GEOMETRIA PLANA

GEOMETRIA PLANA

Professor Diminoi

 

GEOMETRIA PLANA

geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume. 

 

Conceitos de Geometria Plana

Ponto - Conceitos adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam um localidade e são indicados com letras maiúsculas.

Reta - É representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se apresentar em três posições:

Observação: retas perpendiculares são retas que formam um ângulo de 90º entre si.

Segmento de Reta - Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos.

Plano - Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas.

Ângulos - Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:

Área - A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área.

Perímetro - O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

Figuras da Geometrias Planas

Triângulo - É uma figura plana fechada de três lados, o triângulo é uma figura geométrica plana formada por três segmentos de reta.

Segundo a forma dos triângulos, eles são classificados em:

Triangulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°);

Triangulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes;

Triangulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes.

Ângulos - No tocante aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em:

Triângulo retângulo: possui um ângulo interno de 90°;

Triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo obtuso interno, maior que 90°;

Triângulo octangular: possui três ângulos internos menores que 90°.

Quadrado - Polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°).

Retângulo - Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os outros dois paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°).

Círculo - Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade.

Trapézio - Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o trapézio é uma figura geométrica plana.

Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em:

Trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º;

Trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida;

Trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes.

Losango - Quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e o retângulo, é considerado um paralelogramo.

Ou seja, é um polígono de quatro lados os quais possuem lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.

 

Figuras da Geometrias Planas

Calculando Área e Perímetro

Teorema de Pitágoras

Uma das fórmulas mais importantes para esta frente matemática é o Teorema de Pitágoras.

Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos (os “lados” que formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta maior da figura).

Exercícios Resolvidos

01) (ENEM) O Esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.

Visando atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das diversas ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.

 

Após executdas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um(a)

(A) aumento de 5 800 cm².

(B) aumento de 75 400 cm².

(C) aumento de 214 600 cm².

(D) diminuição de 63 800 cm².

(E) diminuição de 272 600 cm².

Resolução:

Comecemos pela área do trapézio da figura I, que é dada por (600 + 360).580 / 2 = 278 400. Calculando a área da figura II temos 580 . 490 = 284 200 cm².

Assim, o aumento da área foi de 5 800 cm².

Alternativa: A

 

02) (ENEM) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a

(A) 7,5 e 14,5.

(B) 9,0 e 16,0.

(C) 9,3 e 16,3.

(D) 10,0 e 17,0.

(E) 13,5 e 20,5.

Resolução:

Primeiramente, dividimos a figura B em dois triângulos B1 e B2, um com altura de 21 m e base de 3 m e outro com altura e base medindo 15 m.

Assim, temos que área da figura A = área da figura B = B1 + B2

x(x + 7) = 15.15 / 2 + 21.3/2 = 144

Fatorando 144, temos que:

x(x + 7) = 9.16
x(x + 7) = 9(9 + 7)

Assim, as medidas do retângulo são 9 m e 16 m

Alternativa: B

 

03) Calcule a medida da hipotenusa do triângulo retângulo presente na figura a seguir.

Resolução:

Observe que 3 cm e 5 cm são as medidas dos catetos do triângulo acima. A outra medida refere-se ao lado oposto ao ângulo reto, portanto, a hipotenusa. Usando o teorema de Pitágoras, teremos:

a2 = b2 + c2

a2 = 42 + 32

a2 = 16 + 9

a2 = 25

a = √25

a = 5

A hipotenusa desse triângulo mede 5 centímetros.

 

04) O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo mede 15 centímetros e um dos outros dois lados mede 12 centímetros. Calcule a medida do terceiro lado.

Resolução:

O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os outros dois são catetos. Representando o cateto que falta pela letra b, podemos usar o teorema de Pitágoras para descobrir a terceira medida. Basta lembrar que ela também é um cateto. Sendo assim, teremos:

a2 = b2 + c2

152 = b2 + 122

Observe que a medida da hipotenusa foi colocada no lugar da letra a, pois essa letra representa essa medida. Resolvendo a equação, encontraremos o valor de b:

225 = b2 + 144

225 – 144 = b2

81 = b2

b2 = 81

b = √81

b = 9

O terceiro lado mede 9 centímetros.

 

05) (Enem 2006) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

(A) 1,8 m.

(B 1,9 m.

(C) 2,0 m.

(D) 2,1 m.

(E) 2,2 m.

Resolução:

Observe o seguinte triângulo retângulo sobre o corrimão da imagem do exercício.

Perceba que o comprimento do corrimão é igual à soma 30 + a + 30 e que “a” é a medida da hipotenusa do triângulo colocado sobre a imagem. Além disso, note que b = 90 e que c = 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 120. Assim, para descobrir a medida de a, faremos:

a2 = b2 + c2

a2 = 902 + 1202

a2 = 8100 + 14400

a2 = 22500

a = √22500

a = 150 centímetros.

A medida do corrimão é 30 + 150 + 30 = 210 cm ou 2,1 m.

Resolução: D.

 

06) Determine a medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm.

Resolução: 

Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que:

202 = c2 + c2

2c= 400

c2 = 200

Assim, as medidas dos catetos do triângulo medem, respectivamente:

  

07) Calcule a medida da hipotenusa para o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sendo que os catetos AB e BC, têm medidas de 6 cm e 8 cm, respectivamente.

Cálculos dos quadrados dos catetos:

(AB)² = 6² = 36 cm

(BC)² = 8² = 64 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

(AC)² = (AB)² + (BC)²

x² = 36 + 64, com x > 0 ⇔ x² = 100 ⇔ x = √100 ⇔ x = 10 cm

 

08) Calcule a medida do cateto AB do triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sabendo que a hipotenusa AC tem medida igual a 10 cm, e o cateto BC mede 5 cm.

Cálculo do quadrado da hipotenusa AC e do cateto BC:

(AC)² = 10² = 100 cm

(BC)² = 5² = 25 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

(AC)² = (BC)² + (AB)²

100 = 25 + x², com x > 0 ⇔ x² = 100 – 25 ⇔ x² = 75 cm ⇔ x = √75 ⇔ x = 5√3 cm

 

09) (ENEM 2013) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é

(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 11.
(E) 12.

 

10) (ENEM 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas.

Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.

A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:

(A) N/9
(B) N/6
(C) N/3
(D) 3/N
(E) 9/N

 
11) Qual a área e o perímetro de um campo de futebol, de base 25 m e altura 5 m?

(A) A= 100m², P= 50m

(B) A= 150 m², P= 60m

(C) A= 125 m², P= 60 m

(D) A= 120 m², P= 50 m

Resolução:

Esse campo tem a forma de um retângulo, então para calcularmos a área basta multiplicar a base pela altura:

A= 25 * 5= 125 m²

O perímetro é a soma de todos os lados:

P = 25 + 5 + 25 + 5
P= 60 m.

Alternativa: C

 

12) Um campo de futebol de formato retangular tem 100 metros de largura por 70 metros de comprimento. Antes de cada treino, os jogadores de um time dão cinco voltas e meia correndo ao redor do campo. Sendo assim, determine:

a) Quantos metros os jogadores correm ao dar uma volta completa no campo?

b) Quantos metros eles percorrem ao dar as cinco voltas e meia ao redor do campo?

c) Se eles repetem essa corrida cinco vezes por semana, quantos metros os jogadores correm em uma semana?

Resolução:

a) Vamos calcular o perímetro do campo:

2p = 100 + 100 + 70 + 70
2p = 200 + 140
2p = 340 m

Ao dar uma volta completa, os jogadores percorrem 340 metros.

b) Se ao dar uma volta, os jogadores percorrem 340 metros, ao dar cinco voltas, eles percorrem 340 * 5 = 1700 metros. Para cinco voltas e meia, ele vai andar os 1700metros e metade de uma volta (340 : 2 = 170).Basta somar 1700 +170: 1870 metros.

c) Considerando que os jogadores correm 5 vezes por semana, se todos os dias eles correm 1870 metros, façamos 1870 * 5 = 9.350. Em uma semana, os jogadores correm 350 metros.

 

13) Sabendo que o perímetro de um hexágono regular é 48,6 cm. Qual é a medida de cada lado do hexágono?

Resolução:

Resolução:

Um hexágono regular possui seis lados de mesma medida, e o perímetro é a soma desses lados. Portanto, para saber a medida de cada lado, basta fazer:

48,6 : 6 = 8,1 cm

Cada lado do hexágono mede 8,1 cm.

 

14) Sabe-se que o perímetro de um retângulo é 60 cm e o comprimento desse retângulo é de 22 cm. Defina a largura do retângulo.

Resolução:

Um retângulo possui lados paralelos de medidas iguais. Então, se um lado do retângulo mede 22 cm, o lado paralelo a esse deve medir 22 cm também. Considere que a largura da figura é x. Visualizemos a figura:

Se o perímetro, que é a soma de todos os lados do retângulo, é 60 cm, então temos:

2p = 22 + x + 22 + x
60 = 44 + 2x
2x = 60 – 44
2x = 16
x = 16
       2
x = 8,0 cm.

Portanto, a largura do retângulo é de 8,0 cm. 

 

15) Considere um triângulo isósceles T cujo perímetro seja 70 cm, diminuindo 2 cm na base do triângulo e aumentando 5% nos lados de mesma medida, obtém-se outro triângulo isósceles P de mesmo perímetro. Quais são as dimensões dos dois triângulos?

Resolução:

Por se tratar de triângulos isósceles, sabemos que eles possuem dois lados de mesma medida. Vamos considerar que o lado de medida diferente é a base do triângulo. Digamos que o triângulo T tem base x e dois lados iguais y, podemos afirmar que o triângulo P possui comprimento igual a x – 2 e largura igual a y*1,05. Uma informação importante da qual dispomos é que o perímetro de ambos são iguais. Vejamos então:

Perímetro de T → x + 2*y = 70 *

Perímetro de P → (x – 2) + 2*(y*1,05) = 70

x – 2 + 2,1 y = 70

x +2,1 y = 70 + 2

x + 2,1 y = 72 **

Vamos isolar o 2*x na primeira e na quarta equação e igualar o restante dos termos:

x = 70 + 2*y *

x = 72 – 2,1*y **

Igualando o segundo membro das duas equações, temos:

72 – 2,1*y = 70 + 2*y

2*y – 2,1*y = 70 – 72

( – 1). – 0,1 *y = – 2 .( – 1)

0,1 *y = 2

y = _2_
​      0,1

y = 20 cm

Substituindo o valor encontrado de y em *, temos:

x = 70 – 2 *y

x = 70 – 2 * 20

x = 70 – 40

x = 30 cm

Portanto, o triângulo T tem lados de medidas 20 cm e base de 30 cm. Vamos verificar as medidas do Triângulo P.

Base: x – 2 = 30 – 2 = 28 cm

Lados de mesma medida: y * 1,05 = 20 * 1,05 = 21 cm

As medidas do triângulo P são lados de medidas 21 cm e base de 28 cm.

 

16) Calcule a área e o perímetro da figura a baixo:

                           10 cm
12cm12 cm
                           5cm

Resolução:

Na figura temos um trapézio, para calcular sua área devemos somar a base maior com a base menor e multiplicar pela altura e dividir por dois:

A= (B + b) h
          2

A= (10 + 5) 6 ---------- Lembrando que a altura tem que fazer um ângulo reto
    
       2                        com a base, por isso 6 cm é a altura, não 12 cm.

A= 15 * 6
         2

A= 90
      2

A= 45 cm ²

P= 10 + 5 + 12 + 12
P= 39 cm

 

17) Calcule a área e o perímetro do losango de diagonal maior 8 cm e diagonal menor 4 cm.

Resolução:

Vamos esboçar esse losango:

8 cm

Para calcular a área de um losango, multiplica-se a diagonal maior pela menor e divide por dois:

A= D * d
        2

A= 8 * 4
       2

A= 32/2
A= 16 cm ²

Para calcular o perímetro precisaremos descobrir a medida de um lado. Podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular essa medida. Basta tomar como catetos metade das medidas das diagonais, pois, além de se encontrarem em seus pontos médios, ainda são perpendiculares, o que garante a existência de um triângulo retângulo que possui essas medidas e o lado do losango como hipotenusa. Observe:

l2 = 42 + 22

l2 = 16 + 4

l2 = 20

√l2 = √20

l = 4,47

Agora basta multiplicar o lado por 4 para obter o perímetro.

P = 4·4,47

P = 17,88 cm

 

18) (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil, é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

(A) à mesma área do triângulo AMC.

(B) à mesma área do triângulo BNC.

(C) à metade da área formada pelo triângulo ABC.

(D) ao dobro da área do triângulo MNC.

(E) ao triplo da área do triângulo MNC.

Resolução:

Para solucionar essa questão, devemos determinar a medida dos segmentos BP, PA, BM, MC, AN e NC. Essas medidas são estabelecidas por meio do ponto médio, que é o ponto que divide o segmento em duas partes iguais. Observe no desenho as medidas dos segmentos de acordo com os seus três pontos médios: M, N e P.

Agora que sabemos as medidas dos segmentos descritos anteriormente, podemos calcular a área.

Dados para o cálculo da área do triângulo MCN:

a = base
2

b = altura
2

Fórmula para calcular a área do triângulo: A = base . altura
                                                                           2

Cálculo da área do triângulo MCN:

AMCN = . b
            2   2
              2

AMCN = ab . 1
             4    2

AMCN = ab
             8

8 . AMCN = ab

Dados para o cálculo da área do triângulo BAC:

a = base

b = altura

Fórmula para calcular a área do triângulo: A = base . altura
                                                                           2

Cálculo da área do triângulo MCN:

ABAC = a . b
              2

ABAC = 8 . AMCN
                 2

ABAC = 4 AMCN

ABAC = 3 AMCN + AMCN

Logo, AABMN = 3 AMCN

A área a ser calçada corresponde a 3 AMCN . 

Alternativa: E

 

19) (UFMT) Assinale a medida do lado de um quadrado, sabendo-se que o número que representa o seu perímetro é o mesmo que representa sua área.

(A) 5

(B) 4

(C) 6

(D) 8

Resolução:

Essa questão será resolvida pelo método de tentativas. Sendo assim, consideremos que o quadrado possui como medida de lado: 4, 5, 6 ou 8.

  • O cálculo da área de um quadrado é dado pela seguinte fórmula: A = (lado)2 → A = l2.
  • Já a fórmula do perímetro é a soma dos quatro lados do quadrado: P = l1+ l2 + l3 + l4

→ Considerando o lado do quadrado como 4, temos:

A = l→ A = 42 → A = 16

P = l1 + l2 + l3 + l→ P = 4 + 4 + 4 + 4 = 16

Quando o lado do quadrado é 4, a área é igual ao perímetro.

→ Considerando o lado do quadrado como 5:

A = l→ A = 52 → A = 25

P = l1 + l2 + l3 + l→ P = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

Quando o lado do quadrado é 5, a área é diferente do perímetro.

→ Considerando o lado do quadrado como 6:

A = l→ A = 62 → A = 36

P = l1 + l2 + l3 + l→ P = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

Quando o lado do quadrado é 6, a área é diferente do perímetro.

→ Considerando o lado do quadrado como 8:

A = l→ A = 82 → A = 64

P = l + l + l + l → P = 8 + 8 + 8 + 8 = 32

Quando o lado do quadrado é 8, a área é diferente do perímetro.

Alternativa: D

 

20) Uma escola pretende ladrilhar o seu pátio retangular, que possui as seguintes dimensões: 4 m e 5,5 m. Os ladrilhos utilizados são quadrados com 16 cm de lado. Calcule o número de ladrilhos necessários.

Resolução:

Dados da questão:

Dimensão do pátio: 4 m e 5,5 m
Dimensão do lado do ladrilho: 16 cm → 0,16 m

Cálculos:

Área total do pátio = 4 m x 5,5 m = 22 m2

Área do ladrilho = (0,16 m)2 = 0,0256 m2

Quantidade de ladrilhos necessários: 22 m: 0,0256 m2 = 859, 375 ladrilhos.

São necessários aproximadamente 859 ladrilhos para cobrir toda a área do pátio da escola.

 

21) Uma cadeira tem o seu assento na forma de um quadrado. Suponhamos que uma formiga, partindo de um dos cantos da cadeira, andou três metros para contornar todo o assento. Qual é a área do assento da cadeira?

Resolução:

Para solucionar essa questão, devemos realizar o cálculo do perímetro (que é a soma dos lados de um polígono) com a finalidade de descobrir a medida do lado do assento da cadeira. Como o assento é quadrado, todos os seus lados possuem a mesma medida.

P = l + l + l + l
3 = 4l
3/4 = l
0,75 = l

Cada lado do assento da cadeira mede 0,75 metros. Para saber a sua área, vamos utilizar a fórmula para o cálculo de área de um quadrado.

A = l2
A = (0,75 m)2
A = 0,5625 m2

A área do assento da cadeira é de: 0,5625 m2.

 

22) (PM Pará 2012) A figura abaixo mostra um telhado de uma casa, onde AB = AC, BC = 4 m, AM = 1,5 m, CD = BF = 15 m e M é o ponto médio de BC. Considerando que para cobrir um metro quadrado de telhado são utilizadas 16 telhas, a quantidade de telhas para cobrir esse telhado será de:

(A) 800

(B) 900

(C) 1000

(D) 1200

(E) 1500

Resolução:

Primeiramente vamos calcular a medida de AC:

Como AB = AC e M é ponto médio de BC, temos que AMC é um triângulo retângulo, onde AC é a hipotenusa, MC = 2 pois BC = 4 e AM = 1,5.

Utilizando o Teorema de Pitágoras:

AC² = MC² + AM²

AC² = 2² + 1,5²

AC² = 4 + 2,25

AC² = 6,25

AC = 2,5m

Agora vamos calcular a área de um dos lados do telhado, depois multiplicar por 2:

Área = AC.CD = 2,5.15 = 37,5m²

2.37,5 = 75m²

Como cada m² equivale a 16 telhas:

16.75 = 1200

Alternativa: D

 

23) (PM Pará 2012) Um empresário possui um espaço retangular de 110 m por 90 m para eventos. Considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas, a capacidade máxima de pessoas que esse espaço pode ter é:

(A) 32.400

(B) 34.500

(C) 39.600

(D) 42.500

(E) 45.400

Resolução:

Vamos calcular a área do espaço:

A = 90 x 110 = 9900 m²

Como cabem 4 pessoas por m²:

Capacidade = 4.9900 = 39600

Alternativa: C

 

24) (PM Pará 2012) Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. A área desse triângulo é:

(A) 5 u.a

(B) 6 u.a

(C) 7 u.a

(D) 8 u.a

(E) 9 u.a

 

Resolução:

Veja no desenho como fica o triângulo:

Fórmula para cálculo de área de um triângulo:

A = base x altura / 2

base = 5 – 2 = 3

altura = 7 – 3 = 4

A = 3.4/2 = 6

Alternativa: B

 

25) (CFO PM ES 2013 – Exatus) Adriana planta flores num canteiro circular de raio 8 m. Ao redor desse canteiro, ela pretende plantar ervas medicinais formando uma coroa circular, de maneira que a parte destinada às flores sofrerá uma redução de 2 m em seu diâmetro. A área ocupada pelas ervas medicinais neste canteiro será igual a:

(A) 14π

(B) 12π

(C) 5π

(D) 15π

Resolução:

Adriana planta em um circulo de raio 8, de onde podemos concluir que o diâmetro mede 16 metros.

Se reduzirmos o diâmetro em 2 metros, passando a medir 14 metros, o raio passará a medir 7 metros.

Assim, a área da coroa circular será a diferença entre a área do circulo de raio 8 e do circulo de raio 7 (Área circunferência = π.r²):

π.8² – π.7² = 64π – 49π = 15π

Alternativa: D

 

26) (PM ES 2013 – Funcab) Um para-raios instalado em um determinado prédio protege uma área circular de raio R = 20 m no solo. O valor total da área do solo, em metros quadrados, protegida por esse para-raios, é de:

(Adote o valor aproximado de π= 3,14)

(A) 1.256 m²

(B) 1.294 m²

(C) 1.306 m²

(D) 1.382 m²

(E) 1.416 m²

Resolução:

Calculando a área do círculo:

Área = π . r²

Área = 3,14 . 20²

Área = 3,14 . 400

Área = 1256

Alternativa: A

 

27) (PM Acre Músico 2012 – Funcab). A área de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 4, e dois de seus ângulos medem 45º, corresponde a:

(A) 4 u.a.

(B) 8 u.a.

(C) 12 u.a.

(D) 16 u.a.

(E) 20 u.a.

Resolução:

Temos um triângulo retângulo (o valor da altura e da base é 4).

A = base x altura / 2

A = 4×4/2

A = 8

Alternativa: B

 

28) (Correios 2011 – Cespe) Em 2008, nos 200 anos do Banco do Brasil, os Correios lançaram um selo comemorativo com uma tiragem de 1.020.000 unidades. No selo, cujo formato é de um retângulo medindo 40 mm × 30 mm, a estampa ocupa um retângulo que mede 35 mm × 25 mm. Dadas essas condições, é correto afirmar que a área do retângulo da estampa é

(A) superior a 90% da área do retângulo do selo.

(B) inferior a 75% da área do retângulo do selo.

(C) superior a 75% e inferior a 80% da área do retângulo do selo.

(D) superior a 80% e inferior a 85% da área do retângulo do selo.

(E) superior a 85% e inferior a 90% da área do retângulo do selo.

Resolução:

Como estamos trabalhando com porcentagem, não há necessidade de utilizar a medida mm.

Basta dividirmos a área da estampa pela área do selo. Veja:

Alternativa: B

 

29) (PM Paraná 2010 – Cops) Considere uma placa de trânsito na forma de um hexágono regular com lados de L centímetros. Sabe-se que um hexágono regular de lados L é formado por seis triângulos equiláteros de lados L. Como a leitura desta sinalização (placa) depende da área A da placa, temos que A, em função do comprimento L, é dada por:

 

 

 

 

 

 

Resolução

Primeiramente, a área do hexágono é 6x a área do triângulo.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos descobrir a altura h do triângulo para descobrirmos sua área:

l² = h² + (l/2)²

l² – l²/4 = h²

(4l² – l²)/4 = h²

3l²/4 = h²

h = l√3/2

Calculando a área:

A∆ = l . l√3/2/2

A∆ = l² √3 /4

A área do hexágono regular será igual a 6 vezes a área do triângulo equilátero.

A = 6 . l² √3/4

A = 3 l² √3 / 2

Alternativa: B

 

30) (PRF 2008 – Cespe) Considerando, em relação às figuras abaixo, que, na figura I, as 4 curvas são quartos de circulo; nas figuras II, III e IV, as curvas são 2 semicírculos; na figura V, aparece 1 quarto de círculo e, interno a ele, um semicírculo, nessa situação, as figuras em que as partes sombreadas têm áreas iguais são:

(A) I e IV.

(B) I e V.

(C) II e III.

(D) II e V.

(E) III e IV

Resolução

Figura I:

Temos um quadrado com 4 semicírculos inscritos, que resultam em um círculo completo. Então a área sombreada será a área do quadrado menos a área do círculo com raio de 1 cm. Calculando as áreas:

Área do quadrado: 2 x 2 = 4 cm²;

Área do círculo: ∙π 1² = π cm²;

Área sombreada: 4 – π.

Figura II:

A área sombreada é formada por 3/4 da área de um círculo com raio de 1 centímetro, menos a área de 2 semicírculos de raio igual a 1/2 centímetro. Lembre que dois semicírculos formam um círculo. Então:

Área do círculo com raio de 1 cm: π 1² = π cm²;

3/4 da área do círculo anterior: 3π/4

Área do círculo com raio igual de 1/2 cm: π.(1/2)² = π/4

Área sombreada: 3π/4 – π/4 = 2π/4 = π/2cm².

Figura III:

Se o semicírculo sombreado trocar de lugar com o semicírculo brando, a área sombreada será igual a 3/4 da área do círculo de raio de 1 cm. Veja:

Área do círculo de raio de 1 cm: π1² = π cm²;

Área sombreada: 3π/4 cm².

Figura IV

Se encaixarmos o semicírculo sombreado no semicírculo branco, têm-se um retângulo com a metade sombreada e a outra branca. Dessa forma, a área sombreada seria igual a metade da área de um retângulo de 2 x 2. Veja:

Área sombreada: 2.2/2 = 2 cm².

Figura V:

A área sombreada será obtida com a subtração da área de um quarto de círculo de raio igual a 2 centímetro pela metade de um semicírculo de raio igual a 1 centímetro. Calculando as áreas:

Área de 1/4 de círculo de 2 cm de raio: π2²/4 = πcm².

Área de um semicírculo de 1 cm de raio: π1²/2 = π/2cm².

Área sombreada: π – π/2 = π/2 cm².

Alternativa: D

 

31) (SAP SP 2013) Ricardo esteve em um lançamento imobiliário onde a maquete, referente aos terrenos, obedecia a uma escala de 1:500. Ricardo se interessou por um terreno de esquina, conforme mostra a figura da maquete.

A área, em metros quadrados, desse terreno é de

(A) 300.

(B) 755.

(C) 120.

(D) 525.

(E) 600.

Resolução

Primeiramente, vamos utilizar a escala 1:500 para sabermos as dimensões reais do terreno:

2cm equivale a 2.500 = 1000cm = 10m

6cm equivale a 6.500 = 3000cm = 30m

5cm equivale a 5.500 = 2500cm = 25m

Sabendo disto, para calcularmos a área é muito simples, basta dividirmos a figura em duas, um retângulo e um triângulo:

O retângulo terá base 30m (6cm) e altura 10m (2cm):

Área = 30×10 = 300m²

O triângulo terá base 30m (6cm) e altura 15m (3cm):

Área  = 30×15/2 = 225m²

Área total = 300 + 225 = 525m²

Alternativa: D

 

32) O professor Diminoi informou aos seus alunos que usariam um dos 4 símbolos nacionais para reforçarem o cálculo de área e perímetro. Para isto, pediu-lhes que eles analisassem a figura abaixo. Em seguida ela apresentou uma bandeira do Brasil aos alunos, conforme o desenho a seguir, e pediu-lhes que calculassem o quanto foi gasto de tecido para confeccionar as partes verde e amarela presentes nesta bandeira.

Resolução:

A parte verde tem a forma de um retângulo de medidas 14 cm de altura e 20 cm de base. Sabe-se Área do retângulo = base x altura.

Área do retângulo = 20 ∙ 14 = 280 cm2

A parte amarela tem a forma de um losango.

Área do Losango = diagonal maior ∙ diagonal menor / 2

Diagonal maior do losango = 20 1,7 1,7 = 16,6 cm.

Diagonal menor do losango = 14 1,7 1,7 = 10,6 cm.

Área do losango = 16,6 ∙ 10,6 / 2 = 87,98 cm2

Logo, foi gasto 280 cm2 de tecido verde e 87,98 cm2 de tecido amarelo, na condição de que o losango que representa a parte amarela da bandeira foi costurado sobre a parte verde.

 

PLANIFICAÇÃO

planificação de sólidos geométricos é uma forma de apresentar esses sólidos usando apenas um plano, ou seja, é uma forma de representar um objeto tridimensional em apenas duas dimensões. Para tanto, basta construir cada superfície externa do sólido do modo como essa figura seria no plano, respeitando suas medidas.

Todo sólido geométrico é formado por, pelo menos, uma superfície. Quando essa superfície é plana e poligonal, ela é chamada de face; quando ela é curva, é preciso imaginar como seria se ela fosse “esticada”. A superfície curva do cilindro, por exemplo, pode ser compreendida como um paralelogramo que foi enrolado.

Planificação de pirâmides

Pirâmide de base pentagonal.

Lembre-se de que uma pirâmide é formada por uma base poligonal – que pode ser qualquer polígono – e por faces laterais triangulares. Assim, fica fácil concluir que a planificação da pirâmide apresenta um polígono e alguns triângulos.

Observe que o número de triângulos sempre será igual ao número de lados do polígono da base. A planificação de uma pirâmide pentagonal, por exemplo, é composta por cinco triângulos e por um pentágono, como mostra a imagem a seguir:

Dito isso, a planificação de uma pirâmide de base triangular é composta por quatro triângulos: uma da base e três das faces laterais.

A planificação de uma pirâmide cuja base é um quadrilátero é composta por um quadrilátero e quatro triângulos, que também não são necessariamente congruentes.

Resumindo: o número de triângulos da planificação de uma pirâmide é igual ao número de lados da base.

Vale dizer que os triângulos não precisam ser congruentes, pois existem casos de pirâmides oblíquas.

Planificação dos prismas

Prisma de base pentagonal.

O prisma é um sólido geométrico formado por duas bases poligonais congruentes e por faces laterais que são paralelogramos.

O número de paralelogramos presentes na planificação do prisma é igual ao número de lados de uma de suas bases. Além disso, na planificação, aparecerão dois polígonos congruentes, que são as bases. A figura a seguir mostra a planificação de um prisma de base pentagonal:

Como o número de paralelogramos é igual ao número de lados da base do prisma, um prisma de base octogonal possui oito paralelogramos em sua planificação. Esses paralelogramos não necessariamente são congruentes, apenas nos casos em que o prisma é reto.

Planificação dos cones

O cone é um sólido formado por uma base circular e por uma superfície curva, como mostra a figura anterior. A planificação do cone apresenta um setor circular e um círculo, como mostra a figura a seguir:

Planificação dos cilindros

O cilindro é um sólido formado por duas bases circulares congruentes e por uma superfície curva, como mostra a figura anterior. Essa figura pode ser compreendida como um retângulo ou um paralelogramo que foi “enrolado”.

Planificação de um cilindro.

Obs.: Todas as planificações apresentadas buscavam mostrar um exemplo de como a planificação pode ser apresentada. Vale dizer que a posição dessas figuras pode variar de acordo com o problema, intenção do autor etc.

Perceba que o número de lados da base de uma pirâmide é igual ao número de triângulos que aparecem na sua planificação. Observe também que os triângulos não necessariamente são congruentes (iguais), o que só acontece quando o polígono da base é regular.

 

Nos prismas, a quantidade de faces laterais também é igual ao número de lados de uma de suas bases. Sendo assim, sua planificação sempre apresenta dois polígonos congruentes e alguns paralelogramos, que só serão todos iguais se as bases do prisma forem regulares.

Os cones são sólidos geométricos formados por um círculo, que é sua base, e por uma superfície curva no formato de funil. As duas figuras geométricas resultantes da planificação de um cone são um setor circular e um círculo.

A área dos cones pode ser encontrada pela seguinte expressão:

A = πr(g + r)

Na fórmula, r é o raio do cone e g é a geratriz. Mais detalhes sobre essa fórmula podem ser encontrados.

 

33) Qual é a área de um cone cuja geratriz mede 10 cm e o raio mede 5 cm?

Resolução:

Substitua esses dados na fórmula acima e considere π = 3,14.

A = πr(g + r)

A = 3,14·5(10 + 5)

A = 15,7·15

A = 235,50 cm2

Cilindros

Os cilindros são sólidos geométricos cujas bases são dois círculos paralelos e congruentes. Em sua planificação, temos dois círculos e um retângulo.

área do cilindro é determinada pela soma das áreas das duas bases e da superfície lateral. Sabendo que essas figuras são dois círculos congruentes e um retângulo, podemos realizar a seguinte soma:

A = 2AC + AR

A = 2πr2 + bh

Nessa fórmula, r é o raio do cilindro, h é a sua altura e b é a base do retângulo obtido na planificação. Essa base é exatamente o comprimento do círculo: 2πr.

A = 2πr2 + 2πrh

A = 2πr(r + h)

 

34) Um cilindro possui base circular cujo raio é 2 cm e a altura é 10 cm. Calcule sua área.

Resolução:

Substituindo na fórmula acima os valores dados e considerando π = 3,14, teremos:

A = 2πr(r + h)

A = 2·3,14·2·(2 + 10)

A = 12,56·12

A = 150,72 cm2

 

35) (ENEM) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

(A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.

(B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

(C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

(D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

(E)Cilindro, prisma e tronco de cone.

Resolução

Planificação de figuras espaciais. Cada figura espacial é formada por um conjunto específico ou variável (de acordo com sua característica) de figuras planas. Considerando as figuras espaciais retas, o cilindro é formado por 2 círculos e 1 retângulo, o cone por um círculo e um setor circular, com mesmo comprimento que o círculo. Já o prisma é formado por 2 bases (qualquer polígono) e “n” faces laterais retangulares, com “n” igual ao número de lados do polígono da base e a pirâmide por 1 base (qualquer polígono) e “k” faces laterais triangulares, com “k” igual ao número de lados do polígono da base. A base dos prismas e pirâmides os caracterizam. Assim, a primeira planificação representa um cilindro, a segunda um prisma de base pentagonal e a terceira uma pirâmide (de base triangular, também chamada de tetraedro). 

Alternativa: A

 

 

 

Continua...