EM - BINOMIO DE NEWTON

Professor Diminoi
BINOMIO DE NEWTON

Introdução
Pelos produtos notáveis, sabemos que:
(a + b)² = a² + 2ab + b².

Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Se quisermos calcular (a + b)⁴, podemos adotar o mesmo procedimento:
(a + b)⁴ =
(a + b)³ (a+b) =
(a³ + 3a²b + 3ab² + b³) (a+b) =
a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência (a + b)ⁿ a partir da anterior, ou seja, de (a + b) ^n-1.
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como Binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes binomiais
Sendo n e p dois números naturais 
Chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número
Que indicamos por
(lê-se: n sobre p).

Podemos escrever:
O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:
É também imediato que, para qualquer n natural, temos:
Exemplos




Propriedades dos coeficientes binomiais
1ª) Se n, p, k    e p + k = n então
Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

Exemplos




2ª) Se n, p, k    e p   p-1   0 então 
Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

Exemplos




Triângulo de Pascal
A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela abaixo, recebe o nome de Triângulo de

Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.

Exemplo, os números binomiais
, , e  Estão na linha 3 e os números binomiais
, , , , ..., , ...

Estão na coluna 1.
Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

Construção do triângulo de Pascal
Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como 
= 1 
Todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como
= 1 
O último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação de Stifel).
Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:
Propriedades do triângulo de Pascal
P1 - Em qualquer linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são iguais.


De fato, esses binomiais são complementares.

P2 - Teorema das linhas: a soma dos elementos da enésima linha é  .

De modo geral temos:
P3 - Teorema das colunas: a soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 4 + 10 + 20 = 35

P4 - Teorema das diagonais: a soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
Como vimos, a potência da forma (a + b)ⁿ, em que a,
E chamada binômio de Newton.
Além disso:
quando n = 0 temos (a + b)⁰ = 1 
quando n = 1 temos (a + b)¹ = 1a + 1b 
quando n = 2 temos (a + b)² = 1a² + 2ab + 1b²
quando n = 3 temos (a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³
quando n = 4 temos (a + b)⁴ = 1a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + 1b⁴

Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:

De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de

Newton
Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui n + 1 termos.
 
Fórmula do termo geral do binômio de Newton
Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)ⁿ, notamos que cada um deles é da forma

Quando p = 0 temos o 1º termo:

Quando p = 1 temos o 2º termo:

Quando p = 2 temos o 3º termo:

Quando p = 3 temos o 4º termo: 

Quando p = 4 temos o 5º termo:

Percebemos, então, que um termo qualquer T de ordem p + 1 pode ser expresso por


Função do 1º grau

Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

Observe  alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

Exemplo
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x= 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
b)    Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto
E outro ponto é
Marcamos os pontos (0, -1) e
No plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
x                                 y
0                                 -1
1/3                              0

Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos adiante, está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta.
Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b.
Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Zero ou raiz da função do 1º grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que  f(x) = 0. Temos:
f(x) = 0
ax + b = 0
x = - b/a

Vejamos alguns exemplos:
1- Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
f(x) = 0
2x - 5 = 0
x = 5/2

2- Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
g(x) = 0
3x + 6 = 0   
x = -2

3- Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas:
O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
h(x) = 0
-2x + 10 = 0
x = 5

Função crescente ou decrescente
Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:
x                 -3              -2               -1                    0               1            2              3
y               -10             -7               -4                   -1               2            5              8
Perceba que, quando aumentamos o valor de x, os valores correspondentes de y também aumentam. Dizemos então que a função y = 3x - 1 é crescente.

Observe o seu gráfico:
Regra geral:
- a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
- a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);

Justificativa:
para a > 0: se x₁ < x₂, então ax₁ < ax₂. Daí, ax₁ + b < ax₂ + b, de onde vem f(x₁) < f(x₂).
para a < 0: se x₁ < x₂, então ax₁ > ax₂. Daí, ax₁ + b > ax₂ + b, de onde vem f(x₁) > f(x₂).

Sinal da função do 1º grau
Estudar o sinal de qualquer função y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
Considerando uma função afim y = f(x) = ax + b, vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz
Há dois casos possíveis:
1º) a > 0 (a função é crescente)
y > 0
ax + b > 0
x > -b/1

y < 0   
ax + b < 0
x < -b/a

Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)
y > 0
ax + b > 0
x <  -b/a

y < 0 
ax + b < 0
x > - b/a

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.


Continua ...