MONOMIOS

Professor Diminoi

MONÔMIOS
Aprenda o que são monômios e como realizar as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com esse tipo de expressão.

Adição algébrica de monômios
Monômios são expressões algébricas que possuem multiplicações entre números e incógnitas (letras que representam algum número desconhecido). Assim, uma expressão não é monômio quando apresenta pelo menos uma adição ou subtração ou ainda quando possui alguma divisão por incógnita. Lembre-se: nos monômios, as incógnitas sempre ficam no numerador.
Assim, não podem ser consideradas monômios as expressões seguintes:
2x + 2y
2xy
4a
Os resultados de algumas adições algébricas ou frações que possuam incógnita podem tornar-se monômios após o processo de simplificação.

Monômios semelhantes
Todo monômio é dividido em duas partes: 

Parte literal 
Diz respeito a todas as incógnitas que fazem parte desse monômio, incluindo seus expoentes.
Coeficiente:
Diz respeito ao número que está multiplicando a parte literal. Portanto, tendo o monômio abaixo como exemplo, separaremos sua parte literal e coeficiente.
1xy³a⁴
4        

Parte literal (letras e suas respectivas potências) = xy³a⁴ 

Coeficiente 9valor numérico) = 1/4
Dizemos que dois monômios são semelhantes quando possuem parte literal igual, até mesmo os expoentes. Observe abaixo um monômio semelhante ao anterior:
7xy³a⁴

Observe que ambos diferem apenas no coeficiente.

Agora, olhe um exemplo de monômio que parece semelhante a esses dois últimos, mas não é:
3xy³a³

Não é semelhante porque o expoente da incógnita a é diferente.

Adição e subtração algébrica de monômios
Dois monômios só podem ser somados ou subtraídos algebricamente se forem semelhantes, ou seja, se suas partes literais forem iguais.
A adição desses dois monômios deve ser feita da seguinte maneira: some os coeficientes e repita a parte literal.

Exemplo:
4xy + 16xy = 20xy =
45kb²c – 15kb²c =
30kb²c
Para a adição de monômios, valem todas as propriedades as dição de números reais: comutativa, associativa, elemento neutro e elemento inverso.

Multiplicação de monômios
Diferentemente da adição, deve ser feita tanto com a parte literal como com o coeficiente. Para realizá-la, proceda da seguinte maneira:
1 – Multiplique os coeficientes;
2 – Procure as incógnitas que aparecem nos dois fatores que estão sendo multiplicados, some seus expoentes e coloque-as no resultado;
3 – As incógnitas que aparecem em apenas um fator devem ser repetidas no resultado.

Exemplo:
4xy²k³b . 2xy³k⁶
4·2x^{1 +1}y²⁺³k ³⁺⁶b
8x²y⁵k⁹b

Observe que o expoente da incógnita b foi omitido. Sempre que isso acontecer, esse expoente é 1.

Divisão de monômios
A divisão de monômios deve ser feita de maneira parecida com a multiplicação.
Divida os coeficientes (ou os escreva como uma fração) e subtraia os expoentes das incógnitas que se repetem em ambos os fatores divisivos.

Exemplo: 4xy⁶k³b /2xy³k⁶
Resolução:
4xy⁶k³b
 2xy₃k⁶
 2x^{1 -1}y^6-3k^3-6b
2x⁰y⁶k^-6b
2y⁶k^-6b
2y⁶b
   k^-6

MONÔMIOS E SUAS OPERAÇÕES
(E.F. II & E.M)

MONÔMIO 
Um monômio é uma expressão algébrica com apenas um termo.
Esse termo pode ser formado por uma constante, uma variável ou o produto de uma constante por uma ou mais variáveis.
Exemplo:
3x, –2y², 5, e 2xy
Geralmente, um monômio é formado por duas partes: um número, chamado coeficiente do monômio, e uma variável ou uma multiplicação de variáveis (considerando inclusive seus expoentes), chamada parte literal.

O grau de um monômio com coeficiente não nulo é dado pela soma dos expoentes das variáveis.
Exemplos:
- O monômio 2x³y² é do 5º grau;
- O monômio 13x²y é do 3º grau.

Observação: O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma de suas variáveis. Nesse caso, o grau do monômio corresponde ao expoente da variável considerada.
Exemplos:
- O monômio 2x³y² é do 3º grau em relação à variável x;
- O monômio 13x²y é do 1º grau em relação à variável y.
Quando dois ou mais monômios apresentam a mesma parte literal, eles são denominados monômios semelhantes ou termos semelhantes.
Assim, são exemplos de monômios ou termos semelhantes:

01) Esta figura é uma representação de um retângulo, cujas medidas dos lados, expressas em unidades de comprimento, são x e y.

a) Qual é a expressão algébrica que representa a área desse retângulo?

Resolução:
xy.

b) Qual é a expressão algébrica que representa o perímetro do retângulo da figura?
Resolução:
2x + 2y

c) Entre as duas expressões algébricas que você escreveu nos itens a e b, existe uma diferença. Qual é essa diferença?
Resolução:
A diferença está relacionada ao número de termos presentes em cada expressão algébrica.

02) Identifique os coeficientes de cada monômio a seguir:

03) Qual é o valor que se deve colocar no lugar do expoente x para que o monômio 7,5𝑎²𝑏^𝑥 𝑐5 seja do 10º grau?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
Resolução:
O grau de um monômio com coeficiente não nulo é dado pela soma dos expoentes das variáveis, sendo assim, com o x valendo 3, teremos como 10 a soma dos coeficientes.

04) É correto falar que os monômios 2x²y e 2x² são semelhantes? Justifique.
Resolução:
Não, pois a parte literal dos monômios é diferente.

05) Para gastar 100 calorias, Caio deve correr x minutos em um terreno plano ou fazer ginástica aeróbica por y minutos. Se Caio quiser perder 800 calorias, qual é o monômio que representa o tempo, em minutos, que ele deve:
a) correr em um terreno plano?
Resolução:
8x.
b) fazer ginástica aeróbica?
Resolução:
8y.

05) Observe a figura a seguir formada por dois retângulos, A e B.
a) Qual é a área da figura A?
Resolução:
30 ∙ 5x = 150x cm²

b) Qual é a área da figura B?
Resolução:
20 ∙ 3x = 60x cm²

c) Qual é a soma das áreas
das figuras A e B?
Resolução:
150x cm² + 60x cm² = 210 cm²

Em uma expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são semelhantes, podemos tornar mais simples a expressão adicionando algebricamente os coeficientes e mantendo a parte literal.
Exemplo:
5ax + 7ax = 12ax
Da mesma forma, podemos subtrair monômios semelhantes.

Exemplo:
5ax – 7ax = –2ax

Para multiplicar dois ou mais monômios, multiplicamos os coeficientes entre si e multiplicamos as partes literais entre si.

Adição e subtração de monômios
Exemplos:
Dado os termos 5xy², 20xy², como os dois termos são semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles.
a) 5xy²+ 20xy² devemos somar apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
        25 xy2

b) 5xy² - 20xy² devemos subtrair apenas os coeficientes e conservar a parte literal.
     - 15 xy²

c)x²- 2x² + x² como os coeficientes são frações devemos tirar o mmc de 6 e 9.
     6      9
 3x² - 4 x²+ 18 x²
             18
 17x²
 18
 
d) 4x² + 12y³ – 7y³ – 5x² devemos primeiro unir os termos semelhantes.
 12y³– 7y3 + 4x² – 5x² agora efetuamos a soma e a subtração.
 
 5y³– x²como os dois termos restantes não são semelhantes, devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios.

Reduza os termos semelhantes na expressão 4x² – 5x -3x + 2x².

Depois calcule o seu valor numérico da expressão.
4x²– 5x - 3x + 2x²reduzindo os termos semelhantes.
4x² + 2x² – 5x - 3x
6x² - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão.
 
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x.

Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos:
6x² - 8x
6 . (-2)² – 8 . (-2) =
6 . 4 + 16 =
24 + 16
40

06) Resolva as expressões a seguir:
a) 2a² + 2a² + 3a² = 7a²
b) 4x + 10x + 5x = 19x
c) 25y – 12y = 13y
d) 48k + 23k – 13k = 58k

07) Resolva as expressões a seguir:
a) (3x³) . (45x) = 135x⁴
b) (28x²) . (7x) = 196𝑥³
c) (125a²) . (2a³) = 250𝑎⁵
d) (16x²y4) . (4xy³) = 64x³𝑦⁷

08) Se A = x + 2y; B = 5x – 4 e C = 7 – 8x, resolva as expressões indicadas por: 
a) A + B = 6x + 2y – 4
b) C – A = –9x – 2y +7
c) B – C = 13x – 11
d) A + B + C = –2x + 2y + 3

09) Qual a expressão algébrica que representa o volume do bloco retangular a seguir?
Resolução:
(6x) . (2x) . (3y) = 
6 . 2 . 3 . x . x . y = 
36x²y

10) Marcos efetuou a divisão 10x²y por 2 e obteve como resposta 5xy. A resposta de Marcos está correta? Justifique.
Resolução:

Observação:
 
11) Calcule o quociente dos monômios:
a) (32abc) ÷ (+8ac) = 4b
b) (40𝑥⁷ 𝑦²) ÷ (10𝑥⁴𝑦²) = 4x³
c) (100a³) ÷ (25a³) = 4
d) (55𝑎⁴) ÷ (11a²bc) = 5a²c

12) Multiplique o monômio 40ax pelo monômio 0,5ax². A seguir, divida o resultado pelo monômio 10ax. Qual é o monômio que você vai obter?
Resolução:
40ax . 0,5ax² ÷ 10ax = 
2ax²

13) Quanto vale
Resolução:

   = 

14) Se você dividir o cubo da soma (–7y + 10y + 2y) pela soma (10y² + 15y²), que monômio encontrará?
Resolução:

 

15) Faça o agrupamento dos monônimos abaixo:
a) 3ax + 5bx – 12 ax – 15 bx + 4x =
Resolução:
Agrupe os termos semelhantes:
3ax – 12ax + 5bx – 15bx + 4x =
- 9ax – 10 bx + 4x =
Para obtermos a forma reduzida dessa expressão, coloque o x em evidência:
x (– 9a – 10b + 4)

b) 15y – 4z + 3x + 12y – 20z =
Resolução:
Agrupe os termos semelhantes:
15y + 12y – 4z – 20z + 3x =
27y – 24z + 3x

c) 24aw + 6x – 12aw – 6x =
Resolução:
Agrupe os termos semelhantes:
24aw – 12aw + 6x – 6x =
12aw + 0 =
12aw

16) Resolva as adições de monômios abaixo:
a) 15ax + 6ax =
Resolução:
A parte literal dos dois monômios é idêntica. Com isso, devemos somar os coeficientes e conservar a parte literal.
(15 + 6) . ax = 21ax
Sendo assim:
15ax + 6ax = 21ax

b)1by+ 15by =
     2         6
Resolução:
Inicialmente teremos que fazer o MMC de 2 e 6. MMC (2, 6)
2, 6| 2
 1, 3| 3
 1, 1|  
 MMC (2,6) = 2 . 3 = 6
Agora devemos reduzir as frações ao mesmo denominador.
3by + 15by =
  6        6
Como as frações possuem o mesmo denominador, podemos somar os coeficientes dos monômios que estão no numerador:
18by =
    6
Dividindo 18 por 6, obteremos como resultado:
3by
Sendo assim:
1by + 15by = 3by
  2        6
 
c) 32cz³+ 24cz³=
Resolução:
Como a parte literal dos dois monômios é idêntica, devemos somar os coeficientes e conservar a parte literal.
(32 + 24) . cz³ = 56cz³
Sendo assim:
32cz³+ 24cz³ = 56cz³

17) Resolva as subtrações abaixo:
a)25x– 42x =
       3
Resolução:
Para solucionar esse exercício, devemos inicialmente encontrar o MMC (3, 1):
3, 1| 3
 1, 1|
MMC (3, 1) = 3
Agora devemos reduzir as frações ao mesmo denominador.
25x – 126x =
   3        3 
Como as frações possuem o mesmo denominador, podemos agora subtrair os coeficientes que estão no numerador.
101 x
    3
Sendo assim: 
25x – 42x = – 101 x
   3                     3

b)– 102ax²+ 202ax² =
Resolução:
A parte literal que compõe os monômios é idêntica. Devemos, então, subtrair os coeficientes:
(– 102 + 202) . ax² = + 100ax²
Sendo assim:
 – 102ax² + 202ax² = + 100ax²
 
c)12by – 7by =
Resolução:
Observe que a parte literal em ambos os monômios é idêntica (by), logo, podemos subtrair os coeficientes:
(12 – 7) . by = 5by
Sendo assim:
12by – 7by = 5by

18) Utilizando o agrupamento, resolva as expressões numéricas abaixo:
a)2x²+ 20y³ – 15y³ – 36x²=
Resolução:
Para resolver essa expressão, devemos agrupar os coeficientes que possuem a mesma parte literal.
2x² – 36x²+ 20y³– 15y³
Agora que os termos semelhantes estão agrupados, resolvemos:
2x² – 36x² e+ 20y³ – 15y³
34x² + 5y

b) 6x²- 7 x²+ 28 x²=
               10
Resolução:
Como o denominador é 10 para todos os monômios do numerador, não é necessário fazer o MMC. Observe que a parte literal é a mesma, assim, precisamos somente efetuar as operações com os coeficientes e conservar a parte literal.
(6 - 7 + 28) . x² =
       10 
 + 27x²=
    10
2,7x²

Adição e Subtração de monômios

19) Faça o agrupamento dos monômios abaixo:
a) 3ax + 5bx – 12 ax – 15 bx + 4x =
Resolução:
Agrupe os termos semelhantes:
3ax – 12ax + 5bx – 15bx + 4x =
- 9ax – 10 bx + 4x =
Para obtermos a forma reduzida dessa expressão, coloque o x em evidência:
x (– 9a – 10b + 4)

b) 15y – 4z + 3x + 12y – 20z =
Resolução:
Agrupe os termos semelhantes:
15y + 12y – 4z – 20z + 3x =
27y – 24z + 3x

c) 24aw + 6x – 12aw – 6x =
Resolução:
Agrupe os termos semelhantes:
24aw – 12aw + 6x – 6x =
12aw + 0 =
12aw

20) Resolva as adições de monômios abaixo:
a) 15ax + 6ax =
Resolução:
A parte literal dos dois monômios é idêntica. Com isso, devemos somar os coeficientes e conservar a parte literal.
(15 + 6) . ax = 21ax
Sendo assim:
15ax + 6ax = 21ax

b) 1by+ 15by =
      2        6
Resolução:
Inicialmente teremos que fazer o MMC de 2 e 6. MMC (2, 6)
2, 6| 2
 1, 3| 3
 1, 1|  
 MMC (2,6) = 2 . 3 = 6
Agora devemos reduzir as frações ao mesmo denominador.
3by + 15by =
  6        6
Como as frações possuem o mesmo denominador, podemos somar os coeficientes dos monômios que estão no numerador:
18by =
   6
Dividindo 18 por 6, obteremos como resultado:
3by
Sendo assim: 
1by + 15by = 3by
 2        6

c) 32cz³+ 24cz³=
Resolução:
Como a parte literal dos dois monômios é idêntica, devemos somar os coeficientes e conservar a parte literal.
(32 + 24) . cz³ = 56cz³
Sendo assim:
32cz³+ 24cz³ = 56cz³

21) Resolva as subtrações abaixo:
a)25x– 42x =
     3
Resolução:
Para solucionar esse exercício, devemos inicialmente encontrar o MMC (3, 1):
 3, 1| 3
 1, 1|  
MMC (3, 1) = 3
Agora devemos reduzir as frações ao mesmo denominador.
 25x – 126x =
    3        3 
Como as frações possuem o mesmo denominador, podemos agora subtrair os coeficientes que estão no numerador.
 – 101 x
       3
Sendo assim: 
25x – 42x = – 101 x
   3                     3

b)– 102ax²+ 202ax² =
Resolução:
A parte literal que compõe os monômios é idêntica. Devemos, então, subtrair os coeficientes:
(– 102 + 202) . ax² = + 100ax²
Sendo assim:
– 102ax² + 202ax² = + 100ax²

c)12by – 7by =
Resolução:
Observe que a parte literal em ambos os monômios é idêntica (by), logo, podemos subtrair os coeficientes:
(12 – 7) . by = 5by
Sendo assim:
12by – 7by = 5by

22) Utilizando o agrupamento, resolva as expressões numéricas abaixo:
a)2x²+ 20y³ – 15y³ – 36x²=
Resolução:
Para resolver essa expressão, devemos agrupar os coeficientes que possuem a mesma parte literal.
2x² – 36x²+ 20y³– 15y³
Agora que os termos semelhantes estão agrupados, resolvemos:
2x² – 36x² e+ 20y³ – 15y³
34x² + 5y

b) 6x²- 7 x²+ 28 x²=
               10
Resolução:
Como o denominador é 10 para todos os monômios do numerador, não é necessário fazer o MMC. Observe que a parte literal é a mesma, assim, precisamos somente efetuar as operações com os coeficientes e conservar a parte literal.
(6 - 7 + 28) . x² =
        10 
27x²=
  10
2,7x²

23)  Reduza os termos semelhantes na expressão 4x² – 5x -3x + 2x². Depois calcule o seu valor numérico da expressão.
Resolução:
 4x²– 5x - 3x + 2x²reduzindo os termos semelhantes.
4x² + 2x² – 5x - 3x
6x² - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor numérico dessa expressão.
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x.
Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o -2 termos:
6x² - 8x
6 . (-2)² – 8 . (-2) =
6 . 4 + 16 =
24 + 16
40

...