POLINÔMIO-EF

As expressões algébricas são aquelas expressões matemáticas que possuem números e letras, também conhecidas como variáveis. Utilizamos as letras para representar valores desconhecidos ou até mesmo para analisar o comportamento da expressão de acordo com o valor dessa variável. As expressões algébricas são bastante comuns no estudo das equações e na escrita de fórmulas da Matemática e áreas afins.
Caso a expressão algébrica possua um único termo algébrico, ela é conhecida como monômio; quando possui mais de um, é chamada de polinômio. É possível também calcular operações algébricas, que são as operações entre expressões algébricas.

O que é uma expressão algébrica?
Definimos como expressão algébrica uma expressão que contém letras e números, separados por operações básicas da Matemática, como a adição e a multiplicação. As expressões algébricas são de grande importância para o estudo mais avançado da Matemática, tornando possível o cálculo de valores desconhecidos nas equações ou até mesmo o estudo de funções. Vejamos alguns exemplos de expressões algébricas:
a)2x²b + 4ay² + 2
b)5m³n⁸
c)x² +2x - 3

As expressões algébricas recebem nomes particulares dependendo da quantidade de termos algébricos que possuem.

Monômios
Uma expressão algébrica é conhecida como monômio quando ela possui somente um termo algébrico. Um termo algébrico é aquele que possui letras e números separados apenas por uma multiplicação entre eles.
Um monômio é dividido em duas partes: o coeficiente, que é o número que está multiplicando a letra, e a parte literal, que é a variável com o seu expoente.

Exemplos:
a)2x³    → coeficiente é igual a 2 e a parte literal é igual a x³.
b)4ab → coeficiente é igual a 4 e a parte literal é igual a ab.
c)m²n →  coeficiente é igual a 1 e a parte literal é igual a m²n.

Quando as partes literais de dois monômios são iguais, eles são conhecidos como monômios semelhantes.

Exemplos:
a) 2x³ e 4x³ são semelhantes.
b) 3ab² e -7ab² são semelhantes.
c) 2mn e 3mn² não são semelhantes.
d) 5y e 5x não são semelhantes.
Observação: As divisões por variáveis não são consideradas monômios, mas sim frações algébricas.

Polinômios
Quando a expressão algébrica possui muitos termos algébricos, ela é conhecida como polinômio. Um polinômio nada mais é do que a soma ou a diferença entre monômios. É bastante comum o uso de plinômios no estudo de equações e funções, ou na geometria analítica, para descrever as equações de elementos da geometria.

Exemplos:
a)2x² + 2x + 3
b)2ab – 4ab² + 2a  - 4b + 1
c)5mn  - 3
d)4y² + x³ – 4x + 8

GRAU DO POLIÔMIO
Os polinômios possuem diferentes graus, podendo ser reconhecidos por meio dos expoentes apontados em suas variáveis literais. Para encontrar o grau de um polinômio, deve-se somar os expoentes das letras de cada termo. A maior soma corresponderá ao grau do polinômio em questão.

Exemplos:
3x³ + y
Na expressão acima, o primeiro termo do polinômio (que, neste caso, é um binômio) tem expoente equivalente a 3. O segundo termo tem expoente de 1. Como 3 é maior que 1, dizemos que o polinômio em questão tem grau 3.
3x²y + 5x³y³ – xy²

Na soma dos expoentes de cada termo, temos:

a)3x²y, somando 2 + 1, temos 3;

b)5x³y³, somando 3 + 3, temos 6;

c)xy², somando 1 + 2, temos 3.

Como a soma dos expoentes é maior no segundo termo do polinômio, seu grau é 6.

OPERAÇÃO COM POLINÔMIOS
Ao tratarmos de polinômios, podemos aplicar diversas operações, como adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adição e Subtração
Adição
1º) (–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) (eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal)
2º) –2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 (reduzir os termos semelhantes)
3º) –2x² + 7x – 3x³ – 3 (ordenar de forma decrescente de acordo com a potência)
4º) –3x³ – 2x² + 7x – 3

Subtração
1º) (–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) (eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal)
2º) –2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 (reduzir os termos semelhantes)
3º) –2x² + 3x – 1 + 3x³ (ordenar de forma decrescente de acordo com a potência)
4º) 3x³ – 2x² + 3x – 1

Multiplicação de polinômio por polinômio
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio, devemos utilizar a propriedade distributiva.
Exemplo:
(x – 1) . (x² + 2x – 6)
1º) x.x² + x.2x – x.6 + (-1).x² + (-1).2x – (-1).6
2º)  x³ +2x² – 6x – x² – 2x + 6

Reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6

Multiplicação de polinômios 
Leva completamente em conta a propriedade distributiva dos polinômios, popularmente conhecida como “chuveirinho”. Para utilizar esse recurso, é só multiplicar cada monômio do primeiro polinômio por todos os monômios do segundo polinômio, sempre levando em consideração os sinais de cada resultado.

Exemplo:
(3x² – 5x + 8) . (-2x + 1)
– 6x³ + 3x² + 10x² – 5x – 16x + 8
– 6x³ + 13x² – 21x +8

Observe que, na multiplicação de variáveis (letras) iguais, repete-se e soma-se cada um dos expoentes.

Exemplos:
(2x + a) . (2x -4a)
2x . 2x – 2x . 4a + a . 2x – a . 4a
4x² – 6xa – 4ª²

Divisão com polinômios
Na divisão de polinômios, é utilizado o chamado método chave, da mesma maneira que fazemos com números inteiros.

Exemplos:
Na divisão de P(x) = x³ + 7x² + 15x + 9 pelo polinômio D(x) = x + 1, o primeiro é o dividendo e o segundo é o divisor, sendo o Q(x) o quociente. O primeiro passo é buscar um monômio que, se for multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, apresente o termo de grau mais alto do dividendo. Para a operação acima, esse monômio é x².
Após encontrá-lo, multiplique-o pelo divisor, colocando o resultado sob o dividendo, assim como fazemos para a divisão de números inteiros.

Exemplo:
x³ + 7x² + 15x + 9 : x + 1 = x²
x² . (x + 1) à x³ + x²

O resultado dessa multiplicação é, então, subtraído do dividendo, de modo que os sinais devem ser trocados. Assim:
x³ + 7x² + 15x + 9 – x³ – x²

Aqui, o resultado fica em 0 + 6x² +15x + 9, pois devemos “descer” na operação todos os termos que não foram subtraídos dessa vez. Agora, o procedimento é repetido até que o resto tenha menor grau que o divisor. Então, na sequência dessa operação, temos como resultado x² + 6x + 9.

Fatoração com polinômios
Fatoração é um processo matemático que busca representar números ou expressões como produtos de fatores. Quando escrevemos um polinômio como o resultado da multiplicação de outros polinômios, geralmente conseguimos expressar esse resultado de maneira mais simplificada.
Existem alguns tipos de fatoração de polinômios, que explicaremos a seguir.

Fator comum em evidência
Esse tipo de fatoração é usado quando existe um fator recorrente em todos os termos do polinômio. Pode conter números e letras, sendo assim colocado à frente dos parênteses. Dentro desses parênteses, fica o resultado da divisão de cada termo pelo fator comum.
Observação: o “passo a passo” desse tipo de fatoração se dá em 3 etapas, sendo:

Identificar algum número que divida todos os coeficientes do polinômio e as letras que se repetem em cada um dos termos;

Colocar os fatores comuns, sejam eles números ou letras, na frente dos parênteses, em evidência;
Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator identificado do polinômio pelo que está na frente dos parênteses. Para letras, utiliza-se a regra da divisão de potências que possuem mesma base.

Exemplos - 1:
Como expressar a forma fatorada de 12x + 6y – 9z?
Primeiramente, identificamos que todos os coeficientes podem ser divididos por 3 e que não há nenhuma letra repetida. Na sequência, coloca-se 3 na frente dos parênteses, dividindo todos os termos por esse número e colocando o resultado da operação dentro dos parênteses.

Assim, temos que:
12x + 6y – 9z = 3(4x +2y – 3z)

Como fatorar o polinômio 2a²b + 3a³c – a⁴?
Na primeira etapa, verificamos que não há nenhum número que seja capaz de dividir, ao mesmo tempo, 2, 3 e 1. Assim, nenhum número é colocado à frente dos parênteses.

Na sequência, podemos perceber que a letra “a” se repete em cada um dos termos do polinômio. Portanto, o fator comum será a², já que este é o menor expoente de “a” no polinômio. Assim, dividimos cada termo do polinômio por a², tendo como:
2a² b : a² = 2a² – 2 b = 2b
3a³c : a² = 3a³ – 2 c = 3ac
a⁴ : a² = a²

Por fim, coloca-se a² na frente dos parênteses e o resultado da divisão dentro deles, tendo como resultado da fatoração:
2a²b + 3a³c – a⁴ = a² (2b + 3ac – a²)

Exemplo -2:
Considere o retângulo:
Observe que a área do retângulo azul mais a área do retângulo verde resultam no retângulo maior. Vamos analisar cada uma dessas áreas:
A_AZUL = b · x
A_VERDE = b · y
A_MAIOR = b · (x + y)
Assim, temos que:
A_MAIOR = A_AZUL + A_VERDE
b (x + y) = bx + by

01) Para fatorar a expressão: 12x + 24y.
Resolução:
Nota-se que 12 é o fator em evidência, uma vez que ele aparece em ambas as parcelas, assim, para determinar os números que vão no interior dos parênteses, basta dividir cada parcela pelo fator em evidência.
12x / 12 = x
24y / 12 = 2y
12x + 24y = 12 . (x + 2y)

02) Para fatorar a expressão 21ab² – 70a²b.
Resolução:
Do mesmo modo, inicialmente, determina-se o fator em evidência, isto é, o fator que se repete nas parcelas. Veja que da parte numérica temos o 7 como fator comum, uma vez que ele é o único que divide ambos os números.
Agora, em relação à parte literal, veja que se repete somente o fator ab, logo, o fator em evidência é: 7ab.
21ab² – 70a²b = 7ab (3b – 10^a)

Fatoração por agrupamento
A fatoração por agrupamento é decorrente da fatoração por evidência, a única diferença é que, em vez de termos um monômio como fator comum ou fator em evidência, teremos um polinômio.

Exemplo:
Considere a expressão (a + b) · xy + (a + b) · wz²
Resolução:
Observe que o fator comum é o binômio (a + b), logo, a forma fatorada da expressão anterior é:
(a + b) · (xy + wz²)

Diferença entre dois quadrados
Considere dois números a e b, quando temos a diferença do quadrado desses números, isto é, a² – b², então podemos escrevê-los como sendo o produto da soma pela diferença, ou seja:
a² – b² = (a + b) · (a – b)

03) Para fatorar a expressão x² – y².
Resolução:
Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:
x² – y² = (x + y) · (x – y)

Trinômio do quadrado perfeito
Considere o quadrado seguinte de lado (a + b) e observe as áreas dos quadrados e retângulos formados em seu interior.
Veja que a área do quadrado maior é dada por (a + b)², mas, por outro lado, a área do quadrado maior pode ser obtida pela soma dos quadrados e retângulos do seu interior, assim:
(a + b)² = a² + ab + ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
De maneira análoga, temos que:
(a – b)² = a² – 2ab + b²

04) Considere a expressão x² + 12x + 36.
Resolução:
Para fatorar uma expressão desse tipo, basta identificar o coeficiente da variável x e o coeficiente independente, e comparar com a fórmula dada, veja:
x² + 12x + 36
a² + 2ab + b²
Fazendo as comparações, veja que x = a, 2b = 12 e b² = 36; das igualdades, temos que b = 6, assim a expressão fatorada é:
x² + 12x + 36 = (x + 6)²

Trinômio do segundo grau
Considere o trinômio ax² + bx + c. A sua forma fatorada pode ser encontrada utilizando suas raízes, ou seja, os valores de x que zeram tal expressão. Para determinar os valores que zeram tal expressão, basta resolver a equação ax² + bx + c = 0 utilizando o método que achar conveniente. Aqui ressaltamos o método mais conhecido como Método de Bhaskara .
A forma fatorada do trinômio  ax² + bx + c é:
ax² + bx + c
a · (x – x₁) · (x – x₂)

05) Considere a expressão x² + x – 20.
Resolução:
O primeiro passo é determinar as raízes da equação x² + x – 20 = 0.
Assim a forma fatorada da expressão x² + x – 20 é:
(x – 4) · (x + 5) cubo da diferença entre dois números
O cubo da diferença entre dois números a e b é dado por:
(a – b)³ = (a – b) · (a – b)²
(a – b)³ = (a – b) · (a² – 2ab + b²) cubo da soma de dois números

De maneira análoga, temos que (a + b)³ = (a + b) · (a + b)² , logo:
(a + b)³ = (a + b) · (a² + 2ab + b²)

A fatoração é um instrumento que facilita a resolução das expressões algébricas.

Polinômios incompletos
O polinômio será incompleto quando faltar algum número na sua sequência de expoentes.

Exemplo:
 x⁵+ 5 . x¹– 2 . x⁰

A forma completa desse polinômio seria: 3. x⁵ + 0 . x⁴ – 0 . x³ + 0 . x² + 5 . x¹ – 2 . x⁰.
Faltaram os expoentes em relação à variável x: x⁴, x³ e x². Por esse motivo, o polinômio é incompleto.

Grau de um polinômio com apenas uma variável
Quando o polinômio possuir apenas uma variável, o grau será dado pelo maior expoente. 

Exemplo:
a)x³ + x² + 10x – 5 possui grau 3;
b)x¹⁰– x⁹+ 50 possui grau 10.

Grau dos Polinômios
O grau de um polinômio é dado pelos expoentes da parte literal. Para encontrar o grau de um polinômio devemos somar os expoentes das letras que compõem cada termo. A maior soma será o grau do polinômio.

Exemplos
a)2x³+ y

O expoente do primeiro termo é 3 e do segundo termo é 1. Como o maior é 3, o grau do polinômio é 3.
b)4 x²y + 8x³y³- xy⁴

Grau do polinômio com mais de uma variável
Quando o polinômio possui mais do que uma variável, para saber o seu grau, devemos somar os expoentes de cada monômio. A maior soma de expoentes determinará o grau. Exemplo:
3 + 12 . x . y – 2 . x . y²

Grau do monômio: x¹ . Y¹ → 1 + 1 = 2

Grau do monômio: x . y² → 1 + 2 = 3

Da soma de expoentes de cada monômio, obtivemos que: para (x . y), o grau é 2; e para (x . y²), o grau é 3. Sendo assim, o polinômio (3 + 12 . x . y – 2 . x . y²) é de terceiro grau.

Soma os expoentes de cada termo:
a)4x²y = 2 + 1 = 3
b)8x³y³= 3 + 3 = 6
c)xy⁴= 1 + 4 = 5

Valor numérico dos polinômios
Exemplo 1
Qual o valor numérico do polinômio p(x )= x² -2x + 5 para x =2.
Como vimos na definição, devemos pegar o valor 2 e substituir no lugar de x, formando assim p(2).
Resposta:  o valor numérico do polinômio p(x) = x²-2x + 5 quando x = 2 é 5.

Exemplo 2
Calcule o p(1), p(0) e p(3) do seguinte polinômio.
Para p(0) temos que x=0, então:
Para p(3), faremos x=3 e calcularemos o valor do polinômio com este valor de x.

Observação: Um polinômio pode ter vários valores numéricos, afinal a variável x pode assumir diversos valores. 

06) Observe os polinômios a seguir. (a) 3abcd2, (b) 3a + bc - d2 e (c) 3ab - cd2 e classifique-os e São monômios, binômios e trinômios, respectivamente:
(A) (b) monômio. (c) trinômio e (c) binômio
(B) (a) monômio. (a) trinômio e (c) binômio
(C) (a) monômio. (b) trinômio e (c) binômio
(D) (b) monômio. (a) trinômio e (c) binômio
(E) (a) monômio. (c) trinômio e (c) binômio
Resolução:
(a) monômio. (b) trinômio e (c) binômio
Alternativa: C

07) Qual o valor do perímetro da figura abaixo:
(A) 8x + 12
(B) 12 – 8x
(C) 12 – 8x²
(D) 8x + 12²
(E) 8x³ + 12
Resolução:
O perímetro da figura é encontrado somando-se todos os lados.
2x³ + 4 + 2x³ + 4 + x³ + 1 + x³ + 1 + x³ + 1 + x³ + 1 = 8x³ + 12
Alternativa: E

08) Encontre a área da figura:
(A) 2x + 5x + 3
(B) 2x² + 5x + 3
(C) 2x² + 5x
(D) 2x² + 5x² + 3
(E) 2x² + 5x² + 9
Resolução:
A área do retângulo é encontrada multiplicando-se a base pela altura.
(2x + 3) . (x+1) = 2x² + 5x + 3
Alternativa: B

09)  (Guarda Civil SP) Considere o polinômio: p(x) = 4x⁴ + 3x³ – 2x² + x + k . Sabendo que P(1) = 2, então o valor de P(3) é:
(A) 386.
(B) 405.
(C) 324.
(D) 81.
(E) 368.
Resolução:
Como P(1) = 2:
P(1) = 4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k = 2
4 + 3 – 2 + 1 + k = 2
6 + k = 2
k = 2 – 6
k = – 4
O polinômio será P(x) =  4x⁴  + 3x³ – 2x² + x – 4
Calculando P(3):
P(x) =  4x⁴ + 3x³ – 2x² + x – 4
P(3) =  4.3⁴ + 3.3³ – 2.3² + 3 – 4
P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4
P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4
P(3) = 386
Alternativa: A

10) (Prefeitura de Terra de Areia RS – Objetiva) Assinalar a alternativa que
apresenta o resultado do polinômio abaixo: 2x(5x + 7y) + 9x(2y)
(A) 10x + 14xy + 18yx
(B) 6x² + 21xy
(C) 10x² + 32xy
(D) 10x² + 9y
(E) 22x + 9y
Resolução
2x(5x + 7y) + 9x(2y)
2x.5x + 2x.7y + 9x.2y
10x² + 14xy + 18xy
10x² + 32xy
Resposta: C

11) (UP) Sabe-se que o resto da divisão de um polinômio P(x) por binômio do tipo (x – a) é P(a). Qual é o resto da divisão de P(x) = 5x³ – 5x² + 5 por (x + 1)?
(A) -1
(B) 5
(C) 1
(D) -5
Resolução
Observe que o binômio (x + 1) possui a = -1.
Calculando o valor de P(a):
P(x) = 5x³ – 5x² + 5
P(-1) = 5(-1)³ – 5(-1)² + 5
P(-1) = 5.(-1) – 5.1 + 5
P(-1) = -5 – 5 + 5
P(-1) = -5
Alternativa: D

12) (Avaliação da Aprendizagem em Processo – 3º E.M.) Calcule o volume do sólido representado na figura abaixo
(A) 𝒙^𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟐
(B) 𝑥 − 3𝑥³ – 2
(C) 𝑥³ − 3𝑥² − 2
(D) 𝑥² − 3𝑥³ − 2
(E) 𝑥³ − 3𝑥 + 2
Resolução:
O aluno realizou corretamente o produto das três dimensões do paralelepípedo.
Alternativa: A

Simplificação de expressões algébricas
Em uma expressão algébrica, quando há termos semelhantes, é possível realizar a simplificação dessa expressão por meio de operações com os coeficientes dos termos semelhantes.

Exemplo:
5xy² + 10x – 3xy + 4x²y – 2x²y² + 5x – 3xy + 9xy² – 4x²y + y
Para simplificar, vamos identificar os termos semelhantes, ou seja, termos que possuem mesma parte literal.
5xy² + 10x – 3xy + 4x²y – 2x²y² + 5x – 3xy + 9xy² – 5x²y
Realizaremos as operações entre os termos semelhantes, então:
5xy² + 9xy² = 14xy²
10x + 5x = 15x
-3xy – 3xy = -6xy
4x²y -5x²y = -1x²y= -x²y
O termo -2x²y² não possui nenhum termo semelhante a ele, logo a expressão algébrica simplificada será:
-2x²y² + 14xy² + 15x – 6xy -x²y

Operações algébricas
Realizar adição ou subtração de expressões algébricas nada mais é do que simplificar a expressão, portanto só é possível operar com os termos algébricos que são semelhantes. Já na multiplicação, é necessário utilizar a propriedade distributiva entre os termos, conforme os exemplos a seguir:

Exemplo de adição:
(2x² + 3xy – 5) + (3x² – xy + 2)
Como é uma adição, podemos simplesmente remover os parênteses, sem alterar nenhum dos termos:
2x² + 3xy – 5 + 3x² – xy + 2
Agora vamos simplificar a expressão:
5x² +2xy – 3

Exemplo de subtração:
(2x² + 3xy – 5) – (3x² – xy + 2)
Para remover os parênteses, é necessário inverter o sinal de cada termo algébrico da segunda expressão:
2x² + 3xy – 5 –3x² + xy – 2
Agora vamos simplificar a expressão:
– x² + 4xy – 7

Exemplo de multiplicação:
(2x² + 3xy – 5) ( 3x² – xy + 2)
Aplicando a propriedade distributiva, encontraremos:
6x⁴ – 2x³y + 4x² + 9x³y – 3x²y² +6xy – 15x² – 5xy + 10
Agora vamos simplificar a expressão:
6x⁴ + 7x³y – 11x² –3x²y² + xy + 10

Valor numérico das expressões algébricas
Quando conhecemos o valor da variável de uma expressão algébrica, é possível encontrar o seu valor numérico. O valor numérico da expressão algébrica nada mais é do que o resultado final quando substituímos a variável por um valor.

Exemplo:
Dada a expressão x³ + 4x² + 3x – 5, qual é o valor numérico da expressão quando x = 2.
Para calcular o valor da expressão, vamos substituir o x por 2.
2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5
8 + 4 · 4 + 6 – 5
8 + 16 + 6 – 5
30 – 5
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Adição, Subtração e Multiplicação de Polinômios
Nas situações envolvendo cálculos algébricos, é de extrema importância a aplicação de regras nas operações entre os monômios. As situações aqui apresentadas abordarão a adição, a subtração e a multiplicação de polinômios.

Adição e Subtração
Considere os polinômios –2x² + 5x – 2 e –3x³ + 2x – 1. Vamos efetuar a adição e a subtração entre eles.

Adição
(–2x² + 5x – 2) + (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 – 3x³ + 2x – 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 7x – 3x³ – 3 → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
–3x³ – 2x² + 7x – 3

Subtração
(–2x² + 5x – 2) – (–3x³ + 2x – 1) → eliminar os parênteses realizando o jogo de sinal
–2x² + 5x – 2 + 3x³ – 2x + 1 → reduzir os termos semelhantes
–2x² + 3x – 1 + 3x³ → ordenar de forma decrescente de acordo com a potência
3x³ – 2x² + 3x – 1

Multiplicação de polinômio por monômio
Para entendermos melhor, observe o exemplo:
(3x²) . (5x³ + 8x² – x) → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação
15x⁵ + 24x⁴ – 3x³

Multiplicação de polinômio por polinômio
Para efetuarmos a multiplicação de polinômio por polinômio também devemos utilizar a propriedade distributiva.

Exemplo:
(x – 1) . (x² + 2x - 6)
x² . (x – 1) + 2x . (x – 1) – 6 . (x – 1)
(x³ – x²) + (2x² – 2x) – (6x – 6)
x³ – x² + 2x² – 2x – 6x + 6 → reduzindo os termos semelhantes.
x³ + x² – 8x + 6
Portanto, nas multiplicações entre monômios e polinômios aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação.

Multiplicação de monômio com polinômio
Se multiplicarmos 3x por (5x² + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x² + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x² + 3x . 3x + 3x . (-1)
15x³ + 9x² – 3x
Portanto: 3x (5x² + 3x – 1) = 15x³ + 9x² – 3x

Se multiplicarmos -2x² por (5x – 1), teremos:
-2x² (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.
-2x² . 5x – 2x² . (-1)
- 10x³ + 2x²
Portanto: -2x² (5x – 1) = - 10x³ + 2x²

Multiplicação de número natural
Se multiplicarmos 3 por (2x² + x + 5), teremos:
3 (2x² + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.
3 . 2x² + 3 . x + 3 . 5
6x² + 3x + 15.
Portanto: 3 (2x² + x + 5) = 6x² + 3x + 15.

Multiplicação de polinômio com polinômio
Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x² + 2)
(3x – 1) . (5x² + 2) → aplicar a propriedade distributiva.
3x . 5x² + 3x . 2 – 1 . 5x² – 1 . 2
15x³ + 6x – 5x² – 2
Portanto: (3x – 1) . (5x² + 2) = 15x³ + 6x – 5x² – 2

Multiplicando (2x² + x + 1) por (5x – 2), teremos:
(2x² + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.
2x² . (5x) + 2x² . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)
10x³ – 4x² + 5x² – 2x + 5x – 2
10x³+ x² + 3x – 2
Portanto: (2x² + x + 1) (5x – 2) = 10x³+ x² + 3x – 2

Divisão de polinômios possui diferentes métodos de resolução. Vamos apresentar três métodos para essa divisão: o método de Descartes (coeficientes a determinar), o método da chave e o dispositivo prático de Briot-Ruffini.

Divisão de polinômios
Ao dividir um polinômio P (x) por um polinômio D (x) não nulo, em que o grau de P é maior que D (_P > _D), quer dizer que devemos encontrar um polinômio Q (x) e R (x), de modo que:
Note que esse processo é equivalente a escrever:
P (x) → dividendo
D (x) → divisor
Q (x) → quociente
R (x) → resto

Das propriedades da potenciação, temos que o grau do quociente é igual à diferença entre os graus do dividendo e divisor.
_{Q = P – D}

Ainda, quando o resto da divisão entre P (x) e D (x) é igual a zero, dizemos que P (x) é divisível por D (x).

Regras da divisão de polinômios

Método dos coeficientes a determinar — método de Descartes
Para realizar a divisão entre os polinômios P (x) e D (x), com grau de P maior que o grau de D, seguimos os passos:
Passo 1 - Determinar o grau do polinômio quociente Q (x);
Passo 2 - Tomar o maior grau possível para o resto da divisão R (X) (Lembre-se: R (x) = 0 ou _R < _D);
Passo 3 - Escrever os polinômios Q e R com coeficientes literais, de forma que P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).

Exemplo:
Sabendo-se que P (x) = 4x³ – x² + 2 e que D (x) = x² + 1, determina-se o polinômio quociente e o resto.
O grau do quociente é 1, pois:
_Q = _{P – D
Q} = 3 – 2
_Q = 1
Assim no polinômio Q (x) = a·x +b, o resto R (x) é um polinômio cujo maior grau pode ser 1, logo: R (x) = c ·x +d. Substituindo os dados na condição do passo 3, temos:

Comparando os coeficientes dos polinômios, temos:

Logo, o polinômio Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x + 3.

Método da chave
Consiste em realizar a divisão entre polinômios seguindo a mesma ideia da divisão entre dois números, o chamado algoritmo da divisão. Veja o exemplo a seguir.
Novamente vamos considerar os polinômios P (x) = 4x³ – x² + 2 e D (x) = x² + 1, e agora vamos dividi-los utilizando o método da chave.
Passo 1 - Completar o polinômio dividendo com coeficientes nulos, caso necessário.
P (x) = 4x³ – x² + 0x + 2
Passo 2 - Dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor e, em seguida, multiplicar o quociente por todo divisor. Veja:

Passo 3 - Dividir o resto do passo 2 pelo quociente e repetir esse processo até que o grau do resto seja menor que o grau do quociente.

Logo, Q (x) = 4x-1 e R (x) = -4x +3.

Dispositivo prático de Briot-Ruffini
Utilizado para dividir polinômios por binômios.
Vamos considerar os polinômios: P (x) = 4x³ + 3 e D (x) = 2x + 1.
Esse método consiste em desenhar dois segmentos, um horizontal e outro vertical, e nesses segmentos colocamos o coeficiente do dividendo e a raiz do polinômio divisor, além disso, repete-se o primeiro coeficiente. Veja:

Perceba que o menor meio é a raiz do divisor e que o primeiro coeficiente foi divido.
Agora, devemos multiplicar a raiz do divisor pelo termo repetido e somá-lo ao próximo.

Exemplo:

O último número encontrado no dispositivo prático é o resto, e os demais são os coeficientes do polinômio quociente. Devemos dividir esses números pelo primeiro coeficiente do divisor, nesse caso por 2. Assim:
Para saber mais sobre esse método de divisão de polinômios, acesse: divisão de polinômios utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.

Fator comum em evidência
Esse tipo de fatoração é usado quando existe um fator recorrente em todos os termos do polinômio. Pode conter números e letras, sendo assim colocado à frente dos parênteses. Dentro desses parênteses, fica o resultado da divisão de cada termo pelo fator comum.
Observação: o “passo a passo” desse tipo de fatoração se dá em 3 etapas, sendo:

Identificar algum número que divida todos os coeficientes do polinômio e as letras que se repetem em cada um dos termos;
Colocar os fatores comuns, sejam eles números ou letras, na frente dos parênteses, em evidência;
Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator identificado do polinômio pelo que está na frente dos parênteses. Para letras, utiliza-se a regra da divisão de potências que possuem mesma base.

Exemplos - 1:
Como expressar a forma fatorada de 12x + 6y – 9z?
Primeiramente, identificamos que todos os coeficientes podem ser divididos por 3 e que não há nenhuma letra repetida. Na sequência, coloca-se 3 na frente dos parênteses, dividindo todos os termos por esse número e colocando o resultado da operação dentro dos parênteses.
Assim, temos que:
12x + 6y – 9z = 3(4x +2y – 3z)
Como fatorar o polinômio 2a²b + 3a³c – a⁴?
Na primeira etapa, verificamos que não há nenhum número que seja capaz de dividir, ao mesmo tempo, 2, 3 e 1. Assim, nenhum número é colocado à frente dos parênteses.

Na sequência, podemos perceber que a letra “a” se repete em cada um dos termos do polinômio. Portanto, o fator comum será a², já que este é o menor expoente de “a” no polinômio. Assim, dividimos cada termo do polinômio por a², tendo como:
2a² b : a² = 2a² – 2 b = 2b
3a³c : a² = 3a³ – 2 c = 3ac
a⁴ : a² = a²
Por fim, coloca-se a² na frente dos parênteses e o resultado da divisão dentro deles, tendo como resultado da fatoração:
2a²b + 3a³c – a⁴ = a² (2b + 3ac – a²)

Exemplo -2:
Considere o retângulo:
Observe que a área do retângulo azul mais a área do retângulo verde resultam no retângulo maior. Vamos analisar cada uma dessas áreas:
A_AZUL = b · x
A_VERDE = b · y
A_MAIOR = b · (x + y)
Assim, temos que:
A_MAIOR = A_AZUL + A_VERDE
b (x + y) = bx + by

03) Para fatorar a expressão: 12x + 24y.
Resolução:
Nota-se que 12 é o fator em evidência, uma vez que ele aparece em ambas as parcelas, assim, para determinar os números que vão no interior dos parênteses, basta dividir cada parcela pelo fator em evidência.
12x / 12 = x
24y / 12 = 2y
12x + 24y = 12 . (x + 2y)

13) Para fatorar a expressão 21ab² – 70a²b.
Resolução:
Do mesmo modo, inicialmente, determina-se o fator em evidência, isto é, o fator que se repete nas parcelas.
Veja que da parte numérica temos o 7 como fator comum, uma vez que ele é o único que divide ambos os números.
Agora, em relação à parte literal, veja que se repete somente o fator ab, logo, o fator em evidência é: 7ab.
21ab² – 70a²b = 7ab (3b – 10^a)

Fatoração por agrupamento
A fatoração por agrupamento é decorrente da fatoração por evidência, a única diferença é que, em vez de termos um monômio como fator comum ou fator em evidência, teremos um polinômio.

Exemplo:
Considere a expressão (a + b) · xy + (a + b) · wz²
Resolução:
Observe que o fator comum é o binômio (a + b), logo, a forma fatorada da expressão anterior é:
(a + b) · (xy + wz²)

Diferença entre dois quadrados
Considere dois números a e b, quando temos a diferença do quadrado desses números, isto é, a² – b², então podemos escrevê-los como sendo o produto da soma pela diferença, ou seja:
a² – b² = (a + b) · (a – b)

03) Para fatorar a expressão x² – y².
Resolução:
Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:
x² – y² = (x + y) · (x – y)

14) Para fatorar 2.020² – 2.019².
Resolução:
Podemos utilizar a diferença entre dois quadrados, logo:
2.020² – 2.019² = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.020² – 2.019² = 4.039 · 1
2.020² – 2.019² = 4.039

Trinômio do quadrado perfeito
Considere o quadrado seguinte de lado (a + b) e observe as áreas dos quadrados e retângulos formados em seu interior.
Veja que a área do quadrado maior é dada por (a + b)², mas, por outro lado, a área do quadrado maior pode ser obtida pela soma dos quadrados e retângulos do seu interior, assim:
(a + b)² = a² + ab + ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
De maneira análoga, temos que:
(a – b)² = a² – 2ab + b²

15) Considere a expressão x² + 12x + 36.
Resolução:
Para fatorar uma expressão desse tipo, basta identificar o coeficiente da variável x e o coeficiente independente, e comparar com a fórmula dada, veja:
x² + 12x + 36
a² + 2ab + b²
Fazendo as comparações, veja que x = a, 2b = 12 e b² = 36; das igualdades, temos que b = 6, assim a expressão fatorada é:
x² + 12x + 36 = (x + 6)²

Trinômio do segundo grau
Considere o trinômio ax² + bx + c. A sua forma fatorada pode ser encontrada utilizando suas raízes, ou seja, os valores de x que zeram tal expressão. Para determinar os valores que zeram tal expressão, basta resolver a equação ax² + bx + c = 0 utilizando o método que achar conveniente. Aqui ressaltamos o método mais conhecido como Método de Bhaskara .

A forma fatorada do trinômio  ax² + bx + c é:
ax² + bx + c
a · (x – x₁) · (x – x₂)

16) Considere a expressão x² + x – 20.
Resolução:
O primeiro passo é determinar as raízes da equação x² + x – 20 = 0.
Assim a forma fatorada da expressão x² + x – 20 é:
(x – 4) · (x + 5) cubo da diferença entre dois números
O cubo da diferença entre dois números a e b é dado por:
(a – b)³ = (a – b) · (a – b)²
(a – b)³ = (a – b) · (a² – 2ab + b²) cubo da soma de dois números
De maneira análoga, temos que (a + b)³ = (a + b) · (a + b)² , logo:
(a + b)³ = (a + b) · (a² + 2ab + b²)
 
A fatoração é um instrumento que facilita a resolução das expressões algébricas.

17) (UFMG) O polinômio P (x) = 3x⁵ - 3x⁴ -2x³ + mx² é divisível por D (x) = 3x² - 2x. O valor de m é:
Resolução:
Como o polinômio P é divisível por D, então podemos aplicar o algoritmo da divisão. Assim,

Como foi dado que os polinômios são divisíveis, então o resto é igual a zero. Logo, 


18) Para fatorar a expressão x² – y².
(A) (x + y) · (x – y)
(B) (x + y) · (x + y)
(C) (x - y) · (x – y)
(D) x² + y² · (x – y)
(E) x² + y² · x² + y²
Resolução:
x² – y² = (x + y) · (x – y)
Alternativa: A

03) qual é o produto entre 3 e o polinômio P(x) = 2x⁹ + 3x² – 8?
(A) 6x⁹ + 3x² – 24
(B) 6x⁹ + 9x² – 24
(C) 2x⁹ + 9x² – 24
(D) 6x⁹ + 9x²
Resolução:
3·(2x⁹ + 3x² – 8)
3·2x⁹ + 3·3x² + 3·(– 8)
6x⁹ + 9x² – 24
Alternativa: B

04) Qual é o produto entre 3x² e 2x⁶ + 3x² – 2x?
(A) 6x⁸+ x⁴– 6x³

(B) 6x⁸ + 6x⁴ – 6x³
(C) 6x⁸ + 9x⁴ – 6x³
(D) x⁸ + 9x⁴ – 6x³
Resolução:
3x²·(2x⁶ + 3x² – 2x)
3x²·2x⁶ + 3x²·3x² + 3x²·(– 2x)
6x^{6 + 2} + 9x^{2 + 2} – 6x^{2 + 1}
6x⁸ + 9x⁴ – 6x³
Alternativa: C

05) Qual é o produto entre os polinômios 2x² + 4x³ – 2x e 3x⁹ – 2x³ – 8?
(A) 12x12 + 6x11 – 6x10 – 8x6 – 4x5 – 28x4 + 16x2 + 32x
(B) 12x12 + 6x11 – 6x10 – 8x6 – 4x5 – 28x4 + 16x2 + x
(C) x¹² + 6x¹¹ – 6x¹⁰ – 8x⁶ – 4x⁵ – 28x⁴ + 16x² + 16x
(D) 12x¹² + 6x¹¹ – 6x¹⁰ – 8x⁶ – 4x⁵ – 28x⁴ + 16x² + 16x
Resolução:
(2x² + 4x³ – 2x)·(3x⁹ – 2x³ – 8)
2x² ·(3x⁹) + 2x²·(– 2x³) + 2x² ·(– 8) + 4x³·(3x⁹) + 4x³·(– 2x³) + 4x³·(– 8) – 2x·3x⁹ –2x(– 2x³) – 2x(– 8)
6x²⁺⁹ – 4x³⁺² – 16x² + 12x³⁺⁹ – 8x³⁺³ – 32x³ – 6x⁹ + 4x³ + 16x
6x²⁺⁹ – 4x³⁺² – 16x² + 12x³⁺⁹ – 8x³⁺³ – 32x³ – 6x⁹⁺¹ + 4x³⁺¹ + 16x
6x¹¹ – 4x⁵ – 16x² + 12x¹² – 8x⁶ – 32x³ – 6x¹⁰ + 4x⁴ + 16x
12x¹² + 6x¹¹ – 6x¹⁰ – 8x⁶ – 4x⁵ – 28x⁴ + 16x² + 16x
Alternativa: D