EF II - SEMALHANCA DE POLIGONO

Professor Diminoi
SEMELHANCA DE POLIGONO

Introdução
Observe as figuras:
Figura A
Figura B
Figura C
Elas representam retângulos com escalas diferentes. Observe que os três retângulos têm a mesma forma, mas tamanhos diferentes.

Dizemos que eles são figuras semelhantes.
Nessas figuras, podemos identificar:
AB - distância entre A e B (comprimento do retângulo).
CD - distância entre C e D (largura do retângulo).

-  ângulos agudos formados pelos segmentos AB.
Medindo os segmentos de reta AB e DC e os ângulos

das figuras, podemos organizar a seguinte tabela:
m(AB)                        m(CD)                        ângulo
Fig. C                         3,9 cm             1,3 cm = 90º
Fig. B                         4,5 cm             1,5 cm = 90º
Fig. A                         6,0 cm             2,0 cm = 90º

Observe que:
Os ângulos correspondentes nas três figuras têm medidas iguais;
As medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
Desse exemplo, podemos concluir que duas ou mais figuras são semelhantes em geometria quando:
- os ângulos correspondentes têm medidas iguais;
- as medidas dos segmentos correspondentes são proporcionais;
- os elementos das figuras são comuns.

Exemplos: Formas iguais e tamanhos diferentes sao figuras semelhantes:
Polígonos semelhantes
Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:
Observe que:
- os ângulos correspondentes são congruentes:
- os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:
ou
Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos:
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígono ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C'")
Ou seja:
- Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
- A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:

A razão de semelhança dos polígonos considerados é

Observação: a definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas:
- ângulos correspondentes congruentes
- lados correspondentes proporcionais
Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos. 

Propriedades da semelhança de polígonos
Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos  polígonos.

Demonstração:
Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:
Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados: 
- Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA
- Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'
Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:


Exemplo
Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. Calcule os lados do segundo triângulo.
Resolucao
Razão de semelhança

Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.
 

Continua ...