MATEMÁTICA FINACEIRA

MATEMÁTICA FINACEIRA

Professor Diminoi

O que é e para que serve a matemática financeira?

A matemática financeira ajuda imensamente no planejamento e gestão do dinheiro de uma empresa. Matemática financeira é uma área de aplicação prática da matemática, que consiste em cálculos direcionados à melhor organização e ao maior controle do dinheiro. Para entender melhor, basta lembrar da importância da organização e planejamento ao contratar um empréstimo ou obter um financiamento, seja para aquisição de um veículo ou imóvel.

Qual a importância da matemática financeira no mundo corporativo?

A saúde financeira de uma empresa e o seu fluxo de caixa podem ser calculados com a matemática financeira. Ao observar os exemplos trazidos no tópico anterior, quanto à aplicação da matemática financeira em âmbito pessoal, já dá para ter uma ideia da sua importância para as empresas.

 

O que são juros

Juros são a contrapartida de emprestar dinheiro (ou outro item) a uma pessoa ou instituição. Eles são representados por um percentual sobre o valor total e podem ser calculados de forma simples ou composta. É uma espécie de cobrança de aluguel.

Ou seja, o tomador do empréstimo recebe uma soma que poderá destinar ao uso que lhe convier.

Enquanto isso, o credor ganha um rendimento por não dispor desse valor para utilização até recebê-lo de volta e pelo risco de calote, que ocorre quando a pessoa ou instituição que contraiu a dívida não a quita.

Em termos práticos, quando você compra um título do Tesouro Direto, por exemplo, você está investindo na dívida do governo. O governo se financia dessa forma: como ele é um bom pagador, ele toma o seu dinheiro e o premia com juros mensais compostos.

 

Juros simples

No sistema de capitalização simples, os juros são calculados com base no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.

Juros Compostos

Os juros compostos são aqueles nos quais os juros do mês são incorporados ao capital. Com uma taxa assim, o valor cresce muito mais rápido do que com juros simples.

Montante

O Montante, também conhecido como Valor Acumulado, é um dos conceitos básicos da matemática financeira. Dedica-se a estudar e controlar a variação sofrida por uma quantia investida ao longo do tempo.

Em outras palavras, é através deste cálculo que contabilizamos os ganhos (retornos de investimento) de uma pessoa física ou jurídica e os juros (simples ou composto) produzidos sobre essa quantia.

O montante é importante pois permite ter melhor planejamento financeiro (trabalhando com relatórios, históricos e, então, previsões) para evitar o pagamento de juro abusivo. Para isso, precisamos saber como é desenvolvido seu cálculo.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01) Qual o valor do montante produzido por um capital de R$ 1.200,00, aplicado no regime de juros simples a uma taxa mensal de 2% durante 10 meses?

Resolução:

C = 1200

i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês (a.m.)

t = 10 meses

J = C . i . t

J = 1200 . 0,02 . 10

J = 240

M = C + j

M = 1200 + 240

M = 1440

Resposta: o montante produzido é de R$ 1.440,00.

 

02) Determine o valor do capital que, aplicado durante 14 meses a uma taxa de 6%, rendeu juros de R$ 2.688,00.

Resolução:

J = C . i . t

2688 = C . 0,06 . 14

2688 = C . 0,84

C = 2688 / 0,84

C = 3200

Resposta: o valor do capital é de R$ 3.200,00.

 

03) Qual o capital que, aplicado a juros simples de 1,5% ao mês, rende R$ 3.000,00 de juros em 45 dias?

Resolução:

J = 3000

i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015

t = 45 dias = 45/30 = 1,5

J = C . i . t

3000 = C . 0,015 . 1,5

3000 = C . 0,0225

C = 3000 / 0,0225

C = 133.333,33

Resposta: o capital é de R$ 133.333,33.

 

04) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 2% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre?

Resolução:

J = C .  i . t

90 = C . 0,02 . 3

90 = C . 0,06

C = 90 / 0,06

C = 1500

Resposta: o capital corresponde a R$ 1.500,00.

 

05) Qual o tempo de aplicação para que um capital dobre, considerando uma taxa mensal de juros de 2% ao mês, no regime de capitalização simples?

Resolução:

M = C . [1 + (i . t)]

2C = C . [1 + (0,02 . t)]

2C = C . 1 + 0,02t

2C/C = 1 + 0,02t

2 = 1 + 0,02t

2 – 1 = 0,02t

1 = 0,02t

t = 1 / 0,02

t = 50

Resposta: o tempo para que o capital aplicado a uma taxa mensal de 2% dobre é de 50 meses.

 

06) Quanto tempo um capital de R$1500 aplicado a juros compostos, com taxa de 10% a.a, leva para gerar um montante de R$1996,50?

Resolução:

 

07) Qual é a taxa de juros aplicada ao ano para que um capital de R$800 gere um juros de R$352 em dois anos?

Resolução:

 

08) Uma pessoa aplicou o capital de R$ 1.200,00 a uma taxa de 2% ao mês durante 14 meses. Determine os juros e o montante dessa aplicação.

Resolução:

C = R$ 1.200,00

t = 14 meses

i = 2% ao mês = 2/100 = 0,02

J = C . i . t

J = 1200 . 0,02 * 14

J = 336

Montante

M = C + J

M = 1200 + 336

M = 1536

Resposta: O valor dos juros da aplicação é de R$ 336,00 e o montante a ser resgatado é de R$ 1.536,00.

 

09) Um capital aplicado a juros simples durante 2 anos, sob taxa de juros de 5% ao mês, gerou um montante de R$ 26.950,00. Determine o valor do capital aplicado. 

Resolução:

C = R$ 1.200,00

t = 14 meses

i = 2% ao mês = 2/100 = 0,02

Fórmula dos juros simples

J = C . i . t

J = 1200 . 0,02 . 14

J = 336

Montante

M = C + J

M = 1200 + 336

M = 1536

Resposta: o valor dos juros da aplicação é de R$ 336,00 e o montante a ser resgatado é de R$ 1.536,00.

 

10) Um investidor aplicou a quantia de R$ 500,00 em um fundo de investimento que opera no regime de juros simples. Após 6 meses o investidor verificou que o montante era de R$ 560,00. Qual a taxa de juros desse fundo de investimento?

Resolução:

C = R$ 500,00

M = R$ 560,00

t = 6 meses

Calculando os juros da aplicação

J = M – C

J = 560 – 500

J = 60

Aplicando a fórmula

J = C . i . t

60 = 500 . i . 6

60 = 3000 . i

i = 60/3000

i = 0,02 que corresponde a 2%.

Resposta: A taxa de juros do fundo de investimentos é igual a 2%.

 

11) (UF–PI) Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantia aplicada inicialmente?

Resolução:

1ª aplicação

i = 6% ao mês = 0,06

t = 5 meses

J = C . i . t

J = C . 0,06 . 5

J = 0,3 . C

M = C + J

M = C + 0,3C

M = 1,3C

2º aplicação

C = 1,3C

i = 4% ao mês = 0,04

t = 5 meses

O capital da 2º aplicação será o montante da 1º

J = C . i . t

J = 1,3C . 0,04 . 5

J = 0,26C

M = C + J

234 = 1,3C + 0,26C

234 = 1,56C

C = 234 / 1,56

C = 150

Resposta: o capital inicial é de R$ 150,00.

 

12) Quanto conseguirei se investir um capital de R$2000 a juros composto, de 3% a.a., durante um período de 48 meses?

Resolução:

C = 2000,00

i =  % a.a.

t = 48 meses = 4 anos (note que a taxa está em anos)

M =

 

13) Um investidor aplica R$ 1.000,00 a juros simples de 3% ao mês. Determine o valor recebido após um ano:

Resolução:

P = 1.000,00

I = 3% ou 0,03

n = 1 ano = 12 meses

J = P . i . n

J = 1000 . 0,03. 12

J = 360

O juro obtido será de 360, somando-se ao capital, temos:

M = P + j

M  = 1000 + 360

M = 1.360,00

Resolução: após um ano o investidor recebeu R$ 1.360,00.

 

14) Calcule o juro que renderá um capital de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 12% ao ano, durante seis meses.

Resolução:

Como a taxa está anual, vamos convertê-la para meses: 12% /12 = 1%

J = P . i . n

J = 15.000 . 0,01. 6

J = 900

Resposta: o juro aplicado será de R$ 900,00.

 

15) Um capital de 7.500,00 foi aplicado em um investimento que rende juro simples de 5% ao mês. Qual será o saldo dessa aplicação após seis meses?

(A) 2.250,00

(B) 10.000,00

(C) 9.750,00

(D) 8.500,00

Resolução:

p = 7.500,00

i = 5% ou 0,05

n = 6

M = ?

J = P . i . n

J = 7.500 . 0,05 . 6

J = 2.250

M = J + C

M = 2.250 + 7.500

M = 9.750

O saldo dessa aplicação será de R$ 9.750,00.

Alternativa: C

 

16) Um capital foi aplicado a juro simples com taxa de 10% ao mês, durante cinco meses. Se no fim desse período o juro produzido foi de R$ 305. Qual foi o capital aplicado?

(A) 500,00

(B) 600,00

(C) 390,00

(D) 610,00

Resolução:

J = P . i . n

305 = p . 0,10 . 5

305 = p . 0,50

p = 305/0,5

p = 610

O capital aplicado foi de R$ 610,00.

Alternativa: D

 

17) Qual o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros compostos de 2% ao mês, durante um ano?

Resolução:

M = C. (1 + i)t

M = montante

C = capital

i = taxa

t = tempo

Dados

M =

C = 2000

i = 2% = 2/100 = 0,02

t = 1 ano = 12 meses (pois a taxa é ao mês)

M = C . (1 + i)t

M = 2000 . (1+0,02)12

M = 2000 . 1,0212

M = 2000.1,268242

M = 2.536,48

Resposta:  montante produzido ao final de um ano será de R$ 2.536,48.

 

18) Qual deve ser o capital que, no sistema de juros compostos, à taxa de 4% ao mês, gera um montante de R$ 12.154,90 ao final de 1 ano e 6 meses?

Resolução:

M = 12.154,90

C = ?

i = 4% = 4/100 = 0,04

t = 1 ano e 6 meses = 18 meses

M = C . (1 + i)t

12.154,90 = C . (1 + 0,04)18

12.154,90 = C . 1,0418

12.154,90 = C . 2,0258

C = 12.154,90 / 2,0258

C = 6.000

Resposta: o capital será de R$ 6.000,00.

 

19) Calcule o montante de um capital de R$ 12.000,00 aplicado durante 3 anos em um banco que paga no regime de juros compostos uma taxa de 1,5% a.m.

Resolução:

M =

C = 12.000

i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015

t = 3 anos = 36 meses (pois a taxa de juros é mensal)

M = C. (1 + i)t

M = 12000 . (1 + 0,015)36

M = 12000 . 1,01536

M = 12000 .  1,70914

M = 20.509,68

Resposta: o montante será de R$ 20.509,68.

 

20) O capital de R$ 1.500,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 2 meses, juros de R$ 153,75. Qual foi a taxa de juros?

Resolução:

M = 1500 + 153,75 = 1653,75

M = C . (1 + i)t

1653,75 = 1500 . (1 + i) 2

1653,75 / 1500 = (1 + i) 2

(1 + i) 2 = 1,1025

√(1 + i) 2 = √1,1025 (use a calculadora para extrair a raiz quadrada de 1,1025)

1 + i = 1,05

i = 1,05 – 1

i = 0,05 ou 5%

Resposta: a taxa de juros empregada foi de 5%.

 

21) Uma aplicação especial rende 1,5% ao mês em regime de juros compostos. Certa pessoa deseja aplicar a quantia de R$ 620,00 durante 2 anos. Determine o montante gerado por essa aplicação.

Resolução:

C = 620

t = 2 anos = 24 meses

i = 1,5% = 1,5/100 → 0,015

M = C . (1 + i)t

M = 620 . (1 + 0,015)24

M = 620 . 1,01524

M = 620 . 1,429503

M = 886,29

Resposta: o montante gerado será de R$ 886,29. 

 

22) Um capital de R$ 1 000,00 é aplicado a juros mensais de 4% ao mês, gerando um montante de R$ 1 731,68. Determine o tempo de aplicação desse capital. 

Resolução:

C = 1 000

M = 1 731,68

i = 4% = 4/100 = 0,04

M = C . (1 + i)t

1 731,68 = 1 000 . (1 + 0,04)t

1 731,68 / 1 000 = 1,04t

1,731680 = 1,04t

1,04t = 1,731680  (aplicar propriedade dos logaritmos)

log1,04t = log1,731680

t . log1,04 = log1,731680

t = log1,731680 / log1,04

t = 0,2384 / 0,0170

t = 14

Resposta: o tempo de aplicação o capital foi de 14 meses.

 

23) Uma aplicação financeira rende 2% a juros compostos. Determine o tempo mínimo necessário para que o capital dobre de valor.

Resolução:

M = 2C

M = C . (1 + i)t

2C = C . (1 + 0,02)t

2C / C = 1,02t

2 = 1,02t

1,02t = 2

log 1,02t = log 2

t . log 1,02 = log 2

t . 0,0086 = 0,30103

t = 0,30103 / 0,0086

t = 35

O tempo que um capital leva para duplicar seu valor, a uma taxa de 2% ao mês, é de 35 meses. Caso queira verificar, basta escolher um capital e aplicá-lo à taxa de 2% ao mês e tempo de 35 meses. Observe:

Capital de R$ 100,00

M = 100 . (1 + 0,02)35

M = 100 . 1,0235

M = 100 . 2

M = 200

Capital de R$ 300,00

M = 300 . 1,0235

M = 300 . 2

M = 600 

 

24) Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado ao final de 4 anos, sabendo que a rentabilidade mensal é de 0,5%?

Resolução:

J = C. (1+i)t

C = 20.000

i = 0,005 a.m

t = 48 meses

Substituindo os valores temos que:

J = 20.000 .(1+0,005)48

J = 20.00 . (1,005)48

J = 25409,78

Resposta: os juros serão de R$25409,78.

 

25) Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$5.000,00, à taxa de 1% ao mês?

Resolução:

J = C .(1+i)t

C = 5000

i = 0,01 a.m

t = 6 meses

A partir dos dados obtemos que:

J = 5000 . (1+0,01)6         

J = 5000 .(1,01)6

J = 5307,60

Resposta: os juros serão de R$5307,60.

 

26) (BB – Cesgranrio) João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente,

(A) 240,00

(B) 330,00

(C) 429,00

(D) 489,00

(E) 538,00

Resolução:

Valor à vista: 900

t = 10% = 0,1

Observação: quando tratamos de prestações, devemos reduzir todas ao mesmo período através da fórmula:

P/(1 + i)n

Em nosso caso, vamos reduzir todas ao período de tempo inicial.

A primeira parcela (no ato) já se encontra no período inicial.

A segunda, como é após um mês, basta considerarmos n = 1 na fórmula.

Devemos então resolver a seguinte equação:

900 = 600/1,1² + x/1,1³

900 = 600/1,21 + x/1,331

900 = 495,87 + x/1,331

900 – 495,87 = x/1331

404,13 = x/1,331

x = 404,13.1,331

x = 537,9

Alternativa: E

 

27) (BB 2011 – FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa?

(A) 15.

(B) 12.

(C) 10.

(D) 9.

(E) 6.

Resolução:

Sendo t o tempo (em anos) onde o valor aplicado por Saulo é igual ao valor da casa, temos a seguinte equação:

Utilizando a definição e as propriedades dos logaritmos:

Alternativa: B

 

28) (PM PR – Cops) Qual deve ser o capital inicial que um cidadão deve aplicar em um fundo de renda fixa, que utiliza o sistema de juros compostos e que rende 20% ao ano, de modo que ele tenha R$ 1.440,00 ao final de dois anos?

(A) R$ 960,00

(B) R$ 975,00

(C) R$ 1.000,00

(D) R$ 1.003,00

(E) R$ 1.010,00

Resolução:

Utilizando a fórmula de juros compostos:

Onde:

M = 1440

C =

i = 0,2

n = 2

Alternativa: C

 

29) (BASA – Cesgranrio) Um valor inicial C0 foi capitalizado por meio da incidência de juros compostos mensais constantes iguais a 6,09%. Ao final de 6 meses, isto é, após 6 incidências dos juros, gerou-se o montante M.

A partir do valor inicial C0, seria alcançado o mesmo montante M ao final de 12 meses (12 incidências), se os juros compostos mensais constantes tivessem sido iguais a

(A) 1,045%

(B) 1,450%

(C) 3,045%

(D) 3,450%

(E) 3,000%

Resolução:

Utilizando a fórmula de juros compostos para n = 6 meses e i = 0,0609 (6,09% ao mês), temos:

M = C . (1 + i)n

M = C0 . (1 + 0,0609)6

M = C0 . 1,06096

Utilizando a mesma fórmula, agora para n = 12 meses, e taxa igual a j (ao mês).

M = C0 . (1 + j)12

Igualando as expressões:

C0 . 1,0609= C0 . (1 + j)12

1,0609=(1 + j)12

Tirando a raiz sexta em ambos os lados:

1,0609 = (1+j

1,03 = 1 + j

j = 1,03 – 1

j = 0,03 = 3% a.m.

Alternativa: E

 

31) (PM PE – IAUPE) O valor da fatura de um cartão de crédito era de R$ 1.200,00. Tendo sido paga com dois meses de atraso, o cartão de crédito cobrou juros compostos de 17% ao mês. Quanto foi o montante pago?

(A) R$ 1.241,14

(B) R$ 1.505,28

(C) R$ 1.642,68

(D) R$ 1.452,00

(E) R$ 1.228,97

Resolução:

Temos:

C = 1200

i = 0,17

n = 2 meses

Utilizando a fórmula do montante para juros compostos:

M = C.(1 + i)²

M = 1200.(1 + 0,17)²

M = 1200.1,17²

M = 1200.1,3689

M = 1642,68

Alternativa: C

 

Continua...