EF II - POTENCIACAO

Professor Diminoi
POTENCIACAO

O que é potenciação?
Seja a multiplicação 2 . 2 . 2 . 2, onde todos os fatores são iguais. Podemos indicar este produto de modo abreviado:
2 . 2 . 2 . 2 = 2⁴ = 16

Denominamos:
Base = o número que se repete.
Expoente = o número de fatores iguais.
Potência = o resultado da operação.

A operação efetuada é denominada potenciação.

Exemplos
a) 5⁴= 5 . 5 . 5 . 5 = 625
b) 4³= 4 . 4 . 4 = 64

Leitura
Alguns exemplos:
a) 3² (lê-se “três elevado ao quadrado ou o quadrado de três”)
b) 2³ (lê-se “dois elevado ao cubo ou o cubo de dois”)
c) 7⁴ (lê-se “sete elevado à quarta potência ou a quarta potência de sete”)
6⁵  (lê-se “seis elevado à quinta potência ou a quinta potência de seis”)

Observação:
Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores iguais.

Exemplos
Os números 4, 36 e 100 sao quadrados perfeitos, pois 
a) 2² = 4, 6² = 36
b) 10² = 100.

Propriedades da potenciação
Todo número natural elevado ao expoente 1 é igual a ele mesmo.
a¹ = a

Exemplo
a) 7¹ = 7
b) 2599¹ = 25991

Todo número natural nao-nulo elevado ao expoente zero é igual a 1.
a⁰ = 1

Exemplo
a) 9⁰ = 1
b) 254⁰ = 1

Toda potência da base 1 é igual a 1.
1ⁿ = 1

Exemplo
a) 1⁴ = 1 . 1 . 1 . 1 . 1 = 1
b) 1¹⁰⁰ = 1

Toda potência de 10 é igual ao numeral formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

Exemplos
a) 10² = 10 . 10 = 100
b) 10⁶ = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 1 000 000

O expoente negativo significa que ocorre a troca de lugar entre o numerador o denominador.
Exemplos
Se tivermos uma potência negativa no denominador, este se transforma em numerador ao trocar o sinal da potência.
Exemplos

Produto de potências de mesma base
Considere o produto 3³ . 3⁴.

Observe que:
3³ . 3⁴ = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 3⁷
Assim:
3³ . 3⁴ = 3⁷

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que:
Observação Para multiplicar potências de mesma base, devemos conservar a base e somar os expoentes.

Genericamente:
a^m .  aⁿ = ^{an + m}

Divisão de potências de mesma base
Considere o quociente
Observe que:

Assim:



Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que: Para dividir potências de mesma base, não-nula, devemos conservar a base e subtrair os expoentes.
Genericamente:

Potência da potência
Considere a potência
(7⁴)³
Observe que:
(7⁴)³ = 7⁴ . 7⁴ . 7⁴ = 7⁴⁺⁴⁺⁴ = 7¹²
Assim:
(7⁴)³ = 7^3.4 = 7¹²

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que: Para elevar uma potência a um novo expoente, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes

Genericamente:
(a^m)ⁿ = a^m.n
Distributiva da potenciação em relação à multiplicação

Considere a expressao
(2 . 3 . 4)³  
Observe que:
(2 . 3 . 4)³ = (2 . 3 . 4)(2 . 3 . 4)(2 . 3 . 4)
2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 4 . 4 . 4 = 2³ . 3³ . 4³

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que: Para elevar um produto a um expoente, devemos elevar cada fator a esse expoente.

Genericamente:
(a . b . c)ⁿ = aⁿ . bⁿ . cⁿ

Distributiva da potenciação em relação à divisão
Considere a expressao 
Observe que:

Tomando por base o exemplo acima, podemos concluir que: Para elevar um quociente a um expoente, devemos elevar o numerador e o denominador a esse expoente.

Genericamente:

Continua ...