EF II - EQUACAOES DO 1º GRAU COM UMA VARIAVEL

Professor Diminoi
EQUACAOES DO 1º GRAU COM UMA VARIAVEL 

Introduçao
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade.
A palavra equação tem o prefixo equacao, que em latim quer dizer "igual".

Exemplos:
a) 2x + 8 = 0
b) 5x - 4 = 6x + 8
c) 3a - b - c = 0

Não são equações:
4 + 8 = 7 + 5   (Não é uma sentença aberta)
x - 5 < 3   (Não é igualdade)
(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:
ax + b = 0
onde a e b são números conhecidos e a diferente de 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: ax = - b dividindo agora por a (dos dois lados), temos:
Por exemplo, considere a equação 2x - 8 = 3x -10.

A letra é a incógnita da equação.

A palavra incógnita significa "desconhecida".

Na equação acima, a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.
Observação: Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax = b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

Conjunto universo e conjunto verdade de uma equação
Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.
Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

Observe este outro exemplo:
Determine os números inteiros que satisfazem a equação x² = 25.
O conjunto dos números inteiros é o conjunto universo da equação. Os números -5 e 5, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por:
V = {-5, 5}.
Daí, concluímos que:

Observação: Conjunto universo é o conjunto de todos os valores que a variável pode assumir. Indica-se por U.
Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U que tornam verdadeira a equação. Indica-se por V.

Observações
O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.
Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.
O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

Raízes de uma equação
Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação. Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte sequência:
- Substituir a incógnita por esse número.
- Determinar o valor de cada membro da equação.
- Verificar a igualdade. Sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos:
Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.
Resolva a equação x - 2  = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.
Para x = 0, temos: 0 - 2 = 0  => -2 = 0. (F)
Para x = 1, temos: 1 - 2 = 0  => -1 = 0. (F)
Para x = 2, temos: 2 - 2 = 0  => 0 = 0. (V)
Para x = 3, temos: 3 - 2 = 0  => 1 = 0. (F)
Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.
Para x = -1, temos: 2 . (-1) - 5 = 1  => -7 = 1. (F)
Para x = 0, temos: 2 . 0 - 5 = 1  => -5 = 1. (F)
Para x = 1, temos: 2 . 1 - 5 = 1  => -3 = 1. (F)
Para x = 2, temos: 2 . 2 - 5 = 1  => -1 = 1. (F)
A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V =  Ø.

Resolução de uma equação
Resolver uma equação consiste em realizar uma série de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples, que nos permitem determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação.
Observação: Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo).

Exemplos
Sendo U = Q, resolva a equação 
MMC (4, 6) = 12
-9x = 10  =>   Multiplicador por (-1)
9x = -10
Como
Então
Sendo:
U = Q

Exemplo
Resolva a equação 2.(x - 2) - 3.(1 - x) = 2.(x - 4).
Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:
2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 
2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3
3x = -1
Como
Então 

Equações impossíveis e identidades
Sendo U = Q, considere a seguinte equação: 2.(6x - 4) = 3.(4x - 1).
Resolução
2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1
12x - 8 = 12x - 3 
12x - 12x = - 3 + 8
0 . x = 5
Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é  impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V =  Ø.
Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando (a igual a zero)  e (b diferente de zero).
Sendo U = Q, considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.

Observe a sua resolução:
-3x + 3x = 2 - 10 + 8
0 . x = 0 

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções. Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.



Continua ...