9 - ANO CADERNO DO ALUNO - VOLUME 3/2020

9 - ANO CADERNO DO ALUNO - VOLUME 3/2020

Professor Diminoi

Esta página tem como objetivo auxiliar ao aluno em seus estudos durante o período de quarentena.

 SP FAZ ESCOLA

MATEMÁTICA - ENSINO FUNDAMENTAL -  VOLUME 3/2020

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Rossieli Soares da Silva

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Chefe de Gabinete

Renilda Peres de Lima

Coordenador da Coordenadoria Pedagógica

Caetano Pansani Siqueira

Presidente da Fundação para o Desenvolvimento da Educação

Nourival Pantano Junior

 

1.1 Junte-se a um colega e, usando um barbante, testem se isso de fato acontece.

Resolução:

Peça aos estudantes que testem e colem o barbante em uma folha. Solicite que anotem as estratégias que utilizaram para verificar a afirmação apresentada no enunciado. Depois que realizarem a experiência, socialize algumas resoluções e estratégias.

 

1.2 É atribuído a Pitágoras, um matemático grego que viveu no século V antes de Cristo, a primeira demonstração formal sobre a relação que existe entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo. Em homenagem a ele, essa relação recebeu o nome de Teorema de Pitágoras.

Faça uma pesquisa sobre como se enuncia o Teorema de Pitágoras e como ele é representado algebricamente. Depois, prepare um podcast para apresentar aos colegas e professor o que descobriu.

Resolução:

Organize a apresentação do resultado da pesquisa dos estudantes. Vocês podem combinar o tempo de cada apresentação para que todos possam participar.

O Teorema de Pitágoras:

“Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois lados.”

Provavelmente, os estudantes devem apresentar variações no enunciado, conforme a fonte de pesquisa. Explore como identificam a hipotenusa e os catetos.

 

2.1 Você sabia que o teorema de Pitágoras já foi demonstrado de 370 modos diferentes? Agora, você vai fazer uma dessas demonstrações. Em uma malha quadriculada, use régua e compasso para construir um triângulo retângulo com lados medindo 3 cm, 4 cm e 5 cm.

Tomando como medida cada lado do triângulo retângulo, construa um quadrado sobre cada um dos lados.

Resolução:

Os estudantes podem apresentar diferentes modos para construir o triângulo na malha quadriculada. Circule pelos grupos verificando como resolvem essa questão. Em seguida, socialize as descobertas dos estudantes.

 

2.2 Junte-se a um colega e determine a área de cada quadrado. Qual relação vocês verificaram entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e a área dos quadrados?

Resolução:

A expectativa é que os estudantes observem que, geometricamente, a área do quadrado, em que a medida do lado é a hipotenusa do triângulo retângulo, é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos. Oriente-os a observarem a figura que construíram.

3.1 O triângulo de lados 3, 4 e 5 é um triângulo retângulo. Por que podemos afirmar isso? É possível encontrar uma infinidade de triângulos retângulos semelhantes a esse, cujos lados são números inteiros. Para encontrá-los, multiplicamos os seus lados por números naturais. Complete a tabela a seguir:

 

 

 

 

Cateto

Cateto

Hipotenusa

3 x 1

4 x 1

5 x 1

3, 4, 5

3

4

5

3 x 2

4 x 2

5 x 2

6, 8, 10

6

8

10

3 x 3

4 x 3

5 x 3

9, 12, 15

9

12

15

3 x 4

4 x 4

5 x 4

12, 16, 20

12

16

20

3 x 10

4 x 10

5 x 10

30, 40, 50

30

40

50

 

Podemos afirmar que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é um triângulo retângulo porque ao aplicar o Teorema de Pitágoras, a relação de igualdade é verdadeira.

𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 → 32 + 42 = 52

 

3.2 Escolha três ternas pitagóricas da tabela e verifique a respectiva relação de Pitágoras.

Resolução:

Os estudantes devem aplicar o Teorema de Pitágoras e observar que sempre o lado de maior medida será a hipotenusa. É possível explorar outras ternas que não sejam dessa tabela. Proponha aos estudantes que encontrem outras diferentes das apresentadas aqui.

 

4.1 A projeção ortogonal de uma reta num plano é a união das projeções ortogonais dos pontos da reta nesse mesmo plano.

Ao projetar um ponto no plano, obtemos como projeção outro ponto pertencente a esse mesmo plano.

Ao projetar um segmento, traçamos perpendiculares nas suas extremidades, obtendo o conjunto dos pontos desse segmento pertencentes ao plano.

Ao projetar um segmento perpendicular ao plano, qual será a sua projeção no plano? Faça o desenho dessa projeção.

Resolução:

A imagem, abaixo, mostra que a projeção do segmento s perpendicular ao plano α é o ponto Q.

5.1 O triângulo ABC a seguir é retângulo em A. Usando régua e esquadro, determine a projeção ortogonal dos catetos sobre a hipotenusa desse triângulo. Após determinar a projeção ortogonal dos lados, nomeie os segmentos: BH = m,HC = n e AH = h

Resolução:

A expectativa é a que os estudantes obtenham as projeções ortogonais conforme figura:

5.2 As relações métricas são expressões que relacionam apenas as medidas dos lados e de alguns segmentos do triângulo retângulo.

Recortando o triângulo pela medida da altura AH , o triângulo ABC é dividido em dois triângulos retângulos AHB e AHC.

A altura h dividiu o triângulo em outros dois triângulos retângulos semelhantes entre si.

Preencha a tabela a seguir:

Resolução:

De acordo com a imagem acima e nomeando os lados, temos:

 

Hipotenusa

 

Cateto

Cateto

Triângulo ABC

A

 

c

b

Triângulo ABH

C

 

m

h

Triângulo ACH

B

 

n

h

 

5.3 Compare os triângulos AHC e AHB, aplicando o que já conhecem sobre a soma dos ângulos internos. Explore os demais ângulos internos de cada triângulo.

A partir de suas descobertas sobre os ângulos internos de cada um dos triângulos, indique como deve ser representada a semelhança entre eles:

Resolução:

Os triângulos ABC, AHB e AHC são semelhantes, pois possuem dois ângulos congruentes (de mesma medida), logo os lados correspondentes são proporcionais, conforme indicado na figura a seguir. Assim o triângulo AHC é semelhante ao triângulo AHB e indicamos por ΔAHC~ΔAHB.

5.4 Compare o triângulo retângulo ABC com o triângulo ABH:

Analise as correspondências entre os ângulos internos dos triângulos para determinar como estabelecer a semelhança entre eles. Depois, escreva a relação de proporcionalidade entre as medidas de seus lados.

Usando as igualdades escritas, obtenha expressões algébricas que relacionam as medidas dos lados desses triângulos.

Comentários:

Analisando os ângulos internos entre os triângulos retângulos temos:

B ≡ B , vértice comum entre os dois triângulos A ≡ H , pois os dois ângulos são retos

Pelo caso AA, temos ΔABC ~ Δ HBA.

Professor, justifique a mudança de ordem dos vértices do triângulo explicando a necessidade de se manter as correspondências entre os ângulos de mesma medida que garantem a semelhança dos triângulos. Ao utilizar o fato de que dois triângulos são semelhantes, quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais, não cometemos erros ao escrever a relação de proporcionalidade entre as medidas de seus lados, lembrando que os lados correspondentes são aqueles opostos a ângulos de mesma medida:

AB/BH = AC/AH = BC/AB

Considerando as projeções, temos as seguintes medidas para os segmentos:

AB = c, AC = b, AH = h, BG  = a, BH = m e CH = n

Substituindo os segmentos pelas respectivas medidas, temos:

c/m = b/h = a/c

Expressões algébricas:

1) bm = ch

2) ah = bc

3) c2 = am

 

6.1 Verifique que o produto entre os catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura.

Resolução:

Temos que a e b são catetos do ΔABC e a hipotenusa é c.

Já vimos que ΔABC ~ ΔAHB.

Assim, temos:

AB/AH = AC/AB = BC/BH substituindo os segmentos pelas respectivas medidas dos lados, temos

n/a = c/a = b/h

Como queremos o produto entre os catetos, temos: c/a = b/h → ab = ch.

 

6.2 Verifique que o quadrado da medida de um dos catetos é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre ela.

Resolução:

Temos que a e b são catetos do ΔABC e a hipotenusa é c.

Já vimos que ΔABC ~ Δ BHC.

Assim, temos:

AB/BH = BC/CH = AC/BC, substituindo os segmentos pelas respectivas medidas dos lados, temos

a/h = b/m = c/b

Teremos: c/b = b/m → b2 = cm.

 

6.3 Verifique que o quadrado da medida do outro cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto sobre ela.

Resolução:

Temos que a e b são catetos do ΔABC e a hipotenusa c.

Temos que a e b são catetos do ΔABC e a hipotenusa c.

Temos que ΔABC ~ Δ AHB.

Assim, temos:

ABAH = BCBH = ACAB, substituindo os segmentos pelas respectivas medidas dos lados, temos

n/a = b/h= c/a.

Teremos: n/a = c/a → a2 = cn

 

6.4 Rafael pretende construir a estrutura do telhado de sua casa e, para isso, fez o esboço do desenho do telhado. Quantos metros de vigas de madeira deverá comprar para construir o telhado?

Resolução:

O telhado tem o formato triangular e, pelas suas medidas o formato é o de triângulo isósceles. Pelas propriedades do triângulo isósceles, a bissetriz, a mediana e a altura, relativas à base, coincidem. Então, temos que a base é dividida em duas partes iguais pelo segmento da altura.

Usando as relações métricas do triângulo retângulo, temos:

c² = a. m

b² = a. n

c = a. h

h² = m . n

a² = b² + c²

Observe o desenho, vamos encontrar os valores de x, y e z.

Temos:

1 viga de medida √8 m.

2 vigas de medidas 2 m cada uma.

1 viga de medida √2 m cada uma.

2 vigas de medidas 1 m cada uma.

2 vigas de medidas √22 𝑚 m cada uma.

Somando todas as medidas:

√8 + 2. (2) + √2 + 2. (1) + 2. √2/2 = 6 + 4√2 11,64 m

Rafael deverá comprar aproximadamente 11,64 m de vigas de madeira.

Observação: Caro estudante poderiam usar valores como esse encontrado nesta resolução: √8m, que é possível em situações reais. Propor as aproximações, pois em situações como, por exemplo, de construções de prédios, pontes e madeiras, as aproximações são bastante utilizadas.

1.1 Uma situação muito usual do Teorema de Pitágoras é feita pelos pedreiros. Um pedreiro, para construir um ângulo reto com duas paredes, marca 30 cm e 40 cm em duas linhas laterais (onde farão a paredes) que se interceptam. Depois, unem esses dois pontos para encontrarem uma medida equivalente a 50 cm, assim, os pedreiros conseguem um ângulo reto. Na linguagem desses profissionais, tal procedimento é chamado de “deixar no esquadro”. Nessa situação, como é possível afirmar que o ângulo que será formado entre as duas paredes é um ângulo reto?

Resolução:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, se a igualdade for verdadeira, então o ângulo formado entre as duas paredes será um ângulo reto:

a2 + b2 = c2 (30)2 + (40)2 = (50)2, essa igualdade é verdadeira.

Destaque junto aos estudantes que esses valores têm uma relação com a terna pitagórica 3, 4 e 5.

 

1.2 A figura é composta por cinco quadrados idênticos e a hipotenusa do triângulo retângulo ABC tem comprimento cm. Escreva os passos necessários para calcular a soma das áreas dos cinco quadrados. Depois, troque sua proposta com a de um colega e verifique se, com as orientações dele, é possível obter a soma das áreas dos cinco quadrados. Se não conseguir, corrija o que achar necessário.

Resolução:

Chamamos de x, o lado de cada quadrado da figura. Pelo triângulo ABC, é possível calcular o lado do quadrado, considerando os seguintes dados:

AB = x BC= 2x AC = 3√5

Com essas informações, aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos:

(3√5)2 = x2 + (2x)2 → 45 = 5x2 → 9 = x2 → x = 3

Assim, cada lado do quadrado será x = 3. Calculando a área de um quadrado:

A = 32 = 9. Como temos cinco quadrados de mesma área: 5. 9 = 45 cm², que é a área total.

 

1.3 Uma equipe foi contratada para instalar uma torre estaiada e, para isso, serão necessários cabos de sustentação. A torre tem 90 m na vertical e os cabos serão presos a 30 m, a 60 m e 90 m de altura (o solo é plano e perpendicular à torre), e serão fixados no solo, a 60 m da torre, de acordo com o desenho abaixo. Determine quantos metros de cabo serão necessários para essa sustentação.

Resolução:

Vamos calcular o comprimento dos cabos x, y e z, respectivamente.

x² = (30)² + (60)² x = 30√5 m

y² = (60)² + (60)² y = 60√2 m

z² = (90)² + (60)² z = 30√13 m

Professor, os estudantes precisarão dos valores de √2, √5 e √13, cujos valores aproximados são 1,41; 2,24 e 3,61 respectivamente, ou poderão utilizar a calculadora.

O total de cabos é dado por:

2x + 2y + 2z:

30√5 + 60√2 + 30√13 = 30( √2 + √5 + √13 ) m

Quantidade necessária de cabo de sustentação:

2(30√5  +  60√2 + 30√13) = 2[30 .( 2,24) + 60. (1,41) + 30 . (3,61)] 2 . (260,1) 520,2 m.

 

1.4 Em dupla, elaborem duas situações-problema envolvendo o Teorema de Pitágoras. Depois, troquem seus problemas com outra dupla para resolverem. Analisem os procedimentos usados e validem a solução encontrada.

Resolução:

A descrição da resposta será pessoal. Escolha alguns estudantes para compartilharem o problema que elaborou e socialize a resolução.

 

1.5 A medida do raio de cada circunferência na figura é igual a 4 cm. Determine a área desse triângulo equilátero.

Resolução:

1.6 Determine a medida do segmento AB conforme o desenho a seguir, que representa uma tesoura simples de telhado. Sabendo que

AC = BC = 2,5cm e CD = 1,5 cm, calcule AB.

Resolução:

Vamos calcular o valor de y aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo DCB, então temos:

(2,5)² = (1,5)² + y² → y = 2

Sendo o triângulo ABC isósceles, temos AD = DB = y = 2.

Temos que AB =  x = 2y = 2 . 2 = 4 cm.

Logo, AB = 4 cm.

 

1.7 O arquiteto Marcelo elaborou um esboço do projeto arquitetônico da parte superior da fachada de um edifício, conforme esquema a seguir.

Por ser um triângulo isósceles, temos que m = n e, aplicando o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida da hipotenusa, no triângulo maior, temos:

x= 22 + 22𝑥 = 2√2m e m = n = 2√2/2 = √2

a) Determine a altura da fachada do edifício.

Resolução:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, em um dos triângulos menores: 22 = (h)2 + (√2)2 → h = √2m

 

b) Qual é a medida da largura da fachada do edifício?

Resolução:

A medida da largura da fachada é igual a 2√2 𝑚

 

c) Qual é área total da fachada do edifício?

Resolução:

A = b.h/2,𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:𝐴 = (2√2 .√2)/ 2 = 2m²

 

1.8 Sofia desafiou seu colega do 9º ano a encontrar o perímetro de um triângulo retângulo de medidas (x + 5) cm e (x + 1) cm, para os catetos e hipotenusa (x + 9) cm. Resolvendo o desafio de Sofia, qual é o valor de x? Calcule o perímetro desse triângulo.

Resolução:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos que

(x+9)² = (x+1)² + (x+5)²

x² + 18x + 81 = x² + 2x + 1 + x² + 10x + 25

x² - 6x - 55 = 0.

Resolver a equação do 2º grau por fatoração: completar o trinômio quadrado perfeito:

x² - 6x -55 = 0 → x² - 2 . 3. x + 9- 9 -55 = 0

𝑥2 −6𝑥 + 9 −9 – 55 = 0 → (𝑥−3)2 −9−5 5 = 0

(𝑥−3)2 = 64 → 𝑥 −3 = ±8

x – 3 = 8 x =11 x-3 = -8 x = -5

Resolvendo a equação do 2º grau, encontramos as raízes – 5 e 11.

É preciso verificar se essas raízes satisfazem o problema, pois precisamos calcular a medida de cada lado:

1º caso: x = -5

x + 9 = (-5) + 9 = 4 (valor positivo).

x + 1 = (-5) + 1 = -4 (valor negativo, como estamos procurando a medida do lado, essa medida não pode ser negativa).

x + 5 = (-5) + 5 = 0 (como estamos procurando a medida do lado, não faz sentido a medida ser igual a zero).

Portanto, x = -5, não convém como solução para o problema.

2º caso: x = 11

x +9 = 11 +9 = 20 (número positivo).

x + 1 = 11 + 1 = 12 (número positivo).

x + 5 = 11 + 5 = 16 (número positivo.

Logo x = 11 convém para solução do problema.

Cálculo do perímetro: P = 20 + 16 + 12 = 48 cm.

1.1 Na malha quadriculada, estão representados cinco segmentos de retas. Escreva as coordenadas dos pontos das extremidades e das coordenadas do ponto médio de cada segmento. Analisando as coordenadas das extremidades de cada segmento e as coordenadas dos seus respectivos pontos médios, qual é a relação entre elas?

Resolução:

A (2; 6); B (-2; 2) – ponto médio AB = (0; 4)

C (1; 1); D (5; 1) – ponto médio CD = (3; 1)

E (0; 0); F (3;-3) – ponto médio EF = (1,5; -1,5)

G (6; 2); H (6; -3) – ponto médio GH = (6; -0,5)

O ponto médio do segmento CD, talvez, seja visualmente mais fácil a observação, para encontrar a média da soma das duas abscissas, determinando a abscissa do ponto médio. A média da soma das duas ordenadas é a ordenada do ponto médio. Questione os estudantes se esse procedimento é válido para encontrar as coordenadas dos pontos médios dos demais segmentos.

A relação entre as coordenadas das extremidades dos segmentos e do ponto médio é que as coordenadas do ponto médio são obtidas pela média entre as abscissas e entre as ordenadas dos pontos que pertencem às extremidades dos segmentos.

 

1.2 Qual polígono possui maior área e qual possui maior perímetro? Justifique como você encontrou essas áreas. Considere um quadradinho como unidade de medida.

Resolução:

2.1 Uma equipe de ciclistas irá da cidade A, que está no ponto (2, -2), até a cidade B, que está no ponto (8, 4) em linha reta, e terão dois pontos de descanso. O primeiro será na metade do percurso (ponto C) e o outro (ponto D), faltando 14 do percurso total para chegar. Utilizando uma malha quadriculada, localize esses pontos no plano cartesiano e determine suas coordenadas e a medida do lado de cada quadradinho com unidade no valor de 1 km. Encontre a distância que devem percorrer para chegar em cada ponto.

Resolução:

2.2 O quadrilátero ABCD representa a planta baixa de um terreno que servirá para plantar uma variedade de flores.

 

a) Considere a medida do lado de cada quadrado da malha 1 u e calcule o perímetro desse terreno.

Resolução:

b) Escreva as coordenadas do ponto médio dos segmentos AB, BC, CD 𝑒 DA .

Resolução:

MAB = (3,2), MBC = (-1,4), MCD = (-5,2) e MDA = (-1,0).

 

c) O quadrilátero ABCD é um trapézio. Qual é o outro quadrilátero que pode ser representado com o mesmo perímetro?

Resolução:

d) Calcule a área desse terreno.

Resolução:

2.3 Mário e sua família decidiram viajar para a Argélia (localizada no ponto B) para rever os parentes. Para isso, quadriculou um Mapa-múndi, em que 1 cm no mapa equivale a 1445 km de distância real.

Fonte: Pixabay1.

Considerando que cada quadradinho da malha tem lado de 1 cm, qual é a distância entre a casa de Mário, localizada no ponto A, até a Argélia?

Resolução:

Construindo um triângulo retângulo com hipotenusa AB, obtemos catetos iguais a 3 e 4, aplicando Teorema de Pitágoras: (AB)² = (3)² + (4)², obtemos hipotenusa igual a 5.

Se cada 1 cm equivale a 1 445 km, temos: 5. (1 445) = 7 225 km.

A distância entre a casa de Mário e Argélia é de 7 225 km.

Na tabela, a seguir, escreva o que você entende a respeito de cada termo relacionado:

Termo utilizado

Compreensão pessoal

Juros

É a remuneração do capital emprestado, ou seja, valor pago ao credor pelo empréstimo de dinheiro.

Descontos

Valor deduzido sobre o montante ou valor futuro.

Empréstimos

Um contrato entre o cliente e a instituição financeira pelo qual o cliente recebe uma quantia que deverá ser devolvida à instituição em prazo determinado, acrescida dos juros.

Financiamentos

Trata-se de uma operação financeira, em que é fornecido um crédito para pessoas que pretendem adquirir algum bem ou serviço. Esse crédito, em geral, é realizado por meio de uma instituição financeira, com um período determinada para devolução, mediante pagamento de juros que incidem sobre o valor principal.

Cheque especial

É um crédito automático que as instituições bancárias disponibilizam ao cliente, caso necessite, é um limite disponível na conta corrente, que incide pagamento de juros.

Aplicações financeiras

É um tipo de investimento em que se espera um retorno financeiro a partir de um valor de investimento como, por exemplo a poupança. Existem várias modalidades de aplicações financeiras.

Realize uma pesquisa sobre esses termos financeiros presentes na tabela anterior e compare com o seu registro. Complete ou faça ajustes no que escreveu para futuras pesquisas.

Comentários:

Compartilhe os resultados das pesquisas realizadas pelos estudantes. No quadro, algumas sugestões para encaminhar a discussão, aborde as vantagens e desvantagens das situações acima.

1.2 Carolina foi ao banco verificar as possíveis condições de aplicação para realizar um investimento. O gerente de sua agência apresentou um plano que renderia uma taxa de 7,5% ao ano. Carolina pretende investir o valor de R$ 2 000,00 e resgatará o valor só daqui a 3 anos. Após esse período, qual será o valor do resgate?

Resolução:

A taxa é de 7,5%, então convertemos para representação decimal: 0,075. Vamos utilizar:

1+ 0,075 = 1,075 (indica o valor investido com o acréscimo da taxa). Vamos tratar de percentuais sucessivos.

No primeiro ano, o investimento, Carolina terá o valor investido mais os juros:

1º ano: (2 000). 1,075 = R$ 2 150,00

2º ano: (2 150). 1,075 = R$ 2 311,25

3º ano: (2 311,25). 1,075 = R$ 2 484,59

Após 3 anos, o valor de resgate será de R$ 2 484,59.

 

2.1 Em grupos, discutam acerca da compra à vista e da compra a prazo em cada caso e escolham a opção mais vantajosa, justificando sua escolha.

Smart TV 55”, com resolução 4K

Preço à vista: R$ 2 292,00.

Preço a prazo em 12 vezes, sem juros: R$ 191,00.

Resolução:

O preço à vista e o valor a prazo não se alteram. Nesse caso, a opção vai depender da escolha da pessoa, se prefere ter uma despesa mensal fixa por 12 meses, ou efetuar o pagamento à vista.

Ar condicionado

Preço à vista, com 10% de desconto: R$ 1080,00.

Preço a prazo em 12 vezes, sem juro de R$ 100,00.

Resolução:

Como o desconto foi de 10%, então o valor pago corresponde a 90%. Para calcular o valor do desconto do produto, chamamos de “x” o valor que corresponde a 10%: 1 080 −90% x −10%

𝑥= 1 080 .0,100,90 → 𝑥 =120

O desconto foi de R$ 120,00, logo o preço de venda do produto é dado por:

R$ 1 080,00 + R$ 120,00 = R$ 1 200,00.

O preço do produto a prazo é igual ao preço de venda, porém pagando à vista será possível economizar R$ 120,00.

Celular com tela de 6”

Preço à vista: R$ 1 800,00.

Preço a prazo em 18 vezes, com juros de R$ 150,00.

Resolução:

O valor a ser pago a prazo será de R$ 2 700,00, tendo um acréscimo de R$ 900,00 em relação ao preço à vista. Nesse caso, o valor final terá um acréscimo de 50% em relação ao valor à vista.

Quanto à escolha sobre qual compra será mais vantajosa, os estudantes deverão discutir e argumentar seu ponto de vista. Eles poderão discutir cada situação e optar pela mais vantajosa de acordo com os cálculos realizados. Esse compartilhamento será interessante, pois ao optar por uma das formas, as pessoas levam em consideração sua situação financeira, o que em alguns casos, futuramente ainda poderá trazer mais prejuízos, principalmente quando se adquire algum bem que naquele momento não seja essencial. A análise da situação financeira também deve ser levada em consideração nessa discussão.

 

2.2 Hoje, em dia, temos a opção de pesquisar e comprar produtos por meio da internet. Para evitar transtornos, é preciso estar atento e consultar sites confiáveis. Alguns deles oferecem diversas formas de pagamento à vista, em boleto bancário, cartão de débito ou crédito. Em um desses sites aparecia a seguinte oferta:

“Tênis para prática de caminhada e corrida somente R$ 250,00”

Ao navegar no site para adquirir esse produto, determinada cliente se deparou com as seguintes formas de pagamento:

- Pagamento via boleto bancário com 6% de desconto.

Resolução:

O cliente terá um desconto de 6%, portanto pagará 94% do valor total do tênis:

  1. 0,94 = R$ 235,00

Neste caso, terá uma economia de: 250,00 – 235,00 = R$ 15,00.

- Pagamento via cartão de débito com 4% de desconto

Resolução:

O cliente terá um desconto de 4%, portanto pagará 96% do valor total do tênis:

  1. 0,96 = R$ 240,00

Neste caso terá uma economia de: 250,00 – 240,00 = R$ 10,00.

- Pagamento em cartão de crédito em até 5 vezes sem juros.

Resolução:

250 : 5 = R$ 50,00.

O cliente pagará mensalmente a prestação de R$ 50,00.

 

a) Qual das opções você acha mais vantajosa? Justifique sua escolha.

Resolução:

A descrição da resposta será pessoal. A análise feita pelos estudantes deve ser orientada após realizarem os cálculos. Seria interessante ampliar a discussão para analisarem o valor que poderiam economizar ao optar por uma forma de pagamento e as facilidades para o pagamento.

 

b) Se a cliente optar pela opção pagamento via boleto, quanto ela irá pagar pelo tênis? E se fosse via cartão de débito?

Resolução:

Pagamento via boleto pagará pelo tênis R$ 235,00 e via cartão de débito, R$ 240,00.

2.3 Joana tomou a seguinte decisão: poupar cerca de 9% do seu salário de R$ 2 500,00 para realizar uma viagem daqui a um ano em suas férias. Quando chegou no 8° mês em que guardava seu dinheiro, para sua alegria, recebeu uma promoção e seu salário passou para R$ 3 200,00. Ela decidiu manter o percentual do que planejou guardar para sua viagem. Quanto Joana conseguiu guardar ao final de um ano?

Resolução:

Vamos converter a taxa de 9% para 0,09. Calcular o quanto Joana economizou em relação ao seu salário de R$ 2 500,00, nos 7 primeiros meses, antes de receber o aumento salarial:

Calcular 9% de R$ 2 500,00: (0,09. 2 500) = 225, em 7 meses: (225.7) = 1 575

Em 7 meses Joana economizou R$ 1 575,00.

Calcular 9% de R$ 3 200,00: (0,09. 3 200) = 288, em 5 meses: (288 .5) = 1 440

Em 5 meses, Joana economizou R$ 1 440,00.

Total em um ano: 1 575 + 1 440 = 3 015

Joana conseguiu guardar ao final de um ano o valor de R$ 3 015,00.

1.1 O IBGE publicou a evolução dos pesos em relação ao IPCA (Índice de preços no consumidor) entre 2012 e 2020.

Em relação a uma família com renda de R$ 6 000,00, houve um aumento no total gasto com educação no período de 2012 a 2020? Se sim, qual foi a quantia aumentada?

Resolução:

2012 – 4,18% de 6 000,00 = R$ 250,80

2020 - 5,95% de 6 000,00 = R$ 357,00

Houve um aumento na quantia de R$ 106,20, que corresponde aproximadamente a 1,42%.

 

1.2 O infográfico abaixo retrata a situação do trabalho voluntário no Brasil em 2 016 e 2 017.

1.3 De acordo com as informações do infográfico, qual é o total de pessoas que exerceram trabalho voluntário por meio de organizações como congregação religiosa, sindicato, condomínio, partido político, escola, hospital e asilo?

Resolução:

79,8% de 7,4 milhões = 5 905 200 pessoas.

Cerca de 5,9 milhões de pessoas exerceram trabalho voluntário por meio de organizações como congregação religiosa, sindicato, condomínio, partido político, escola, hospital e asilo.

 

1.4 O gráfico, abaixo, apresenta os dados sobre o grau de instrução das pessoas de 25 anos ou mais de idade no Brasil, nos anos de 2 016 a 2 018:

 

a) Analise a afirmação:

“Mais da metade da população de 25 anos ou mais não concluíram a educação básica (Ensino Médio) em 2 018 no Brasil”. Com base no gráfico, essa informação é verdadeira? Justifique.

Resolução:

A informação é verdadeira. Ao analisar o infográfico, temos que em 2018 47,4%, considerando as pessoas que fizeram o Ensino Médio completo (26,9%), superior incompleto (4,%) e superior completo ( 16,5%0, totalizando 47,4%, estas concluíram a educação básica. Assim temos: 100% − 47,4% = 52,6% que não concluíram a educação básica.

A discussão para análise do gráfico deve ser feita em relação à forma como as pessoas leem o gráfico. Por exemplo, em geral, a leitura seria feita olhando somente a informação do Médio incompleto que apresenta 4,5% tornado a notícia falsa. Gráficos que precisam de uma análise de articulação de dados, podem induzir ao erro na interpretação, sendo gráficos comuns divulgados em mídias.

 

b) Escreva um pequeno texto divulgando os dados apresentados no gráfico. Você pode buscar, em sites, fatos que possam fornecer hipóteses para o resultado dessa pesquisa.

Resolução:

A partir dessas discussões, os estudantes devem produzir o texto, sendo a resposta pessoal, porém, ao socializar, proponha uma análise se as informações estão de acordo com a análise do gráfico.

1.5 Observe o gráfico abaixo e responda às perguntas.

 

a) Com base no gráfico, o grau de instrução e rendimento mensal afetam a prática de atividade física? Justifique sua resposta.

Resolução:

Comparando os dois dados, observa-se que quanto maior o grau de instrução e o rendimento mensal, maior é a prática de atividades físicas,

 

b) Analise a afirmação:

“Mais da metade das pessoas que possuem o Ensino Médio completo praticam atividade física”. Está afirmação está correta? Justifique sua resposta.

Resolução:

Não é verdadeira essa afirmação, pois porcentagem de pessoas que possuem Ensino Médio completo está abaixo de 50%.

A discussão sobre a análise do gráfico deve ressaltar a indução ao erro de interpretação, pois o gráfico apresenta uma linha pontilhada indicando 37,9%; porém, ao realizar uma leitura sem uma análise mais profunda, levam ao erro dando a falsa impressão de que trata de 50%. Isso acontece porque a linha que indica a porcentagem vai até 70% e não 100%. Esses gráficos são comuns em divulgação de pesquisa que exige do leitor mais atenção ao interpretar os dados.

1.1 Em grupos, pesquisem a diferença entre os três tipos de pesquisa amostral. Registrem os resultados da sua pesquisa, busquem em sites diferentes e escrevam um pequeno texto sobre o tema.

Resolução:

Os estudantes compartilham os textos com as informações. Pesquisa amostral: definir a população, quando é impossível entrevistar todos os envolvidos. A mostra deve ser representativa e estabelecer a quantidade de elementos participantes de forma que todos tenham a mesma chance de serem selecionados, com as mesmas características da população.

Os estudantes apresentam o tipo de amostra:

Amostral Casual Simples: a amostra é feita de forma aleatória de modo que todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de serem escolhidos.

Amostra Sistemática: para essa amostra deve haver uma organização da população, mas não pode ser feita previamente e a escolha deverá ser aleatória.

Amostra Estratificada: as categorias são chamadas de estratos, a população é dividida em estratos e a seleção deve ser aleatória.

 

1.2 A partir da pesquisa realizada, como você determinaria uma amostra representativa entre os alunos da sua escola?

Resolução:

Não sendo possível entrevistar todos os alunos da escola, por isso se faz um recorte da população, de forma que as pessoas participantes da amostra devem ter as características que atendam ao público-alvo da pesquisa.

 

1.3 Em grupos, escolham um tema para realizar a pesquisa. Escolha, também, qual amostra vão adotar, determinando o número de pessoas que serão entrevistadas.

De acordo com o objetivo da pesquisa, façam um planejamento (perguntas a serem feitas, o público participante da pesquisa etc.). Coletados os dados, as informações devem ser tratadas em tabelas e gráficos (escolher o tipo de gráfico que melhor representa a situação a ser exposta) que devem ser gerados através de planilhas eletrônicas ou em papel quadriculado.

Ao final, organizem uma forma de apresentar os resultados obtidos. Durante sua apresentação, compartilhe como foi o planejamento para fazer a pesquisa e fale das escolhas que fizeram: amostra, gráfico, público-alvo. Conte sobre seu aprendizado ao trabalhar com esse tema.

Resolução:

Organize os estudantes para realizarem a pesquisa. Devem escolher os temas e planejar como farão a pesquisa: público-alvo, amostra, as questões e a forma de apresentação.

2.1 Carlos fez uma pesquisa com 200 alunos de sua escola para verificar o tipo de esporte preferido por eles. O resultado obtido está representado no gráfico de setores abaixo:

a) Determine o número de alunos que preferem cada um dos esportes apresentados no gráfico.

Resolução:

Futebol- Calcular 50% de 200: 0,50. 200 = 100 alunos

Volei - Calcular 27% de 200: 0,27. 200 = 54 alunos

Handbol - Calcular 5% de 200: 0,05. 200 = 10 alunos

Outros – Calcular18% de 200: 0,18. 200 = 36

 

b) Faça uma pesquisa com pelo menos 20 pessoas sobre as suas preferências de esportes e construa um gráfico de setores representando suas respostas.

Resolução:

A descrição da resposta será pessoal.

 

2.2 A escola promoveu uma feira cultural e, na saída do evento, os 1 5 0 0 visitantes foram convidados a responder uma pesquisa de satisfação, apertando um dos botões abaixo de acordo com seu nível de satisfação:

Dos visitantes que foram convidados a responder à pesquisa, 12% não responderam, 1 1 5 0 pessoas apertaram o botão verde, 150 apertaram o botão amarelo e o restante apertou o botão vermelho.

Escolha o gráfico mais adequado para divulgação dessa pesquisa de satisfação.

Resolução:

Dados do problema:

Verde – 1150 pessoas

Amarelo – 150 pessoas

Não responderam – 12% de 1500: 0,12. 1 150 = 180

Vermelho: 1 500 – 1 150-150-180 = 20 pessoas.

Argumente as escolhas dos estudantes em relação ao gráfico para apresentar os resultados. Sugestão:

2.3 Uma empresa com 2 000 funcionários fez um levantamento do nível de escolaridade de seus funcionários e o resultado ficou exposto no gráfico a seguir:

Com base nas informações apresentadas, responda às perguntas:

a) Determine o número de pessoas de cada nível de escolaridade apresentado.

Resolução:

Ensino fundamental completo – 12% de 2 000:

0,12. 2 000 = 240 funcionários.

Ensino médio completo:

100% - 12% - 15% - 18% = 55%.

Calcular 55% de 2 000: 0,55. 2000 = 1 100 funcionários.

Ensino superior completo ou incompleto – 15% de 2 000:

0,15. 2 000 = 300 funcionários

Pós-graduação completa ou incompleta – 18% de 2 000:

0,18. 2 000 = 360 funcionários.

 

b) Quantas pessoas possuem o Ensino Médio completo?

Resolução:

Considerar: Ensino superior completo e incompleto, ensino médio completo, Pós-graduação completa e incompleta:

1 100 + 300 + 360 = 1 760 funcionários.

 

c) Uma campanha de incentivo e capacitação dos funcionários dessa empresa foi implantada e, em 5 anos, todos os funcionários que possuíam apenas o ensino fundamental completo concluíram o ensino médio, e metade dos funcionários que tinham apenas o ensino médio ingressaram no ensino superior. Construa um gráfico de setores com os novos números da empresa.

Resolução:

3.1 Uma empresa fez uma pesquisa com seu grupo de funcionários em relação ao seu salário, e os resultados foram os seguintes:

R$ 1 100,00

R$ 5 000,00

R$ 1 100,00

R$ 4 500,00

R$ 1 400,00

R$ 5 200,00

R$ 1 400.00

R$ 1 200,00

R$ 1 700,00

R$ 1 300,00

a) Qual foi a média salarial dos funcionários dessa empresa?

Resolução:

Nenhuma descrição de foto disponível.

b) Qual foi a mediana dos funcionários dessa empresa?

Resolução:

Os valores devem ser organizados em ordem crescente:

1 100; 1 100; 1 200; 1 300; 1 400; 1 400; 1 700; 4 500; 5 000; 5 200.

Como são 10 elementos, a mediana será obtida pela média entre o 5º e 6º termo:

𝑀𝑑 = (1400 + 1400)/2 = 1400

A mediana do salário dos funcionários foi de R$ 1 400,00.

 

c) Se você fosse um funcionário dessa empresa e fosse reivindicar aumento salarial justificando baixos salários, qual medida de tendência central usaria: a média ou a mediana? Justifique sua resposta.

Resolução:

Para justificar os salários baixos, a mediana indica que há uma grande diferença salarial entre os funcionários, além de ser o menor valor.

 

d) Preencha a tabela, a seguir, e construa um gráfico que melhor represente os dados:

Resolução:

Considerando a ordenação feita anteriormente, temos:

Faixa salarial

Quantidade de funcionários

Porcentagem de funcionários

De 1 000 a 1 500 reais

6

60%

De 1 500 a 2 500 reais

1

10%

Acima de 2 500 reais

3

30%

Total

10

100%

 

3.2 As notas de uma avaliação de Matemática de uma turma do 9° ano foram as seguintes:

5,0

6,0

7,5

10,0

10,0

10,0

2,5

3,8

4,5

 

8,0

9,0

10,0

3,0

5,5

8,5

10,0

6,0

8,0

 

Determine a média, mediana e esboce um gráfico dividindo as notas em 3 grupos:

  • Plenamente satisfatório – igual ou maior que 7,0;
  • Satisfatório – igual ou maior que 5,0 e menor que 7,0;
  • Insatisfatório - abaixo de 5,0.

Resolução: