9º ANO - 1º BIMESTRE

9º ANO - 1º BIMESTRE

Professor Dimino

9º ANO – 1º BIMESTRE

Números Reais

Conjuntos numéricos

Números Irracionais

Potenciação e radiciação

 

Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.

Teoria dos Conjuntos – É o ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos.

Conjunto dos Números Naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.

 

Subconjuntos dos Números Naturais

N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.

Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.

Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.

 

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z):

 

Subconjuntos dos Números Inteiros

Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.

 = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.

Z* = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.

 

Conjunto dos Números Racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}

Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.

 

Subconjuntos dos Números Racionais

Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.

Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.

Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.

Q = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.

Q* = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.

 

Conjunto dos Números Irracionais (I)

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...

Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...

 

Conjunto dos Números Reais (R)

O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.

Observação: se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.

 

Subconjuntos dos Números Reais

R* = {x R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.

R+ = {x R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.

R*+ = {x R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.

R– = {x R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.

R* = {x R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.

 

Intervalos Numéricos

Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de intervalos. Sejam e b números reais e a < b, temos os seguintes intervalos reais:

 

Intervalo aberto de extremos:

]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b}

Intervalo fechado de extremos:

[a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos:

[a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b}

Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos:

]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b}

Propriedades dos Conjuntos Numéricos

Diagrama dos conjuntos numéricos

Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas propriedades:

O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).

O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z Q).

O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).

Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).

 

Mapa Conceitual dos Conjuntos Numéricos

 

Símbolos e reação entre conjunto e conjunto, conjunto e elementos

Exercícios resolvidos

 

01) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 6, 9} e B = {2, 5, 7, 9}, determine:

 

a) A ∪ B

Resolução:

A B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}

 

b) A ∩ B

Resolução:

A ∩ B = {2, 9}

 

c) (A ∪ B) ∩ B

Resolução

c) (A B) ∩ B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9} ∩ {2, 5, 7, 9} = {2, 5, 7, 9}

 

02) Considere o conjunto A = {1, 6, 8, 10}, determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas.

(A) 1 ∈ A

(B) {1} ∈ A

(C) 8 ∉ A

(D) {1, 6} ⊂ A

(E) ∅ ⊂ A

Resolução:

a) Verdade, 1 é elemento de A.

b) Falso, o símbolo de somente deve ser utilizado para elementos.

c) Falso, o número 8 é elemento de A.

d) Verdade, {1, 6} é subconjunto de A.

e) False, é subconjunto de A.

 

03) Para que os conjuntos A = {2, 4, 7} e B = {x, y, 4} sejam iguais quais os valores que x e y devem ter?

Resolução:

Um conjunto é igual a outro quando eles possuem os mesmo elementos, ou seja, quando A é subconjunto de B e B também é subconjunto de A. Dessa forma, para A = B temos que x e y podem assumir os valores: x = 2 e y = 4 ou x = 4 e y = 2.

 

04) (UFPA) Um professor de Matemática, ao lecionar Teoria dos Conjuntos em uma certa turma, realizou uma pesquisa sobre as preferências clubísticas de seus n alunos, tendo chegado ao seguinte resultado:

23 alunos torcem pelo Paysandu Sport Club;

23 alunos torcem pelo Clube do Remo;

15 alunos torcem pelo Clube de Regatas Vasco da Gama;

6 alunos torcem pelo Paysandu e pelo Vasco;

5 alunos torcem pelo Vasco e pelo Remo.

Se designarmos por A o conjunto dos torcedores do Paysandu, por B o conjunto dos torcedores do Remo e por C o conjunto dos torcedores do Vasco, todos da referida turma, teremos, evidentemente, A ∩ B = Ø. Concluímos que o número n de alunos dessa turma é

(A) 49.

(B) 50.

(C) 47.

(D) 45.

(E) 46.

Resolução:

Para resolver essa questão, devemos desenhar os diagramas de todos os conjuntos descritos no enunciado, destacando a sua intersecção.

Efetuando a adição, temos que: 17 + 18 + 5 + 6 + 4 = 50

O número n de alunos dessa turma é 50.

Alternativa: D

 

 

05) Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B

Resolução:

Resolveremos o exercício com o auxílio dos Diagramas de Venn. Observe:

A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A ∩ B = {4, 5}

A – B = {1, 2, 3}

 

Resposta: o conjunto B é formado pelos seguintes elementos: {4, 5, 6, 7, 8}. 

 

06) Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C).

Resolução:

A = {0, 1}

B = {0, 1, 2}

C = {2, 3}

A U B = {0, 1, 2}

B U C = {0, 1, 2, 3}

(A U B) ∩ (B U C) = {0, 1, 2}

 

07) Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C).

Resolução:

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 2}

B = {2, 3, 4}

C = {4, 5}

(U – A) ∩ (B U C)

(U – A) → {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} – {1, 2} → {0, 3, 4, 5, 6}

(B U C) → {2, 3, 4} U {4, 5} → {2, 3, 4, 5}

(U – A) ∩ (B U C) = {0, 3, 4, 5, 6} ∩ {2, 3, 4, 5}

(U – A) ∩ (B U C) = {3, 4, 5}

 

08) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.  

Resolução:

80 – x + x + 60 – x = 100
140 – 2x + x = 100
– x = 100 – 140
– x = – 40
x = 40

Resposta: o porcentual de animais vacinados contra as duas doenças é de 40%.

 

09) (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:

(A) venceu A, com 120 votos.
(B) venceu A, com 140 votos.
(C) A e B empataram em primeiro lugar.
(D) venceu B, com 140 votos.
(E) venceu B, com 180 votos.

Resolução:

Votos recebidos pelo candidato A = 100 + 20 = 120
Votos recebidos pelo candidato B = 100 + 80 = 180
Votos recebidos pelo candidato C = 80 + 20 = 100

Alternativa: E

 

10) Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.

1 – Todo número irracional é também um número real;

2 – Todo número racional é também um número real;

3 – Todo número real é também um número racional;

4 – Todo número real é também um número irracional;

5 – O número √(–1) é um número irracional;

6 – O conjunto dos números reais é formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais.

(A) V, V, F, F, F, V

(B) F, F, V, V, F, F

(C) F, V, F, V, F, V

(D) V, F, V, F, V, F

(E) V, V, F, F, V, V

Resolução:

1 – Verdadeira!
O conjunto dos números irracionais está contido no conjunto dos números reais.

2 – Verdadeira!
O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais.

3 – Falsa!
Nem todo número real é racional. O número √2, por exemplo, não é racional, mas é real.

4 – Falsa!
Nem todo número real é irracional. O número 2, por exemplo, não é irracional, mas é real.

5 – Falsa!
O número √(–1) não é definido dentro do conjunto dos números reais, pois não existe nenhum número que, multiplicado por ele mesmo, tenha -1 como resultado. Dessa maneira, não pode ser irracional.

6 – Verdadeira!
Essa é exatamente a definição do conjunto dos números reais.

Alternativa: A

 

11) A respeito das propriedades dos números reais, qual das alternativas a seguir está incorreta?

(A) O resultado de um produto de números reais não é alterado caso a ordem dos fatores seja modificada.

(B) O resultado de uma adição entre números reais não é alterado caso a ordem das parcelas seja modificada.

(C) O produto em que os fatores são um número real e uma soma de números reais pode ser feito multiplicando-se o primeiro fator por cada parcela do segundo e somando-se os resultados.

(D) Existem números reais que possuem dois ou mais elementos inversos.

(E) Para cada número real a, existe apenas um número real - a cuja soma a + (– a) é igual a zero.

Resolução:

a) Verdadeira!
Essa propriedade é chamada de comutatividade.

b) Verdadeira!
Essa propriedade também é chamada de comutatividade, mas para a adição.

c) Verdadeira!
Essa propriedade é chamada de propriedade distributiva.

d) Falsa!
A propriedade verdadeira refere-se à existência de elementos inversos e diz o seguinte: Para cada número real a,existe um único número real a-1chamado de elemento inverso, cuja multiplicação resulta no seguinte:

a·  a-1 = 1

e) Verdadeira!
Propriedade conhecida como “existência de elemento inverso” com relação à adição.

Alternativa: D

 

12) A respeito do conjunto dos números reais, assinale a alternativa incorreta com relação às regras de sinais.

(A) Na adição de números reais, dois números com sinais iguais resultam em um número com o mesmo sinal.

(B) Na adição de números reais, dois números com sinais diferentes resultam em um número negativo.

(C) Na multiplicação de números reais, dois números com sinais iguais resultam em um número positivo.

(D) Na multiplicação de números reais, dois números com sinais diferentes resultam em um número negativo.

(E) A adição entre dois números com sinais diferentes deve ser feita subtraindo-se esses números.

Resolução:

a) Verdadeira!
Ao somar números positivos, o resultado é positivo. Ao somar números negativos, o resultado é negativo.

b) Falsa!
Na adição de números reais com sinais diferentes, devemos subtrair esses números. O resultado terá o mesmo sinal daquele que possui o maior valor em módulo.

c) Verdadeira!
Na multiplicação: sinais iguais, resultado positivo.

d) Verdadeira!
Na multiplicação: sinais diferentes, resultado negativo.

e) Verdadeira!

Alternativa: B

 

13) Quais valores de x fazem com que o resultado da divisão abaixo não seja um número real?

4x2 + 16
4x2 – 16

(A) x = 4 ou x = 2

(B) x = 4 ou x = – 4

(C) x = 2 ou x = – 2

(D) x = 2

(Ee) x = 4

Resolução:

Para que o resultado de uma divisão seja um número real, é necessário que o denominador da equação seja diferente de zero. Logo, igualando seu denominador a zero, encontraremos os valores de x que fazem com que essa fração não possua resultado real.

4x2 – 16 = 0

4x2 = 16

√(4x2) = √16

2x = ± 4

x' = 4 = 2
2

ou

x'' = – 4 = – 2
2

x = 2 ou x = – 2.

Alternativa: C

 

14) (PUC) Para a = 2,01, b = 4,2 e c = 7/3 temos:

(A) a < b < c

(B) b < c < a

(C) c < b < a

(D) c < a < b

(E) b < a < c

Resolução:

Resolvendo passo-a-passo a questão:

7/3=2,3333…

Para comparar números decimais, deve-se analisar primeiramente a parte inteira e depois as decimais, começando pela primeira casa até a última. Dessa forma,

2,01 < 2,333.. < 4,2

Alternativa: A

 

15) Sejam a e b números irracionais. Dada as afirmações:

I) a .b é um número irracional.

II) a + b é um número irracional.

III) a – b pode ser um número racional.

Podemos concluir que:

(A) as três são falsas.

(B) as três são verdadeiras.

(C) somente I e III são verdadeiras.

(D) somente I é verdadeira.

(E) somente I e II são falsas.

Resolução:

I) Falsa. Exemplo: é um número irracional, mas , que é um número inteiro.

II) Falsa. Exemplo: π é um número irracional assim como 1- π. Mas π + (1 - π) = 1, que é um número inteiro.

III) Verdadeira. Exemplo:  é um número irracional, assim como  mas  – ( é um número inteiro.

Alternativa: E

 

16) Considere os conjuntos:

IN, dos números naturais,

Q, dos números racionais,

Q+, dos números racionais não negativos,

lR, dos números reais.

O número que expressa a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de IN.

(A) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de IN.

(B) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.

(C) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.

(D) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.

Resolução:

a) A altura geralmente é uma fração, um número decimal, sendo portanto pertencente aos números racionais.

b) Pode ser positivo sim.

c) É um número racional positivo.

d) Pode também ser um número irracional, como por exemplo.

Alternativa: D

 

17) (CRA SC – IESES) Leia as frases abaixo sobre a teoria dos conjuntos:

i. {0, 1, 2, 3, 5} pertencem ao conjunto dos Números Naturais.

ii. A raiz quadrada de 2 é um Número Irracional.

III. Os Números Reais são formados pela intersecção dos Números Racionais e os Irracionais.

IV. Todo número inteiro não positivo pertence ao conjunto dos Números Naturais.

A sequência correta é:

(A) Apenas as assertivas I e II estão corretas.

(B) Apenas as assertivas II e III estão corretas.

(C) Apenas as assertivas I, II e III estão corretas.

(D) Apenas as assertivas I, III e IV estão corretas.

Resolução:

Vamos analisar caso a caso:

I) Afirmativa correta. Sabemos que os números naturais são os números inteiros e não negativos.

II) Afirmativa correta. Como √2 não tem um valor exato, trata-se de um número irracional.

III) Afirmativa incorreta. A interseção dos racionais com os irracionais é um conjunto vazio. O correto seria que os Reais são a união entre esses dois conjuntos.

IV) Afirmativa incorreta. Os números inteiros não positivos são formados pelo zero e pelos inteiros negativos, que logicamente não são naturais.

Alternativa: A

 

18) (Espcex 2006) Se x é racional e y é irracional, então:

(A) x . y é racional.

(B) y . y é irracional.

(C) x + y é racional.

(D) x – y + √2 é irracional.

(E) x + 2 y é irracional.

Resolução:

Vamos analisar caso a caso, lembrando que se existir um caso onde a afirmação não vale, então toda a afirmação é falsa.

a) Falsa. Veja que 1.√2 = √2, que é irracional.

b) Falsa. Veja que √2.√2 = 2, que é racional.

c) Falsa. Veja que 0 + √2 = √2, que é irracional.

d) Falsa. Veja que 0 – √2 + √2 = 0, que é racional.

e) A questão é verdadeira pois a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. Além do mais, o dobro de um número irracional é sempre um número irracional.

Alternativa: A

 

19) João encheu o tanque do seu carro, colocando 40 litros de álcool. Ele pagou R$ 1,47 por cada litro de álcool.

Quanto João gastou para encher o tanque de seu carro?

(A) R$ 58,80

(B) R$ 48,00

(C) R$ 41,47

(D) R$ 27,21

Resolução:

João colocou 40 litros de álcool no carro, sendo que o preço do litro de álcool era de R$ 1,47. Desse modo, a quantia gasta por ele é dada pela multiplicação 40 . 1,47 = 58,80 reais.

Alternativa: A

 

20) Um exame classificatório foi composto por apenas duas questões. Sabendo:

100 pessoas acertaram as duas questões

170 pessoas acertaram a primeira questão

100 pessoas acertaram apenas uma das questões

95 pessoas erraram as duas questões

Qual o número de pessoas que participaram da classificação?

Resolução:

O exame classificatório consta apenas de duas questões, por isso vamos representar o diagrama com dois círculos.
O número de alunos que acertaram as duas questões será representado pela intersecção dos conjuntos A e B, isto é, A ∩ B = 100

O conjunto A tem 170 elementos, mas A ∩ B possui 100 elementos, dessa forma, somente 70 pessoas acertaram a questão A.

Foi informado que 100 pessoas acertaram apenas uma das questões e sabemos que 70 pessoas acertaram a questão A, então 30 pessoas acertaram a questão B.

Para finalizar, temos 95 pessoas que não acertaram nenhuma das questões.

 

21) Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos. Os resultados foram os seguintes:

458 alunos disseram que gostam de Rock

112 alunos optaram por Pop

36 alunos gostam de MPB

62 alunos gostam de Rock e Pop

Determine quantos alunos foram entrevistados.

Resolução:

Gostam somente de Rock = 396
Gostam somente de Pop = 50
Gostam de Rock e Pop = 62
Gostam de MPB = 36
396 + 50 + 62 + 36 = 544
Através da distribuição dos dados no diagrama constatamos que o número de alunos entrevistados é igual a 544.

 

22) (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem ao canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem a outros canais distintos de A e B. O número de pessoas entrevistadas foi:

(A) 800

(B) 720

(C) 570

(D) 500

(E) 600

Resolução:

Sabemos que 150 pessoas assistem ao canal A e ao canal B, logo, esse é o número que ocupará a posição central dos dois círculos grandes, chamada de interseção de A com B. O número de pessoas que assistem ao canal A é 300 no total. Devemos colocar apenas 150 pessoas dentro do círculo roxo, pois esse é o número de pessoas que assistem exclusivamente ao canal A. Note que o número de pessoas que assistem exclusivamente ao canal A somado ao número de pessoas que assistem tanto o canal A quanto o canal B é 300.

Repita o processo para descobrir quantas pessoas assistem exclusivamente ao canal B e, fora desses círculos, coloque um terceiro círculo para indicar as pessoas que não assistem nem ao canal A nem ao canal B.

Agora basta somar os números dentro do diagrama para obter a quantidade de pessoas entrevistadas.

150 + 150 +120 + 80 = 500

Alternativa: D

 

22) (UNICAMP-2009) Três candidatos A, B e C concorrem à presidência de um clube. Uma pesquisa apontou que, dos sócios entrevistados, 150 não pretendem votar. Dentre os entrevistados que estão dispostos a participar da eleição, 40 sócios votariam apenas no candidato A, 70 votariam apenas em B, e 100 votariam apenas no candidato C. Além disso, 190 disseram que não votariam em A, 110 disseram que não votariam em C, e 10 sócios estão na dúvida e podem votar tanto em A como em C, mas não em B. Finalmente, a pesquisa revelou que 10 entrevistados votariam em qualquer candidato. Com base nesses dados, pergunta-se:

Comentário/Resolução

Para construir o diagrama de Venn desse exercício, devemos analisá-lo parte a parte. A primeira informação é de que 150 pessoas não pretendem votar. O círculo laranja representa-os. As pessoas que já têm seus votos definidos são colocadas no interior dos respectivos círculos: 40 no círculo do candidato A, 70 no círculo do candidato B e 100 no círculo do candidato C.

As interseções entre dois candidatos devem ser feitas com cuidado. Como 190 pessoas disseram que não votariam no candidato A, diminuímos de 190 as 70 pessoas que votarão no candidato B e as 100 pessoas que votarão no candidato C.

190 – 70 – 100 = 20

Essas 20 pessoas são aquelas que votam em B ou em C. Portanto, na interseção de B com C, colocamos o número 20.

Seguindo o mesmo raciocínio, encontramos 0 pessoas indecisas entre A e B.

Contudo, 10 sócios disseram que votariam em qualquer candidato entre A e C, mas não em B. Logo, a interseção entre A e C deve ser preenchida com o número 20.

Por fim, 10 pessoas disseram que votariam em qualquer candidato. Então, o espaço central, que é a interseção entre A, B e C, deve ser preenchido com o número 10.

Todo esse processo resultará no seguinte diagrama de Venn:

a) Quantos sócios entrevistados estão em dúvida entre votar em B ou em C, mas não votariam em A? Dentre os sócios consultados que pretendem participar da eleição, quantos não votariam em B?

Resolução:

O número de sócios em dúvida entre os candidatos B e C que não votariam em A é igual a 20 e o número de pessoas que não votariam em B é a soma dos números fora do círculo vermelho (exceto as pessoas que não pretendem votar).

40 + 10 + 100 = 150

 

b) Quantos sócios participaram da pesquisa? Suponha que a pesquisa represente fielmente as intenções de voto de todos os sócios do clube. Escolhendo um sócio ao acaso, qual a probabilidade de que ele vá participar da eleição mas ainda não tenha se decidido por um único candidato?

Resolução:

Para encontrar o número de sócios que participaram da pesquisa, basta somar todos os números que aparecem no diagrama de Venn:

40 + 0 + 70 + 10 + 10 + 20 + 100 + 150 = 400

Já a probabilidade de que o sócio que vai participar da eleição ainda não tenha escolhido um candidato é dada pelo número de pessoas em qualquer interseção dividido pelo número total de pessoas:

40 1
400  10

 

24) Qual das alternativas abaixo está incorreta quanto aos conjuntos numéricos e sua representação no diagrama de Venn?

(A) Os números reais são definidos como o conjunto numérico que contém todos os números racionais e irracionais.

(B) No diagrama de Venn, os números racionais são representados por uma figura geométrica que contém outra figura que representa o conjunto dos números inteiros.

(C) No diagrama de Venn, o conjunto dos números naturais é representado por uma figura geométrica que é a única a estar dentro de todos os outros conjuntos.

(D) O conjunto dos números naturais não contém nenhum outro conjunto numérico em sua totalidade, exceto por seus próprios subconjuntos.

(E) O conjunto dos números irracionais não contém nenhum outro conjunto numérico, exceto por seus próprios subconjuntos e, além disso, costuma ser representado por um retângulo, lado a lado ao retângulo que representa os números racionais.

Resolução:

a) Verdadeira.

b) Verdadeira.

c) Falsa.

No diagrama de Venn, o conjunto dos números naturais geralmente é representado por um círculo que está dentro do conjunto dos números inteiros. Esse último, por sua vez, também é representado por um círculo, que está dentro do conjunto dos números racionais, que é representado por um retângulo. Esse retângulo fica lado a lado com outro, que representa o conjunto dos números irracionais. Logo, o conjunto dos números naturais não possui representação dentro do conjunto dos irracionais. Portanto, a questão está incorreta.

d) Verdadeira.

e) Verdadeira.

Alternativa: C

 

25  ) Qual das afirmações abaixo está correta com relação às representações por Diagrama de Venn dos conjuntos dos números naturais, pares e ímpares?

(A) Existem elementos na interseção dos números pares com os números ímpares, isto é, existem números que são pares e ímpares ao mesmo tempo.

(B) O conjunto dos números pares contém o conjunto dos números ímpares.

(C) O conjunto dos números ímpares contém o conjunto dos números pares.

(D) O conjunto dos números naturais contém apenas o conjunto dos números pares

(E) O conjunto dos números naturais contém os conjuntos dos números pares e dos números ímpares, que, por sua vez, não possuem nenhum elemento em comum.

Resolução:

a) Falsa.

O conjunto dos números pares e o conjunto dos números ímpares não possuem nenhum elemento em comum. Ou um número é par, ou um número é impar, não é possível que seja os dois ao mesmo tempo.

b) Falsa.

O conjunto dos números ímpares não contém o conjunto dos números pares, pois, nesse caso, haveria elementos pares e ímpares ao mesmo tempo.

c) Falsa.

O conjunto dos números pares também não contém o conjunto dos números ímpares pelo mesmo motivo da alternativa anterior.

d) Falsa!

O conjunto dos números naturais é composto por todos os inteiros maiores que zero. Logo, 1, que é um número ímpar, pertence ao conjunto dos naturais. Portanto, ele não contém apenas números pares.

e) Verdadeira.

Alternativa: E

 

 

Números irracionais

O conjunto dos números irracionais contempla todos os números que não podem ser escritos na forma de fração.

Todo número decimal é um número irracional? Para as pessoas que têm dúvida quanto a isso, veremos, neste artigo, como definir o conjunto dos números irracionais e observaremos alguns exemplos de números importantes na Matemática que são “constantes irracionais”.

Os números irracionais são aqueles que não podem ser representados por uma fração. O surgimento desses números veio de um antigo problema que Pitágoras se recusava a aceitar, que era o cálculo da diagonal de um quadrado (cujo lado mede uma unidade), diagonal essa que mede √2. Esse número deu início ao estudo de um novo conjunto, representado pelos números irracionais.

Hoje em dia, pensamos: “Nossa, mas encontrar o valor de √2 é tão fácil, basta usar a calculadora”. Entretanto, na época em que começaram esses estudos, o único mecanismo para encontrar os valores das raízes quadradas envolvia os números quadrados (√2²,√3²,√4², …).

Com o estudo contínuo dos elementos da Matemática, os matemáticos depararam-se com a necessidade de calcular o comprimento de uma circunferência. Com cálculos contínuos, notaram que um número se repetia para qualquer que fosse a circunferência, número esse que outrora foi denominado de número pi (π).

Esse número é encontrado pela razão do comprimento pelo diâmetro da circunferência.

π = C, ou ainda π = C
      d                      2r

Esse é um dos números que foram citados no início do texto: a constante π é de fundamental importância para a área de Geometria e Trigonometria.

Veremos alguns exemplos de números irracionais e notaremos que a sua parte decimal não possui nenhuma estrutura que possa ser fundamentada em forma de fração, assim como ocorre em frações periódicas.

 

Constantes irracionais ou números transcendentais:

π = 3,1415926535897932384... (Número pi, constante de Arquimedes)

φ = 1,61803398874989... (número áureo ou número de ouro)

e = 2,7182818... (Constante de Euler)

 

Números irracionais obtidos pela raiz quadrada de um número:

√5 = 2,23606797749978…

√2 = 1,41421356237309…

√7 = 2,64575131106459…

√3 = 1,7320508075688772935274463415059...

Observação: Apesar dos exemplos acima serem infinitos como uma dízima periódica, eles não podem ser escritos na forma de uma fração. Enquanto que as dízimas periódicas podem ser escrita como uma fração.

Exemplo: 

1,333333… = 43

Esses são os números irracionais, cujo valor da última casa decimal nunca saberemos.

Com isso, podemos falar que números irracionais são aqueles que, em sua forma decimal, são números decimais infinitos e não periódicos. Em outras palavras, são aqueles números que possuem infinitas casas decimais e em nenhuma delas obteremos um período de repetição.

O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I (i maiúscula).

 

Exercícios resolvidos

00) Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas.

1 – Um número natural não pode ser um número iracional;

2 – O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números irracionais;

3 – O conjunto dos números irracionais não está contido no conjunto dos números racionais;

4 – O conjunto dos números irracionais é formado pela união entre os conjuntos dos números racionais e reais;

5 – Qualquer raiz quadrada tem como resultado um número racional.

(A) V, F, V, F, F

(B) V, F, V, F, V

(C) F, F, F, V, F

(D) F, V, F, V, V

(E) F, V, V, F, V

Resolução:

1 – Verdadeira! O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números racionais, que é disjunto do conjunto dos números irracionais, ou seja, não é possível que um número seja natural e irracional ao mesmo tempo.

2 – Falsa! Os conjuntos dos números racionais e irracionais são disjuntos. Isso significa que não é possível um número pertencer aos dois conjuntos simultaneamente.

3 – Verdadeira! Como são conjuntos disjuntos, um não está contido no outro.

4 – Falsa! Na verdade, o conjunto dos números reais é formado pela união entre os conjuntos dos números racionais e irracionais.

5 – Falsa! As raízes quadradas não exatas são números irracionais.

Alternativa: A

 

00) Qual das alternativas abaixo contém pelo menos um número que não é racional?

(A) √2, √3 e √2 + √3

(B) 1,234567891011121314...

(C) π; φ; √7 e 1,3333333...

(D) √2+3e √3

(E) 3√2, 3π e 3φ

Resolução:

Um número irracional possui duas formas básicas: é representado por alguma raiz não exata ou é um decimal infinito não periódico. Algumas operações podem ser feitas no conjunto dos números irracionais e, mesmo assim, o resultado continuar sendo um número irracional, como a soma com um número inteiro. Além disso, as letras gregas π e φ são constantes e representam números irracionais. Dessa maneira, o único número não irracional que aparece nas alternativas acima é 1,3333... que é uma dízima periódica e, por isso, um número racional.

Alternativa: C

 

00) As alternativas abaixo fazem afirmações sobre o conjunto dos números irracionais. Qual delas está correta?

(A) O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração.

(B) No conjunto dos números irracionais, é possível encontrar alguns números inteiros, como √2.

(C) O conjunto dos números irracionais é formado por todas as raízes de números que não são quadrados perfeitos.

(D) O conjunto dos números irracionais é constituído por todos os decimais que não são números racionais.

(E) O conjunto dos números racionais também contém dízimas periódicas.

Resolução:

a) Falsa!

É o conjunto dos números racionais que contém todos os números que podem ser escritos na forma de fração.

b) Falsa!

Não existe nenhum número inteiro irracional. O número representado por √2 não é inteiro.

c) Falsa!

Embora esses números realmente pertençam ao conjunto dos números irracionais, eles não são os únicos.

d) Verdadeira!

Essa é justamente a definição do conjunto dos números irracionais.

e) Falsa!

Qualquer dízima periódica é um número racional.

Alternativa: D

 

00) Identifique o erro no diagrama de Venn a seguir:

(A) O conjunto dos números inteiros não deve ser representado pela letra “Z”, mas, sim, pela letra “I”.

(B) O conjunto dos números naturais não está dentro do conjunto dos números inteiros.

(C) Os símbolos dos conjuntos dos números racionais e irracionais estão trocados.

(D) O conjunto dos números reais está ocupando o lugar do conjunto dos números racionais.

(E) O conjunto dos números irracionais está exposto no menor grupo.

Resolução:

No diagrama de Venn, os símbolos usados para o conjunto dos números racionais e dos irracionais foram trocados. Portanto, o que vemos é um diagrama que afirma que o conjunto dos números irracionais contém os conjuntos dos números inteiros e naturais, o que não é verdade.

Alternativa: C

 

00) Qual opção abaixo não é um número racional?

(A) √5

(B) √125

(C) √15

(D) √625

(E) √51

Alternativa: D

 

00) Qual dos números abaixo é claramente um número irracional?

(A) 1,2323232323…

(B) 4,561561561…

(C) 7,91919191…

(D) 0,1111111111…

(E) 6,112233445566…

Alternativa: E

 

00) (PM SC 2011) Leia as afirmações a seguir:

I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero.

II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas periódicas.

III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os Irracionais.

Assinale a alternativa correta:

(A) Somente a assertiva II está correta.

(B) Somente a assertiva III está correta.

(C) Somente a assertiva I está correta.

(D) Somente as assertivas II e III estão corretas.

Resolução:

Vamos analisar cada uma das alternativas.

I. Falsa – São os positivos…

II. Falsa – Podemos ter dízimas irracionais e irracionais que não são dízimas.

III. Correto – Os Reais é a união dos irracionais com os racionais.

Alternativa: B

 

POTENCIAÇÃO

potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação:

Sendo a ≠ 0, temos:

a = base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo)
n =  expoente (número de vezes que o número é multiplicado)

Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois elevado ao cubo), tem-se:

23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8

Exemplo

2: Base
3: Expoente
8: Potência (resultado do produto)

 

Exemplo

A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma:

an = a . a . a . a …

= base
= expoente
a . a . a . a … = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência

 

Exemplos:

 2= 2 . 2 . 2 = 8

= base
= expoente
2 . 2 . 2 = produto de fatores
= potência

 

Como o expoente é 3, tivemos que repetir a base, que é 2 três vezes, em um produto.

Exemplos:

54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

= base
= expoente
5 . 5 . 5 . 5 = produto de fatores
625 = potência

 

Como o expoente é 4, tivemos que repetir a base, que é 5 quatro vezes, em um produto.

Exemplos:

102 = 10 . 10 = 100

10 = base
= expoente
10 . 10 = produto de fatores
100 = potência

Como o expoente é 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes, em um produto.

 

Tipos de potenciação

Base real e expoente inteiro

Quando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.

Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores.

Exemplos:

a) 2+2= 2 . 2 = 4
b) 0,3+3 = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027
c) (½ )+2= ½ . ½ = ¼

Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo.

Exemplos:

a: am = an = an - m
              am

a) 56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54
                   52

b) 92 : 93 92 = 92 – 3 = 9-1
                   93

Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes.

Exemplos:

(an)m = an . m

a) ( 7)= 74 . 2 = 78

b) ( 123 )2= 123 . 2 = 126

 

Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores.

Exemplos:

(a . b)n = ( an . bn)

a) (4 . 5)2= (42. 52)

b) (12 . 9)3 = (123 . 93)

 

Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases.

Exemplo:

an . bn = (a . b)n

a) 42. 62= (4 . 6)2

b) 73 . 43 = (7 . 4)3

c) 2-2  1  11 = 1
             2+2     2   2   

d) 0,3– 3 =(3)-3 = (10)+3 = 10 . 10 . 10 1000 = 37,037
                (10)-3     (3)+3        3 . 3 . 3        27

e) (½ )-2= (2/1)+2= 2 . 2 = 4

 

Expoente igual a 1

Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:

a1 = a
21 = 2
41 = 4
1001 = 100

 

Expoente igual a 0

Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:

a0 = 1
10000 = 1
25= 1

 

Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:

Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes.

Exemplos:

an . am = an + m

22 . 23 = 22 + 3 = 25

45 . 42 = 45 + 2 = 47

 

Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes.

Exemplos:

a: am = an = an - m
    am

56 : 52 = 56 = 56 – 2 = 54
             52

92 : 93 92 = 92 – 3 = 9-1
             93

 

Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes.

Exemplos:

(an)m = an . m

a) (7)2 = 74 . 2 = 78

b) (123 )2 = 123 . 2 = 126

 

Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores.

Exemplos:

(a . b)n = ( an . bn)

a) (4 . 5)2 = (42 . 52)

b) (12 . 9)3 = (123 . 93)

 

Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases.

Exemplo:

an . bn = (a . b)n

a) 42 . 62 = (4 . 6)2

b) 73 . 43 = (7 . 4)3

 

Leitura dos expoentes:

21 = dois elevado a um

22 = dois elevado a dois ou dois levado à segunda potência

23 = dois elevado a três ou dois elevado à terceira potência

24 = dois elevado a quatro ou dois elevado à quarta potência

25 = dois elevado a cinco ou dois elevado à quinta potência

26 = dois elevado a seis ou dois elevado à sexta potência

27 = dois elevado a sete ou dois elevado à sétima potência

28 = dois elevado a oito ou “dois elevado à oitava potência

29 = dois elevado a nove ou “dois elevado à nona potência

2n = dois elevado a n ou dois elevado à enésima potência

Em geral, quando nos deparamos com uma potência, precisamos repetir o produto da base quantas vezes indicar o expoente. Mas três regras são facilmente vistas:

Quando a base for zero, o resultado da potência será zero.

0n = 0

Quando o expoente for um, o resultado da potência será exatamente o valor da base.

a1 = a

Quando o expoente for zero, o resultado da potência será sempre um.

a0 = 1

 

Exercícios resolvidos Potenciação

17)

 

RADICIAÇÃO

A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e analisar suas propriedades.
Dados um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz enésima de x o número real não negativo tal que yn = x. O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de é  e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é o índice.

Pela definição de radiciação, temos que:

Exemplo 1.

Propriedades da radiciação.

 

Exemplo 2

Simplifique a expressão

 

 Exemplo 3

Racionalize as seguintes frações:
Racionalizar a fração é fazer com que no denominador não exista uma raiz enésima de um número.

 

Exemplo 4

Verifique as propriedades da radiciação.

 

Exemplo 5

Obtenha a forma mais reduzida possível da expressão:

Resolução:

Podemos reescrever cada uma das raízes utilizando as propriedades da radiciação.

 

Exercícios resolvidos Radiciação

00) Aplique as propriedades da radiciação para simplificar a expressão numérica abaixo [ √( 2 . √10 ) + 9 . ( 4 . √3 ) ]

Resolução:

Aplicando as propriedades da radiciação, podemos reescrever essa expressão como:

2.[√(2.√10) + 9.(4.√3)]

2.[√(√2².10) + 9.(√4².3)]

2.[√(√40) + 9.(√48)]

2.[√(√40) + √(9². 48)]

2.[ 4√40 + √(81. 48)]

2.[ 4√40 + √3888]

4√(24 . 40) + √3888

4√640 + √3888

2.√2. 4√5 + 36√3

 

00) Observa a expressão abaixo escreva ela da  forma mais reduzida possível.

Resolução:

Primeiramente vamos utilizar a fatoração para calcular o valor de 3√75000:

75000 = 3.5².10³

Portanto, 3√75000 = 10. 3√(3.5²). Através da fatoração, vamos agora calcular o valor de √60:

60 = 2².3.5

Então √60 = 2√3.5. Sendo assim, temos:

 

 

00) (Mack) O valor de √2 + √3 . √18 é igual a:

(A) √56

(B) √108

(C) √2 + 54

(D) √6 + 6

(E) √2.(1 + 3.√3)

Resolução:

Sabendo que uma das propriedades da radiciação garante que o produto de raízes é igual à raiz do produto, temos:

√2 + √3.√18 = √2 + √(3.18) = √2 + √54

Através da fatoração sabemos que 54 = 2 . 3 . 3 . 3 = 2 . 3² . 3. Podemos então reescrever a raiz de 54 como:

√54 = √(2 . 3² . 3) = √2 . √3² . √3 = √2 . 3.√3

Substituindo √2 . 3.√3 no lugar de √54, temos:

√2 + √54 = √2 + √2 . 3.√3 = √2 . (1 + 3√3)

Alternativa: E

 

00) (FGV) Simplificando-se 2√3 + 2√12 – 2√75 obtém-se:

(A) 0

(B) – 2√3

(C) – 4√3

(D) – 6√3

(E) – 8√3

Resolução:

Através da fatoração, podemos alterar a forma de representar as raízes de 12 e 75:

√12 = √(2² . 3) = 2.√3

√75 = √(3 . 5²) = 5.√3

Podemos reescrever a expressão 2√3 + 2√12 – 2√75 como:

2√3 + 2√12 – 2√75

2.√3 + 2.(2.√3) – 2.(5.√3)

2.√3 + 4.√3 – 10.√3

√3 . (2 + 4 – 10)

– 4.√3

Alternativa: C

 

00) Calcule o valor da expressão:

Resolução:

 

00) Calcule o valor da expressão:

Resolução:

 

00) Simplifique a expressão:

Resolução:

  

08) Ache o resultado da expressão:

Resolução:

 

00) Resolva a expressão:

Resolução:

Assim como em uma expressão numérica, vamos começar a resolver essa expressão pelas raízes quadradas que estão dentro dos parênteses:

3

Como a raiz cúbica de 27 é 3

Conclui-se que: o resultado da expressão  é 3.

 

00) Simplifique a expressão a seguir: 

Resolução:

Para simplificar a expressão, podemos tentar reescrever algumas das raízes quadradas:

√8 = √4.2 = √4.√2 = 2√2

√27 = √9.3 = √9.√3 = 3√3

Reescreveremos a expressão com essas raízes:

Colocando o 2 e o 3 em evidência, o resultado será:

 

00) (UTF - PR) Considere as seguintes expressões:

I. 

II. 

III. 

É (são) verdadeira(s), somente:

(A) I.

(B) II.

(C) III.

(D) I e II.

(E) I e III.

Resolução:

Vamos analisar cada uma das expressões individualmente:

Através da fatoração, podemos escrever a raiz quadrada de 12 como a raiz do produto (4.3). Mas uma das propriedades da radiciação é que “a raiz de um produto é igual ao produto das raízes”. Logo:

Substituindo √12 por 23 na expressão, teremos:

Portanto, a expressão I está incorreta.

O expoente – 1 no primeiro membro da equação garante que podemos escrever 2como denominador de uma fração que possua 1 no numerador, isto é:

I. 

Fazendo a racionalização do denominador, teremos:

II. 

Portanto, a expressão II é verdadeira.

III. 

No primeiro membro da equação, há a potência 24. Desenvolvendo-a, temos:

24 = 2.2.2.2 = 16

Ainda no primeiro membro temos o expoente ½, que pode ser substituído por uma raiz quadrada:

(24)1/2 = 161/2 = 16 = 4

Portanto, essa expressão também está incorreta.

Alternativa: B

 

00) (UFRGS) A expressão  abaixo é igual a:

(A) √2 + 3√3
        4√2

(B) 5√2

(C) √3

(D) 8√2

(E) 1

Resolução:

Antes de resolver a expressão, vamos tentar simplificar ou resolver todas as raízes até alcançar valores menores.

18 = √9.2 = √9.√2 = 3√2

50 = √25.2 = √25.√2 = 5√2

Substituiremos na expressão os valores encontrados:

Observe que o numerador e o denominador da fração ficaram iguais. Dividindo-os, podemos concluir que essa expressão é igual a 1.

Alternativa: E.

 

00) (UFCE) Simplificar a expressão:

Resolução:

Exercício simples que se baseia na decomposição em fatores primos de cada radicando e da utilização da propriedade P1, como você pode observar no detalhamento a seguir. Tenha em conta que na soma ou subtração de radicais, cada parcela deve ser considerada isoladamente para se obter o resultado de uma expressão. Ou seja, não se aplica que a soma de duas raízes de mesmo índice é igual a raiz da soma, como é o caso do produto, por

 

oo) Calcular o quociente:

Resolução:

Outro exercício de solução simples onde demonstro o uso das propriedades P1 e P3, e novamente, faço uso da decomposição em fatores primos dos radicandos:

 

15) Escrever em ordem de grandeza crescente os radicais:

Resolução:

Para fazer a comparação entre os radicais devemos, inicialmente, reduzí-los ao mesmo índice. Isto é feito calculando o mínimo múltiplo comum (mmc) dos índices e, após, aplicando a propriedade P6. O mmc(2, 4, 3, 6) = 12 e reescrevendo os radicais (P6) vem:

Agora, basta considerar a ordem dos radicandos para estabelecer a ordem crescente dos radicais:

 

00) Efetuar

Resolução:

Esboçada a seguir, onde utilizamos o fato de que o produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo (produto notável – PN) e as propriedades da Radiciação indicadas: