9º CADERNO DO ALUNO - VOLUM 4

9º CADERNO DO ALUNO - VOLUM 4

Professor Diminoi

Dica de amigo: 8 plataformas para estudar online e sem sair de casa

Caderno do Aluno Volume 4

(Modificado)

Observação: As questões a seguir são questões do Caderno do Aluno Volume 4 Ano 2020. Portanto, para que você compreenda toas as resoluções o “ideal” é você ter em mãos o Caderno do Aluno Volume 4 Ano 2020.

Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020 é um material da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo”

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

ATIVIDADE 1 – CIRCUNFERÊNCIA E SEUS ELEMENTOS

1.1 Mariana pesquisou os elementos da circunferência e enviou para Carlos:

Raio é um segmento de reta com uma extremidade no centro e outra na circunferência.

Corda é um segmento de reta cujas extremidades são dois pontos quaisquer da circunferência.

Diâmetro é a maior corda que passa pelo centro da circunferência.

Porém, Mariana não fez os desenhos. Utilizando um compasso, trace duas circunferências não concêntricas, uma de raio 3 cm e outra de raio 2 cm, identificando-as por “A” e “B”, respectivamente.

Nenhuma descrição de foto disponível.

a) Com uma régua, trace na circunferência “A” os segmentos de reta citados por Mariana, identificando cada um deles.

CO̅̅̅̅ ∶ 𝑟𝑎𝑖𝑜 DE̅̅̅̅ ∶ diâmetro (maior corda da circunferência) ̅FG̅̅̅: corda

b) Utilizando uma régua, meça na circunferência “A” o diâmetro e o raio. Qual é a relação entre as medidas desses segmentos? Justifique sua resposta.

Ao realizar a medição dos segmentos, temos que a medida do diâmetro é o dobro da medida do raio.

c) Trace na circunferência “B” duas cordas vermelhas que se cruzam em um ponto Em seguida, trace outras duas na cor verde, se cruzando em um ponto R.

d) Meça os segmentos de reta formados pelas cordas da circunferência “B”. É possível estabelecer uma relação entre essas medidas? Se sim, descubra essa relação.

Quando duas cordas se cruzam em um ponto, os segmentos determinados por uma sobre a outra são proporcionais:

Cordas vermelhas: JP̅ . PK̅̅̅̅ = ̅HP̅̅̅ . PI̅

Cordas verdes: NR̅̅̅̅ . RQ̅̅̅̅ = MR ̅̅̅̅̅ . RL̅̅̅̅

Essa igualdade é conhecida como relação entre as cordas.

 

1.2 Calcule a medida x:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

a) 3x = 6. 4 → 3x = 24 → x = 8

b) (2x). x = 9.8 → 2x 2 = 72

x 2 = 72 2

x = ±√36 , logo x = 6 , pois como se trata da medida de um segmento, o valor negativo não convém.

 

1.3 Ao lado de cada circunferência C1, C2 e C3, de raios r1 = 0,8 cm, r2 = 1,2 cm e r3 = 1,5 cm, foi traçado um segmento que representa a medida do contorno de cada circunferência.

(Ver Caderno do Aluno, página 112)

Nenhuma descrição de foto disponível.

a) Divida a medida do comprimento de cada circunferência pela medida do seu diâmetro. Quais foram os resultados? O que podemos afirmar ao compará-los?

𝐶1 = 5,03/1,6 ≅ 3,14

𝐶2 = 7,54/2,4 ≅ 3,14

𝐶3 = 9,43/3,0 ≅ 3,14

Espera-se que os estudantes observem que foram dadas as medidas do raio e para calcular o diâmetro, temos d= 2r. Ainda temos que os valores obtidos são todos aproximadamente 3,14; assim o comprimento da circunferência pode ser obtido pela razão entre o comprimento de uma circunferência e a medida do seu diâmetro. Para esse valor aproximado 3,14, indicamos por 𝜋.

b) Escreva a expressão que permite calcular a medida do comprimento para qualquer circunferência.

Representado C como comprimento da circunferência, r a medida do raio e 𝜋 o valor encontrado entre a razão do comprimento da circunferência e seu diâmetro. 𝜋 = 𝐶/𝑑 , como d = 2r, temos C= 2 𝜋𝑟.

 

1.4 Calcule a medida do comprimento de uma circunferência de 3,5 cm de raio.

C= 2 𝜋𝑟 𝐶 = 2𝜋(3,5) 𝐶 ≅ 21,98 𝑐𝑚.

 

1.5 Uma circunferência mede 62,80 cm de comprimento. Determine a medida de seu raio.

𝐶 = 2𝜋𝑟 62,80 = 2𝜋r

𝑟 = 62,80/2𝜋 𝑟 ≅ 10 𝑐m

 

1.6 O raio da roda de uma bicicleta mede 35 cm. Que distância percorre essa roda ao dar uma volta completa?

𝐶 = 2𝜋𝑟 𝐶 = 2𝜋. (35) 𝐶 ≅ 219,8 𝑐𝜋

 

ATIVIDADE 2 – CIRCUNFERÊNCIA: ARCOS E ÂNGULOS

2.1 Utilizando um compasso, trace uma circunferência de raio qualquer. Marque dois pontos sobre essa circunferência. Esses pontos a dividem em duas partes, denominadas arcos de circunferência. Indique no seu desenho esses arcos de circunferência, pintando-os de cores diferentes.

Nenhuma descrição de foto disponível. 

Essas duas partes são denominadas arcos de circunferência.

 

2.2 Utilizando um transferidor, trace um ângulo de 60° a partir do segmento OA, no sentido anti-horário.

Nenhuma descrição de foto disponível.

a) Qual é a medida do outro ângulo?

A medida do outro ângulo é igual a 300º.

b) Em quantos arcos a circunferência ficou dividida?

A circunferência ficou dividida em dois arcos.

c) Qual é a relação entre esses ângulos?

Os dois ângulos possuem o mesmo vértice que está no centro da circunferência. Observe que cada arco corresponde a um ângulo, denominado ângulo central.

 

ATIVIDADE 3 – CONSTRUÇÃO DE ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA E ÂNGULO CENTRAL

3.1 Utilizando um transferidor e compasso, trace uma circunferência de 3 cm de raio. Divida a

circunferência de forma que cada ângulo central tenha medida igual a 60°. Utilize uma cor diferente para contornar cada arco de circunferência.

Nenhuma descrição de foto disponível.

a) Quantos arcos de circunferência foram obtidos?

Foram obtidos 6 arcos de circunferência.

b) Utilizando uma régua, una os pontos consecutivos determinados sobre a circunferência e verifique qual é a figura formada. Quantos lados ela possui?

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Foi construída uma figura de seis lados que possuem as mesmas medidas. Essa figura é chamada de hexágono regular.

 

3.2 Trace uma circunferência. Divida essa circunferência de forma que cada ângulo central tenha medida igual a 40°. Em seguida, com uma régua una os pontos consecutivos determinados sobre a circunferência. Qual figura foi formada? Quantos lados ela possui? Descreva como você pensou para fazer a divisão da circunferência.

 Nenhuma descrição de foto disponível.

A figura formada tem 9 lados de medidas iguais e chama-se eneágono regular. A descrição de como o estudante pensou, é pessoal. Se possível, compartilhe as construções que foram feitas de formas diferentes.

 

3.3 É possível encontrar o comprimento de um arco de circunferência estabelecendo uma proporção:

A imagem pode conter: texto que diz

Desenhe uma circunferência de 6 cm de raio. Marque nela dois pontos distintos A e B, de forma que determinem um ângulo central de medida igual a 45°.

(Ver Caderno do Aluno, página 113)

a) Quanto(s) arco(s) de circunferência será(ão) obtido(s)?

Foram obtidos 8 arcos de circunferência.

b) Calcule o comprimento do arco menor.

 Nenhuma descrição de foto disponível.

x/2πr = 45°/360°

360°x = 2π(6). 45° 360°x ≅ 1695,6

x ≅ 4,71 u. c.

Lembrando que u.c. corresponde a unidades de comprimento e que é utilizada quando a unidade de medida não está definida.

 

3.4 Fábio construiu uma circunferência de raio 2 cm e marcou a medida de dois ângulos centrais. Ajude-o a completar sua tarefa.

Nenhuma descrição de foto disponível.

a) Qual é a medida do ângulo central que ele não marcou?

A medida do ângulo central que Fábio não marcou é de 120º.

b) Determine o comprimento dessa circunferência.

𝐶 = 2. π. 2 C ≅ 12,56 cm

 

ATIVIDADE 4 – CIRCUNFERÊNCIA E ÂNGULOS INSCRITOS

4.1 Mariana desenhou uma circunferência com centro no ponto O, e marcou um ponto P, pertencente à circunferência, e outros dois pontos R e S, obtendo o ângulo RPS.

(Ver Caderno do Aluno, página 114)

 Nenhuma descrição de foto disponível. 

RPV: ângulo inscrito na circunferência

Agora faça como Mariana, desenhe uma circunferência e um ângulo inscrito na circunferência. Em seguida trace o ângulo central, ligando ao mesmo arco e mostre o que você observou em relação aos ângulos.

Nenhuma descrição de foto disponível.

Sugestão:

Os estudantes, ao construírem os ângulos, devem atentar para que os lados dos ângulos passem pelos pontos do mesmo arco. Ao verificarem as medidas dos ângulos, devem observar que a medida do ângulo inscrito na circunferência é igual à metade da medida do ângulo central correspondente ao mesmo arco.

 

4.2 Com um transferidor, encontre as medidas do ângulo inscrito e do ângulo central. Qual é a relação entre eles?

 Nenhuma descrição de foto disponível.

α = 120° e β = 60º, a relação encontrada é que a medida do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central correspondente ao mesmo arco.

 

4.3 Se o maior arco AB de uma circunferência corresponde a um ângulo central de 200°, qual é a medida do ângulo central correspondente ao menor arco AB desta circunferência?

Como o arco total é de 360º temos que o arco menor é igual a: 360° - 200° = 160°.

 

4.4 Encontre a medida x indicada em cada figura, considerando O o centro desta circunferência

Nenhuma descrição de foto disponível.

a) No item a, x representa o ângulo inscrito na circunferência, que determina o arco BC; dessa relação temos que: a medida de um ângulo inscrito é a metade do arco por ele determinado, assim: 𝑚(𝐵𝐴̂𝐶) = 180° − 110º = 70°, logo x= 70°/2 = 35°.

b) Da mesma relação do item a, temos um ângulo inscrito na circunferência: 𝐵̂ = 25°, logo a medida do arco AC, m(AC) = 50º, portanto x= 130°.

c) Da relação encontrada, que a medida do ângulo inscrito é a metade da medida do ângulo central correspondente ao mesmo arco, temos x = 110/2 = 55° .

 

ATIVIDADE 5 – CÍRCULO

5.1 Com um compasso, trace uma circunferência de 3 cm e pinte seu interior, obtendo um círculo. Compare a circunferência e o círculo. Qual é a relação entre eles? O que diferencia um do outro?

 Nenhuma descrição de foto disponível.

A resposta é uma descrição pessoal. Após os estudantes compartilharem os registros, a ideia principal é que diferenciem circunferência e círculo. Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano, no qual desses pontos estão localizados a uma mesma distância de um ponto dado, chamado centro. O conjunto formado por uma circunferência e sua região interna recebe o nome de círculo.

 

5.2 Para encontrar a área do círculo, Rafaela fez esquemas como os abaixo. Ela traçou quatro circunferências e pintou cada uma, obtendo círculos. Dividiu duas a duas em partes iguais.

(Ver Caderno do Aluno, página 115/116)

Nenhuma descrição de foto disponível.

Em seguida, ela recortou os círculos pelos seus raios e colou as partes em seu caderno, encaixando as partes de dois círculos que foram divididos igualmente.

Nenhuma descrição de foto disponível.

a) Essas partes do círculo são os setores circulares. Ao encaixar os setores circulares, ela percebeu que suas montagens se aproximavam do formato de um polígono. Que polígono é esse?

Paralelogramo.

b) Escreva uma expressão algébrica que permita calcular a área de um círculo a partir das montagens feitas por Rafaela.

Nenhuma descrição de foto disponível.

Para calcular a área do paralelogramo, multiplicamos a medida da sua base pela altura e, como a base corresponde ao comprimento da circunferência e a altura equivale ao seu raio, temos:

𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 = 2𝜋𝑟 . 𝑟 = 2𝜋𝑟2

Para finalizar, lembre-se de que a área do círculo será a metade da área do paralelogramo (para formar o paralelogramo, utilizamos dois círculos), assim, obtemos:

paralelogramo = b. h A

círculo = 2πr.(r)/2

Acírculo = πr2

Para finalizar, lembre-se de que a área do círculo será a metade da área do paralelogramo (para formar o paralelogramo, utilizamos dois círculos), assim, obtemos:

Aparalelogramo = b . h A

círculo = 2πr . (r)/2

Acírculo = πr2

c) Com essas informações é possível calcular a área do setor circular aplicando uma regra de três simples.

(Ver Caderno do Aluno, página 116)

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Assim, calcule a área do setor circular representado na figura abaixo, sabendo que o raio da circunferência mede 5 cm:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Como a área do círculo é 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟2 , temos a medida do raio igual a 5 cm: 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋(5)2

𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 25𝜋 𝑐𝑚2.

Logo, calculamos a área do setor circular: 𝑥/25𝜋 = 100°/360°

360 𝑥 = 2500𝜋

𝑥 = 2500𝜋/360

𝑥 = 125𝜋/18 𝑐𝑚2

 

5.3 Suponha que a circunferência ao lado represente o tampão de uma mesa de 50 cm de raio. Um marceneiro quer colocar uma faixa decorativa sobre o arco menor AB. Sabendo que esse arco corresponde a 1/9 do comprimento desta circunferência, discuta com seu colega como encontrar o comprimento dessa faixa.

Nenhuma descrição de foto disponível. 

(Ver Caderno do Aluno, página 116)

Inicialmente, vamos calcular o comprimento total da circunferência que representa o tampão da mesa.

Com raio igual a 50 cm, temos que C = 2𝜋𝑟 = 2𝜋 . 50 = 100𝜋 𝑐𝑚.

Temos que o arco AB corresponde a 1/9 do comprimento da circunferência, portanto vamos calcular 1/9 do comprimento da circunferência: 1/9 . 100π = 100𝜋/9 ≅ 35 𝑐𝑚.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 – POLÍGONOS REGULARES

1.1 Utilize uma régua para medir os lados dos polígonos a seguir e, com um transferidor, meça as medidas dos ângulos internos, registrando essas medidas no quadro:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

(Ver Caderno do Aluno, página 117)

A imagem pode conter: texto que diz

Os estudantes devem realizar as medições dos lados na versão impressa. Chame a atenção para as medidas dos ângulos, pois ao utilizar o transferidor as medidas são imprecisas; assim, os estudantes podem encontrar pequenas diferenças; o mesmo acontece ao utilizar a régua para medições. Destacar também o cuidado com o posicionamento adequado dos instrumentos para reduzir a imprecisão da medida. Atenção para a possibilidade de alterações nas medidas quando da impressão do material, isso pode ocorrer pela diagramação.

 

1.2 Considerando as medidas obtidas, podemos afirmar que esses polígonos são regulares. Explique por que eles podem ser assim classificados.

Os estudantes devem observar que todos os lados possuem a mesma medida e polígonos com essa característica são chamados de polígonos regulares.

 

1.3 Agora meça os lados e os ângulo

s internos do polígono a seguir:

(Ver Caderno do Aluno, página 118)

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Quais foram as medidas encontradas? Esse polígono pode ser chamado de regular? Por quê?

Uma possível resposta encontrada pelos estudantes é que os lados e ângulos internos não são congruentes; sendo assim, esse polígono não é um polígono regular.

 

ATIVIDADE 2 – CONSTRUÇÃO DE POLÍGONO REGULAR INSCRITO EM UMA CIRCUNFERÊNCIA

2.1 Ao traçar um ângulo central, determina-se um arco que corresponde a uma fração da circunferência. Se traçarmos n ângulos centrais congruentes, seus lados dividirão a circunferência em n arcos congruentes e determinarão os vértices do polígono regular de n lados (n ≥ 3), inscrito nessa circunferência.

Rafaela estava estudando polígonos e anotou o passo a passo para construção de um polígono inscrito numa circunferência. Agora a construção é por sua conta, vamos lá?

1º passo: Trace uma circunferência de raio 2,5 cm.

2º passo: Trace um diâmetro AP = 5,0 cm.

3º passo: Com a medida do raio e a ponta-seca do compasso em P, trace um arco determinando os pontos B e C na circunferência.

4º passo: Com a medida do raio e a ponta-seca do compasso em A, trace um arco determinando os pontos D e E na circunferência.

5º passo: Com uma régua, una os pontos consecutivamente, a partir do ponto A.

Qual polígono foi construído?

 Nenhuma descrição de foto disponível.

O polígono formado foi um hexágono regular, pois possui todas as medidas dos lados iguais.

 

2.2 É possível fazer a construção do polígono anterior de outra maneira, a partir do seu ângulo central. Construa o polígono e descreva o passo a passo da sua construção.

Determinar o ângulo central. Como o polígono construído anteriormente foi um hexágono regular, temos que o ângulo central deverá ser igual a 60°; assim, você poderá encontrar os arcos de circunferência correspondentes e, em seguida, unir os pontos obtidos na circunferência consecutivamente, obtendo o hexágono regular. A descrição da construção será pessoal.

 

2.3 Em duplas, pesquisem em sites, ou em outros materiais, duas maneiras diferentes para a construção de um quadrado inscrito em uma circunferência. Em seguida elaborem um fluxograma apresentando os passos para as construções. Troquem com outra dupla o fluxograma para que construam o quadrado a partir das orientações dele. Verifiquem se os passos ficaram claros. Caso possam melhorar, façam os ajustes para atingirem o resultado.

A descrição será pessoal. Os estudantes poderão construir a partir do ângulo central. Uma possibilidade:

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

ATIVIDADE 1 – REPRESENTAÇÃO DE OBJETOS EM DIFERENTES PONTOS DE VISTA

1.1 Junte-se a um colega e representem as diferentes vistas (frontal, lateral e superior) dos objetos a seguir:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

1.2 Desenhe as vistas frontal, lateral e a superior das figuras as seguir:

 A imagem pode conter: texto que diz

A imagem pode conter: texto que diz

Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

1.3 Desenhe a figura que corresponde às vistas ortogonais:

Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

ATIVIDADE 2 – SECÇÕES POR UM PLANO

2.1 Rafaela fez um corte na pedra de sabão a seguir, por um plano paralelo à base. A face obtida com o corte é uma figura plana.

(Ver Caderno do Aluno, página 122)

A imagem pode conter: comida

a) Qual é a figura plana obtida? Desenhe-a.

 Nenhuma descrição de foto disponível.

A figura obtida é o retângulo.

b) Se o corte fosse feito paralelo à vista lateral, qual figura plana seria obtida na face de corte? Desenhe essa figura.

Nenhuma descrição de foto disponível.

A figura seria um retângulo.

 

Observação: Os cortes em sólidos geométricos são chamados de secção por um plano.

 

2.2 A seguir são apresentados alguns sólidos geométricos. Identifique quais figuras são encontradas com as secções em cada um deles. Identifique qual é a figura obtida e desenhe-as.

(Ver Caderno do Aluno, página 123)

Nenhuma descrição de foto disponível.

1) Círculo

2) Retângulo

3) Retângulo

Nenhuma descrição de foto disponível.

4) Trapézio

5) Triângulo

6) Círculo

 

ATIVIDADE 3 – PROJEÇÕES ORTOGONAIS

3.1 Chamamos de “projeção ortogonal de uma figura geométrica sobre um plano” o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos dessa figura. A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é a intersecção do plano com um segmento perpendicular a ele. Na figura ao lado, o ponto F’ é a projeção ortogonal de F em α. Trace a projeção ortogonal dos demais vértices e determine a projeção do bloco retangular no plano α.

(Ver Caderno do Aluno, página 123)

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

3.2 Fábio fez a representação de uma caixa cujo formato era de um cubo. Ele a representou pelo plano frontal de projeção e pelo plano horizontal de projeção. Veja no esquema a seguir.

(Ver Caderno do Aluno, página 123)

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

 

3.3 Observe a representação da peça a seguir. Indique qual é a projeção horizontal e qual é a frontal. Trace as perpendiculares que correspondem às projeções dos vértices da figura. Represente a projeção lateral. Essa projeção estaria no mesmo plano das demais ou em outro plano?

Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

Essas projeções estão em planos distintos.

 

3.4 Desenhe as projeções da peça a seguir nos planos horizontal e frontal:

Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

ATIVIDADE 4 – DESENHOS EM PERSPECTIVA

4.1 Para dar ideia da tridimensionalidade aos objetos, é possível fazer um desenho em perspectiva. Na atividade de Matemática, Carlos registrou um passo a passo para construir objetos em perspectiva, conforme a seguir:

Etapa 1: Desenhar uma Linha do Horizonte (LH).

Etapa 2: Marcar Ponto de Fuga (PF): esse ponto deve pertencer à linha do horizonte.

Etapa 3: Traçar as linhas imaginárias, partindo do ponto de fuga em direção ao objeto, podendo ser alguns dos seus vértices.

Etapa 4: Finalizar a construção.

Veja como Carlos desenhou um cubo a partir da vista lateral e frontal de um sólido geométrico.

(Ver Caderno do Aluno, página 126)

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Agora é com você! Escolha um sólido geométrico, desenhe-o em perspectiva, considerando dois pontos de fuga.

Uma possível solução:

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

ATIVIDADE 1 – ESTUDO SOBRE PRISMAS E CILINDROS

1.1 Rafaela fez os desenhos de alguns prismas, e ela sabe que o nome de cada um é dado de acordo com o polígono da base. Ajude Rafaela a nomear os prismas a seguir:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

1 – Prisma de base triangular ou prisma triangular;

2 – Prisma de base retangular ou prisma reto retângulo;

3 – Prisma de base pentagonal ou prisma pentagonal;

4 - Prisma de base hexagonal ou prisma hexagonal.

 

1.2 Identifique os sólidos a seguir e descreva as semelhanças e diferenças entre os dois:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

I-. A figura I é um prisma de base retangular, suas faces são formadas por retângulos e, como são perpendiculares aos planos das bases, esse é um prisma reto. É um poliedro, pois trata-se de um sólido geométrico cujas faces são polígonos. Os poliedros são divididos em três grupos: prismas, pirâmides e outros

II – Suas bases são círculos e sua superfície lateral é curva. Como sua superfície lateral é paralela aos planos das bases, esse é o cilindro reto. Faz partes dos sólidos geométricos classificados por corpos redondos, que são aqueles que possuem curvas; são aqueles que rolam, se colocados em uma superfície com pouca inclinação. São corpos redondos: cones, cilindros e esferas.

A semelhança entre eles, como se trata de um prisma reto e um cilindro reto, ambos possuem duas bases paralelas e estão em planos distintos. Em cada um, as bases são congruentes.

 

1.3 Pesquise em sites, ou em outros materiais, e identifique os elementos dos sólidos geométricos a seguir:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

Peçaaos estudantespara indicarem a base em cima também, pois a base não é somente onde o sólido geométrico se apoia. Em relação ao prisma e ao cilindro, temos que a altura é a distância entre as duas bases.

 

1.4 A seguir apresentamos dois sólidos, um no formato de um paralelepípedo e outro no formato de um cilindro. Com os conhecimentos que você já possui sobre volume, calcule o volume de cada um, descrevendo como pensou:

(Ver Caderno do Aluno, página 128)

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Volume do paralelepípedo: V= 3. 4. 6 = 72 cm³

Volume do cilindro: V= (4)² .𝜋. 6 = 96 𝜋 cm³

 

1.5 Descreva como será possível calcular o volume de cada sólido para quaisquer dimensões:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

O volume do prisma é igual a: V = a . b . c, onde a é o comprimento, b é a altura e c, a largura, ou ainda, podemos fazer a relação entre a área da base e a altura 𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ

Para o volume do cilindro, temos que a área da base é um círculo e sua superfície lateral é um retângulo, quando planificado. Então, o volume será igual a:

𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ

𝑉 = 𝜋𝑟 2ℎ

 

1.6 Calcule o volume, conforme a unidade de medida dada, de cada sólido geométrico a seguir. Após finalizar os cálculos, o que é possível concluir comparando os resultados?

(Ver Caderno do Aluno, página 128)

a) PRISMA RETO RETÂNGULO

Comprimento: 2 dm

Largura: 1 dm

Altura: 0,5 dm

 Nenhuma descrição de foto disponível.

𝑉 = (2). ( 1). ( 0,5) = 1𝑑𝑚3 = 1 litro

b) CUBO

Lado: 10 cm

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Como 10 cm equivalem a 1 dm, então, a capacidade do cubo é dada por:

V = 1 dm·1 dm ·1 dm = 1 dm³ = 1 litro.

c) PRISMA RETO RETÂNGULO

Comprimento: 5 cm

Largura: 4 cm

Altura: 50 cm

 Nenhuma descrição de foto disponível.

𝑉 = (5). (4). (50) = 1000𝑐𝑚3 = 1𝑑𝑚3 = 1 litro

f) CILINDRO (considerar π = 3)

Raio:

1/√3 dm

Altura: 1dm

 Nenhuma descrição de foto disponível.

𝑉 = (3). ( 1 √3 ) 2 . (1) = 1 × 1 = 1𝑑𝑚3 = 1 litro

g) CILINDRO

(considerar π = 3)

Diâmetro: 2 dm

Altura: 1

3 dm

 Nenhuma descrição de foto disponível.

𝑉 = (3) × (1) 2 × 1 3 = 1𝑑𝑚3 = 1 litro

Sabendo que 1 dm³ equivale a 1 ℓ, ao fazer a conversão, temos que todos têm a mesma capacidade.

 

1.7 Para os sólidos geométricos também podemos calcular a área lateral e a área total. Vamos calcular a área do prisma a seguir, seguindo as orientações:

– Comece pelas bases;

– Nomeie a medida dos lados do hexágono de “ℓ”.

Nenhuma descrição de foto disponível.

a) Calcule a área do hexágono, que pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros:

(Ver Caderno do Aluno, página 129)

Nenhuma descrição de foto disponível.

Cálculo da base, hexágono regular:

1º) Calcular a altura, aplicando o Teorema de Pitágoras: ℓ2 = ℎ2 + ( ℓ/2 )2

2 = ℓ2 − ℓ2 4

2 = 3ℓ2/4

ℎ = ℓ√3/2

2º) Calcular a área do triângulo equilátero:

𝐴 = 𝑏 . ℎ /2

𝐴 = ℓ . (𝑙√3/2)2

𝐴 = ℓ2√3 4

A área de um hexágono regular é obtida, calculando 6 vezes a área de cada triângulo equilátero que o compõe.

𝐴 = 6 . (ℓ2 . √3)/4

b) Agora calcule a área lateral desse prisma. Descreva como você pensou.

A área lateral é calculada a partir da área do retângulo, multiplicada por 6, que corresponde ao total de faces retangulares.

A = b. h

A = ℓ . h

A = 6. ℓ. h

 

c) Calcule a área total. Descreva como você pensou.

Atotal = 2 . Abase + 6 . Alateral

Atotal = 2 . (6ℓ2 . √3)/4 + 6 . ℓ . ℎ

 

ATIVIDADE 2 – RESOLUÇÃO DE SITUAÇÕES-PROBLEMAS

2.1 Sr. Antonio precisa de uma caixa d’água de aproximadamente 1 000 litros. Recebeu um folheto de uma casa de material de construção em que as únicas informações que constavam eram de que as caixas tinham vários formatos de prismas retos ou de cilindros retos, além das medidas e dos preços. Observe os dados do folheto e desenhe o formato da caixa e o volume em litros de cada uma. Considere π = 3.

 A imagem pode conter: texto que diz

A: Temos comprimento, largura e altura. Pelas duas formas mencionadas pelo vendedor, trata-se de um prisma retangular reto, cujo volume será: (140) . (120). (60) = 1 008 000 𝑐𝑚3 = 1 008 𝑑𝑚3 ≅ 1 000 litros.

B:Temos comprimento, largura e altura. Pelas duas formas mencionadas pelo vendedor, trata-se de um prisma retangular, cujo volume será:

 

Nesses dois casos acima, temos os prismas considerando os dados do quadro. Outro ponto é sobre o valor de 𝜋, que em alguns casos, para os cálculos, utiliza-se o valor igual a 3 (somente quando indicado, conforme no problema acima). Se nada for mencionado, utilizamos o valor 𝜋 ≅ 3,14.

 

C- Temos altura, diâmetro e o valor a considerar 𝜋 Pelas duas formas mencionadas pelo vendedor, trata-se de um cilindro cujo volume será: 𝑉 = 3 × (564) 2 × 1 050 = 3. (318 096). (1050) = 1 002 002 400 𝑚𝑚3 = 1 002,002 𝑑𝑚3 ≅ 1000 litros. D- Temos altura, diâmetro e o valor a considerar 𝜋. Pelas duas formas mencionadas pelo vendedor, trata-se de um cilindro cujo volume será: 3. (56) 2 . (106,5) = 3. (3 136). (106,5) = 1 001 952𝑐𝑚3 = 1 001,9522𝑑𝑚3 ≅ 1 000 litros

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Nesses dois casos acima, temos os cilindros considerando os dados do quadro. Outro ponto é sobre o valor dado, que se trata do diâmetro. Ressaltar para os estudantes que, para o cálculo da área da base, utilizamos o valor do raio.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

2.2 Pretendo construir uma piscina retangular de 15 000 litros, com profundidade de aproximadamente 1,40 m (com até 10 cm para mais ou para menos). Dê uma sugestão de dimensões para esta piscina.

Trata-se de um prisma retangular, onde o produto do comprimento pela largura e pela profundidade deve ser 15000𝑑𝑚3ou 15𝑚3 . V= 1,5 m x 2 m x 5 m V= 15 m³ V= 15 000 litros.

 

2.3 Elabore uma situação-problema envolvendo o volume de prismas e resolva-o. Troque com um colega para resolverem um do outro. Ao final as resoluções serão compartilhadas com seus colegas.

Compartilhe as produções dos estudantes.

 

2.4 Um aquário de vidro no formato de um prisma apresenta as seguintes dimensões: 30 cm x 26 cm x 50 cm. Determine, em litros, a capacidade desse aquário. 

Considere (1dm³ = 1 litro).

Com base nas dimensões apresentadas, trata-se de um prisma retangular, cujo volume será: 30 . 26. 50 = 39 000 cm³ ou 39 litros.

 

2.5 Dois engenheiros estão discutindo o projeto de uma caixa d’água para um prédio. O projeto feito pelos engenheiros prevê a construção de uma caixa d’água conforme a imagem a seguir:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

O prédio possui 80 apartamentos com um consumo diário médio de 500 litros de água por apartamento e, além disso, 20% do total da capacidade da caixa d’agua não pode ser utilizado por questões de segurança. O projeto da caixa d’água atenderá às expectativas do edifício?

Justifique.

Inicialmente será preciso calcular em litros a capacidade máxima da caixa d’água que, por ter um formato de um prisma retangular, te, seu volume dado por V= 6 . 3 . 5 = 90 m³ ou 90 mil litros, sabendo que 1 m³ corresponde a 1 000 litros.

Como 20% da capacidade da caixa d’água não pode ser utilizada por questões de segurança, só poderão ser utilizados 80% de 90 mil litros: 80% 𝑑𝑒 90 000 = 80 100 . 90 000 = 72 000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠.

Calcular o consumo diário dos apartamentos, que corresponde a: 500 x 80 = 40 000 litros.

Portanto o projeto atenderá às expectativas, pois a capacidade da caixa d’água é de 75 000 litros e o consumo médio diário é de 40 000 litros.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

ATIVIDADE 1 – RESULTADOS IMPREVISÍVEIS

1.1 Antes de iniciar uma partida de futebol, o árbitro lança uma moeda para saber qual time sairá com a bola. Pegue uma moeda e junte-se a um amigo. Cada um deve escolher uma face. Lance a moeda e verifique quem ganhou após cinco lançamentos. Anotem a escolha de cada um e o resultado de cada lançamento.

A descrição da resposta será pessoal. De qualquer forma, compartilhe os resultados que encontraram.

 

1.2 Se continuarem a lançar a moeda nas mesmas condições, é possível saber antecipadamente qual será o resultado? Justifique.

Não é possível prever, porém é possível encontrar a chance desse evento acontecer, que nesse caso corresponde a 50% de sair cara e 50% de coroa.

 

Observação: Fenômenos que, embora sejam repetidos diversas vezes e sob as mesmas condições, não apresentam os mesmos resultados, ou seja, têm resultados imprevisíveis,

 

1.3 Qual a chance de se lançar uma moeda e você acertar a face que vai ficar voltada para cima? Justifique.

Como a moeda possui duas faces, escolhendo uma, a chance de acertar é de 50%.

 

1.4 Ainda junto com seu colega, lancem um dado de seis faces numeradas de 1 a 6, por pelo menos 6 vezes, e anotem os resultados obtidos. Responda às questões:

a) Sabendo que o espaço amostral são todos os resultados possíveis ao lançar o dado, descreva os elementos que compõem esse espaço amostral, indicando-o pela letra S. Quantos elementos possui esse conjunto?

S= (1, 2, 3, 4, 5, 6), possuindo 6 elementos.

b) Chamamos de evento o resultado que esperamos que ocorra ao lançar o dado. Considere o evento: tirar um número ímpar ao lançar um dado. Descreva esse conjunto, indicando-o pela letra E, em seguida, determine quantos elementos tem esse conjunto.

E = (1, 3, 5), possuindo 3 elementos.

 

ATIVIDADE 2 – PROBABILIDADE

2.1 Complete a lista a seguir de fenômenos aleatórios:

Lançamento de um dado não viciado;

Lançamento de uma moeda honesta;

Números que serão sorteados na loteria;

Sugestões: Escolha de um número situado em algum intervalo;

Escolha aleatória de um aluno na sala de aula;

Sorteio de um livro entre os participantes de uma palestra.

           

2.2 Dos eventos listados acima, não conseguimos saber os resultados antes que aconteçam, mas podemos encontrar os possíveis resultados e determinar a chance de acontecer cada um deles. A essa chance chamamos de probabilidade.

(Ver Caderno do Aluno, página 132)

As origens dos estudos de probabilidade remontam ao século XVI, onde inicialmente referiam-se quase todas aos jogos de azar, porém há indícios de que os fenícios (que eram conhecidos como o “povo do mar”) já utilizavam tais cálculos para protegerem sua atividade comercial marítima, por volta do século IX a. C.

Hoje em dia o cálculo da probabilidade é utilizado principalmente nos seguros (de vida, de automóveis, imobiliários, entre outros); nos estudos demográficos, em especial nos estudos de doenças infecciosas e o efeito da vacinação; bem como na construção das loterias e nos estudos dos jogos de azar.

Para calcular a probabilidade, usamos a seguinte razão:

Probabilidade = número de resultados favoráveis / número de resultados possíveis

A probabilidade é representada por um número que varia de 0 a 1, podendo ser escrita em forma de fração, decimal ou porcentagem.

Considerando esse cálculo, responda:

a) Qual é a probabilidade de sair o número 8 em um sorteio com três bolas contendo os números 1, 3 e 8?

P(n) = 1/3 ≅ 0,33... ou aproximadamente 33%

b) Em uma urna há 11 bolas idênticas, numeradas de 1 a 11. Se uma delas é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de se obter um número ímpar?

P(n) = 6/11 ≅ 0,54 ou aproximadamente 54%.

 

2.3 Um dado de seis faces não viciado é lançado e se lê o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade de:

a) O número que sair ser o 5.

P(n) = 1/6 ≅ 0,1666 … ou aproximadamente 17%.

b) O número que sair ser múltiplo de 2.

P(n) = 3/6 = 0,5 ou 50%.

c) O número que sair ser par.

P(n) = 3 6 = 0,5 ou 50%

 

2.4 Dois dados de seis faces perfeitos são lançados ao acaso, simultaneamente.

a) Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados seja 6?

Encontrar o espaço amostral, ou seja, todos os casos possíveis no lançamento de dois dados:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Observe que a quantidade de elementos no espaço amostral é 36.

Encontrar o evento, sendo os casos favoráveis em que a soma seja 6. E= { (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}

Observe que, para que a soma seja 6, são 5 resultados possíveis.

A probabilidade é P(n) = 5/36 ≅ 0,13888... ou aproximadamente 14%.

b) Qual é a probabilidade de se conseguir dois números iguais?

Encontrar o espaço amostral, ou seja, todos os casos possíveis no lançamento de dois dados:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) O espaço amostral terá 36 elementos.

Encontrar o evento, sendo os casos favoráveis de se conseguir dois números iguais: E = {(1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)}

A probabilidade é P(n) = 6/36 ≅ = 0,1666... ou aproximadamente 17%.

 

2.5 Lançando-se duas moedas ao mesmo tempo, qual é a probabilidade de se obter pelo menos uma cara?

Obter o espaço amostral: {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)} Obter o evento: {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara)} P(n) = 3/4 = 0,75 ou 75%

 

ATIVIDADE 3 – EVENTOS INDEPENDENTES

3.1 Ao lançar uma moeda e um dado de seis faces, Mariana escolheu a face 4 do dado e a face coroa da moeda.

a) Construa um quadro com todos os resultados possíveis da moeda e do dado, representando-os por um par ordenado.

 A imagem pode conter: texto que diz

b) Em um dos lançamentos, ao sair a face 4, interfere na ocorrência da moeda sair coroa? Qual é a relação desses dois eventos?

Não interfere, pois os eventos são independentes. A probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não ocorrido.

c) Calcule a probabilidade do evento escolhido por Mariana ocorrer.

Ocorrer face 4: 𝑃 = 1/6 ≅ 0,1666 … 𝑃 ≅ 16 %

Ocorrer coroa: 𝑃 = 1/2 = 0,5 𝑃 = 50 %

Ocorrer face 4 e coroa: 1/6 . 1/2 = 1/12 = 0,0833. . 𝑃 ≅ 8,3%.

 

ATIVIDADE 4 – EVENTOS DEPENDENTES

4.1 Numa caixa foram colocadas 4 peças triangulares e 5 peças hexagonais. Qual a probabilidade de que as duas primeiras peças a serem retiradas sejam triangulares, sem a reposição da primeira peça?

É possível resolver ,nesse momento, pela árvore das possibilidades:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Como a retirada é sem reposição, na primeira retirada, temos um total de 9 peças.: 4 peças triangulares (T) e 5 peças hexagonais (H). Observe que, na segunda retirada, independente da peça que foi retirada, ficamos com 8 peças.

Analisando os galhos, interessa-nos somente onde temos T T; logo, multiplicamos essas probabilidades:

𝑃 = 4/9 . 3/8 = 12/72 ≅ 0,1666 ≅ 16,6%

 

4.2 Em uma urna foram colocadas 5 bolas vermelhas, 3 bolas verdes e 4 bolas azuis, todas do mesmo tamanho. Carlos retirou a primeira bola e em seguida, sem reposição da bola na urna, retirou a segunda bola. Qual a probabilidade de que as duas bolas sejam verdes?

Na 1ª retirada, para a bola ser verde: 𝑃 = 3/12

Na 2ª retirada, para a bola ser verde, sem reposição: 𝑃 = 2/11

Para obter a probabilidade das duas bolas verdes, sem reposição, temos 𝑃 = 3/12 . 2/11 = 6/132 ≅ 0,045̅̅̅̅. . 𝑃 ≅ 4,5%

 

TESTE SEU CONHECIMENTO

1. (SARESP/2008) Para ligar dois bairros de uma cidade foi construído um túnel com 25 metros de comprimento e 6 metros de largura. Considere π = 3. O volume aproximado de terra que foi retirado para ser aberto o túnel é, em metros cúbicos, igual a:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

(A) 212,5

(B) 265

(C) 337,5

(D) 710

Alternativa: C

 

2. (ENEM/2014.1) A probabilidade de um empregado permanecer em uma dada empresa particular por 10 anos ou mais é de 1/6. Um homem e uma mulher começam a trabalhar nessa companhia no mesmo dia. Suponha que não haja nenhuma relação entre o trabalho dele e o dela, de modo que seus tempos de permanência na firma são independentes entre si.

A probabilidade de ambos, homem e mulher, permanecerem nessa empresa por menos de 10 anos é de:

(A) 60/36

(B) 25/36

(C) 24/36

(D) 12/36

(E) 1/36

Alternativa: B

 

3. (SARESP/2009) - As cartas abaixo serão colocadas numa caixa, e uma delas será retirada ao acaso. A probabilidade de a carta retirada ter a figura de uma pessoa é:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

(A) 1/3

(B) 1/4

(C) 2/3

(D) 2/5

(E) 1/2

Alternativa: D

 

4. (SARESP/2010) Na circunferência da figura, um segmento que representa o raio é:

Nenhuma descrição de foto disponível.

(A) AB

(B) RQ

(C) PQ

(D) TR

Alternativa: C