MATRIZES

MATRIZES

Professor Diminoi

 

MATRIZES

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo. A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

Considere uma tabela de números  dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com linhas e colunas (m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3. Veja mais alguns exemplos:

é uma matriz do tipo 2 x 3

é uma matriz do tipo 2 x 2

Trata-se de uma representação matemática que inclui em linhas (horizontais) e colunas (verticais) alguns números naturais não-nulos.

Os números, chamados de elementos, são representados entre parênteses, colchetes ou barras horizontais.

 

TIOIS DE MATRIZES

Matrizes Especiais

Há quatro tipos de matrizes especiais:

Matriz Linha: formada por uma única linha, por exemplo:

Matriz Coluna: formada por uma única coluna, por exemplo:

Matriz Nula: formada por elementos iguais a zero, por exemplo:

Matriz Quadrada: formada pelo mesmo número de linhas e colunas, por exemplo:

Matriz Transposta

A matriz transposta (indicada pela letra t) é aquela que apresenta os mesmos elementos de uma linha ou coluna comparada com outra matriz.

No entanto, os elementos iguais entre as duas são invertidos, ou seja, a linha de uma apresenta os mesmos elementos que a coluna de outra. Ou ainda, a coluna de uma possui os mesmos elementos da linha de outra.

Matriz Oposta

Na matriz oposta, os elementos entre duas matrizes apresentam sinais diferentes, por exemplo:

Matriz Identidade

A  matriz identidade ocorre quando os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0 (zero):

Matriz Inversa

A  matriz inversa é uma matriz quadrada. Ela ocorre quando o produto de duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem.

A . B = B . A = In (quando a matriz B é inversa da matriz A)

Observação: Para encontrar a matriz inversa utiliza-se a multiplicação de matrizes.

Igualdade de Matrizes

Quando temos matrizes iguais, os elementos das linhas e das colunas são correspondentes:

Determinante de uma matriz

Matriz de ordem 2
O determinante de ordem dois possui uma diagonal principal e uma diagonal secundária.


Exemplo:

Assim, para calcular o Determinante da Matriz Quadrada:

Deve se repetir as 2 primeiras colunas

Encontrar as diagonais e multiplicar os elementos, não esquecendo de trocar o sinal no resultado da diagonal secundária:

Diagonal principal (da esquerda para a direita): (1,-9,1) (5,6,3) (6,-7,2)

Diagonal secundária (da direita para a esquerda): (5,-7,1) (1,6,2) (6,-9,3)

Portanto, o Determinante da matriz 3 x 3 = 182.

Propriedades das matrizes e dos determinantes

- O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante da sua transposta: det (A) = det (At);

- Caso exista uma linha ou coluna na matriz igual a zero, o determinante é zero;

- Caso exista duas filas paralelas, iguais ou proporcional, o determinante é zero;

- O determinante do produto de um número real k por uma matriz A é igual ao produto de k elevado a n, onde n é o número de linhas de A, pelo determinante de Adet (k . A) = kn . det (A);

- Caso os elementos abaixo ou acima da diagonal principal forem nulos, o determinante será o produto dos elementos da diagonal principal;

Teorema de Binet: Seja A e B matrizes quadradas de ordem n, o determinante do produto de A por B é igual ao produto dos determinantes de A e B.

 

Exercícios resolvidos

01) O cálculo do seu valor numérico é feito pela diferença do produto da diagonal principal com o produto da diagonal secundária.

det A = 

= - 3 – (- 10) = - 3 + 10 = 7

02) Seja a matriz M:

Resolução:

 

03) Dada a matriz A abaixo, calcule seu determinante:

Resolução:

Assim, seguindo a regra de Sarrus, copiamos a 1ª e 2ª coluna de A para o lado direito:

Seguindo o sentido das setas e obedecendo os sinais, temos que:

det A = 1 . 5 . 3 + 3 . 1 . 2 + 0 . 2 . 1 – 0 . 5 . 2 – 1 . 1 . 1 – 3 . 2 . 3 = 15 + 6 + 0 – 0 – 1 – 18 = 21 – 19 = 2

Resposta: det(A) = 2

 

04) Dada a matriz baixo encontre o valor do seu determinante

Resolução:

Deve-se pegar o oposto dos produtos das diagonais secundárias e somar com os produtos das diagonais principais.

Det B = – (0 + 40 + 0) –15 + 0 – 4 = – 40 – 19 = – 59

Essa regra utilizada no cálculo do determinante de matriz de ordem 3 é chamada de Regra de Sarrus.

 

05) Determinante de uma matriz A de ordem 2 x 2.

Resolução:

Diagonal principal: 2 . 6 = 12

Diagonal secundária: 9 . (–1) = – 9

DetA = 12 – (–9)

DetA = 12 + 9

DetA = 21

06) Determinante de uma matriz B de ordem 3 x 3.

Regra de Sarrus

Diagonal principal

2 . 6 . 3 = 36

5 . 7 . (–1) = – 35

6 * 1 * 2 = 12

Soma
36 + (–35) + 12

36 – 35 + 12

48 – 35

13

Diagonal secundária

6 . 6 . (–1) = –36

2 . 7 . 2 = 28

5 . 1 . 3 = 15

Soma

–36 + 28 + 15

–36 + 43

7

DetB = 13 – 7

DetB = 6

 

07)  Calcule o determinante da matriz abaixo:

Resolução:

 A matriz M é quadrada de ordem 2 x 2. Assim, seu determinante será dado por:

 

08) Calcule o determinante da matriz 

Resolução:

 

 

09) Dada a matriz M3 x 3 abaixo, calcule seu determinante.

Resolução:

det A = (10+12+0) - (16+0+15)=22-31 = -9



10) Calcule o determinante da matriz 3 x 3 abaixo:

Resolução:

 

11) (Unicap – PE) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.

Resolução:

Aplicando a regra de Sarrus, temos que o determinante será da seguinte forma.

 

12) (U.F. Ouro Preto – MG) Considere a matriz:

Resolução:

Conclusão: ao resolver esta desigualdade obteremos o seguinte conjunto solução:

 

13) Determine o valor de x para que o determinante da matriz A seja igual a 8.

Resolução:

Ou seja, temos dois valores para x que fazem com que o determinante da matriz A seja igual a 8.

 

14) O determinante da matriz A é igual a -2. Se B e C são as matrizes obtidas, respectivamente, pela substituição em A do menor e do maior valor de y encontrados, calcule a matriz transposta do produto de B por C

Resolução:

Façamos as matrizes B e C.

 

15) (Unicamp - SP) Seja a um número real e seja:

a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0

b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tem uma única raiz real.

Resolução:

a) Façamos o determinante com o valor de a = 1:

Temos o produto de duas parcelas igual a zero, então teremos duas situações:

3 - x = 0    ou    (1 - x) + 4 = 0

Na primeira temos que x = 3; na segunda não é possível determinar uma solução.

Logo, temos apenas uma raiz possível quando a for igual a 1.

 b)

Novamente teremos duas situações: uma onde x=3 e a outra temos que determinar para quais valores de a teremos apenas a solução x = 3:

Para que só exista uma única raiz, essa equação do segundo grau não deve ter raiz, ou seja, seu discriminante deve ser menor que zero.

  

Determinante para matrizes de ordem 4 ou superior

Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem igual ou superior a 4×4, devemos utilizar o teorema de Laplace para o cálculo do determinante dessas matrizes.

É importante lembrar que o teorema de Laplace pode ser aplicado em matriz de ordem nxn, com n > 1, porém, matriz de ordem 2×2 e 3×3, as regras anteriores ensinadas são mais eficientes, isto é, dão menos trabalho para calcular.

Antes de mostrarmos o teorema de Laplace precisamos entender alguns conceitos que precisamos saber para entender o teorema.

Menor complementar (Dij)

O menor complementar de um elemento aij, em uma matriz A, é obtido eliminando a linha i e coluna j de aij. Dessa forma, teremos uma matriz de ordem n – 1, e o determinante Dij dessa matriz é o menor complementar do elemento aij.

 

16) Dada A a matriz abaixo:

Calcule os menores complementares D11 e D21.

Resolução:

Para D11, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a11:

Temos a matriz:

Então D11 é: det(A) = 5 . 3 – 1 . 1 = 15 – 1 = 14

Para encontrarmos D21, eliminamos a linha e coluna correspondente para o elemento a21:

Assim, temos a matriz:

Conclusão: D21 é: det(A) = 3 . 3 – 0 . 1 = 9 – 0 = 9

 

Cofator ou complemento algébrico (Aij)

Chamamos de cofator ou complemento algébrico de um elemento aij, para matrizes de ordem n, isto é, matrizes quadradas, um número Aij, de forma que:

Aij = (-1)i + j . Dij

 

17) Seja a matriz A a seguir, calcule A22 e A13:

Resolução:

Cofator para A13:

Aplicando a fórmula: Aij = (-1)i + j . Dij

Cofator para A22:

Aplicando a fórmula: Aij = (-1)i + j . Dij

Teorema de Laplace

- Com o teorema de Laplace podemos encontrar o determinante de uma matriz quadrada A da seguinte forma:

- Devemos escolher um linha ou coluna aleatoriamente;

Somar os produtos dos elementos da linha ou coluna que escolhemos pelos seus cofatores;

- O determinante de A é o resultado encontrado no item 2.

 

18) Seja matriz quadrada A a seguir:

Resolução:

Pela matriz A, devemos escolher a primeira linha pois contém mais 0 (zeros) e isso nos ajudará a fazer um número menor de cálculos.

Então, devemos multiplicar os elementos da linha escolhida pelos seus cofatores:

Assim:

det (A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 = 1 . (–1)1 + 1 . D11 + 0 . (–1)1 + 2 . D12 + 2 . (–1)1 + 3 . D13 + 0 . (–1)1 + 4 . D14 = D11 + 2D13

Como escolhemos uma linha com maior quantidade de zeros, isso anulou, durante a multiplicação, alguns cálculos.

Após isso, vamos calcular os cofatores para os elementos D11 e D13:

Para D11, removendo a linha e coluna do elemento:

Temos a seguinte matriz:

Para D13, removendo a linha e coluna do elemento:

Temos a seguinte matriz:

O determinante para as matrizes D11 e D13 foi calculado utilizando a regra de Sarrus para matrizes de ordem 3.

det(D11) = (1 . 0 . 2) + (1 . 1 . 1) + (1 . 3 . 2) – (1 . 0 . 1) – (1 . 1 . 2) – (1 . 3 . 2) = 0 + 1 + 6 – 0 – 2 – 6 = 7 – 8 = -1

det(D13) = (2 . 3 . 2) + (1 . 1 . (-1)) + (1 . 2 . 1) – (1 . 3 . (-1)) – (2 . 1 . 1) – (1 . 2 . 2) = 12 – 1 + 2 – (-3) – 2 – 4 = 17 – 7 = 10

Por fim, D11 + 2 . D13 = -1 + 2 . 10 = -1 + 20 = 19

Portanto, det(A) = 19

 

 

Continua....