrer número primo
É fácil ver que esses dois eventos são independentes, um pode ocorrer sem a interferência do outro. Dessa forma, para resolução, utilizaremos a fórmula:
P(A∩B) = p(A) . p(B)
p(A) = 1/2, pois no lançamento de uma moeda há metade de chance de sair cara e metade de sair coroa.
p(B) = 3/6 =  1/2, pois dos 6 possíveis resultados no lançamento de um dado, três deles são números primos.
Logo,
P(A∩B) =1/2 .1/2 = 1/4

 

Exemplo 4

Uma urna contém 10 etiquetas identificadas pelas letras ABCD, ..., IJ. Duas delas são retiradas ao acaso, sucessivamente. Qual a probabilidade de saírem duas vogais, se a extração é feita sem reposição?

Resolução:
Vamos determinar os dois eventos envolvidos.
Evento A: sair uma vogal
Evento B: sair uma vogal
O fato de não haver reposição das etiquetas indica que a ocorrência de um evento interfere na ocorrência do outro, pois não haverá a mesma quantidade de etiquetas após a ocorrência de um deles. Dessa forma, utilizaremos a expressão:

P(A∩B) = p(A│B) . p(B)
Vamos então calcular p(B) e p(A|B).
p(B)= 3/10, pois, das dez letras, apenas 3 são vogais.
p(A│B)= 2/9, pois, se B ocorreu, restaram 9 letras e, dessas, apenas 2 são vogais.
Logo,

P(A∩B) = 2/9 . 3/10 = 6/90 = 1/15

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DIVERSOS

06) Vamos determinar a probabilidade de tirarmos uma bola branca em uma urna com 10 bolas brancas e 20 bolas vermelhas.

Resolução:

Para isso, vamos inicialmente determinar o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

Casos favoráveis = 10 (bolas brancas)

Casos possíveis = 10 + 20 (bolas brancas + bolas vermelhas)

 Veja que os casos favoráveis são os casos que nos interessam – nesse caso, a quantidade de bolas brancas – e casos possíveis representam o total de elementos do espaço amostral. Vamos chamar de A o evento em questão, assim:

A chance de tirar uma bola branca é, portanto, de 33,33%.

 

07) (UFPE) Uma letra é escolhida ao acaso dentre as que formam a palavra PERNAMBUCO. Qual a probabilidade de ser uma consoante?

Resolução:

Observe que o total de letras na palavra PERNAMBUCO é igual a 10. O caso favorável nesse problema é a quantidade de consoantes, que são 6. Logo, a probabilidade de escolhermos uma consoante é de:

 

08) Qual é a probabilidade de, no lançamento de 4 moedas, obtermos cara em todos os resultados?

(A) 2%

(B) 2,2%

(C) 6,2%

(D) 4%

(E) 4,2%

Resolução:

Primeiramente, é necessário encontrar o número total de possibilidades de resultados:

2 . 2 . 2 . 2 = 16

Posteriormente, devemos encontrar o número de possibilidades de obter cara em todos os resultados. Na realidade, só existe uma possibilidade de que isso aconteça.

Por fim, basta dividir o segundo pelo primeiro:

 1 = 0,0625
16             

Multiplicando 6,25 por 100, para obter um percentual, teremos: 6,25%

Alternativa: C

 

08) Duas moedas e dois dados, todos diferentes entre si, foram lançados simultaneamente. Qual é o número de possibilidades de resultados para esse experimento?

(A) 146

(B) 142

(C) 133

(D) 144

(E) 155

Resolução:

Para calcular o número de possibilidades de resultados de um experimento nesses moldes, multiplique o número de resultados possíveis de cada objeto em observação. No caso de cada moeda, 2 resultados, e de cada dado, 6 resultados:

2 .2 . 6 . 6 = 4 . 36 = 144

Alternativa: D

 

09) Qual é o número total de possibilidades de resultado no lançamento de 5 moedas?

(A) 2

(B) 5

(C) 10

(D) 24

(E) 32

Resolução:

O número total de resultados que pode ser obtido no lançamento de duas moedas é encontrado multiplicando-se a quantidade de resultados da primeira moeda pela quantidade da segunda e assim por diante. Observe:

2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32

Portanto, são 32 possibilidades diferentes.

Alternativa: E

 

10) No lançamento de dois dados, qual é o número total de possibilidades de resultados e qual é a probabilidade de obtermos soma igual a 8?

(A) 36 e 5%

(B) 36 e 14%

(C) 6 e 5%

(D) 5 e 6%

(E) 36 e 6%

Resolução:

Primeiramente, vamos descobrir o número total de possibilidades, pois ele será usado para descobrirmos a probabilidade de obter soma 8:

São dois dados com seis resultados possíveis cada. As combinações entre esses resultados podem ser calculadas multiplicando-se o número de resultados do primeiro pelo do segundo:

6 . 6 = 36

Também poderíamos ter escrito todas as possibilidades e contado-as, mas esse procedimento gasta mais tempo. Portanto, o número total de possibilidades de resultados é 36.

Para calcular a probabilidade de sair soma 8, devemos procurar as possibilidades de obter tal soma. São elas:

2,6; 3,5; 4,4; 5,3 e 6,2

Sendo 5 o número de possibilidades de obter soma 8, divida esse número pelo número total de possibilidades de resultados:

 5 = 0,14
36         

Para transformar isso em porcentagem, basta multiplicar por 100:

0,14 . 100 = 14%

A probabilidade de sair soma 8 é 14%.

Alternativa: B

 

11) (PM PE – IAUPE) Dos 500 aprovados em um concurso, 205 falam inglês, 210, espanhol, e 65, ambos os idiomas. Escolhendo ao acaso um dos aprovados, qual a probabilidade de ele não falar nenhum desses idiomas?

(A) 40%

(B) 25%

(C) 30%

(D) 45%

(E) 35%

Resolução:

Total de alunos que falam algum idioma:

205 + 210 – 65 = 350

Veja que subtraímos os 65 alunos que falam os dois idiomas e estavam sendo contados duas vezes quando consideramos os 205 que falam inglês e os 210 que falam espanhol.

Total de estudantes que não falam nenhum idioma:

500 – 350 = 150

Probabilidade do estudante não falar nenhum idioma:

150/500 = 0,3 = 30%

Alternativa: C

 

12) (BB – Cesgranrio) Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais. Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente três vezes?

(A) 1/8

(B) 1/4

(C) 1/3

(D) 1/2

(E) 3/4

Resolução:

Primeira jogada: qualquer resultado serve (probabilidade igual a 1)

Segunda jogada: só serve o resultado que não aconteceu da primeira vez (probabilidade igual a  1/2)

Terceira jogada: só serve o mesmo resultado que aconteceu na segunda jogada (probabilidade igual a 1/2)

Logo: 1 , 1/4 . 1/4 = 1/4

Alternativa: B

 

13) Em um grupo de pessoas, as idades são: 10, 12, 15 e 17 anos. Caso uma pessoa de 16 anos junte-se ao grupo, o que acontece com a média das idades do grupo? 

Resolução:

 

14) A distribuição de salários de uma empresa é fornecido pela tabela a seguir:

Calcule a média salarial dessa empresa.

Resolução:

 

15) (Unicamp-SP) Para votar, cinco eleitores demoraram, respectivamente, 3min 38s, 3min 18s, 2min 46s, 2min 57s e 3min 26s. Qual foi a média do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores? 

Resolução:

 

16) (Unifor-CE) Em certa eleição municipal foram obtidos os seguintes resultados:

O número de votos obtido pelo candidato vencedor foi:

(A) 178
(B) 182
(C) 184
(D) 188
(E) 191

Resolução:

Calcular o índice percentual de votos nulos e brancos:

x + 26% + 24% + 22% = 100%
x = 100% – 72%
x = 28%

Calcular o total de votos com base nos votos nulos e brancos:

28% de x = 196
0,28x = 196
x = 196/0,28
x = 700

O total de votos é igual a 700, e o candidato vencedor teve 26% desses votos, então:

26% de 700 → 0,26 * 700 → 182 votos

Alternativa: B

 

17) (FGV-SP) A tabela abaixo representa a distribuição de frequência dos salários de um grupo de 50 empregados de uma empresa, em certo mês. O salário médio desses empregados, nesse mês, foi de:

(A) R$ 2 637,00
(B) R$ 2 520,00
(C) R$ 2 500,00
(D) R$ 2 420,00
(E) R$ 2 400,00

Resolução:

Eventos Aleatórios

 

Fatorial

É importante falarmos sobre fatorial pois na análise combinatória é comum o uso de fatorial nas fórmulas.

Seja n um número natural, maior que 1, definimos fatorial de n como o produto de todos os números naturais de n até 1.

 

Simbolicamente, o fatorial de n é: n!

n! = n(n – 1).(n – 2) . … . 3 . 2 . 1

Exemplo 1

3! = 3 . 2 . 1 = 6

10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800

 

Princípio Fundamental da Contagem

O princípio fundamental da contagem nos permite definir uma regra de forma que possamos determinar o número de possibilidades de ocorrência de um evento, para que não precisamos reproduzir todas as possibilidades de ocorrência do evento.

 

Exemplo 2

Maria foi a uma loja comprar um par de sapatos. A loja possui três pares de sapatos que interessavam à Maria, em 2 cores diferentes, preto e branco. Quantas possibilidades de escolhas Maria tinha para comprar 1 par de sapatos?

Resolução:

Podemos utilizar um diagrama chamado de diagrama de árvore para descrever todas as possibilidades que Maria disponha para comprar 1 par de sapatos.

No entanto, descrever todas as possibilidades que Maria possui pode ser um pouco mais complexo. Por exemplo, se ampliássemos as possibilidades para duas ou mais lojas, ou simplesmente a loja disponibilizasse mais opções de cores e modelos à Maria.

Podemos então utilizar do princípio fundamental da contagem para simplificar o problema.

Para cada par de sapato, Maria possui duas possibilidades de escolhas: preto ou branco. Então, vamos chamar de p o número de pares sapatos e c o número de cores disponível.

p = 3

c = 2

Assim, fazendo o produto temos o total de possibilidades que Maria possui para comprar 1 par de sapatos.

p . c = 3 . 2 = 6 possibilidades

 

Permutação simples

Definimos permutação simples como o número de possibilidades que podemos organizar n elementos distintos em n posições, de forma que cada possibilidade seja diferente da ordem em que os elementos aparecem.

 

Permutação simples

Pn = n!

Exemplo 3

Em uma eleição para prefeito existem 3 candidatos. Quais as possibilidades dos três candidatos no resultado da eleição?

Resolução:

Cada candidato na eleição pode ocupar três posições no resultado da eleição: eleito (primeiro lugar), segundo lugar e terceiro lugar.

Assim, trata-se de um problema de permutação simples.

P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Resposta: 6 possibilidades que podem ocorrer no resultado da eleição.

 

Permutação com repetição

Na permutação com repetição, na análise combinatória, os elementos do evento são repetidos, diferentemente da permutação simples.

 

Permutação com repetição

Pn = é a permutação

N = total de elementos do evento

n1! . n2! . n3! . … . nk! = elementos repetidos no evento

 

Exemplo 4

Quantos anagramas possuem a palavra CARRO?

Resolução:

Podemos ver que duas letras se repetem. Então, tempos os seguintes dados no problema:

N = 5 letras;

n1 = 2 letras que se repetem.

Resposta: a palavra carro possui 60 anagramas.

 

Exemplo 5

Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B.

Resolução:

Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto são: 56,5 7, 65, 67,75, 76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B.

 

Arranjo simples

An, k = é o arranjo

N = total de elementos do evento

K = total de agrupamentos, com k ≤ n

 

Exemplo 6

Quantos números de 3 algarismos podemos formar com o conjunto abaixo:

A = {1, 2, 3, 5, 7 e 9}

Resolução:

Temos os seguintes dados:

N = números de elementos;

k = quantidades de algarismos por número.

Resposta: podemos formar até 120 número de três algarismos.

 

Arranjo com repetição

Arranjo com repetição é utilizado quando a ordem dos elementos do evento é importante, sendo que cada elementos pode ser contado mais de uma vez.

 

Arranjo com repetição

An,k = nk

An,k = é o arranjo com repetição

N = total de elementos do evento

K = número de elementos escolhidos no evento

 

Exemplo 7

Seja o conjunto das vogais: A = {a, e, i, o, u}

Se tomarmos o agrupamento de dois em dois, sendo um arranjo com repetição, quantos agrupamentos poderíamos fazer com as vogais do conjunto A?

Resolução:

A = {a, e, i, o, u}

n = 5

k = 2

A5,2 = 52 = 25

Resposta: poderíamos fazer 25 combinações diferentes.

 

Combinação simples

Utilizamos combinação simples quando a ordem dos elementos no evento não importa, porém cada elementos pode ser contado somente uma vez.

 

Combinação simples

Cn,k = é a combinação simples

N = total de elementos do eventos

k = total de agrupamentos do evento, com k ≤ n

 

Exemplo 8

De quantas maneiras diferentes podemos separar 12 bolas de gudes de cores diferentes, colocando 3 bolas de gudes por pote?

Resolução:

Dados:

n = 12 bolas de gudes

k = 3 bolas de gudes por pote

Resposta: podemos separar as 12 bolas de gudes distintas, com três em cada pote, de 220 formas diferentes.

 

Combinação com repetição

Utilizamos a combinação com repetição quando a ordem dos elementos do evento não importa, porém, podemos escolher cada elementos mais de uma vez.

 

Combinação com repetição

Cn,k = é a combinação com repetição

N = é o total de elementos do evento

k = total de elementos escolhidos do evento

 

Exemplo 9

Uma loja decide sortear para os clientes 3 pares de sapatos das 10 melhores marcas do mercado. De quantas formas o ganhador do prêmio pode escolher os três pares de sapatos da lista das 10 melhores marcas, sendo permitido repetições?

Resolução:

N = 10 marcas

k = 3 pares de sapatos

Resposta: o ganhador do prêmio poderá escolher de 220 maneiras distintas os três pares de sapatos das 10 melhores marcas.

 

NÚMEROS FATORIAIS PEQUENOS

0! (lê-se 0 fatorial)

0! = 1

 

1! (lê-se 1 fatorial)

1! = 1

 

2! (lê-se 2 fatorial)

2! = 2 . 1 = 2

 

3! (lê-se 3 fatorial)

3! = 3 . 2 . 1 = 6

 

4! (lê-se 4 fatorial)

4! = 4. 3 . 2 . 1 = 24

 

5! (lê-se 5 fatorial)

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

 

6! (lê-se 6 fatorial)

6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

 

7! (lê-se 7 fatorial)

7! = 7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 5040

 

8! (lê-se 8 fatorial)

8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 40320

 

9! (lê-se 9 fatorial)

9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 362.880

 

10! (lê-se 10 fatorial)

10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 3.628.800

 

Obs: O número fatorial também pode ser representado da seguinte maneira:

5!
5 . 4!;
5 . 4 . 3!;
5 . 4 . 3 . 2!

Observação: esse processo é muito importante quando se utiliza a simplificação de números fatoriais.

 

01) Calcule o valor das frações abaixo:


Resolução:

 

Resolução:

 

02) Simplifique as expressões abaixo:

Resolução:

 

Resolução:

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

 

03) Jeniffer irá participar da promoção de uma loja de roupas que está dando um vale compras no valor de R$ 1000,00 reais. Ganhará o desafio o primeiro participante que conseguir fazer o maior número de combinações com o kit de roupa cedido pela loja. No kit temos: seis camisetas, quatro saias e dois pares de sapato do tipo salto alto. De quantas maneiras distintas Jeniffer poderá combinar todo o vestuário que está no quite de roupa?

Resolução:

Peças que compõem o kit de roupa

Camisetas

Saias

Sapatos

Utilizando o Diagrama da Árvore vamos descobrir a quantidade de combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

8 combinações possíveis.

Ao realizar a contagem iremos constatar a quantidade referente à 48 combinações possíveis.

A outra forma que temos para resolver este problema é utilizando o Princípio Fundamental da Contagem.

Total de camisetas X Total de Saias X Total Sapatos = Total de combinações possíveis

6 . 4 . 2 = 48

Observação: ao utilizarmos o Princípio Fundamental da Contagem, também foi possível determinar o número de combinações do Kit roupa, este número corresponde ao que foi encontrado quando utilizamos o Diagrama da árvore

 

04) Uma lanchonete vende uma promoção de lanche a um preço único. No lanche, estão incluídos um sanduíche, uma bebida e uma sobremesa. São oferecidos três opções de sanduíches: hambúrguer especial, sanduíche vegetariano e cachorro-quente completo. Como opção de bebida pode-se escolher 2 tipos: suco de maçã ou guaraná. Para a sobremesa, existem quatro opções: cupcake de cerejacupcake de chocolatecupcake de morango e cupcake de baunilha. Considerando todas as opções oferecidas, de quantas maneiras um cliente pode escolher o seu lanche?

Resolução:

Podemos começar a resolução do problema apresentado, construindo uma árvore de possibilidades, conforme ilustrado abaixo:

Acompanhando o diagrama, podemos diretamente contar quantos tipos diferentes de lanches podemos escolher. Assim, identificamos que existem 24 combinações possíveis.

Podemos ainda resolver o problema usando o princípio multiplicativo. Para saber quais as diferentes possibilidades de lanches, basta multiplicar o número de opções de sanduíches, bebidas e sobremesa.

Total de possibilidades: 3 . 2 . 4 = 24

Resposta: temos 24 tipos diferentes de lanches para escolher na promoção.

 

05) Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO?

Resolução:

Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples.

P = 4! = 24

 

 

06) De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais

Resolução:

Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.

P = n!
P = 5!
P = 5 . 4 . 3 . 2 .1
P = 120

Portanto, o número de posições possíveis é 120.

07) De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres:

 

a) em qualquer ordem

Resolução:

Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos

12! = 12 .11 .10 .9 . 8 .7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 479.001.600 possibilidades

 

b) iniciando com homem e terminando com mulher

Resolução:

Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos:

Seis homens aleatoriamente na primeira posição.

Seis mulheres aleatoriamente na última posição.

P = (6 . 6)  . 10!
P = 36 .10!
P = 130.636.800 possibilidades

 

08) Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?

Resolução:

Os números sorteados da mega sena formam uma sequência de seis números. Para calcular as formas distintas que esse resultado pode ter sido sorteado, basta calcular: P= 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720.

 

09) Na palavra NORTE, quantos anagramas podem ser formados? Quantos começam com vogal?

Resolução:

Na palavra NORTE, temos 5 letras e a quantidade de anagramas distintos é dada por P= 5! =  5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120. Para sabermos quantos começam com vogal, sabemos que, fixado que a primeira letra é uma vogal, restam apenas quatro posições a serem permutadas. Então temos 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24. Como temos duas vogais, basta multiplicar 2 . 2 4 = 48. Assim, dos 120 anagramas que podem ser formados, apenas 48 começam com vogais.

 

10) Se considerarmos o conjunto B = {A, B, C, D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?

Resolução:

Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:

ABC, BAC, CAB, DAB

ABD, BAD, CAD, DAC

ACB, BCA, CBA, DBA

ACD, BCD, CBD, DBC

ADB, BDA, CDA, DCA

ADC, BDC, CDB, DCB

Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
Cn,p =      n!     
          p! (n – p)!
n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Substituindo os dados acima na fórmula teremos:
n = 4
p = 3
C4,3 =       4!     
            3! (4-3)!
C4,3 = 4 . 3! 
           3! . 1
C4,3 = 4

 

11) O presidente de uma grande empresa reserva todas as segundas-feiras de manhã para realizar uma reunião com todos os diretores. Considerando que existem cinco diretores nas mais diversas áreas dessa empresa, calcule de quantas maneiras essas seis pessoas (presidente e diretores) podem ser dispostos numa mesa não redonda. Esse é um típico caso de permutação simples.

Resolução:

P6 = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

Resposta: o presidente e os diretores podem ser dispostos em uma mesa não redonda de 720 maneiras distintas.

 

12) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra MATEMÁTICA?

Resolução:

Observe que são dez letras das quais uma delas se repete três vezes, caso da letra A, e outra que se repete duas vezes, o da letra T. Realizando o cálculo, tem-se:

Resposta: com a palavra MATEMÁTICA podem ser formados 302400 anagramas.

 

 

Continua...