PROBABILIDADE - ESTATISTICA

Professor Diminoi

Definições básicas de probabilidade
As definições básicas de probabilidade são: experimento aleatório, ponto amostral, espaço amostral, evento e o cálculo da probabilidade.
O lançamento de dados é um dos experimentos aleatórios possíveis na Probabilidade

Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório.
A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.

Experimento aleatório e ponto amostral
Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, mesmo assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado de ponto amostral. 

Exemplos de experimentos aleatórios:
a) Cara ou coroa
Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de experimento aleatório.

Observação: Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa.

b) Lançamento de um dado
Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele.
Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores.

c) Retirar uma carta aleatória de um baralho
Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse é também um experimento aleatório.

Espaço amostral
O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos:

a) O espaçoamostraldo experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto.

b) O espaçoamostraldo experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços amostrais.

O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω).

Evento
Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral.
O número de elementos do evento é representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão.

Exemplos de eventos:
a) Sair cara em um lançamento de uma moeda
O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com notações de conjuntos:
E = {cara}
O seu número de elementos é n(E) = 1.

b) Sair um número par no lançamento de um dado.
O evento é sair um número par:
E = {2, 4, 6}
O seu número de elementos é n(E) = 3.

Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples.
- Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência é de 100%.
- Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e possui 0% de chances de ocorrência.

Cálculo da probabilidade
Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence.
P(E) = n(E)
          n(Ω)

Observações:
- O número de elementos do evento sempre é menor ou igual ao número de elementos do espaço amostral e maior ou igual a zero. Por isso, o resultado dessa divisão sempre está no intervalo 0 ≤ P(A) ≤ 1;
- Quando é necessário usar porcentagem, devemos multiplicar o resultado dessa divisão por 100 ou usar regra de três;
- A probabilidade de um evento não acontecer é determinada por:

P(A^-1) = 1 – P(A)

QUESTÕES RESOLVIDAS
01) Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?
Resolução:
Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento.
P(E) = n(E)
          n(Ω)
P(E) = 1
          2
P(E) = 0,5 = 50%

02) Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais?
Resolução:
Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis:
(C, K); (C, C); (K, C); (K, K)
O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis:
(C, C); (K, K)
Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número de elementos do evento), logo:
P(E) = n(E)
          n(Ω)
P(E) = 2
          4
P(E) = 0,5 = 50%

03) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?
Resolução:
Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
P(E) = n(E)
          n(Ω)
P(E) = 2
          6
P(E) = 0,33... = 33,3%

04) Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado?
Resolução:
Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos.
A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer:
P(A^-1) = 1 – P(E)
O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo:
P(A^-1) = 1 – P(E)
P(A^-1) = 1 – n(E)
                  n(Ω)
P(A^-1) = 1 – 1
                  6
P(A^-1) = 1 – 0,166..
P(A^-1) = 0,8333… = 83,3%