9º CADERNO DO ALUNO - VOLUME 2

9º CADERNO DO ALUNO - VOLUME 2

Professor Diminoi

Caderno do Aluno Volume 2

(Modificado)

Observação: As questões a seguir são questões do Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020. Portanto, para que você compreenda toas as resoluções o “ideal” é você ter em mãos o Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020.

Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020 é um material da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo”

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

ATIVIDADE 1 – OPERANDO COM NOATÇÃO CIENTÍFICA

A primeira tentativa conhecida de representar números muito grandes foi atribuída ao matemático e filósofo grego Arquimedes. Em sua obra “O Contador de Areia”, ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar a quantidade de grãos de areia do universo. Esse número estimado era de 1 . 1063 grãos de areia. A nova forma de representar números “muito grandes” também foi utilizada para representar números “muito pequenos” e,

após alguns aprimoramentos, recebeu o nome de “Notação Científica”.

notação científica, além de facilitar a escrita de números “muito grandes” ou “muito pequenos”, auxilia nos cálculos envolvendo esses valores. As operações de multiplicação ou divisão de números representados em notação científica seguem as regras da multiplicação ou da divisão de bases iguais:

 

1.1 Observe a tabela a seguir e preencha as lacunas, lembre-se que, quando os expoentes das potências de dez são diferentes, devemos igualá-los primeiro para, depois, realizar a operação.

 

Valor 1

Valor 2

Adição (valor 1 + valor 2)

Adição (valor 1 - valor 2)

2,5 . 106

1,6 . 196

(2,5 + 1,5) . 106 = 4 . 106

(2,5 - 1,5) . 106 = 1 . 106

4,7 . 108

7 . 197

4,7 . 108 = 47.107

Então temos:

(47 +7) . 107 = 54.107 = 5,4 . 108

4,7.108 = 47.107

Então temos:

(47 – 7) . 107 = 40.107 = 4.108

1,041 . 105

4,1 . 103

1,041 . 105 = 104,1 . 103

Temos:

(104,1 + 4,1) . 103

108,2 . 103 = 1,082 . 105

1,041 . 105 = 104,1 . 103

Temos:

(104,1 – 4,1) , 103

100 . 103 = 1 . 105

8,2 . 108

4,1  . 105

4,4 . 105 = 0,0044 . 108

Temos:

(8,2  + 0,0044) . 108 = 8,2044 . 108

4,4 . 10= 0,0044 . 108

Temos:

(8,2 . 0044) . 108 = 8,1956 . 108

ATIVIDADE 2 – O UNIVERSO: NÚMEROS QUE IMPRESSIONAM

2.1 As distâncias no Universo são medidas em anos-luz, ou seja cada ano-luz representa a distância percorrida pela velocidade da luz em um ano. A velocidade da luz é de, aproximadamente, 3 . 108m/s ou 3 . 105km/s.

a) Escreva essa distância com todos os dígitos.

Resolução:

Considerando o ano com 365 dias, temos: 365 . 60 . 60 = 31 536 000 segundos em um ano, multiplica-se 31 536 000 . 300 000 000 = 9 460 800 000 000 000 mtros. Portanto um ano luz corresponde a 9 460 800 0002 000 000 metros percorridos por ano.

b) Quantos metros, aproximadamente, possui um ano-luz, considerando que o ano tem 635 doas?

Resolução:

9,4608 . 105 metros.

 

2.2 A distância média entre a Terra e o Sol é de 1,496 . 108 km, e a distância média entre Mercúrio e o Sol é de 5,79 . 107 km. Observando a figura a seguir, qual é a distância média entre a órbita da Terra e a órbita de Mercúrio?

Resolução:

A distância requerida é obtida através da diferença entre as distâncias médias da Terra ao Sol e de Mercúrio ao Sol, ou seja: 1,496 . 108 – 5,79 . 107 = 14,96 . 107 – 5,97 . 107 = (14,96 – 6,79) . 10m = 9,17 . 107 km

 

2.3 Todos estamos suscetíveis a doenças, principalmente as que são causadas por vírus ou bactérias. Esses seres microscópicos podem causar várias enfermidades, que vão desde uma simples gripe até uma contração de tétano. Porém, nem todas as bactérias são prejudiciais aos seres humanos, pois algumas auxiliam e muito na saúde. Observe a tabela abaixo:

Quadro 2 – Tamanho (m) de bactérias e vírus comuns no dia a dia

Vírus ou bactéria

Comprimento em metros

Vírus de gripe

0,000 000 0023m

Bactéria do tétano

0,00001 m

Vírus da dengue

0,000000050 m

Bactérias Escherichia coli (a mais comum em infecções de urina)

0,000006 m

A partir dos dados elencados na tabela, elabore uma situação problema envolvendo operações com notação científica, e compartilhe com seu colega. Tente resolver a situação elaborada por seu colega e, juntos, discutam acerca dos resultados.

Resolução:

Espera-se que os estudantes elaborem situações-problema que envolvam situações cotidianas e necessitem operar com números em notação científica para resolvê-las. Oriente-os a pesquisarem em outros materiais ou sites, mas incentive-os a criarem o problema.

ATIVIDADE 3 – MEMÓRIA DO COMPUTADOR SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 – PRODUTOS NOTÁVEIS

3.1 Em computação, quando nos referimos a armazenamento de dados, ou seja à memória de um computador, usamos uma unidade específica que se chama byte. Cada byte é composto por 8 bits.

Um grupo de 1924 bytes forma um quilobyte (KB).

Complete a igualdade:

1 quilobyte ou KB 1024

bytes = 8 192 bites

 

3.2 Podemos trabalhar com dados arredondados para facilitar os cálculos:

1 GB = 8,6 bilhões de bits

Isto é, é possível armazenar 8,6 bilhões de sinais em um disco rígido de 1GB de memória. Use a calculadora para encontrar quantos bits é possível armazenar em um computador, considerando que o discos rígidos tenham:

a) 3,2 GB: 3,2 . 8,6 = 27,52 bilhões de bits

b) 4,3 GB: 4,3 . 8,6 = 36,98 bilhões de bits

c) 2,0 GB: 2,0 . 8,6 = 17,2 bilhões de bits

d) 20,2 GB: 20,2 . 8,3 = 173,72 bilhões de bite

ATIVIDADE 4 – PARA PRATICAR

4.1 Complete o quadro a seguir com os valores que estão faltando.  Você pode observar que na linha de cima estão as potências com seus expoentes inteiros e, segunda, os resultados dessas potências.

8,3 . 102

2,3 . 10-5

3 . 10-5

9,43 . 10-1

7 . 10-2

5,67 . 10-3

830

0,000023

0,00003

0,943

0,07

5670

 

4.2 Escreva os números abaixo em notação científica.

a) 75 000 = 7,5 . 104

b) 0,00004 = 4 . 10-5

c) 0,2 = 2 . 10-1

d) 0,00000008 = 8,0 . 10-9

e) 3 400 = 3,4 .103

 

4.3 Na Química e na Física, por exemplo, existem valores que fazer parte do dia a dias dos profissionais. Escreva na forma de notação científica.

Partícula

Massa real (grama)

Notação Científica

Próton

0,000 000 000 000 000 0000 000 001 672 52

1,67252 . 10-24

Nêutron

0,000 000 000 000 000 0000 000 001 674 53

1,67453 . 10-24

Elétron

0,000 000 000 000 000 0000 000 000 000 910 91

9,10991 . 10-28

 

4.4 Os números a seguir estão em notação científica. Escreva-os na representação estendida.

a) 7 .10-8 = 0,00000007

b) 5,2 . 107 = 52 000 000

c) 2,23 . 10223

d) 4,5 . 10-1 = 0,45

e) 3 107 = 30 000 000

f) 6,6 .10 = 66 000 000 000

 

4.5 Aplicando as propriedade da potenciação, resolva os itens a sehuir:

a) (3/4)2 . (0,75)-2 = (0,75)5+(-2) = (0,75)3

b) 5 m+2 : 5 m-1 = (m + 2) – (m -1) = 53

c) (1/2)3 . 16/(1/4)3 = 2-3 . 24/(2)-3 = 21/(2)-6 = 2 : 2-6 = 27

d) 2 m+1 . 2 m+2 : 4 m+1 = m+1 . 2 m+2 : 2 2(m-1) = 25

e) (0,25)-1 . (1/4)3 = (0,25)-1 . (0,25)3 = (0,25)2

 

4.6) Simplifique as expressões utilizando as propriedades da potenciação, quando necessário:

a) (2ab2)3 = 8a3b6

b) (ab2) . (2a2b3) = 6a3b5

c) (5xy2). (x2y)25x3y6

d) 9x2y3/-3xy = (9x2y3) : (-3xy) = -3xy2

e) (16ab4/-8a2b2)-3 = [(16ab4) : (-8a2b7)]-3 = (-2a-1b-3) = -a3b9/8

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 – PRODUTOS NOTÁVEIS

1.1 Observe as figuras:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

área total da Figura 1 é dada pela expressão algébrica a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 que é a forma fatorada da expressão e o produto da soma de dois termos.

Já a área total da Figura 2 (parte pintada) é dada pela expressão algébrica a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 que é a forma fatorada da expressão e o produto da diferença de dois termos.

Por fim, a área total da Figura 3 (parte pintada) é dada pela expressão algébrica (a + b) (a – b) = a2 – b2 que é a forma fatorada da expressão e o produto da soma pela diferença de dois termos.

 

1.2 Junto com seu colega, encontrem a forma fatorada das expressões abaixo (se houver):

a

x2 – 8x + 16

(x - 4)2

b

9k2 – 25

(3k + 5) (0k – 5)

c

m2 – 2m +1

(m – 1)2

d

x2 + 8x + 16

(x + 4)2

e

36 + 12 + z2

(6 + z)2

ATIVIDADE 2 – FATORAÇÃO

2.1 Encontre a medida da área total da figura a seguir. Explique como você fez para chegar ao resultado.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Verifique se existe outra forma para encontrar a área dessa figura.

A expressão ay + ax possui, nos dois termos, um fator comum que, ao colocarmos em evidência, obtemos a forma fatorada da expressão a (y + x)

Na expressão ay + ax + by + bx + cy + cx, podemos fazer agrupamentos de termos que possuem fatores comuns, como (ay + ax) + (by + bx) + (cy + cx).

Dentro de cada agrupamento, podemos colocar em evidência o fator comum a (y + x) + b (y + x) + c (y + x) Note que (y + x) é o fator comum, então colocamos em evidência (y + x)(a + b + c), obtendo assim a forma fatorada da expressão acima.

 

2.2 Junte-se a um colega e fatore as expressões:

a) 3x + 6y = 3x + 2 . 3y = 3(x + 2y)

b) ab + 2ac = a(b + 2c)

c) 4ab – 6a = 2a(2b – 3)

d) 5xb + b + 5yx + y = (5xb + b) + 5xy + y) = b(5x + 1) + y(5x + 1) = (b + y)(5c + 1)

 

2.3 Escreva, na forma fatorada, a expressão algébrica que representa a área total da figura:

Observação: A figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Área azul = x, z

Área amarela = x, y

Área vermelha = k . z

Área verde = = k . y

Área total = xz + xy + kz + ky = (xz + xy)+ + (kz + ky) = x(z + y) + k(z + y) = (z + y)(x + k)

 

2.4 Represente geometricamente a área indicada pelas expressões algébricas a seguir:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

a) (x + 2) (x + 3) =

b) (x – 3) (x – 2) =

c) (k + 3) (k – 3) =

ATIVIDADE 3 – PRODUTOS NOTÁVEIS: QUADADRO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observação: A figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

3.1 Errata:

Onde se lê: Observa essa igualdade: (2 + 3)2 = (22 + 32).

Leia-se: Analise as duas expressões algébricas: (2 + 3)2  e (22 + 32).

Utilizando uma malha quadriculada, represente essa igualdade geometricamente. Escreva como você resolveu essa questão.

Resolução:

Observa-se que o quadrado maior tem área 25 u.a (unidades de área), e a soma das áreas dos dois quadrados agrupados 4 + 9 = 13 u.a. Logo, são diferentes.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Figura maior: (2 + 3)2 = 52  = 25

Figura média = 3= 9

Figura pequena =  22 = 4

 

3.2 Observe o quadro a seguir e as medidas de seus lados.

Escreva a medidas da área do quadrado ao lado. Resolva esta questão de duas formas diferentes e, depois, socializa sua resposta com seus colegas. Verifique se eles resolveram a questão de outra maneira.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

1º) Usando produtos notáveis:

(2 + 3)2 = 22 + 2(2 . 3) + 32 = 4 + 12 + 9 = 25

2º) Como se trata de um quadrado de lados 5, temos A = 52 = 25

3.3 Calcule geometricamente a área dos quadrados:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

a) (5 + 4)2 = 5² + 2(5 . 4) + 4² = 25 + 40 +16 = 81

b) (8 + 1)82 + 2( 8 . 1) + 12 = 64 + 16 + 1 = 81

𝑐) (31+ 15)2 = 31+ 2(31 . 15)+15= 961 + 930  +225 = 2116

 

3.4 Considerando que a Figura 2 é a representação geométrica de um quadrado de lado (𝑥 + 𝑦), escreva a expressão algébrica que representa a sua área.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O estudante deve identificar as medidas indicadas e, então, aplicar os produtos notáveis. Por exemplo:

(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥+ 2.𝑥.𝑦 + 𝑦2

Algebricamente:

(𝑥 + 𝑦)2 = (𝑥+𝑦)(𝑥+𝑦) Aplicando a propriedade distributiva, temos:

𝑥2 + 𝑥.𝑦 + 𝑦.𝑥 + 𝑦2 = 𝑥2 + 2.𝑥.𝑦 + 𝑦2

 

3.5 Considerando as observações feitas nas atividades anteriores, complete o quadro a seguir.

Quadrado soma dos termos

Primeiro termo

Segundo termo

Quadrado do primeiro termo mas duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado de segundo termo

(a + b)2

a

b

a2 + 2abc + b2

(5 + k)2

5

k

52 + 2 . 5 . k + k2 = 25 + 10k + k2

(x + 4)2

x

4

x2 + 2 . x . 4 + 42 = x2 + 8x + 16

(9 + x)2

9

z

92 + + 2 . 9 . z + z2 = 81 + 18z + z2

(x + 1/2 + b)2

x

1/2

z2 + 2 . x . x1/2 + (1/2)2 = x2 + x + 1/4

(y + √3)2

y

√3

y2 + 2 . y . √3 + √32 y2 + 2y√3 + 3

 

3.6 Reproduza as quadriláteros, recorte-os forme um quadrado e expresse algebricamente sua área.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

(x + 2y)2 = x2 + 2(x . 2y) + (2y)2 = x2 + 4zy + 4y2

Nessa atividade, organize os estudantes em duplas para, juntos, reproduzirem as figuras e organizá-las no formato de um quadrado. Eles devem organizar e identificar os lados e escrever a expressão algébrica.

 

3.7 O Sr. Rodrigo tem um canil em formato quadrado, com área de x2. Ele está idealizando aumentar esse espaço, conforme a figura al lado. Algebricamente, qual será a nova área do canil?

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

A área anterior era (x.x). Como o lado aumentou em 2 metros, a nova área será (x+2) (x+2).

 

3.8 Sabe-se que a área de um quadrado, cujo lado é um número natural, é dado por (x + y)2 e que x.y = 10. Dessa forma, encontre a área desse quadrado, sabendo que ela é inferior a 100 u.a. (unidade de área)

Resolução:

A área anterior era (x.x). Como o lado aumentou em 2 metros, a nova área será (x+2) (x+2).

 

3.8 Elabore uma situação problema que utilize o quadrado da soma de dois lado0s. resolva-a, troque-a om seu colega e, juntos discutam sobre a resposta.

Resolução:

Explore com os estudantes que para 𝑥 . 𝑦 = 10, com 𝑥 𝑒 𝑦  ℕ, podemos ter

x = 10

y = 1 ou x = 5

y = 2; esses valores podem estar invertidos, mas não irá influir no resultado. A área (𝑥+𝑦)2 =  𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2.

Se x = 10

y = 1, tem-se 102 + 2 .10 + 12

Área = 121 u.a

Se x = 2

y = 5 tem-se 22 + 2.10 + 52

Área = 49 u.a

Portanto, a área procurada é de 49 u.a.

 

3.9 Elabore uma situação problema que utilize o quadrado da soma de dois termos. Resolva-a, troque-a com seu colega e, juntos, discutam sobre a resposta.

Resolução:

Após as resoluções, escolha alguns alunos para expô-las à turma e faça as intervenções necessárias

ATIVIDADE 4 – PRODUTOS NOTÁVEIS: QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

4.1 Qual é a área do quadrado branco da figura a seguir?

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O quadrado branco tem dois lados medindo (x – y).

Desenvolvendo algebricamente, temos:

(x – y)2 = (x –y)(x –y) = x2 – xy – yx + y2 = x2 -2xy + y2

 

42 Agora use essa estratégia para calcular a área dos quadrados a seguir:

Resolução

Você deve usar a estratégia para realizar o cálculo do quadrado de números: 692 = (70 -1) = 702 -2(70) . (1) + 12 = 4900 – 140 + 01 = 4761

Agora use essa estratégia para calcular os quadrados dos seguintes números:

a) 892 = (90 – 1)2 = 902 – 2 .90 . 1 + 12 = 8100 - 180 + 1 = 7921

b) 772 = (80 - 3)2 = 802 – 2 . 80 . 3 + 32 = 6400 _ 480 + 9 = 5929

c) 982 = (100 – 2)2 = 100– 2 . 100 . 2 + 22 = 10 000 – 400 + 4 = 9604

 

4.3 Desenvolva algebricamente e represente geometricamente cada quadrado da diferença de dois termos. Considere que o primeiro termo é maior que o segundo.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução

a) (x – 3)2 = x2 – 2 . x . 3 + 32 = x2 – 6x + 9

b) (3x -1)2 = (3x)2 – 2x . 3x . 1 +12 = 9x2 – 6x + 1

c) (k - √3)2 = k2 – 2 . k . √3 + (√3)2 = k2 - 2k√3 + 3

d) (2x -1/2)2 = (2x)2 – 2. x . 1/2 + (1/2)2 = 4x2 – x + 1/4

 

4.4 O terreno de esquina de um loteamento possui uma área de x2. Agora, será feita a calçada com 2 m de largura em todas as ruas do loteamento, sem alterar a medida da largura atual das ruas. Qual será a nova área do terreno?

Resolução:

A área do terreno inicial era de x2. Como é de esquina, perderei 2m na largura e 2m no comprimento. A nova área será expressa por: (x - 2)2 = x2 – 2.(x) . (2) + 22 = x2 -4x + 4

 

4.5 Elabore um situação problema que utilize o quadrado da diferença de dois termos. Resolva-a, troque-a com seu colega e, juntos, discutam sobre a resposta.

Resolução:

Espera-se que o estudante elabore uma situação problema que utilize um quadrado, e que o lado do quadrado, por algum motivo, seja diminuído (à mesma medida) no comprimento e na largura. É importante que você, professor, valide os problemas, faça intervenções necessárias e escolha alguns para serem compartilhados com a turma.

ATIVIDADE 5 – PRODUTOS NOTÁVEIS: PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

5.1 Você com certeza já de deparou com situações em que usou algumas estratégias, essas o ajudaram a solucionar o problema enfrentado. O mesmo aconteceu com um amigo meu ao participar de um desafio de rapidez em cálculo de áreas. O desafio proposto fio: “Quanto é 252 – 152?

Meu amigo resolveu-o tranquilamente. Como você resolveria esse desafio? Registre a resposta em seu caderno.

Resolução:

Sabemos que 252 é a área de um quadrado de lado 25 e 152 é a área de um quadrado de lado 15. Como queremos 252 – 152, vamos fazer um quadrado de lado 25 unidades e dele retirar um quadrado de lado 15 unidade.

(25 – 15) . (25 – 15) = 10 . 40 = 400

 

5.2 Vamos resolver esse desafio geometricamente. Forme grupos para que, juntos passam organizar uam estratégia e resolver esse problema.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Para essa atividade, organize os estudantes em duplas, pois deverão resolver geometricamente o desafio anterior. Serão necessárias uma malha quadriculada, tesoura e cola. Oriente-os a seguir as instruções no material do aluno. Oriente também que, com as figuras obtidas, formem um retângulo cujas medidas dos lados sejam (25 + 15) e (25 -15), registrando como calcular a área desse retângulo.

Segue um passo a passo da atividade. No fim, o aluno terá que observar que a área do novo quadrilátero é o produto da soma pela diferença das medidas dos lados dos dois quadrados.

 

5.3 Agora, vamos subtrair as áreas abaixo utilizando o produto da soma pela diferença dos lados dos dois quadrados.

a) 172 – 132 = (17 + 13)(17 – 13) = 30 . 4 = 120

b) 192 – 62 = (19 + 6)(19 – 6) = 25 . 13 = 325

c) 6502 – 2502 = (650 + 250)(650 - 250) = 900 . 400 = 360 000

 

5.4 Seguindo os mesmos procedimentos od item anterior, considere um quadrado de lado x e outro quadrado de lado y, com x > y e y > 0, encontre a diferença entre as áreas desses dois quadrados e explique como você resolveu a equação.

Resolução:

Após as resoluções, escolha alguns alunos para compartilharem suas soluções com a turma e faça as intervenções necessárias.

𝑥2−𝑦2=(𝑥+𝑦)(𝑥𝑦).

 

5.5 Se a2 – b= (a + b) (a – b), então (a + b)(a – b) = a2 – b2. Escreva o produto da soma pela diferença de dois termos.

Resposta:

“O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.

 

5.6 Tenho um terreno quadrado de lado 10m e desejo gramá-lo, deixando a área indicada em branco para plantar flores. Quantos metros de grama eu preciso comprar para gramear a área colorida azul?

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O quadrado de maior lado (10 m) está vazado por um quadrado menor, cujo lado é  10 − 3 – 3 = 4 𝑚. A área procurada é a área do quadrado grande menos a área do quadrado menor:

 102 − 42 = (10 + 4) . (10 − 4) = 14 . 6 = 84 𝑚2

 

5.7 De um quadrado de “lado misterioso”, foi retirado um quadradinho de lado 5 cm. Sabendo que a região que sobrou (no quadrado maior) foi de 119 𝑐𝑚2, você pode dizer quanto vale o “lado misterioso”?

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Considerando o “lado misterioso“ como x, temos sua área representada por 𝑥2. Desta área foram retirados 25 𝑐𝑚2 (área do quadradinho de lado 5cm), ficando

119 𝑐𝑚2.

𝑥2 − 25 = 119

𝑥2 = 119 + 25

𝑥2 = 144,       

𝑥 = 12 𝑐𝑚 

 

5.8 Elabore uma situação problema que utilize a diferença entre quadrados. Resolva-a, troque-a com seu(sua) colega e discutam a resposta: 

Resolução:

Espera-se que o estudante elabore uma situação problema utilizando um quadrado, e dele retire um quadrado menor. Professor, após as resoluções, escolha alguns alunos para compartilhar seus resultados com a turma e faça as intervenções necessárias.

ATIVIDADE 6 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2º GRAU POR MEIO DE FATORAÇÕES

6.1 Junto com seu colega, preencha a tabela com a forma fatorada da equação e as raízes. Não se esqueçam de validar suas respostas. Ao final da atividade, as soluções devem ser expostas para a classe.

Resposta:

Os estudantes poderão confeccionar o algeplan e, então, utilizá-lo na resolução geométrica. Algumas duplas devem resolver e expor suas soluções, e intervenções devem ser feitas.

 

Equação

Forma fatorada

Raízes

a

x2 – 10x = 25 = 0

(x – 5)2 = 0

8

b

k2 – 25 = 0

(k + 5) (k – 5) = 0

-5 e  5

c

m2 + 2m + 1 = 0

(m + 1)2 = 0

-1

d

2x2 + 8x + 8 -0

2(x + 2)2 = 0

-2

e

81 + 18z + z2 = 0

(9 + x)2 = 0

-9

 

6.2 Encontre as raízes das equações a seguir:

a) 𝑥2 + 3𝑥 = 0

Resolução

a𝑥 (𝑥 + 3) = 0, 𝑙 𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 0 𝑜𝑢        𝑥 + 3 = 0, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = −3        S = {0, −3}

b) 𝑥3 − 20𝑥2 + 100𝑥 = 0

Resolução:

Observe que o grau da equação, que pode ter até 3 raízes, pontue também quando a equação tem raiz dupla. 

𝑥(𝑥2 − 20𝑥 + 100) = 0 , já temos uma resposta 𝑥 = 0.

(𝑥2 − 20𝑥 + 100) = 0→ (𝑥 − 10)2 = 0 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 − 10 = 0 ,  onde as duas raízes são iguais a 10, logo S= {0, 10).

ATIVIDADE 7 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2º GRAU: COMPLETANDO QUADRADOS

7.1 Represente geometricamente as equações a seguir, completando os quadrados. Em seguida, resolva-as algebricamente.

Resolução:

Para representar geometricamente, o estudante precisará descobrir o que é preciso acrescentar a cada um dos trinômios abaixo para que ele possa ser fatorado como o quadrado de uma soma de dois termos, ou o quadrado da diferença de dois termos. Após essa fatoração, deve encontrar as raízes das equações dadas.

a) 𝑥2+ 6𝑥 + 8 = 0

Resolução:

Veja que falta um quadradinho para completar o quadrado, então temos de somar 1 a ambos os termos da igualdade:

x2 + 6x + 8 + 1 = 0 + 1

x2 + 6x + 9 = 1

(x + 3)2 = 1

x +  ± 1

x = -1 ou x = - 4

b) 𝑥2+ 2x - 3 = 0

Resolução:

Considerando o quadrado a ser completado, vemos que falta 1 quadradinho. Como há a indicação de 3 na equação, será preciso somar 4 a ambos os termos da igualdade:

x2 + 2x – 3 + 4 = 0 + 4

x2 + 2x + 1 = 4

(x + 1)2 = 4

x + 1 = ± 2

x = 1 ou x = -3

c) x2 + 2x – 8 = 0

Resolução:

Observação: Considerando o quadrado a ser completado, vemos que falta 1 quadradinho. Como há indicação de -8 na equação, será preciso somar 9 a ambos os termos da igualdade:

x2 + 2x – 8 = 0

x2 + 2x -8 + 9 = 0 + 9

x2 + 2x + 1 = 9

(x + 1)2 = 9

x + 1 = ± 3

x = 2 ou x = -4

d) x2 - 4x +3 = 0

Resolução:

Observação: Veja que falta um quadradinho para completar o quadrado, então temos de somar 1 a ambps os termos da igualdade.

x2 - 4x + 3 = 0

x2 - 4x + 3 + 1 = 0 + 1

x2  - 4x + 4 = 1

(x  - 2)2 = 1

x - 2 = ± 1

x = 3 ou x = 1

 

7.2 Elabore, resolva e troque com seu colega uma situação problema  que envolva uma quação polinominla do segundo grau.

Resolução:

Compartilhe as produções escolhendo alguns problemas para serem lidos e comentados.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

ATIVIDADE 1 – FUNÇÃO: NOÇÃO E LEI DE FORMAÇÃO

1.1 Em uma reportagem sobre produção de celulares, foi divulgado que uma certa fábrica produz um celular a cada 15 segundos. A quantidade de celulares produzidos por dia está registrada na tabela a seguir, conforme as horas trabalhadas.

Quantidade de celulares produzidos em relação às horas trabalhadas

Tempo em horas

1

2

3

4

5

9

Quantidade produzida

240

480

720

960

1200

1440

Analisando os valores, escreva uma sentença matemática que represente essa situação. Escreva o passo a passo da sua resolução. Para iniciar esta atividade, pense na lei de formação. 

Observe que a quantidade produzida (Q) está em função do tempo (t), e esta correspondência pode ser representada por 𝑸 = 𝟐𝟒𝟎𝒕 , considerada a Lei de Formação da Função, que também pode ser representada por f(t) = 240.t

a) Com esta lei, é possível calcular a quantidade de celulares produzidos em 12 horas?

Resolução:

f(12) = 240.12 = 2 880

b) Com essa mesma lei de formação, é possível calcular a quantidade de celulares produzidos para qualquer número de horas? Explique como isso é (ou não é) possível.

Resolução:

Sim, é possível, uma vez que a lei de formação 𝑸 = 𝟐𝟒𝟎𝒕, é uma relação de dependência em que a quantidade de celulares produzidos está relacionada ao número de horas.

 

1.2 Dada a lei de formação de uma função f (x) = x – 2, encontre  f (0); f (-1) e f (5).

Resolução:

f ( 0 ) = 0 – 2 , portanto f(0) = -2.

f(-1) = -1 – 2 , portanto f(-1) = -3.

f(5) = 5 – 2, portanto f(5) = 3.                 

 

1.3 O número de diagonais de um polígono depende da quantidade de lados que ele possui. Pensando nisso, encontre a lei de formação para calcular a quantidade de diagonais de qualquer polígono.

Resolução:

Para encontrar essa lei de formação, a discussão inicialmente deve considerar os vértices do polígono: de cada vértice saem três diagonais. Para obter todas as diagonais, unimos dois vértices não consecutivos. Outro ponto de atenção deve ser quando traçamos as diagonais ̅𝐴𝐶̅̅̅  e  ̅𝐶𝐴̅̅̅. São as mesmas, portanto, não podemos contar duas diagonais, apenas uma, o que na lei de formação indicamos com (-3).

https://pt-static.z-dn.net/files/d3b/f6c31da66fee7b2a565782b8aba3e93d.jpg

a) Encontre o número de diagonais de um polígono de 8 lados.

Resolução:

D(8) = n(n -3)/2

D(8) = 8(8 -3)/2

D(8) = 8 (5)/2

D(8) = 20

b) Encontre o polígono que possui 35 diagonais.

Resolução:

D = n(n -3)/2

35 = n2 – 3n/2

n2 – 3n – 70 = 0

(n – 1,5)2 = 72,25

(n – 1,5) = ± 8,5

n – 1,5 = 8,5

n = 10 lados

n – 1,5 = 8,5 (não convém)

Logo o polígono que possui 35 diagonais é o decágono (10 lados).

ATIVIDADE 2 -  REPRESENTÇÃO GRÁFICA DE UAM FUNÇÃO

É importante que os estudantes identifiquem e analisem os gráficos das funções. Inicialmente, essa exploração pode ser realizada observando os gráficos e as diferenças entre eles, identificando algumas coordenadas e avançando para a lei de formação associada ao gráfico.

 

2.1 Os gráficos a seguir, de 1 a 4, são gráficos de funções, pois relacionam duas grandezas: x e y ou f(x), onde y depende x e, para cada valor da grandeza x, encontramos um único valor da grandeza y.

Gráficos

 

Organizem-se em dupla, analisem e descubram quais funções estão relacionadas a cada gráfico. Comente as características de cada uma.

Resolução:

Para essa atividade, os estudantes devem encontrar as leis das funções relacionadas a cada gráfico.

Organize-se em dupla, analisem e descubram quais funções estão relacionadas a cada gráfico. Comente as características de cada uma.

Resolução:

Os gráficos representados acima, de 1 a 4, são funções, pois relacionam duas grandezas (x e y ou f(x), onde y depende x e, para cada valor da grandeza x, encontramos um único valor na grandeza y.

No eixo x, das abscissas (eixo horizontal), colocamos a variável independente, e no eixo y, das ordenadas (eixo vertical), a variável que depende da variável independente.

Gráfico 1: o gráfico 1 está associado à função do 1º grau, f(x) = ax + b é uama reta crescente. Os pontos A(-3, 0) e B(0, 3), pertencem à reta.

a.(0) + b = 3

-3ª + b =0

0 = -3a + b

3 = a . 0 + b, assim temos

b = 3

a = 1

Portanto a função será f(x) = x + 3

Gráfico 2: O gráfico associado à função de 1º grau, f(x) = ax + b é uma reta decrescente.

Localizando algumas coordenadas, temos: (0, 0); (1, -1); (2, -2); (3, -3); e assim por diante. Logo temos que a adcissa e a ordenada são iguais e opostas, ou seja f(x) = -x, que é a função.

Gráfico 3: Esse gráfico está associado à uma função do 2º grau, pois é uma parábola. O vértice dessa parábola é o ponto (0, 0). Se observarmos algumas coordenadas, temos: (0,0), (-1, 1), (1,1), (2, 4).  O  valor da ordenada é igual ao quadrado do valor da abscissa. Assim, podemos relacioná-lo à função  f(x) =  x².

Gráfico 4: Observando algumas de suas coordenadas, temos (-1, 3); (0,3); (1, 3); 

Gráfico 4: Observando algumas de suas coordenadas, temos (-1, 3); (0, 3); (1,3); (2, 3), e assim por diante. Observando que a ordenada assume sempre o valor 3. Ou seja, esse valor é constante para qualquer valor de x. logo, para o gráfico 4, a lei de formação será: f(x) = 3.

 

2.1 Os gráficos a seguir, de 1 a 4, são gráficos de funções, pois relacionam duas grandezas: x e y ou f(x), onde y depende x e, para cada valor da grandeza x, encontramos um único valor da grandeza y.

Organizem-se em dupla, analisem e descubram quais funções estão relacionadas a cada gráfico. Comente as características de cada uma.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Para essa atividade, os estudantes devem encontrar as leis das funções relacionadas a cada gráfico.

Os gráficos representados acima, de 1 a 4, são funções, pois relacionam duas grandezas (x e y ou f(x)), onde y depende x e, para cada valor da grandeza x, encontramos um único valor na grandeza y.

No eixo x, eixo das abscissas (eixo horizontal), colocamos a variável independente, e no eixo y, eixo das ordenadas (eixo vertical), a variável que depende da variável independente.

Gráfico 1: O gráfico 1 está associado à função do 1° grauf(x) = ax +b é uma reta crescente. Os pontos A (-3, 0)

B (0, 3), pertencem à reta.

Substituindo o ponto em f(x) = ax + b, e construindo o sistema a seguir:

{𝑎.(0) + 𝑏 = 3 − 3𝑎 + 𝑏 =0

0 = -3a + b e 3 = a0 + b, assim temos

b = 3

a = 1, logo, a função f(x) =  x + 3.

Gráfico 2: O gráfico associado à função do 1° grauf(x) = ax + b é uma reta decrescente.

Localizando algumas coordenadas, temos: (0, 0)(1,-1)(2, -2)(3, -3)(-2, 2)(-3, 3) e assim por diante. Logo temos que a abscissa e a ordenada são iguais e opostas, ou seja f(x) = -x, que é a função.

Gráfico 3: Esse gráfico está associado à uma função do 2º grau, pois é uma parábola. O vértice dessa parábola é o ponto (0, 0). Se observarmos algumas coordenadas, temos: (0,0)(-1, 1)(1,1)(2, 4). O valor da ordenada é igual ao quadrado do valor da abscissa. Assim, podemos relacioná-lo à função f(x) = x².

Gráfico 4: Observando algumas de suas coordenadas, temos (-1, 3)(0,3)(1, 3);

(2, 3), e assim por diante. Observem que a ordenada assume sempre o valor 3. Ou seja, esse valor é constante para qualquer valor de x. Logo, para o gráfico 4, a lei de formação será f(x) = 3.

 

2.2 Em duplas, analisem a tabela de preços a seguir. Elaborem e resolvam as questões que possam ser respondidas com os dados fornecidos. Explorem o gráfico ou a lei de formação. Depois, troquem-as com outra dupla para discutir suas respostas.

Resolução:

Após a elaboração em duplas das questões e das resoluções, escolha algumas duplas para compartilhar com a turma suas produções. Espera-se que os estudantes reconheçam que o valor a ser pago varia de acordo com o número de alunos, a função f (x) = 2x, com x representando o número de alunos, e f (x) como o valor a ser pago pela escola.

Tabela de preços

Número de alunos

1

10

20

30

40

Valor a ser pago

R$2,00

R$20,00

R$40,00

R$60,00

R$80,00

ATIVIDADE 3 – OLHANDO AS FUNÇÕES EM DIFERENTES PERSPECTIVAS

3.1 Qual é a função que nos fornece o perímetro do quadrado? Construa o gráfico dessa função e analise-o.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O perímetro do quadrado é dado por f (x) = 4x, onde x é a medida do lado.

O gráfico dessa função é uma reta, com x > 0, uma vez que x corresponde à medida do lado. O gráfico dessa função é uma linha contínua, pois as medidas dos lados são números reais.

 

3.2 Dadas as funções, construa uma tabela, atribuindo valores para a variável x. Em seguida construa o gráfico de cada função.

a) f(x) = 3x

Resolução:

x

-3

-2

-1

0

1

2

f(x)

-9

-6

-3

0

3

6

b) f(x) = x + 3

Resolução:

x

-3

-2

-1

0

1

2

f(x)

0

1

2

3

4

5

c) f(x) = -x – 2

Resolução:

x

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

0

-1

-2

-3

-4

-5

 

3.3 Sendo f(x) = x + 1/2 a lei de formação da função f, encontre:

a) f (1) + f (3)

Resolução:

f(x) = x + 1/2 = f(1) = 1 + 1/2 = f(1) = 1

f(x) = x + 1/2 = f(3) = 3 + 1/2 = 2

f(1) + f(3) = 1 + 2 = 3

b) f (–1) + f (–3)

Resolução:

f(x) = x + 1/2 = f(-1) = -1 + 1/2 = f(-1) = 0

f(x) = x + 1/2 = f(-3) = -3 + 1/2 = f(-3) = -1

f(1) + f(3) = 0 -1 = -1

 

3.4 Encontre o valor de x , na função f definida por f(x) = x – 3, sabendo que:

a) f(x) = 0

0 = x -3

x = 3

b) f(x) = -3

-3 = x -3

x = 0

c) f(x) = 5

5 = x -3

x = 8

d) f(x) = x – 3

x -3 = x – 3

x = 0

Para o item d, você poderá discutir a igualdade, quando obtemos uma equação como 0x=0, temos uma equação identidade, pois admite infinitas soluções.

 

3.5 Sabendo que f(x) = - x – 2, coloque V ou F nas afirmações abaixo:

a) f(0) = 2 (F)

b) f(-1) = 1 (F)

c) f( 1) = -3 (V)

d) f(2) = 0 (F)

e) f(3) = -5 (V)

f) f(-2) = 0 (V)

ATIVIDADE 4 – NA PRÁTICA

4.1 O lucro de uma empresa de perfumes é dado de acordo com a função

L (n) = 20n – 200, em que L é o lucro e n é o número de perfumes vendidos. Com base nessas informações, responda:

a) Qual é o lucro da empresa se ela vender 100 unidades de perfumes?

Resolução:

L(100) = 20. (100) - 200 = 1 800 reais.

b) Quantos perfumes terão que ser vendidos para obter R$ 5 000,00 de lucro?

Resolução:

5 000 = 20n−200

5 200 = 20𝑛

5 20020 = 𝑛

260 =𝑛  . Portanto, para obter

R$ 5 000,00 de lucro é preciso vender 260 perfumes.

c) Qual é o número mínimo de perfumes que esta empresa precisa vender para começar a obter lucro?

Resolução:

0 = 20n−200

200 = 20𝑛

20020 = 𝑛

10 =𝑛 . Portanto, o número mínimo de perfumes que a empresa precisa vender é 11.

 

4.2 Roberto vende camisetas customizadas e percebeu que, cobrando R$ 20,00 por camiseta, ele consegue vender 300 camisetas mensalmente. A cada R$ 0,50 que ele abaixa do preço da camiseta, ele vende 10 camisetas a mais.

Sabendo que a receita é o valor total recebido pelas vendas, responda as questões a seguir:

a) Complete a tabela com a receita obtida por Roberto em cada caso.

Quantidade vendida

Preço por unidade

Receita

300

R$ 20,00

R$ 6 000,00

310

R$ 19,50

R$ 6 045,00

320

R$ 19,00

R$ 6 080,00

330

R$ 18,50

R$ 6 105,00

340

R$ 18,00

R$ 6 120,00

350

R$ 17,50

R$ 6 125,00

360

R$ 17,00

R$ 6 120,00

370

R$ 16,50

R$ 6 105,00

380

R$ 16,00

R$ 6 080,00

b) O que você observou na receita conforme foi abaixando o preço da camiseta?

Resolução:

Espera-se que os estudantes respondam que a receita vai aumentando até a venda de 350 camisetas. Ao vender uma quantidade maior, a receita começa a diminuir.

c) Qual é o valor a ser cobrado por camiseta para que se obtenha receita máxima?

Resolução:

O valor para obter a receita máxima por camiseta é de R$ 17,50.

d) Determine a lei de formação da função de 2º grau que representa a receita em função do valor diminuído no preço de cada camiseta.

Resolução:

R(x) = (300 + 10x) (20 – 0,5x) = 6 000 – 150x + 300x – 5x² = -5x² + 150x +6 000.

É possível explorar o conceito de máximo e mínimo de função do 2º grau após encontrar a equação.

 

4.3 Represente algebricamente as funções que estão representadas nos gráficos a seguir:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

a) f(x) = x - 1

b) f(x) = - x + 1

c) f(x) = - x2

d) f(x) = 0,5x

 

4.4 Analise o gráfico a seguir, elabore uma questão que possa ser respondida com base nos dados fornecidos e resolva.

Resolução:

Após a elaboração dos problemas, socialize as produções, analisando-as de acordo com o gráfico dado.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

ATIVIDADE 1 – A IMPORTÂNCIA DOS GRÁFICOS

A comunicação pode acontecer de várias formas. Uma delas é a comunicação visual, que está muito presente no nosso cotidiano. Observe as placas a seguir e assinale a que chamou mais a sua atenção. Por que você as escolheu?

 

1.1 Analise as duas formas propostas para divulgação do percentual de rendimento das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Tabela 1 - Percentual de rendimento, bimestre a bimestre, das turmas de 9º ano do EF da escola.

Turmas

1º Bimestre

2º Bimestre

3º Bimestre

4º Bimestre

9º ano W

70%

60%

70%

50%

9º ano X

40%

40%

30%

50%

9º ano Y

10%

15%

20%

30%

9º ano Z

60%

70%

90%

60%

Gráfico 1 - Rendimento anual médio das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental da escola. Rendimento médio dos 9º anos do EF

Observação: Gráfico no Caderno doa Aluno Volume 2 de 2020

Qual das duas formas de divulgação de resultados lhe chamou mais atenção? Por quê?

Resolução:

Resposta pessoal. Escolha alguns alunos para comentarem suas escolhas. 

 

1.2 A partir dos dados apresentados, responda as questões abaixo:

a) O que significam os percentuais apresentados na Tabela 1 e no Gráfico 1?

Resolução:

Os percentuais representam o rendimento médio das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental.

b) Qual das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental obteve o melhor rendimento médio anual?

Resolução:

A turma que apresentou o melhor rendimento médio anual foi o 9º ano “Z” do Ensino Fundamental.

c) Você utilizou a Tabela 1 ou o Gráfico

Resolução:

1 para responder o item b desta atividade? Justifique.   A descrição da resposta será pessoal. 

ATIVIDADE 2 – PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS E SUAS CARACTERÍSTICAS

Existem diversos tipos de gráficos, cada um com sua finalidade. Possivelmente, você já se deparou com alguns.

Os gráficos são representações visuais de dados ou valores numéricos, e trazem uma dimensão estatística de um determinado fato.

 

2.1 Assista ao vídeo “Cada gráfico no seu galho”, do site da Matemática Multimídia da UNICAMP, acessando o QR Code ou o link, e discuta, em grupo, qual seria o tipo de gráfico mais adequado para representar cada situação a seguir: O link do vídeo está no Caderno do Aluno:

https://www.youtube.com/watch?v=cN1l2te79Ck&feature=youtu.be

a) A evolução escolar de um aluno, ou seja, analisar suas médias em um período.

Resolução:

Espera-se que os estudantes escolham o gráfico de linhas, por favorecer a análise de dados ao longo de um período.

b) A preferência de seus colegas entre as disciplinas escolares “Matemática” e “Ciências”.

Resolução:

Espero que o tipo e gráfico escolhido seja o             de setores, por representar qualitativamente os dados e discernir bem quando são poucos dados.

ATIVIDADE 3 – OS DIFERENTES TIPOS DE GRÁFICOS

3.1 Com base na análise dos gráficos, o que você escreveria a respeito do resultado da pesquisa? Qual gráfico você escolheria para divulgar essa pesquisa? Por quê?

Resolução:

Professor, os gráficos estão apresentados no material do aluno. As informações a seguir servirão para direcionar a atividade. As respostas devem ser acompanhadas a partir da leitura dos gráficos e, então, compartilhadas. Se for necessário, atue em pontos equivocados por parte dos estudantes na leitura e interpretação de cada gráfico.

O gráfico de coluna empilhada apresenta o somatório dos dados e separa os valores usando cores diferentes.

O gráfico de coluna agrupada apresenta o somatório dos dados e separa os valores também usando cores diferentes.

O gráfico de barras empilhadas apresenta o somatório dos dados e separa os valores usando cores diferentes.

O gráfico de barras agrupadas apresenta o somatório dos dados e separa os valores usando cores diferentes.

ATIVIDADE 4 – GRÁFICO DE SETORES OU GRÁFICO CIRCULAR

Os gráficos a serem analisados são apresentados no Material do Aluno. O gráfico de setores ou gráfico circular também é conhecido como gráfico de pizza por suas aparências serem similares. Por ser esteticamente agradável ao nosso sentido visual, são muito utilizados pela mídia. É conveniente quando o número de setores for pequeno (poucas “fatias”), para que haja boa percepção e distinção dos dados representados.

Torna-se importante tomar cuidado com valores muito próximos, pois dificultariam sua distinção visual. Este gráfico pode apresentar valores em porcentagem e, por ser circular, para sua construção, deve-se considerar os graus do setor circular (100% equivale a 360º, ou seja, para cada 1%, o ângulo do setor circular deverá ser de 3,6º).

 

4.1 Analise os gráficos a seguir e escreva uma notícia para divulgar o resultado da pesquisa.

Resolução:

Nessa atividade, os estudantes deverão analisar os gráficos e redigir uma notícia para divulgar os seus resultados. Isso envolve a leitura e a interpretação dos dados apresentados.

Ao compartilhar a produção dos estudantes, observe se há notícias que, a partir do mesmo gráfico, apresentam interpretação contraditória. Caso aconteça, discuta com a turma em relação à interpretação e como a divulgação pode ser influenciada por quem as publica, de acordo com os interesses do momento.

ATIVIDADE 5 – GRÁFICO DE LINHA

Conversa inicial: O gráfico de linha também é comumente utilizado pela mídia e pelos institutos de pesquisas por possibilitar análises de alterações ao longo do tempo, facilitando a percepção de tendências ou anomalias.

Esse tipo de gráfico possui segmentos de linhas retas, geralmente conectados por pontos de dados chamados de “marcadores”. Seu eixo horizontal (x) apresenta as categorias, enquanto os resultados ou dados obtidos são apresentadas no eixo (y).

 

5.1 Quais informações são possíveis listar a partir da análise do gráfico de linhas a seguir?

Resolução:

Uma possível análise: Ao observarmos a média dos rendimentos das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental por bimestre através de um gráfico de linhas, podemos perceber que o 9º ano W apresenta uma queda em seu rendimento ao longo do ano, tendo apenas um momento de melhora, o 3º bimestre. Outro fato perceptível é o avanço do rendimento do 9º ano Y, que vem melhorando bimestre a bimestre; dentre outras análises que podem ser feitas.

 

5.2 Robson pretende comprar uma empresa gráfica e, durante sua pesquisa de mercado, ficou em dúvida entre três opções. Para tomar sua decisão, ele queria investigar o rendimento anual de cada empresa. Para isso, construiu a tabela abaixo com os rendimentos de cada uma nos últimos quatro anos; construa o gráfico mais apropriado para essa situação. Justifique sua escolha.

Após a escolha do tipo de gráfico, analise os resultados e indique em que empresa Robson deveria comprar.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

A empresa que Robson deveria comprar é a Empresa 1, pois ao longo dos anos analisados, apontam um crescimento contínuo quanto ao rendimento anual.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

ATIVIDADE 1 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Conversa inicial: Inicie uma conversa sobre tendência, entendida como uma disposição a seguir um determinado sentido e, por isso, pode auxiliar na previsão de eventos. Os estilistas, por exemplo, utilizam as tendências mundiais de cada estação do ano para projetar seus modelos de roupas.

As medidas de tendência central são importantes para avaliar o comportamento de certos conjuntos de dados. A utilização de tais medidas pode simplificar a representação de grandes conjuntos de dados e facilitar sua análise. Dentre as medidas de tendência central, as mais comuns são: média, mediana e moda.

 

1.1 Em nosso cotidiano, é comum ouvirmos falar em média. Essa medida de tendência central é muito comum no dia a dia. Por exemplo, a expectativa média de vida é obtida por meio da média aritmética dos anos vividos pelos indivíduos de uma certa região ou família.

Uma empresa divulga a notícia de que a expectativa de vida média da população brasileira é de 80 anos para mulheres e 73 anos para homens. Os dados das idades de uma família constam na tabela a seguir.

Tabela 6 - Pesquisa da longevidade

Familiar Materno

Familiar Paterno

Familiar

Viveu em anos

Familiar

Viveu em anos

Familiar

Viveu em anos

Familiar

Viveu em anos

Bisavô

83

Bisavô

89

Bisavô

66

Bisavô

64

Avô

89

Av

99

Avô

66

Avô

89

Faça uma análise da média da expectativa de vida dessa família. A expectativa média desses familiares está dentro da expectativa média dos brasileiros? Compare a expectativa média dos familiares maternos e paternos.

Resolução:

A expectativa média de vida das mulheres da parte materna dessa família é de 94 anos, bem acima da expectativa média de vida das mulheres brasileiras, que é de 80 anos. A expectativa de vida dos homens da parte materna dessa família é de 86 anos, também acima da média nacional de 73 anos.

A expectativa média de vida das mulheres da parte paterna dessa família é de 76 anos, abaixo da expectativa média de vida das mulheres brasileiras, que é de 80 anos. A expectativa de vida dos homens da parte paterna dessa família é de 66 anos, também abaixo da média nacional de 73 anos.

A média da expectativa de vida dessa família (tanto da parte materna, quanto da parte paterna) está acima da média brasileira, pois para os homens está em 76 anos (3 anos acima da média nacional), e para as mulheres está em 85 anos (5 anos acima da média nacional).

 

1.2 A medida de tendência central “moda” apresenta os valores que ocorrem com maior frequência em uma distribuição. Organize uma pesquisa sobre o mês de aniversário de cada estudante de sua classe e organize os dados em uma tabela. Determine a moda dos valores obtidos.

Resolução:

Para determinar a moda, os estudantes deverão observar o(s) mês(es) que possui(em) maior frequência. Pode ocorrer o caso bimodal, ou seja, dois valores (meses) que mais aparecem, ou multimodal, quando vários valores são os que mais aparecem.

 

1.3 Mediana é a medida de tendência central que determina exatamente o valor central de um conjunto de dados. Para isso, é necessário organizá-los em ordem crescente. Quando o número de dados dispostos em ordem crescente é ímpar, o termo central é a mediana. Quando se trata de um número par de dados, a mediana é obtida através da média aritmética dos dois valores centrais.

Considerando essa informação, resolva a seguinte situação:

As rodas dos veículos são medidas em polegadas: os aros 13” possuem 13 polegadas de diâmetro; os aros 14” possuem 14 polegadas de diâmetro, e assim por diante.

Num determinado dia, uma loja de rodas personalizadas vendeu os seguintes conjuntos de rodas:

Aro em polegadas

12”

13”

14”

15”

16”

17”

24”

32”

Conjuntos de rodas vendidas

10

8

7

0

3

4

3

1

Uma segunda loja de rodas personalizadas foi inaugurada. Para distribuir o estoque, o dono adotou o seguinte critério: considerando os dados da tabela, a divisão do estoque deve garantir que cada loja venda tamanhos de aros diferentes e sequencial. Além disso, a quantidade de vendas em conjunto de rodas deve ser o mesmo para as duas lojas. Como você organizaria essa distribuição, garantindo as condições de vendas para as duas lojas?

Resolução:

A         média aritmética       dos      valores contidos         na        tabela é aproximadamente 15. Porém, esse dado não é útil, pois se utilizarmos o 15 como base de separação entre as lojas, uma das lojas irá vender 25 conjuntos de rodas, enquanto a outra apenas 11. A moda também não auxiliaria neste caso, pois a moda é 12” e, se em uma loja ficarem apenas rodas de aros 12”, esta venderia 10 conjuntos de rodas, enquanto a outra, vendendo os demais tamanhos, teria uma venda de 26 conjuntos de rodas. A medida de tendência central mais apropriada para esse caso seria a mediana. Como há um número par de dados (36), a mediana seria dada pela média aritmética dos dois valores centrais (13” e 14”), ou seja: 13,5”. Isso implica que em uma loja seriam vendidas rodas de aros 12” e 13” (18 conjuntos de rodas vendidos, segundo a tabela de vendas do dia), enquanto na outra seriam vendidas as rodas de aros 14”, 15”, 16”, 17”, 24” e 32” (também 18 conjuntos de rodas vendidos).

ATIVIDADE 2 – ANÁLISE DOS GRÁFICOS

Conversa inicial: A leitura e a interpretação de dados expressos em gráficos auxiliam na tomada de decisões a partir de uma análise. Por outro lado, dependendo da situação dada, também é importante saber optar pelo tipo de gráfico mais adequado para a divulgação de uma informação. Essa discussão deve ser considerada e, então, a resolução da atividade deve ser proposta.

 

2.1 Lindomar, após aplicar as avaliações bimestrais na turma em que leciona, colocou os dados na tabela a seguir:

Qual é o gráfico mais adequado para representar esses dados? Justifique sua resposta.

Resolução:

O gráfico mais apropriado para esses dados é o gráfico de colunas, pois favorece a leitura das notas mais altas, mais baixas, bem como as mais comuns.

Encontre a média, a moda e a mediana das notas dos estudantes. Faça uma análise desses resultados, registrando suas conclusões.

Resolução:

A média aritmética das notas da turma é 6,0 e apenas o aluno Alberto está na média. Acima da média há 8 alunos e, abaixo dela, 6 alunos. A moda desses dados é a nota 7,0. A mediana dessas notas é 7,0, portanto essa é uma turma que possui mais notas acima de 5,0 (ou, no caso, acima de 7,0).

 

2.2 Analisando os gastos familiares, Davi organizou as finanças em uma tabela, considerando apenas as compras no cartão de crédito e no cartão de débito durante o primeiro trimestre.

Tabela 9 - Organização dos gastos com cartão

 

Janeiro

Fevereiro

Março

Cartão de crédito

R$ 1 200,00

R$ 9800

R$ 450,00

Cartão de débito

R$ 380,00

R$ 660,00

R$ 800,00

Qual é o gráfico mais apropriado para analisar os gastos ao longo do tempo? Justifique.

Faça uma análise desses resultados, registrando suas conclusões.

Resolução: 

O gráfico mais apropriado é o gráfico de linhas, pois permite a análise dos gastos ao longo do tempo, além de apontar uma tendência de gastos.

Encontre a média, a moda e a mediana dos gastos com cartão. Faça uma análise desses resultados, registrando suas conclusões.

Resolução:

A média aritmética dos gastos no cartão de crédito é R$ 876,67, enquanto a média para os gastos no débito é de R$ 613,33.

A média com gastos é de R$ 1 490,00.

Moda: Não há, pois nenhum dado se repete. Esse é um espaço amostral amodal.

Mediana do cartão de crédito: R$ 980,00

Mediana do cartão de débito: R$ 660,00

ATIVIDADE 3 – NA PRÁTICA

3.1 Foi feita uma pesquisa com 25 pessoas de uma empresa sobre a higiene bucal. As pessoas responderam com que frequência escovavam os dentes diariamente. As respostas foram as seguintes:

3

3

2

5

4

1

3

2

5

3

3

4

2

2

2

2

3

3

5

4

2

1

3

3

4

Determine a média, moda e mediana dos dados obtidos na pesquisa.

Resolução:

Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 = 2,96

Moda = Valor que mais vezes aparece = 3, aparecendo 9 vezes.

Mediana = Colocando os valores em ordem, 1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5, a mediana será o 13º termo, 3.

 

3.2 A média de idade dos 10 jogadores de um time de basquete é de 25 anos. Porém, dois desses jogadores, um com 20 e outro com 22 anos, foram transferidos para outro time por se destacarem em seus jogos. Qual é a média de idade do restante do time?

Resolução:

Como a média de idade dos 10 jogadores é 25, temos que a soma da idade dos jogadores é 250. Como saíram dois jogadores, a soma de idade passa a ser

250 – 20 – 22 = 208, porém, agora temos 2 jogadores a menos, totalizando 8 jogadores. A nova média será 208/8/=/26 anos.

 

3.3 Os estudantes do 9º ano fizeram uma pesquisa na escola para descobrir as preferências dos colegas em relação à escolha de possíveis profissões. Nesta pesquisa foram consultados um total de 500 estudantes, conforme a tabela a seguir:

Profissão

Quantidade de Entrevistados

Médico(a)

100

Engenheiro(a)

70

Professor(a)

50

Contador(a)

50

Programador(a)

40

Enfermeiro(a)

80

Não souberam responder

110

Total

500

Em seguida, escolha e construa um gráfico para divulgar os resultados, justificando sua escolha.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O estudante poderá optar por responder a questão por meio do gráfico de setores, destacando o percentual de resposta dos entrevistados, ou poderá optar por um gráfico de colunas ou de barras, informando o resultado da pesquisa.

 

3.4 Uma rede de supermercados, com objetivo de realizar uma campanha promocional de seus produtos, fez uma pesquisa para saber o horário que seus clientes costumam frequentar o supermercado para realizar suas compras, nesta pesquisa. Foram consultados 3000 clientes:

Horário

Nº de clientes

8h Ⱶ 12h

1500

12h Ⱶ 16h

500

16h Ⱶ 20h

1000

20h Ⱶ 23h

500

Em seguida, escolha e construa um gráfico para divulgar os resultados, justificando sua escolha.

Resolução:

Espera-se que os alunos escolham um gráfico de colunas e que elas estejam juntas, pois a frequência das classes é contínua.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

3.5 O gráfico a seguir mostra uma pesquisa feita com alunos do 9º ano de uma escola do estado de São Paulo sobre a quantidade de irmãos(as).

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

Com base nos dados observados no gráfico, determine a média, moda e mediana da quantidade de irmãos(as) dos alunos dessa turma.

Resolução:

Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

 12 . 0 + 15 . 1 + 5 .2 + 3 . 312 + 15 + 5 + 3 = 3435  0,97

É importante que o professor discuta o conceito de média ponderada com os alunos.

Mediana = Colocando os valores em ordem, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, a mediana será o 18º termo, 1.

Moda = Valor que mais vezes aparece = 1, aparecendo 15 vezes.

 

3.6 O gráfico a seguir mostra a média de Matemática de 3 turmas de 9º ano de uma escola de São Paulo durante o ano.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Com base nas informações dos gráficos, determine:

a) Qual é a média anual de cada turma?

Resolução:

Turma A Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

7 + 8 + 6 + 9/4 = 30/4 =7,5

Turma B Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠  𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

6 + 6 + 5 + 8/4 = 25/4 = 6,25

Turma C Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

8 + 8 + 7 + 9,5/4 = 31,54  7,9

b) Qual é a média de cada bimestre das turmas juntas?

Resolução:

1º Bimestre Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

6 + 7 + 8/3 = 21/3 = 7

2º Bimestre Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

6  + 8 + 8/3 = 22/3  7,3

3º Bimestre Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

5 + 6 + 7/3 = 18/3 = 6

4º Bimestre Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

8 + 8,5 + 9/3 = 25,5/3 = 8,5

TESTE SEU CONHECIMENTO

1. (ENEM /2009.1) Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequências.

 

NÚMERO DO ÓBITO

FREQUENCIA

1

4

2

1

4

2

5

2

6

1

A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são, respectivamente:

(A) 3, 2 e 1

(B) 3, 3 e 1

(C) 3, 4 e 2

(D) 5, 4 e 2

(E) 6, 2 e 4

Alternativa: B

 

2. (ENEM/2009.2) Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani

O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.

Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é:

(A) 1,5 x 102 vezes a capacidade do reservatório novo.

(B) 1,5 x 103 vezes a capacidade do reservatório novo.

(C) 1,5 x 106 vezes a capacidade do reservatório novo.

(D) 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatório novo.

(E) 1,5 x 109 vezes a capacidade do reservatório novo.

Alternativa: E

 

3. (ENEM/2009) Nas últimas décadas, desencadeou-se uma discussão quanto ao papel da Amazônia no equilíbrio da biosfera e sobre as consequências que sua devastação poderá trazer para o clima do planeta. No gráfico a seguir, está representada, em quilômetros quadrados, a evolução da área que foi desmatada na floresta amazônica entre 1988 e 2007.

De acordo com os dados, o biênio em que ocorreu o maior desmatamento acumulado foi:

(A) 1988–1989.

(B) 1994–1995.

(C) 1995–1996.

(D) 2003–2004.

(E) 2000–2001.

Alternativa: D

 

4. (SARESP/2013) Qual das figuras a seguir, em relação à área hachurada, representa a expressão algébrica (m+2)²?

Alternativa: A

 

Continua...