9º ANO - CADERNO DO ALUNO VOLUME 1 E 2

9º ANO - CADERNO DO ALUNO VOLUME 1 E 2

Professor Diminoi

 

Caderno do Aluno Volume 1

(Modificado)

Observação: As questões a seguir são questões do Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020. Portanto, para que você compreenda toas as resoluções o “ideal” é você ter em mãos o Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020.

Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020 é um material da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo”

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

ATIVIDADE 1 – RODA DE CONVERSA – RETOMANDO OS CONJUNTOS NUMÉRICOS

 

Teoria dos Conjuntos – É o ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos.

Conjuntos Numéricos

Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. Eles nasceram como resultado das necessidades da humanidade em determinado período histórico.

Observação: Os números reais formam um conjunto que engloba aos números positivosnegativosdecimaisfracionárioszero, dízimas periódicas e dízimas não periódicas. Esse conjunto é considerado o mais completo e é capaz de realizar operações matemáticas de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Tipos de Conjuntos numéricos:

Conjunto dos Números Naturais

Conjunto dos Números Inteiros

Conjunto dos Números Racionais

Conjunto dos Números Irracionais

Conjunto dos Números Reais

Conjunto dos Números Complexos

 

Relação entre conjuntos numéricos

Alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros. Algumas dessas relações foram evidenciadas no decorrer do texto, contudo, todas elas serão expostas a seguir:

1 – O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros;

2 – O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais;

3 – O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos números reais;

4 – O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos números reais;

5 – O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números racionais não possuem nenhum elemento em comum;

6 – O conjunto dos números reais é subconjunto do conjunto dos números complexos.

Utilizando simbologia de teoria de conjuntos, essas relações podem ser escritas da seguinte maneira:


Escreva as principais características referentes aos conjuntos numéricos. Em seguida, a partir das ideias registradas, formule um parágrafo sobre os conjuntos numéricos.

ATIVIDADE 2 – ESCREVENDO OS NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL.

2.1 Os números racionais 20/4 ; 10/4 ; – 6/10 ; 2/6 ; – 83/300 ; 45/13 estão na forma de fração. Escreva-os

na forma decimal. Em seguida, explique como você fez esse procedimento.

Resolução:

20/4 = 20 ÷ 4 = 5

10/4 = 10 ÷ 4 = 2,5

−6/10 = (−6) ÷ 10 = −0,6

2/6 = 2 ÷ 6 = 0,333 … = 0,3̅

−83/300 = (−83) ÷ 300 = 0,27666 … = −0,276̅

45/13 = 45 ÷ 13 = 3,461538461538… = 3, 4̅̅6̅̅1̅̅5̅3̅̅8̅

Você percebeu que fez uma divisão entre o numerador e o denominador, obtendo assim números decimais com diferentes características: números decimais exatos; números decimais em que os números que compõem a parte decimal se repetem.

 

2.2 Escolha um critério e separe os números racionais na forma decimal em categorias a partir das suas características. Explique seu critério e faça uma análise desses números racionais.

Resolução:

Uma possibilidade:

Decimais exatos: 5; 2,5 e -0,6;

Dízimas periódicas: 0,3̅; −0,276̅ e 3, 461538 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

A representação decimal de um número racional é sempre um decimal exato ou uma dízima periódica.

 

2.3 Observe os seguintes números racionais: 0,5; 23,4; – 0,354; 6,23; 0,23; 2,12; 3,2453. Eles estão na representação decimal. Escreva-os na representação fracionária e explique o procedimento que você utilizou.

Resolução:

5/10 = 0,5

23,4 = 234/10

- 0,354 = −354/1000

6,23 = 623/100

0,̅2̅3̅̅ =Tem-se uma dízima periódica, vamos representa-la por 𝑥,

𝑥 = 0,2323 … ( I )

Após a vírgula aparece a parte periódica e com dois algarismos, então se multiplica ( I ) por 100 e se obtém:

100𝑥 = 23,2323... ( II )

Subtrai-se ( I ) de ( II) temos: 99𝑥 = 23, portanto, 𝑥 = 23/99

2,12̅ = Temos uma dízima periódica, vamos representá-la por 𝑥,

𝑥 = 2,1222 …

Vamos deixar somente a parte que se repete, após a vírgula, para isso multiplica-se por

10

10𝑥 = 21,222 … (I)

A parte periódica apresenta somente um algarismo então multiplica-se ( I ) por 10

100𝑥 = 212,222... (II)

Subtraindo (I) de (II) temos: 90𝑥 = 191 , portanto 𝑥 = 191/90

3,24̅5̅̅3̅ = Temos uma dízima periódica, vamos representá-la por 𝑥,

𝑥 = 3,245353 …

Vamos deixar somente a parte que se repete após a vírgula, para isso multiplica-se por

100𝑥 = 324,5353 … (I)

A parte periódica apresenta dois algarismos então multiplica-se ( I ) por 100

10000𝑥 = 32453,5353 ….. ( II )

Subtraindo ( I ) de ( II) temos: 9900𝑥 = 32129 , portanto 𝑥 = 32129/9900

 

ATIVIDADE 3 – LOCALIZANDO NÚMEROS RACIONAIS NA RETA NUMÉRICA.

 

É possível localizar os números racionais em uma reta numérica, inclusive considerando suas diferentes representações. Localize os números a seguir na reta numérica. Explique como você procedeu para localizá-los.

– 4; 0,5; – 2,32 ; 5/4 ; – 12/13 ; 2,3 ; 12/3 ; – 0,7- ; – 2,32; 1,251

Resolução:

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 – OS INCOMENSURÁVEIS

Há muitos anos foi atribuído aos pitagóricos o exemplo mais famoso de segmentos incomensuráveis: a relação da diagonal do quadrado com o seu lado. Essa medida resultava num valor que não podia ser representado em forma de uma fração, portanto não poderia ser um número racional. O termo “racional” vem do latim rationalis, no qual ratio significa razão, ou seja, todo número que pode ser escrito na forma de uma razão (fração) é um número racional. Logo, os números que não podiam ser escritos em forma de fração ficaram conhecidos como números Irracionais.

Geometria

Geometria é uma das três grandes áreas da Matemática, ao lado de cálculo e álgebra. A palavra “geometria” tem origem grega e sua tradução literal é: “medir a terra”. Essa informação nos dá pistas de como nasceu e o motivo pelo qual ela se desenvolveu durante os séculos.

A Geometria é o estudo das formas dos objetos presentes na natureza, das posições ocupadas por esses objetos, das relações e das propriedades relativas a essas formas.

Vamos descobrir qual é a relação da diagonal do quadrado com o seu lado a partir de uma construção geométrica:

Passo 1 – Desenhe em uma folha dois quadrados de lado 1 dm.  Trace uma diagonal em cada um, e recorte-os.

Resolução:

 1 dm               1dm

 

a)Calcule a área de cada quadrado.

Resolução:

O quadrado novo é composto pelos dois quadrados anteriores, portanto sua área será 1 𝑑𝑚2 + 1 𝑑𝑚2 = 2 𝑑𝑚². Como a área do quadrado é dada por 𝑙², temos:

𝑙2 = 2 𝑙 = √2 𝑑𝑚

 

Passo 2 – Recorte os quadrados pelas suas diagonais, obtendo 4 triângulos retângulos isósceles.

Resolução:

 

Passo 3 – Forme um único quadrado utilizando os quatro triângulos isósceles, sem sobrepô-los e sem deixar espaços vazios.

Resolução:


b)Qual é a área do novo quadrado? E a medida de seu lado?

Resolução:

O quadrado novo é composto pelos dois quadrados anteriores, portanto sua área será 1 𝑑𝑚2 + 1 𝑑𝑚2 = 2 𝑑𝑚². Como a área do quadrado é dada por 𝑙², temos:

𝑙2 = 2 𝑙 = √2 𝑑𝑚

 

c)Qual é a relação entre a diagonal dos quadrados que foram recortados (e divididos pelas diagonais) e o lado do novo quadrado?

Resolução:

Possuem a mesma medida, pois o lado maior do triângulo retângulo (hipotenusa) forma o lado do quadrado novo.

 

ATIVIDADE 2 – A REPRESENTAÇÃO DE ALGUNS NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA

2.1 Os números Irracionais podem ser representados na reta numérica por meio de construções geométricas.

 

a)Desenhe um quadrado de lado 1, com um de seus vértices no ponto zero e um de seus lados sobre a reta numérica abaixo.

Resolução:

 

b)Em seguida, com a ponta seca do compasso no ponto 0 e abertura do compasso com a medida da diagonal, construa o arco até cortar a reta numérica, marcando um ponto.

Resolução: (incompleta, figura não muito apropriada para a questão. Aplique o raciocínio)

O ponto encontrado sobre a reta numérica o ponto A será no número irracional √2.

 

2.2 Para representar √3 na reta numérica, considere o segmento que vai do 0 a √2 encontrado anteriormente e construa um retângulo de base √2 e altura 1. Trace a diagonal do retângulo e transfira a medida para a reta numérica, iniciando no zero.

Resolução: (incompleta, figura não muito apropriada para a questão. Aplique o raciocínio)

O ponto encontrado sobre a reta numérica o ponto A será no número irracional √2.

O ponto encontrado sobre a reta numérica o ponto A será no número irracional √3.

 

ATIVIDADE 3 – OS NÚMEROS REAIS

3.1 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo:

(  F  ) 11/7 é um número irracional.

( V  ) A soma de dois números naturais resulta sempre em outro número natural.

 ) – 10/44 é um número inteiro.

(  V ) Todo número natural é também um número racional.

(  F ) A divisão entre dois números inteiros resulta sempre em um número racional.

(  F ) Toda dízima periódica é um número irracional.

(  F ) O número π pode ser representado por meio de uma fração, sem aproximação.

(  V  ) Todos os anteriores pertencem ao conjunto dos números reais.

 

3.2 Considere os números a seguir, identifique a quais conjuntos numéricos eles pertencem, justificando sua resposta:

 – 2 ; – 3,7 ; – 3/7 ; 1; – 0,333... ; √2 ; π ; 5 ; 2030 ; 35% ; √5 ; – 2 ; 0,00010203.

Resolução:

Números Naturais: 1; 5 ; 2030

Números inteiros: 1; 5 ; 2030 ; -2;

Números racionais: 1; 5 ; 2030 ; -2 ; -3,7 ; −3/7 ; -0,333...; 35% ; 0,00010203

Números irracionais: √2, √5 3 , 𝜋.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

ATIVIDADE 1 – RAZÃO: UMA RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS

A proporcionalidade está presente em nosso cotidiano e não nos damos conta de sua presença. Ela está no tempo que gastamos com o banho diário e o consumo de água e energia elétrica enquanto o chuveiro está ligado; na velocidade da internet e, consequentemente, na “rapidez” dos downloads; no número de doces comprados e o valor pago etc.

Verifique a relação entre as grandezas, determine a razão para preencher a tabela:

Situação cotidiana                                                                    Razão             Relação entre as grandezas

Marcos percorreu 12 km em 2 h.                                              12/2 = 6          km/h (quilômetros por hora)

Para realizar uma viagem de 250 km, um veiculo                250/50 = 5      km/l (quilômetros por litro)

gasta 50 litros de etanol.

O potente aparelho de som de Júlia consome 7500              7,5/3 = 2,5      kW/h (quilowatthora)

watts (7,5 kW) em 3 horas de uso.

Ao assistir a vídeos nas redes sociais, são consumidos         40/10 = 4        MB/min (megabytes p/ min)

dos dados móveis do plano de internet de Marcos 40

megabytes (MB) a cada 10 minutos.

Resposta pessoal. Uma das possibilidades seria:                 600/4 = 150    l/h (litros por hora)

Resposta pessoal. Uma das possibilidades seria:                 345/5= 69       hab/km2(hab. p/Km2)

Uma determinada região do país possuí 345

habitantes numa área de 5 quilômetros quadrados.                                                                                  

l/h (litros por hora)

 

ATIVIDADE 2 – DENSIDADE DEMOGRÁFICA: UMA RAZÃO PRESENTE EM NOSSO COTIDIANO

A densidade demográfica, ou densidade populacional, é um índice muito útil para as políticas públicas, pois permite que sejam feitas comparações entre diferentes regiões do mundo. Serve para avaliar a distribuição da população em um determinado espaço geográfico e é expressa em hab/km2 (habitantes por quilômetro quadrado).

 

2.1 Sabendo que a área territorial da China é de aproximadamente 9.597.000 km² e a população é estimada em 1.394.550.000 habitantes em 2019. Calcule a densidade demográfica da China.                                 

Resolução:

Para calcular a densidade demográfica da China devemos efetuar a divisão entre o

número de habitantes pela área do país. Ao dividir 1.394.550.000 por 9.597.000, obtemos, aproximadamente, 145 hab/km².

 

2.2 Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, o Brasil possui aproximadamente 210 milhões de habitantes em 2019 sobre um território estimado de 8.500.000 km². A partir dos dados obtidos na questão 01 desta atividade, qual país possui maior densidade demográfica, Brasil ou China? No que isso interfere na disseminação do vírus, no números de infectados e na quantidade de mortes causados pelo condi 19.

Resolução:

A densidade demográfica do Brasil obtemos realizando a divisão entre o número de habitantes (210.000.000) pela área em km² (8.500.000), que resulta em, aproximadamente, 25 hab/km², logo a China possui maior densidade demográfica.

 

ATIVIDADE 3 – PÚBLICO NA MEDIDA CERTA

Em shows, festas, entre outros, é possível estimar o público presente utilizando a ideia de densidade demográfica, só que em escala menor. As concentrações de pessoas podem ser estimadas em número de pessoas por metro quadrado. Este cálculo possibilita ao Poder Público estimar a real necessidade de profissionais (médicos, policiais, bombeiros), infraestrutura, dentre outras necessidades, para dar suporte ao evento.

 

3.1 Em sua sala, em grupo, marque no chão (com fita adesiva, giz, jornal ou outro material) um quadrado de lado 1 metro. Determine a área do quadrado delimitado no chão e verifique quantos alunos “cabem” nesse espaço. Discuta com o grupo a quantidade de pessoas que ficaria confortável nesse espaço de 1 m2 e registre todas as observações desta atividade.

Resolução:

Possivelmente caberão no máximo, 9 pessoas por metro quadrado e confortavelmente 3 pessoas.

 

3.2 No campo de futebol de uma cidade do interior do Estado de São Paulo, ocorrerá um show muito esperado pelos habitantes da região. O campo possui as seguintes dimensões:

 

Observação: A dimensão do campo é: 110m x 74m

Calcula da área

A = b . h

A = área

b = base

b = altura

Para esse show, qual será a capacidade máxima de pessoas nesse campo de futebol? Quantos ingressos, no máximo, poderem ser colocados à venda?

Resolução:

 A capacidade máxima do campo de futebol é de 73.260 (110 x 74 x 9 = 73.260)
Confortavelmente, apenas 24.420 (110 x 74 x 3 = 24.420) pessoas.
Importante ressaltar que o quantitativo de pessoas por metro quadrado será o valor consensual determinado pela vivência realizada pelos estudantes. Neste problema considera-se a densidade demográfica conhecida, por exemplo máximo 9 pessoas/m², então calcula-se primeiramente, quantos metros quadrados possui o ambiente (110 x 74) e multiplica por 9 porque em cada um desses metros quadrados obtidos, comportarão no máximo 9 pessoas.

 

3.4 Em ambientes fechados, além de todas as normas que regem o tamanho das portas e os materiais de isolamento não inflamável que podem ser utilizados, os bombeiros recomendam uma lotação máxima de 2,5 pessoas por metro quadrado. Um local que possui 280 m² comportaria um público de 1.120 pessoas? Justifique.

Resolução:

A capacidade máxima desse local, segundo a orientação dos bombeiros, é de 700 (280 x 2,5 = 700) pessoas.

 

3.5 Este é um ano memorável, pois você e sua turma irão concluir o Ensino Fundamental. Visando uma possível festa de formatura em sua escola, identifique o maior local disponível (quadra, pátio, refeitório, auditório, entre outros espaços) e calcule sua capacidade, segundo as orientações dos bombeiros.

Resolução:

Esta resposta depende das dimensões do espaço escolhido, por exemplo: se o pátio da escola possui 16 m por 25m, sua área será de 400 𝑚² e sua capacidade de 1.000 pessoas (400 x 2,5). Solicitar aos estudantes que busquem informações sobre lotação máxima de pessoas nos ambientes na própria escola, entrevistando bombeiros ou em pesquisas na internet, quando possível.

 

ATIVIDADE 4 – A PROPORCIONALIDADE DIRETA: UMA RAZÃO PARA EXISTIR

(Caderno o Aluno Volume 1) A figura a seguir do representa um martelo de um famoso super-herói: 

Esse martelo foi ampliado para aumentar seu poder. Indique, dentre as alternativas abaixo, qual representa a correta ampliação do martelo e justifique sua resposta.

 

4.1 Analise as situações abaixo e indique, em cada uma, se há ou não proporcionalidade direta ou inversa, justificando sua resposta:

 

a) Para aumentar a renda familiar, Sr. José abriu uma microempresa de marmitex e vende cada marmita por R$ 10,00. Marcos comprou 12 marmitas e pagou R$ 120,00, e Poliana comprou 5 marmitas, pagando R$ 50,00.

Resolução:

Há proporcionalidade direta, pois a razão do número de marmitex pelo preço pago se mantém.

 

b) Numa promoção, na compra de três camisetas pagavam-se R$ 57,00, cinco camisetas saíam por R$ 75,00 e dez camisetas saíam por R$ 120,00.

Resolução:

Não há proporcionalidade direta, pois a nem a razão entre o preço pago e o número de camisetas se mantém (57/3 = 19, 75/5 = 15 e 120/10 = 12), também não há proporcionalidade indireta pois, nem o produto das variáveis se mantém (3 × 57 = 171; 5 × 75 = 375; e 10 × 120 = 1200).

 

c) Uma caixa d’água de 1000 ℓ proporciona 10 banhos de 100 ℓ cada, ou 20 banhos de 50 ℓ cada, ou 50 banhos de 20 ℓ cada.

Resolução:

Há proporcionalidade inversa, pois o produto 10 × 100 = 20 × 50 = 50 × 20 = 1000.

 

Lê, interpretar e fazer conversão de Escalas de Mapas e Plantas

Ler e interpretar escalas em mapas é nosso assunto dessa atividade. Explore o mapa, converse com os estudantes como imaginam que os mapas são elaborados

Escala gráfica:

1 cm no mapa equivale a 250km no tamanho real.

Escala numérica:

1:250 000 000 expressa a razão entre a distância obtida no mapa (1cm)   a distância real (25 000 000 cm). Assim, o 1 é o numerador e 25 000 000 o denominador.

Na representação fracionária podemos representar: 1/25 000 00

Observação:

1m = 100cm

1km = 100 000cm

1km = 1000m

 

Exemplo 1:

Um ponto está localizado a 5cm e a escala é 1:200 000. Qual a distância real dente ponto em km?

Resolução:

Podemos usar regra de três simples

  m        1

----- = --------

  M       n

d = medida no desenho

D = medida real

1/n = escala

 5cm           1

------ = --------------   

  D        200 000

D . 1 = 5 . 200 000 cm

D = 100 0000 cm

Observação: 1km = 10 0000 cm

Transformar cm em km divide-se por 10 000

Portanto, 100 000/10000 = 10

Resposta: nesse caso, a distância real é 10km

 

Exemplo 2:

No gráfico a seguir e responda qual é a razão da escala numérica adotada nesse gráfico?

Mapa do Estado de São paulo

Observação: dimensão fora de padrão, não use régua nem outro instrumento de medição, aplique apenas o conceito.

Resolução:

A escala é 1:600 000

 

Exemplo 3:

Em um mapa cuja escala é 1:2 500 000, duas cidades estão separadas, em linha reta, por centímetros. A distância real (no terreno em km) entre essas duas cidades é:

(A) 50 km                  

(B) 75 km               

(C) 125 km                 

(D) 500 km               

(E) 1250 km

Resolução:

Podemos usar regra de três simples

  m        1 (numerador)

----- = --------

  D         n (denominado)

m = medida no desenho

D = medida real

1/n = escala

 5cm           1

------ = --------------   

  M        2 500 000

D . 1 = 5 . 2 500 000

D = 1 250 0000 cm

Observação: 1km = 10 0000 cm

Transformar cm em km divide-se por 10 000

Portanto, 1 250 000/10000 = 125 km

Resposta: a distância real é

Alternativa: C

 

PLANTA BAIXA

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

ATIVIDADE 1 – CONHECENDO A PLANTA BAIXA

 

Para trocar o piso da sala e da cozinha, Seni solicitou ao pedreiro que realizasse o cálculo do total dessas duas áreas. Após alguns minutos, o pedreiro informou que o total das duas áreas era de 45 m². Veja a seguir a planta arquitetônica da casa de Seni:

 

1.1 Com base na planta baixa (planta arquitetônica) da casa de Seni, calcule:

a) As medidas da cozinha e da sala em metros.

Resolução:

Para obter o comprimento, oriente os alunos a utilizarem a régua. O comprimento da cozinha, em centímetros, é de 4 cm. Interpretando a escala, cada centímetro na planta arquitetônica equivale a 100 cm no real, o comprimento da cozinha, no real, é de 400 cm, ou, conforme o solicitado, 4 m.

O comprimento da sala, em centímetros, é de 6 cm. Como, segundo a escala, cada centímetro na planta arquitetônica equivale a 100 cm no real, o comprimento da sala, no real, é de 600 cm, ou, conforme o solicitado, 6 m.

 

b) A área da cozinha e da sala em metros quadrados.

Resolução:

A cozinha possui 4 cm × 3 cm, ou seja, utilizando a escala dada, 4 m × 3 m = 12 m².

A sala possui 6 cm × 3 cm, ou seja, utilizando a escala dada, 6 m × 3 m = 18 m².

 

c) O pedreiro estava correto em seus cálculos? Justifique.

Resolução:

O pedreiro se equivocou nos cálculos, pois 12 𝑚² + 18 𝑚² = 30 𝑚² e não 45 𝑚².

 

ATIVIDADE 2 – OS MAPAS E AS PLANTAS ARQUITETÔNICAS: ESCALAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

No rodapé dos mapas e das plantas arquitetônicas, normalmente encontram-se suas escalas.

A escala é elaborada a partir da razão de redução ou ampliação sofrida. É possível calcular a medida real utilizando a escala. Nas aulas de Geografia muitos mapas são analisados, cada um com sua escala. Quando o mapa apresenta uma escala de 1:1000, por exemplo, significa que cada unidade de medida no mapa representa mil unidades de medida no real. Se você estiver utilizando uma régua, significa que cada centímetro no mapa representa 1.000 centímetros no tamanho real. Com base no exposto, resolva os problemas elencados a seguir:

 

2.1 Malkom vai viajar até a casa de Diana, sua prima, que mora numa cidade vizinha. Ao pesquisar no GPS o endereço de Diana, deparou-se com o seguinte mapa:

Resolução:

Explore as informações que estão no mapa, como os pontos de referência e a escala e o significado dessa representação.

 

2.2 Utilize a régua para medir, em centímetros, a distância entre a casa de Malkom e a de Diana. Após utilizar a escala do mapa para transformar a distância medida em distância real, determine a distância aproximada, em quilômetros, da casa de Malkom até a moradia de Diana.

Resolução:

Os estudantes devem medir, utilizando a régua, a distância (em linha reta). Utilizando a escala apresentada no mapa, devem multiplicar o valor encontrado por 100.000. Lembre-os que 1 km= 100.000 cm, assim farão a conversão dos valores encontrados em centímetros para quilômetros.

 

2.3 Ana Voig, moradora da Estância Hidromineral de Águas de Santa Bárbara, interior de São Paulo, em uma busca na internet, descobriu que a cidade de Brotas é famosa por seu esporte radical Rafting, e Boituva é famosa pelos saltos de paraquedas. Ao consultar o mapa político do Estado de São Paulo, disponível no site do IBGE, pôde conferir, aproximadamente, as distâncias entre as cidades.

Resolução:

No mapa, os estudantes devem medir, utilizando a régua, a distância (em linha reta) entre Águas de Santa Bárbara e Boituva. Utilizando a escala disponibilizada, eles devem multiplicar o valor encontrado por 1.400.000. Como devem calcular em km, lembre-os que 1 km= 100.000 cm, assim farão a conversão dos valores encontrados em centímetros para quilômetros. Devem comparar as distâncias e então encontrar qual á a cidade mais próxima, calculando a diferença entre as cidades.

 

ATIVIDADE 3 – O USO DA CRIATIVIDADE NA ELABORAÇÃO DE SITUAÇÕES-PROBLEMA.

Nesta atividade você terá a oportunidade de utilizar sua criatividade para elaborar situações-problema e desafiar seus colegas a resolvê-las.

 

3.1 A partir de tudo que estudamos nesta Situação de Aprendizagem, junte-se a um colega e elaborem uma situação-problema que envolva proporcionalidade direta ou inversa. Não se esqueçam de, em uma folha avulsa, realizar a resolução detalhada do problema elaborado, para corrigir possíveis equívocos. Proponham a situação-problema elaborada para outra dupla resolver e verifiquem as respostas apontadas.

Resolução:

Resposta pessoal. Socialize os problemas elaborados pelos estudantes. Verifique se a resolução envolve a proporcionalidade direta ou inversa.

 

3.2 Elabore, em grupo, uma situação-problema que envolva escalas em mapas ou plantas arquitetônicas. Utilize régua para desenhar o mapa ou a planta arquitetônica nas devidas proporções. Realize a resolução detalhada do problema elaborado em uma folha avulsa, para verificar se todos os dados estão corretos e se a resposta é possível. Proponha a situação-problema elaborada para outro grupo responder e verifique as respostas apontadas.

Resolução:

Resposta pessoal. Auxilie os estudantes nessa organização.

Dica: pesquise mapas ou plantas arquitetônicas para complementar sua elaboração e utilize dados do bairro onde mora, de sua casa ou da escola onde estuda.

Exemplos 1: Observe a figura abaixo e encontre os valores de x e y. Respectivamente.

Resposta: x = 50º e y = 130º

 

Exemplo 2: Calcule o valor de x na figura.

Resolução:

Os ângulos da figura são complementares, isto é, a soma entre eles é igual a 90º.

x + 40 + 3x + x – 10 = 90

5x + 30 = 90

5x = 90 – 30

5x = 60

x = 12

 

Exemplo 3: Calcule o valor de x, y, z na figura.

Resposta: x = 70º,  y = 70º, z = 110º

 

Exemplo 4:

As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos

 

a) 

Resolução:

55º

 

b) 

Resolução:

74º

 

c) 

Resolução:

33º

 

Exemplo 5:

As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î ?

Resolução:

Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b.

Portanto:

î = 80° + 50° = 130°

 

Exemplo 6:

Obtenha as medidas dos ângulos assinalados

a) 

Resolução:

160° - 3x = x + 100°       

160° - 100° = x + 3x   

60° = 4x    

x = 60°/4   

x = 15° 

Portanto:

15° + 100° = 115° e 160° -3 . 15° = 115°

 

b) 

Resolução:

6x + 15° + 2x + 5º = 180°

6x + 2x = 180° -15° - 5°

8x = 160°

x = 160°/8

x = 20°

Portanto:

6 . 20° + 15° =135° e 2 . 20° + 5° = 45°

 

SITUÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

ATIVIDADE 1 – RELAÇÕES ENTRE OS ÂNGULOS FORMADOS POR

RETAS PARALELAS CORTADAS PELA RETA TRANSVERSAL.

 

Vamos estudar sobre as retas paralelas e retas transversais. Temos na figura duas retas distintas r e s, que são paralelas (r // s), e a reta t que as intercepta.

 

1.1 Observando a figura 1 responda:

 

a) Quantos ângulos a reta t forma com as retas paralelas r e s?

Resolução:

8 ângulos

 

b) Com o transferidor meça cada um dos ângulos, e organize esses dados em uma tabela.

Resolução:

a = 40º

b = 40º

c = 140º

d = 140º

e = 40º

f = 40º

g = 140º

h = 140º

 

c) Agora agrupe os ângulos que possuem a mesma medida.

Resolução:

𝑎̂ = 𝑏 ̂ = ̂𝑒 = ̂𝑓 = 40° e 𝑐̂= 𝑑 ̂ = ̂𝑔 = ̂ = 140° (de acordo com a figura 1)

 

1.2 Identifique os pares desses ângulos que são:

 Ângulos correspondentes:

Ângulos alternos internos:

Ângulos alternos externos:

Ângulos colaterais internos:

Ângulos colaterais externos:

Ângulos opostos pelo vértice:

Resolução:

Ângulos correspondentes: a . e ; c . g ; d , h ; b , f

Ângulos alternos internos: b , e ; g , d

Ângulos alternos externos: a , f ; c , h

Ângulos colaterais internos: b , g ; d , e

Ângulos colaterais externos: a , h ; c , f

Ângulos opostos pelo vértice: a , b ; c , d ; g , h ; e , f

 

ATIVIDADE 2– DEMONSTRANDO ALGUMAS PROPRIEDADES

 

2.1- Demonstre que ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Resolução:

Apresentamos aqui uma sugestão para o encaminhamento da demonstração, mas você poderá utilizar outra forma que esteja mais familiarizado.

Provar que 𝑎̂ = 𝑓̂ (o.p.v.)

Sabe-se que 𝑎̂ + 𝑏 ̂ = 180° (ângulos suplementares) (I) e que 𝑏 ̂ + 𝑓̂ = 180° (ângulos

suplementares) (II), igualando a equação ( I ) com a equação ( II ), temos

𝑎̂ + 𝑏 ̂ = 𝑏 ̂ + 𝑓̂ logo 𝑎̂ = 𝑓̂

 

2.2- Demonstre que ângulos alternos internos são congruentes.

Resolução:

Apresentamos aqui uma sugestão para o encaminhamento da demonstração, mas você poderá utilizar outra forma que esteja mais familiarizado.

Provar que ĉ = f̂ (ângulos alternos internos)

Sabe-se que â = ĉ ( I ) (ângulos correspondentes) e â = f̂ ( II ) (o.p.v.), igualando a equação ( I ) com a equação ( II ), temos ĉ = f̂ .

 

 ATIVIDADE 3 – DESCOBRINDO O “X DA QUESTÃO”!

 

Sabendo que a reta r é paralela à reta s e a reta t é paralela à reta v, junto com seus colegas encontre o valor do ângulo x, justificando sua resposta.

a) Resposta: 95º

b) Resposta: 85º

c) Resposta: 85º

d) Resposta: 85º

 

3.1 Etapa concluída: Escreva o que você aprendeu nesta Situação de Aprendizagem.

Resolução:

Reescrevam o que aprenderam. É uma oportunidade para que você possar refletir sobre sua aprendizagem, principalmente porque fazer demonstrações envolve o raciocínio de forma organizada estruturando uma lógica para os procedimentos de uma demonstração.

 

 

Teorema de Tales

Teorema de Tales é como ficou conhecida a propriedade matemática que relaciona as medidas dos segmentos de reta formados por um feixe de retas paralelas cortado por retas transversais. Antes de falar do teorema em si, é bom lembrar o conceito de feixe de retas paralelas, retas transversais e uma de suas propriedades:

Duas ou mais retas são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto em comum. Quando destacamos três ou mais retas paralelas em um plano, dizemos que elas formam um feixe de retas paralelas. As retas transversais são aquelas que “cortam” as retas paralelas.

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Exemplo 1:
Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

Resolução:

AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6

Determinando o valor de x:
AB = 2x – 3 → 2 . 4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6


Exemplo 2:
Determine o valor de x na figura a seguir:

Resolução:

 

Exemplo 3:
A figura a seguir, r//s//t, determine as medidas dos segmentos.

Resolução:

Aplicando o teorema de Tales, temos:

Para determinar a medida dos segmentos, devemos substituir os valores de x.

 

Exemplo 4:

(Enem) A planta de determinado bairro de uma cidade apresentou o desenho a seguir. O responsável pelo departamento de obras do município constatou a ausência de algumas medidas nessa planta, as quais ele representou no projeto por x e y.


Com base nos dados do projeto, esse responsável pôde calcular corretamente os respectivos valores de x e y:

(A) 35 m e 56 m

(B) 25 m e 40 m

(C) 35 m e 70 m

(D) 56 m e 70 m

(E) 56 m e 84 m

Resolução:

Observando a imagem, temos que o teorema de Tales pode ser aplicado na planta do bairro. Os segmentos que ligam as ruas A e B são paralelos, logo, temos:

Portanto, os valores de x e y são, respectivamente, 35 m e 56 m.

Alternativa: A

 

Exemplo 5:
Observe a figura r // s // t. Calcule o valor de x de acordo com o Teorema de Tales.

Resolução:

 

Exemplo 6:
(Fuvest-SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m? 

Resolução:

Resposta: A medida da frente dos lotes em relação à rua B são: 80, 60 e 40 metros.

 

Exemplo 7:
No triângulo ABC a seguir, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Determine o valor de x aplicando a proporcionalidade entre segmentos paralelos cortados por segmentos transversais. 

Resolução:

Pelo Teorema de Tales temos:

Resposta: o valor de x corresponde a 9.

 

Exemplo 8:
Observa a figura e encontre o valor de x.

Resolução:

7(2x – 2) = 4(3x + 1)
14x – 14 = 12x + 4
14x – 12 x = 4 + 14
2x = 18
x = 18/2
x = 9

 

Exemplo 9:
Observa a figura e encontre o valor de x.

Resolução:

x(x – 2) = (x – 3)  (x + 2)

x² – 2x = x² + 2x – 3x – 6
x² – x² – 2x – 2x + 3x = – 6
– 4x + 3x = – 6
– x = – 6
x = 6

 

Exemplo 10:

a figura, temos a // b // c. Nessas condições, determine a medida  indicada.

 

 

 

 

 

 

 

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6

ATIVIDADE 1 – ESPECULANDO MEDIDA.

A tirolesa, originária da região do Tirol (Áustria), é um meio de transporte individual para travessia de rios, lagos e desfiladeiros. Constitui-se em um cabo de aço aéreo, ancorado entre dois pontos, no qual o usuário, preso a um cinto especial, se desloca através de roldanas conectadas por mosquetões a um arnês (uma espécie de cinto de segurança para a escalada). Atualmente é usado como atividade esportiva de aventura.

professora Cláudia possui uma parque com atrações radicais, entre elas uma tirolesa entre que tem seus pontos de sustentação em dois postes paralelos, colocados a uma distância o 40m e unidos por um cabo de ação aéreo de 50m. A fim de ampliar essa tirolesa, mantendo a mesma inclinação, será colocado um novo poste, paralelamente aos anteriores e a uma distância de 60m conforme a figura abaixo.

A professora Cláudia precisará trocar o cabo de aço aéreo e, para isso, comprou 70m de cabo. Será que ela comprou a quantidade suficiente?

Resolução:

Aplicando regra de três simples

x        50    

60       40

40x = 50 . 50

40x = 3000

x = 3000/40

x = 75

Resposta: a quantidade de cabo de aço que a professoras Cláudia comprou não ´suficiente porque ela precisa de 75 m e tirolesa.

 

ATIVIDADE 2 – FAMILIARIZANDO-SE COM RAZÃO ENTRE SEGMENTOS APOIADO EM PROJETO DE VIDA.

2.1 Quando queremos saber se determinado curso de uma faculdade tem grande concorrência, precisamos obter a relação de candidatos por vaga, que é a razão do total de inscritos no vestibular dividido pelo número de vagas oferecido pela instituição.

A Faculdade A possui 3250 candidatos inscritos para 50 vagas, e a Faculdade B possui 1950 candidatos inscritos para 30 vagas. Em qual das duas faculdades o candidato terá maior “chance”? Justifique.

Resolução:

Faculdade A = 3250/ 50 = 65 candidatos por vaga, e na Faculdade B = 1950/30 = 65 candidatos por vaga, observa-se que nas duas Faculdades as “chances”, se igualam (são as mesmas).

 

2.2 Dado um segmento AB de 3 cm e um segmento CD de 12 cm, qual é a razão entre AB e CD nesta ordem?

Resolução:

3/12 = 1/4

 

2.3 Em dupla, elabore um problema que envolva a razão entre duas grandezas e entregue-a para outra dupla resolver.

Resolução:

Resposta pessoal. Após a elaboração do problema, entregar a folha para outra dupla e resolver o problema proposto pelos outros colegas. Acompanhe as discussões entre as duplas, verificando se o problema elaborado atende ao solicitado na proposta.

 

ATIVIDADE 3 – APROFUNDANDO O CONHECIMENTO: RAZÃO ENTRE SEGMENTOS

Observação: Com base nos exemplos resolvidos resolva as questões do caderno do aluno

 

ATIVIDADE 3 – APROFUNDANDO O CONHECIMENTO: RAZÃO ENTRE SEGMENTOS

 

3.1 A Figura 4 é representada por um feixe de retas paralelas r // s // t, cortadas por duas transversais, v e y.

Com uma régua, encontre o valor de:

 

a)AB; BC; A’B’; B’C’

Resposta:

̅𝐴̅̅𝐵̅ = 1; ̅𝐵̅̅𝐶̅ = 2; ̅𝐴̅̅′̅𝐵̅̅′ = 3; ̅𝐵̅̅′̅𝐶̅̅′ = 6

 

b)Qual a razão de AB para BC?

Resposta:

̅𝐴̅̅𝐵̅/̅𝐵̅̅𝐶̅ =  1/2

 

c)Qual a razão de AB para A’B’?

Resposta:

𝐴̅̅̅𝐵̅̅/𝐴′𝐵′ = 1/3

 

d)Qual a razão de A’B’ para B’C’?

Resposta:

̅𝐴̅̅′̅𝐵̅̅′/̅𝐵̅̅′̅𝐶̅̅′ = 3/6 = 1/ 2

 

e)Qual a razão de BC para B’C’?

Resposta:

̅𝐵̅̅𝐶̅/𝐵′𝐶 = 2/ 6 = 1/3

 

Quando duas razões são equivalentes, formam uma proporção, isto é:

AB / BC = A’B’/ B’C’

Realizamos a seguinte leitura: AB está para BC assim como A’B’ está para B’C’.

 

3.2 Junto com um colega, resolva os exercícios a seguir para encontrar o valor de x, sabendo que as retas a, b e c são paralelas, e que determinam nas retas transversais r e s, segmentos cujas medidas estão indicadas em cm.

 

a)Resolução:

𝑥 + 1/4 = 5/5 → 5𝑥 + 5 = 20 → 5𝑥 = 15 → 𝑥 = 3𝑐𝑚

 

b)Resolução:

5/2𝑥 – 1 = 4/𝑥 + 1 → 8𝑥 − 4 = 5𝑥 + 5 → 8𝑥 − 5𝑥 = 5 + 4 → 3𝑥 = 9 → 𝑥 = 3 𝑐𝑚.

 

c)Resolução:

3/2𝑥 = 4/𝑥 + 1 → 8𝑥 = 3𝑥 + 3 → 5𝑥 = 3 → 𝑥 = 3/5 𝑐𝑚

 

d)Resolução:

4/𝑥 = 2/3𝑥 – 5 → 12𝑥 − 20 = 2𝑥 → 10𝑥 = 20 𝑥 = 2𝑐𝑚

 

3.3 Retomando o problema da professora Cláudia, vamos verificar se a medida de cabo de aço que ele comprou será suficiente para ampliar a distância da tirolesa?

Resolução:

Aplicando regra de três simples

x        50    

60       40

40x = 50 . 50

40x = 3000

x = 3000/40

x = 75

Resposta: a quantidade de cabo de aço que a professoras Cláudia comprou não ésuficiente porque ela precisa de 75 m e tirolesa  la só comprou 70 m.

4.1 Nas figuras a seguir, temos DE//BC. Considerando a propriedade do Teorema de Tales nos triângulos, encontre a medida x:

 

a) Resolução:

4/2 = 6/𝑥

𝑥 = 3

 

b) Resolução:

6/4 = (5𝑥 − 3)/8

𝑥 = 3

 

4.3 Em uma determinada hora do dia, o prédio da escola projeta uma sombra de 12 m, e uma árvore plantada ao lado, com 5 metros de altura, projeta uma sombra de 3 m. Veja o esquema ao lado. Se mais tarde a sombra da árvore diminuir em um metro, qual será a sombra do prédio da escola?

Resolução:

Tem-se o prédio e a arvore sobre as retas paralelas (r e s) e suas projeções nas retas transversais (t e u), pelo Teorema de Tales podemos escrever:

/5 = 12/3 → 3 = 60 →  = 20 𝑚 é a altura do prédio. A sombra da árvore diminuiu em um metro, passou para 2 m, mas a altura do prédio e a altura da árvore continuam a mesma, então teremos

20/𝑥 = 5/2 → 5𝑥 = 40 → 𝑥 = 8 𝑚

 

4.4 Em grupo, façam uma pesquisa sobre Tales e seu Teorema. Tragam curiosidades sobre o tema para compartilhar com a classe.

Observação: No dia agendado para apresentarem a pesquisa, organize os alunos de forma que todos possam participar. Uma sugestão seria antecipadamente verificar com os estudantes qual o formato da apresentação, assim você poderá organizar os tempos dos grupos e o espaço.

 

SEMELHANÇA

O que são figuras semelhantes?

Figuras semelhantes são aquelas que possuem ângulos correspondentes semelhantes e lados correspondentes proporcionais. Essa proporção entre os lados e a semelhança entre as figuras garantem também a existência de uma propriedade envolvendo suas áreas. Para compreender melhor essa propriedade, é necessário relembrar o conceito de razão de semelhança

 

Razão de semelhança

razão de semelhança é o resultado da divisão entre as medidas de um lado da primeira figura e o lado correspondente a ele da segunda figura. Isso só vale para figuras que são semelhantes. Os hexágonos regulares, representados a seguir, são exemplos de figuras semelhantes:

Nessas figuras, a razão entre o lado AB e o lado GH é igual a 0,5. A razão entre os lados FE e LK também é 0,5, pois esses lados são correspondentes.

Exemplo 1:

(Saresp) Na figura a seguir, a figura B é uma ampliação da figura A. Para esta transformação podemos afirmar que 

(A) o perímetro de B se manteve o mesmo de A, e os ângulos internos correspondentes dobraram de valor.

(B) o perímetro de B passou a ser o triplo do perímetro de A, e os ângulos internos nos correspondentes não se alteram.

(C) o perímetro de B passou a ser o dobreo do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes não se alteram.

(D) o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes também dobraram de valor.

Alternativa: C

 

Exemplo 2:

As figuras I e II são semelhantes e a razão entre seus lados é 2.

Pode-se concluir que as razões entre os perímetros e entre as áreas das figuras I e II são, respectivamente,

(A) 2 e 2

(B) 2 e 4

(C) 2 e 8

(D) 4 e 4

Alternativa: B

 

ATIVIDADE 4 – TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS

 

4.1 Nas figuras a seguir, temos DE//BC. Considerando a propriedade do Teorema de Tales nos triângulos, encontre a medida x:

Resposta

a) 4/2 = 6/𝑥

𝑥 = 3

 

b) 6/4 = (5𝑥 − 3)/8, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 3

 

4.3 Em uma determinada hora do dia, o prédio da escola projeta uma sombra de 12 m, e uma árvore plantada ao lado, com 5 metros de altura, projeta uma sombra de 3 m. Veja o esquema ao lado. Se mais tarde a sombra da árvore diminuir em um metro, qual será a sombra do prédio da escola?

Resposta:

Tem-se o prédio e a arvore sobre as retas paralelas (r e s) e suas projeções nas retas transversais (t e u), pelo Teorema de Tales podemos escrever:

/5 = 12/3 → 3 = 60 → = 20 𝑚 é a altura do prédio. A sombra da árvore diminuiu em um metro, passou para 2 m, mas a altura do prédio e a altura da árvore continuam a mesma, então teremos 2/𝑥 = 5/2 → 5𝑥 = 40 → 𝑥 = 8 𝑚

 

4.4 Em grupo, façam uma pesquisa sobre Tales e seu Teorema. Tragam curiosidades sobre o tema para compartilhar com a classe.

Resposta:

No dia agendado para apresentarem a pesquisa, organize os alunos de forma que todos possam participar. Uma sugestão seria antecipadamente verificar com os estudantes qual o formato da apresentação, assim você poderá organizar os tempos dos grupos e o espaço.

 

ATIVIDADE 5 – SEMELHANÇA

 

Você considera essas figuras semelhantes? Justifique sua resposta.

Resposta:

 

5.1 Amplie ou reduza a figura abaixo na malha quadriculada e descreva o processo que usou.

Resposta:

Observe se as justificativas contemplam: proporcionalidades entre os lados dos polígonos originais (ampliação/redução) bem como a igualdade entre os ângulos correspondentes.

 

5.1 Identifique os polígonos que formam a figura original e da figura que você ampliou ou reduziu. Quais são eles?

Resposta:

Paralelogramo, triângulo, retângulo e quadrado.

 

5.2 Agora, utilizando uma régua, meça os lados do polígono original e da sua ampliação ou redução e encontre a constante de proporcionalidade entre os lados correspondentes de todos os polígonos. Após o cálculo, o que você concluiu?

Resolução:

A seguir, um exemplo do cálculo que o estudante deverá fazer, considerando as medidas encontradas por ele.

Supondo que o estudante tenha encontrado estas medidas

Paralelogramo: largura →2,83/5,66 = 1/2; comprimento → 8/16 = 1/2 Triângulo: lado → 2,83/5,66 = 1/2; lado → 4/8 = 1/2.

Retângulo: largura → 4/8 = 1/2; comprimento → 8/16 = 1/2

Quadrado: lado→ 4/8 = 1/2

Temos a figura original como a metade da ampliada, poderia ter feito ao contrário aí a constante de proporcionalidade seria 2, isto é, a ampliada é o dobro da figura original. Com a constante de proporcionalidade garante-se que as figuras são semelhantes.

 

ATIVIDADE 6 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

 

6.1 Observe as figuras abaixo:

É possível afirmar que temos uma ideia de semelhança? Justifique.

Resolução:

Explore com os estudantes a ideia de semelhança. Podem medir os lados dos triângulos e fazer uma relação entre eles.

 

6.2 Utilizando um compasso, construa dois triângulos: um com lados 1 cm; 3,5 cm e 5 cm e outro com lados 2 cm; 7 cm e 10 cm. Há semelhança entre eles?

Resolução:

Sim, há semelhança, pois os pares de lados correspondentes são proporcionais.

Observação:

A construção ao lado foi feita com software, caso tenha a possibilidade de usar um software, é uma opção para os estudantes, mas caso contrário, a proposta com régua e compasso também auxiliará os estudantes a desenvolveram a atividade.

 

6.4 Construa um triângulo com um lado de 4 cm e outro de 6 cm formando um ângulo de 40°. Depois construa outro triângulo, com um lado de 8 cm e outro de 12 cm formando um ângulo de 40°. Os triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta.

Resolução:

Porque há constante de proporcionalidade entre os pares de lados correspondentes.

 

ATIVIDADE 7 – CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

 

7.1 (Figura desta questão no Caderno o Aluno Volume 1) Considerando que e são ângulos congruentes, os triângulos ABF e CFD são semelhantes? Justifique.

Resolução:

Os triângulos são semelhantes pelo caso AA. (𝐵𝐹 ̂𝐴  𝐶𝐹 ̂𝐷 (𝑜𝑝𝑣. ) 𝑒 𝛼  𝛽)

 

7.2 Considerando que os segmentos AB e CD são paralelos:

 Observe a figura. Considerando que os segmentos ̅𝐴̅̅𝐵̅ e ̅𝐶̅̅𝐷̅ são paralelos:

a)Quantos triângulos temos na figura?

Resolução:

Temos dois triângulos 𝐴𝐵𝐸 𝑒 𝐶𝐷𝐸.

 

b)Por que os dois triângulos são semelhantes?

Resolução:

Porque:

𝐵𝐴 ̂ 𝐸  𝐷𝐶 ̂ 𝐸 (são ângulos correspondentes)

𝐴𝐵 ̂ 𝐸  𝐶𝐷 ̂𝐸 (são ângulos correspondentes)

𝐸 ̂  𝐸 ̂ (ângulo comum ao dois triângulos)

 

c)Qual é a constante de proporcionalidade entre os pares de lados correspondentes?

Resolução:

Pelo caso AA, os triângulos 𝐴𝐵𝐸 𝑒 𝐶𝐷𝐸, são triângulos semelhantes e 14/10 = 7/5 é a constante de proporcionalidade entre os pares de lados correspondentes dos dois triângulos.

 

d)Qual é a medida indicada por x?

Resolução:

Temos:

𝑥 + 8/8 = 𝑦 + 5/5 = 7/5

𝑥 + 8/8 = 7/5 → 5𝑥 + 40 = 56 → 5𝑥 = 16 → 𝑥 = 16/5

 

e)Qual é a medida indicada por y?

Resolução:

(𝑦+5)/5 = 7/5 → 𝑦 + 5 = 7 → 𝑦 = 2

 

7.3 Elabore e resolva uma situação-problema na qual se utilize semelhança de triângulos. Em seguida, dê a questão para um colega resolver

Orientação: Os estudantes podem ser organizados em duplas para elaborarem o problema. Oriente-os sobre a estrutura de um problema e sobre a clareza. Após a resolução entre os estudantes, socialize alguns enunciados e algumas resoluções.

 

Caderno do Aluno Volume 2

  Observação: As questões a seguir são questões do Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020. Portanto, para que você compreenda toas as resoluções o “ideal” é você ter em mãos o Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020.

“Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020 é um material da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo”

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

ATIVIDADE 1 – OPERANDO COM NOATÇÃO CIENTÍFICA

A primeira tentativa conhecida de representar números muito grandes foi atribuída ao matemático e filósofo grego Arquimedes. Em sua obra “O Contador de Areia”, ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar a quantidade de grãos de areia do universo. Esse número estimado era de 1 . 1063 grãos de areia. A nova forma de representar números “muito grandes” também foi utilizada para representar números “muito pequenos” e,

após alguns aprimoramentos, recebeu o nome de “Notação Científica”.

A notação científica, além de facilitar a escrita de números “muito grandes” ou “muito pequenos”, auxilia nos cálculos envolvendo esses valores. As operações de multiplicação ou divisão de números representados em notação científica seguem as regras da multiplicação ou da divisão de bases iguais:

 

1.1 Observe a tabela a seguir e preencha as lacunas, lembre-se que, quando os expoentes das potências de dez são diferentes, devemos igualá-los primeiro para, depois, realizar a operação.

 

Valor 1

Valor 2

Adição (valor 1 + valor 2)

Adição (valor 1 - valor 2)

2,5 . 106

1,6 . 196

(2,5 + 1,5) . 106 = 4 . 106

(2,5 - 1,5) . 106 = 1 . 106

4,7 . 108

7 . 197

4,7 . 108 = 47.107

Então temos:

(47 +7) . 107 = 54.107 = 5,4 . 108

4,7.108 = 47.107

Então temos:

(47 – 7) . 107 = 40.107 = 4.108

1,041 . 105

4,1 . 103

1,041 . 105 = 104,1 . 103

Temos:

(104,1 + 4,1) . 103

108,2 . 103 = 1,082 . 105

1,041 . 105 = 104,1 . 103

Temos:

(104,1 – 4,1) , 103

100 . 103 = 1 . 105

8,2 . 108

4,1  . 105

4,4 . 105 = 0,0044 . 108

Temos:

(8,2  + 0,0044) . 108 = 8,2044 . 108

4,4 . 105 = 0,0044 . 108

Temos:

(8,2 . 0044) . 108 = 8,1956 . 108

 

ATIVIDADE 2 – O UNIVERSO: NÚMEROS QUE IMPRESSIONAM

2.1 As distâncias no Universo são medidas em anos-luz, ou seja cada ano-luz representa a distância percorrida pela velocidade da luz em um ano. A velocidade da luz é de, aproximadamente, 3 . 108m/s ou 3 . 105km/s.

 

a) Escreva essa distância com todos os dígitos.

Resolução:

Considerando o ano com 365 dias, temos: 365 . 60 . 60 = 31 536 000 segundos em um ano, multiplica-se 31 536 000 . 300 000 000 = 9 460 800 000 000 000 mtros. Portanto um ano luz corresponde a 9 460 800 0002 000 000 metros percorridos por ano.

 

b) Quantos metros, aproximadamente, possui um ano-luz, considerando que o ano tem 635 doas?

Resolução:

9,4608 . 105 metros.

 

2.2 A distância média entre a Terra e o Sol é de 1,496 . 108 km, e a distância média entre Mercúrio e o Sol é de 5,79 . 107 km. Observando a figura a seguir, qual é a distância média entre a órbita da Terra e a órbita de Mercúrio?

Resolução:

A distância requerida é obtida através da diferença entre as distâncias médias da Terra ao Sol e de Mercúrio ao Sol, ou seja: 1,496 . 108 – 5,79 . 107 = 14,96 . 107 – 5,97 . 107 = (14,96 – 6,79) . 107 m = 9,17 . 107 km

 

2.3 Todos estamos suscetíveis a doenças, principalmente as que são causadas por vírus ou bactérias. Esses seres microscópicos podem causar várias enfermidades, que vão desde uma simples gripe até uma contração de tétano. Porém, nem todas as bactérias são prejudiciais aos seres humanos, pois algumas auxiliam e muito na saúde. Observe a tabela abaixo:

Quadro 2 – Tamanho (m) de bactérias e vírus comuns no dia a dia

Vírus ou bactéria

Comprimento em metros

Vírus de gripe

0,000 000 0023m

Bactéria do tétano

0,00001 m

Vírus da dengue

0,000000050 m

Bactérias Escherichia coli (a mais comum em infecções de urina)

0,000006 m

A partir dos dados elencados na tabela, elabore uma situação problema envolvendo operações com notação científica, e compartilhe com seu colega. Tente resolver a situação elaborada por seu colega e, juntos, discutam acerca dos resultados.

Resolução:

Espera-se que os estudantes elaborem situações-problema que envolvam situações cotidianas e necessitem operar com números em notação científica para resolvê-las. Oriente-os a pesquisarem em outros materiais ou sites, mas incentive-os a criarem o problema.

 

ATIVIDADE 3 – MEMÓRIA DO COMPUTADOR SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 – PRODUTOS NOTÁVEIS

3.1 Em computação, quando nos referimos a armazenamento de dados, ou seja à memória de um computador, usamos uma unidade específica que se chama byte. Cada byte é composto por 8 bits.

Um grupo de 1924 bytes forma um quilobyte (KB).

Complete a igualdade:

1 quilobyte ou KB = 1024

bytes = 8 192 bites

 

3.2 Podemos trabalhar com dados arredondados para facilitar os cálculos:

1 GB = 8,6 bilhões de bits

Isto é, é possível armazenar 8,6 bilhões de sinais em um disco rígido de 1GB de memória. Use a calculadora para encontrar quantos bits é possível armazenar em um computador, considerando que o discos rígidos tenham:

 

a) 3,2 GB: 3,2 . 8,6 = 27,52 bilhões de bits

 

b) 4,3 GB: 4,3 . 8,6 = 36,98 bilhões de bits

 

c) 2,0 GB: 2,0 . 8,6 = 17,2 bilhões de bits

 

d) 20,2 GB: 20,2 . 8,3 = 173,72 bilhões de bite

 

ATIVIDADE 4 – PARA PRATICAR

4.1 Complete o quadro a seguir com os valores que estão faltando.  Você pode observar que na linha de cima estão as potências com seus expoentes inteiros e, segunda, os resultados dessas potências.

8,3 . 102

2,3 . 10-5

3 . 10-5

9,43 . 10-1

7 . 10-2

5,67 . 10-3

830

0,000023

0,00003

0,943

0,07

5670

 

4.2 Escreva os números abaixo em notação científica.

 

a) 75 000 = 7,5 . 104

 

b) 0,00004 = 4 . 10-5

 

c) 0,2 = 2 . 10-1

 

d) 0,00000008 = 8,0 . 10-9

e) 3 400 = 3,4 .103

 

4.3 Na Química e na Física, por exemplo, existem valores que fazer parte do dia a dias dos profissionais. Escreva na forma de notação científica.

Partícula

Massa real (grama)

Notação Científica

Próton

0,000 000 000 000 000 0000 000 001 672 52

1,67252 . 10-24

Nêutron

0,000 000 000 000 000 0000 000 001 674 53

1,67453 . 10-24

Elétron

0,000 000 000 000 000 0000 000 000 000 910 91

9,10991 . 10-28

 

4.4 Os números a seguir estão em notação científica. Escreva-os na representação estendida.

 

a) 7 .10-8 = 0,00000007

 

b) 5,2 . 107 = 52 000 000

 

c) 2,23 . 102 = 223

 

d) 4,5 . 10-1 = 0,45

 

e) 3 107 = 30 000 000

 

f) 6,6 .10 = 66 000 000 000

 

4.5 Aplicando as propriedade da potenciação, resolva os itens a sehuir:

 

a) (3/4)2 . (0,75)-2 = (0,75)5+(-2) = (0,75)3

 

b) 5 m+2 : 5 m-1 = 5 (m + 2) – (m -1) = 53

 

c) (1/2)3 . 16/(1/4)3 = 2-3 . 24/(2)-3 = 21/(2)-6 = 2 : 2-6 = 27

 

d) 2 m+1 . 2 m+2 : 4 m+1 = 2 m+1 . 2 m+2 : 2 2(m-1) = 25

 

e) (0,25)-1 . (1/4)3 = (0,25)-1 . (0,25)3 = (0,25)2

 

4.6) Simplifique as expressões utilizando as propriedades da potenciação, quando necessário:

 

a) (2ab2)3 = 8a3b6

 

b) (ab2) . (2a2b3) = 6a3b5

 

c) (5xy2)2 . (x2y)3 = 25x3y6

 

d) 9x2y3/-3xy = (9x2y3) : (-3xy) = -3xy2

 

e) (16ab4/-8a2b2)-3 = [(16ab4) : (-8a2b7)]-3 = (-2a-1b-3) = -a3b9/8

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 – PRODUTOS NOTÁVEIS

1.1 Observe as figuras:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

A área total da Figura 1 é dada pela expressão algébrica a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 que é a forma fatorada da expressão e o produto da soma de dois termos.

Já a área total da Figura 2 (parte pintada) é dada pela expressão algébrica a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 que é a forma fatorada da expressão e o produto da diferença de dois termos.

Por fim, a área total da Figura 3 (parte pintada) é dada pela expressão algébrica (a + b) (a – b) = a2 – b2 que é a forma fatorada da expressão e o produto da soma pela diferença de dois termos.

 

1.2 Junto com seu colega, encontrem a forma fatorada das expressões abaixo (se houver):

a

x2 – 8x + 16

(x - 4)2

b

9k2 – 25

(3k + 5) (0k – 5)

c

m2 – 2m +1

(m – 1)2

d

x2 + 8x + 16

(x + 4)2

e

36 + 12 + z2

(6 + z)2

 

ATIVIDADE 2 – FATORAÇÃO

2.1 Encontre a medida da área total da figura a seguir. Explique como você fez para chegar ao resultado.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Verifique se existe outra forma para encontrar a área dessa figura.

A expressão ay + ax possui, nos dois termos, um fator comum que, ao colocarmos em evidência, obtemos a forma fatorada da expressão a (y + x)

Na expressão ay + ax + by + bx + cy + cx, podemos fazer agrupamentos de termos que possuem fatores comuns, como (ay + ax) + (by + bx) + (cy + cx).

Dentro de cada agrupamento, podemos colocar em evidência o fator comum a (y + x) + b (y + x) + c (y + x) Note que (y + x) é o fator comum, então colocamos em evidência (y + x)(a + b + c), obtendo assim a forma fatorada da expressão acima.

 

2.2 Junte-se a um colega e fatore as expressões:

 

a) 3x + 6y = 3x + 2 . 3y = 3(x + 2y)

 

b) ab + 2ac = a(b + 2c)

 

c) 4ab – 6a = 2a(2b – 3)

 

d) 5xb + b + 5yx + y = (5xb + b) + 5xy + y) = b(5x + 1) + y(5x + 1) = (b + y)(5c + 1)

 

2.3 Escreva, na forma fatorada, a expressão algébrica que representa a área total da figura:

Observação: A figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Área azul = x, z

Área amarela = x, y

Área vermelha = k . z

Área verde = = k . y

Área total = xz + xy + kz + ky = (xz + xy)+ + (kz + ky) = x(z + y) + k(z + y) = (z + y)(x + k)

 

2.4 Represente geometricamente a área indicada pelas expressões algébricas a seguir:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

a) (x + 2) (x + 3) =

 

b) (x – 3) (x – 2) =

 

c) (k + 3) (k – 3) =

 

ATIVIDADE 3 – PRODUTOS NOTÁVEIS: QUADADRO DA SOMA DE DOIS TERMOS

Observação: A figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

3.1 Errata:

Onde se lê: Observa essa igualdade: (2 + 3)2 = (22 + 32).

Leia-se: Analise as duas expressões algébricas: (2 + 3)2  e (22 + 32).

Utilizando uma malha quadriculada, represente essa igualdade geometricamente. Escreva como você resolveu essa questão.

Resolução:

Observa-se que o quadrado maior tem área 25 u.a (unidades de área), e a soma das áreas dos dois quadrados agrupados 4 + 9 = 13 u.a. Logo, são diferentes.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Figura maior: (2 + 3)2 = 52  = 25

Figura média = 32 = 9

Figura pequena =  22 = 4

 

3.2 Observe o quadro a seguir e as medidas de seus lados.

Escreva a medidas da área do quadrado ao lado. Resolva esta questão de duas formas diferentes e, depois, socializa sua resposta com seus colegas. Verifique se eles resolveram a questão de outra maneira.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

1º) Usando produtos notáveis:

(2 + 3)2 = 22 + 2(2 . 3) + 32 = 4 + 12 + 9 = 25

2º) Como se trata de um quadrado de lados 5, temos A = 52 = 25

 

3.3 Calcule geometricamente a área dos quadrados:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

a) (5 + 4)2 = 5² + 2(5 . 4) + 4² = 25 + 40 +16 = 81

 

b) (8 + 1)2 = 82 + 2( 8 . 1) + 12 = 64 + 16 + 1 = 81

 

𝑐) (31+ 15)2 = 312 + 2(31 . 15)+152 = 961 + 930  +225 = 2116

 

3.4 Considerando que a Figura 2 é a representação geométrica de um quadrado de lado (𝑥 + 𝑦), escreva a expressão algébrica que representa a sua área.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O estudante deve identificar as medidas indicadas e, então, aplicar os produtos notáveis. Por exemplo:

(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2.𝑥.𝑦 + 𝑦2

Algebricamente:

(𝑥 + 𝑦)2 = (𝑥+𝑦)(𝑥+𝑦) Aplicando a propriedade distributiva, temos:

𝑥2 + 𝑥.𝑦 + 𝑦.𝑥 + 𝑦2 = 𝑥2 + 2.𝑥.𝑦 + 𝑦2

 

3.5 Considerando as observações feitas nas atividades anteriores, complete o quadro a seguir.

Quadrado soma dos termos

Primeiro termo

Segundo termo

Quadrado do primeiro termo mas duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo termo mais o quadrado de segundo termo

(a + b)2

a

b

a2 + 2abc + b2

(5 + k)2

5

k

52 + 2 . 5 . k + k2 = 25 + 10k + k2

(x + 4)2

x

4

x2 + 2 . x . 4 + 42 = x2 + 8x + 16

(9 + x)2

9

z

92 + + 2 . 9 . z + z2 = 81 + 18z + z2

(x + 1/2 + b)2

x

1/2

z2 + 2 . x . x1/2 + (1/2)2 = x2 + x + 1/4

(y + √3)2

y

√3

y2 + 2 . y . √3 + √32 y2 + 2y√3 + 3

 

3.6 Reproduza as quadriláteros, recorte-os forme um quadrado e expresse algebricamente sua área.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

(x + 2y)2 = x2 + 2(x . 2y) + (2y)2 = x2 + 4zy + 4y2

Nessa atividade, organize os estudantes em duplas para, juntos, reproduzirem as figuras e organizá-las no formato de um quadrado. Eles devem organizar e identificar os lados e escrever a expressão algébrica.

 

3.7 O Sr. Rodrigo tem um canil em formato quadrado, com área de x2. Ele está idealizando aumentar esse espaço, conforme a figura al lado. Algebricamente, qual será a nova área do canil?

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

A área anterior era (x.x). Como o lado aumentou em 2 metros, a nova área será (x+2) (x+2).

 

3.8 Sabe-se que a área de um quadrado, cujo lado é um número natural, é dado por (x + y)2 e que x.y = 10. Dessa forma, encontre a área desse quadrado, sabendo que ela é inferior a 100 u.a. (unidade de área)

Resolução:

A área anterior era (x.x). Como o lado aumentou em 2 metros, a nova área será (x+2) (x+2).

 

3.8 Elabore uma situação problema que utilize o quadrado da soma de dois lado0s. resolva-a, troque-a om seu colega e, juntos discutam sobre a resposta.

Resolução:

Explore com os estudantes que para 𝑥 . 𝑦 = 10, com 𝑥 𝑒 𝑦 ℕ, podemos ter

x = 10

y = 1 ou x = 5

y = 2; esses valores podem estar invertidos, mas não irá influir no resultado. A área (𝑥+𝑦)2𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2.

Se x = 10

y = 1, tem-se 102 + 2 .10 + 12

Área = 121 u.a

Se x = 2

y = 5 tem-se 22 + 2.10 + 52

Área = 49 u.a

Portanto, a área procurada é de 49 u.a.

 

3.9 Elabore uma situação problema que utilize o quadrado da soma de dois termos. Resolva-a, troque-a com seu colega e, juntos, discutam sobre a resposta.

Resolução:

Após as resoluções, escolha alguns alunos para expô-las à turma e faça as intervenções necessárias

 

ATIVIDADE 4 – PRODUTOS NOTÁVEIS: QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

4.1 Qual é a área do quadrado branco da figura a seguir?

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O quadrado branco tem dois lados medindo (x – y).

Desenvolvendo algebricamente, temos:

(x – y)2 = (x –y)(x –y) = x2 – xy – yx + y2 = x2 -2xy + y2

 

42. Agora use essa estratégia para calcular a área dos quadrados a seguir:

Resolução

Você deve usar a estratégia para realizar o cálculo do quadrado de números: 692 = (70 -1) = 702 -2(70) . (1) + 12 = 4900 – 140 + 01 = 4761

Agora use essa estratégia para calcular os quadrados dos seguintes números:

 

a) 892 = (90 – 1)2 = 902 – 2 .90 . 1 + 12 = 8100 - 180 + 1 = 7921

 

b) 772 = (80 - 3)2 = 802 – 2 . 80 . 3 + 32 = 6400 _ 480 + 9 = 5929

 

c) 982 = (100 – 2)2 = 1002 – 2 . 100 . 2 + 22 = 10 000 – 400 + 4 = 9604

 

4.3 Desenvolva algebricamente e represente geometricamente cada quadrado da diferença de dois termos. Considere que o primeiro termo é maior que o segundo.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução

a) (x – 3)2 = x2 – 2 . x . 3 + 32 = x2 – 6x + 9

b) (3x -1)2 = (3x)2 – 2x . 3x . 1 +12 = 9x2 – 6x + 1

c) (k - √3)2 = k2 – 2 . k . √3 + (√3)2 = k2 - 2k√3 + 3

d) (2x -1/2)2 = (2x)2 – 2. x . 1/2 + (1/2)2 = 4x2 – x + 1/4

 

4.4 O terreno de esquina de um loteamento possui uma área de x2. Agora, será feita a calçada com 2 m de largura em todas as ruas do loteamento, sem alterar a medida da largura atual das ruas. Qual será a nova área do terreno?

Resolução:

A área do terreno inicial era de x2. Como é de esquina, perderei 2m na largura e 2m no comprimento. A nova área será expressa por: (x - 2)2 = x2 – 2.(x) . (2) + 22 = x2 -4x + 4

 

4.5 Elabore um situação problema que utilize o quadrado da diferença de dois termos. Resolva-a, troque-a com seu colega e, juntos, discutam sobre a resposta.

Resolução:

Espera-se que o estudante elabore uma situação problema que utilize um quadrado, e que o lado do quadrado, por algum motivo, seja diminuído (à mesma medida) no comprimento e na largura. É importante que você, professor, valide os problemas, faça intervenções necessárias e escolha alguns para serem compartilhados com a turma.

 

ATIVIDADE 5 – PRODUTOS NOTÁVEIS: PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

5.1 Você com certeza já de deparou com situações em que usou algumas estratégias, essas o ajudaram a solucionar o problema enfrentado. O mesmo aconteceu com um amigo meu ao participar de um desafio de rapidez em cálculo de áreas. O desafio proposto fio: “Quanto é 252 – 152?

Meu amigo resolveu-o tranquilamente. Como você resolveria esse desafio? Registre a resposta em seu caderno.

Resolução:

Sabemos que 252 é a área de um quadrado de lado 25 e 152 é a área de um quadrado de lado 15. Como queremos 252 – 152, vamos fazer um quadrado de lado 25 unidades e dele retirar um quadrado de lado 15 unidade.

(25 – 15) . (25 – 15) = 10 . 40 = 400

 

5.2 Vamos resolver esse desafio geometricamente. Forme grupos para que, juntos passam organizar uam estratégia e resolver esse problema.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Para essa atividade, organize os estudantes em duplas, pois deverão resolver geometricamente o desafio anterior. Serão necessárias uma malha quadriculada, tesoura e cola. Oriente-os a seguir as instruções no material do aluno. Oriente também que, com as figuras obtidas, formem um retângulo cujas medidas dos lados sejam (25 + 15) e (25 -15), registrando como calcular a área desse retângulo.

Segue um passo a passo da atividade. No fim, o aluno terá que observar que a área do novo quadrilátero é o produto da soma pela diferença das medidas dos lados dos dois quadrados.

 

5.3 Agora, vamos subtrair as áreas abaixo utilizando o produto da soma pela diferença dos lados dos dois quadrados.

a) 172 – 132 = (17 + 13)(17 – 13) = 30 . 4 = 120

 

b) 192 – 62 = (19 + 6)(19 – 6) = 25 . 13 = 325

 

c) 6502 – 2502 = (650 + 250)(650 - 250) = 900 . 400 = 360 000

 

5.4 Seguindo os mesmos procedimentos od item anterior, considere um quadrado de lado x e outro quadrado de lado y, com x > y e y > 0, encontre a diferença entre as áreas desses dois quadrados e explique como você resolveu a equação.

Resolução:

Após as resoluções, escolha alguns alunos para compartilharem suas soluções com a turma e faça as intervenções necessárias.

𝑥2−𝑦2=(𝑥+𝑦)(𝑥𝑦).

 

5.5 Se a2 – b2 = (a + b) (a – b), então (a + b)(a – b) = a2 – b2. Escreva o produto da soma pela diferença de dois termos.

Resposta:

“O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo”.

 

5.6 Tenho um terreno quadrado de lado 10m e desejo gramá-lo, deixando a área indicada em branco para plantar flores. Quantos metros de grama eu preciso comprar para gramear a área colorida azul?

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O quadrado de maior lado (10 m) está vazado por um quadrado menor, cujo lado é  10 − 3 – 3 = 4 𝑚. A área procurada é a área do quadrado grande menos a área do quadrado menor:

 102 − 42 = (10 + 4) . (10 − 4) = 14 . 6 = 84 𝑚2

 

5.7 De um quadrado de “lado misterioso”, foi retirado um quadradinho de lado 5 cm. Sabendo que a região que sobrou (no quadrado maior) foi de 119 𝑐𝑚2, você pode dizer quanto vale o “lado misterioso”?

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Considerando o “lado misterioso“ como x, temos sua área representada por 𝑥2. Desta área foram retirados 25 𝑐𝑚2 (área do quadradinho de lado 5cm), ficando

119 𝑐𝑚2.

𝑥2 − 25 = 119

𝑥2 = 119 + 25

𝑥2 = 144,       

𝑥 = 12 𝑐𝑚 

 

5.8 Elabore uma situação problema que utilize a diferença entre quadrados. Resolva-a, troque-a com seu(sua) colega e discutam a resposta: 

Resolução:

Espera-se que o estudante elabore uma situação problema utilizando um quadrado, e dele retire um quadrado menor. Professor, após as resoluções, escolha alguns alunos para compartilhar seus resultados com a turma e faça as intervenções necessárias.

 

ATIVIDADE 6 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2º GRAU POR MEIO DE FATORAÇÕES

6.1 Junto com seu colega, preencha a tabela com a forma fatorada da equação e as raízes. Não se esqueçam de validar suas respostas. Ao final da atividade, as soluções devem ser expostas para a classe.

Resposta:

Os estudantes poderão confeccionar o algeplan e, então, utilizá-lo na resolução geométrica. Algumas duplas devem resolver e expor suas soluções, e intervenções devem ser feitas.

 

Equação

Forma fatorada

Raízes

a

x2 – 10x = 25 = 0

(x – 5)2 = 0

8

b

k2 – 25 = 0

(k + 5) (k – 5) = 0

-5 e  5

c

m2 + 2m + 1 = 0

(m + 1)2 = 0

-1

d

2x2 + 8x + 8 -0

2(x + 2)2 = 0

-2

e

81 + 18z + z2 = 0

(9 + x)2 = 0

-9

 

6.2 Encontre as raízes das equações a seguir:

 

a) 𝑥2 + 3𝑥 = 0

Resolução

a𝑥 (𝑥 + 3) = 0, 𝑙 𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 0 𝑜𝑢        𝑥 + 3 = 0, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = −3        S = {0, −3}

 

b) 𝑥3 − 20𝑥2 + 100𝑥 = 0

Resolução:

Observe que o grau da equação, que pode ter até 3 raízes, pontue também quando a equação tem raiz dupla. 

𝑥(𝑥2 − 20𝑥 + 100) = 0 , já temos uma resposta 𝑥 = 0.

(𝑥2 − 20𝑥 + 100) = 0→ (𝑥 − 10)2 = 0 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 − 10 = 0 ,  onde as duas raízes são iguais a 10, logo S= {0, 10).

 

ATIVIDADE 7 – EQUAÇÕES POLINOMIAIS DO 2º GRAU: COMPLETANDO QUADRADOS

7.1 Represente geometricamente as equações a seguir, completando os quadrados. Em seguida, resolva-as algebricamente.

Resolução:

Para representar geometricamente, o estudante precisará descobrir o que é preciso acrescentar a cada um dos trinômios abaixo para que ele possa ser fatorado como o quadrado de uma soma de dois termos, ou o quadrado da diferença de dois termos. Após essa fatoração, deve encontrar as raízes das equações dadas.

 

a) 𝑥2+ 6𝑥 + 8 = 0

Resolução:

Veja que falta um quadradinho para completar o quadrado, então temos de somar 1 a ambos os termos da igualdade:

x2 + 6x + 8 + 1 = 0 + 1

x2 + 6x + 9 = 1

(x + 3)2 = 1

x +  ± 1

x = -1 ou x = - 4

 

b) 𝑥2+ 2x - 3 = 0

Resolução:

Considerando o quadrado a ser completado, vemos que falta 1 quadradinho. Como há a indicação de 3 na equação, será preciso somar 4 a ambos os termos da igualdade:

x2 + 2x – 3 + 4 = 0 + 4

x2 + 2x + 1 = 4

(x + 1)2 = 4

x + 1 = ± 2

x = 1 ou x = -3

 

c) x2 + 2x – 8 = 0

Resolução:

Observação: Considerando o quadrado a ser completado, vemos que falta 1 quadradinho. Como há indicação de -8 na equação, será preciso somar 9 a ambos os termos da igualdade:

x2 + 2x – 8 = 0

x2 + 2x -8 + 9 = 0 + 9

x2 + 2x + 1 = 9

(x + 1)2 = 9

x + 1 = ± 3

x = 2 ou x = -4

 

d) x2 - 4x +3 = 0

Resolução:

Observação: Veja que falta um quadradinho para completar o quadrado, então temos de somar 1 a ambps os termos da igualdade.

x2 - 4x + 3 = 0

x2 - 4x + 3 + 1 = 0 + 1

x2  - 4x + 4 = 1

(x  - 2)2 = 1

x - 2 = ± 1

x = 3 ou x = 1

 

7.2 Elabore, resolva e troque com seu colega uma situação problema  que envolva uma quação polinominla do segundo grau.

Resolução:

Compartilhe as produções escolhendo alguns problemas para serem lidos e comentados.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

ATIVIDADE 1 – FUNÇÃO: NOÇÃO E LEI DE FORMAÇÃO

1.1 Em uma reportagem sobre produção de celulares, foi divulgado que uma certa fábrica produz um celular a cada 15 segundos. A quantidade de celulares produzidos por dia está registrada na tabela a seguir, conforme as horas trabalhadas.

Quantidade de celulares produzidos em relação às horas trabalhadas

Tempo em horas

1

2

3

4

5

9

Quantidade produzida

240

480

720

960

1200

1440

Analisando os valores, escreva uma sentença matemática que represente essa situação. Escreva o passo a passo da sua resolução. Para iniciar esta atividade, pense na lei de formação. 

Observe que a quantidade produzida (Q) está em função do tempo (t), e esta correspondência pode ser representada por 𝑸 = 𝟐𝟒𝟎. 𝒕 , considerada a Lei de Formação da Função, que também pode ser representada por f(t) = 240.t

 

a) Com esta lei, é possível calcular a quantidade de celulares produzidos em 12 horas?

Resolução:

f(12) = 240.12 = 2 880

 

b) Com essa mesma lei de formação, é possível calcular a quantidade de celulares produzidos para qualquer número de horas? Explique como isso é (ou não é) possível.

Resolução:

Sim, é possível, uma vez que a lei de formação 𝑸 = 𝟐𝟒𝟎. 𝒕, é uma relação de dependência em que a quantidade de celulares produzidos está relacionada ao número de horas.

 

1.2 Dada a lei de formação de uma função f (x) = x – 2, encontre  f (0); f (-1) e f (5).

Resolução:

f ( 0 ) = 0 – 2 , portanto f(0) = -2.

f(-1) = -1 – 2 , portanto f(-1) = -3.

f(5) = 5 – 2, portanto f(5) = 3.                 

 

1.3 O número de diagonais de um polígono depende da quantidade de lados que ele possui. Pensando nisso, encontre a lei de formação para calcular a quantidade de diagonais de qualquer polígono.

Resolução:

Para encontrar essa lei de formação, a discussão inicialmente deve considerar os vértices do polígono: de cada vértice saem três diagonais. Para obter todas as diagonais, unimos dois vértices não consecutivos. Outro ponto de atenção deve ser quando traçamos as diagonais ̅𝐴𝐶̅̅̅  e  ̅𝐶𝐴̅̅̅. São as mesmas, portanto, não podemos contar duas diagonais, apenas uma, o que na lei de formação indicamos com (-3).

https://pt-static.z-dn.net/files/d3b/f6c31da66fee7b2a565782b8aba3e93d.jpg

a) Encontre o número de diagonais de um polígono de 8 lados.

Resolução:

D(8) = n(n -3)/2

D(8) = 8(8 -3)/2

D(8) = 8 (5)/2

D(8) = 20

 

b) Encontre o polígono que possui 35 diagonais.

Resolução:

D = n(n -3)/2

35 = n2 – 3n/2

n2 – 3n – 70 = 0

(n – 1,5)2 = 72,25

(n – 1,5) = ± 8,5

n – 1,5 = 8,5

n = 10 lados

n – 1,5 = 8,5 (não convém)

Logo o polígono que possui 35 diagonais é o decágono (10 lados).

 

ATIVIDADE 2 -  REPRESENTÇÃO GRÁFICA DE UAM FUNÇÃO

É importante que os estudantes identifiquem e analisem os gráficos das funções. Inicialmente, essa exploração pode ser realizada observando os gráficos e as diferenças entre eles, identificando algumas coordenadas e avançando para a lei de formação associada ao gráfico.

 

2.1 Os gráficos a seguir, de 1 a 4, são gráficos de funções, pois relacionam duas grandezas: x e y ou f(x), onde y depende x e, para cada valor da grandeza x, encontramos um único valor da grandeza y.

Organizem-se em dupla, analisem e descubram quais funções estão relacionadas a cada gráfico. Comente as características de cada uma.

Resolução:

Para essa atividade, os estudantes devem encontrar as leis das funções relacionadas a cada gráfico.

 

Organize-se em dupla, analisem e descubram quais funções estão relacionadas a cada gráfico. Comente as características de cada uma.

Resolução:

Os gráficos representados acima, de 1 a 4, são funções, pois relacionam duas grandezas (x e y ou f(x), onde y depende x e, para cada valor da grandeza x, encontramos um único valor na grandeza y.

No eixo x, das abscissas (eixo horizontal), colocamos a variável independente, e no eixo y, das ordenadas (eixo vertical), a variável que depende da variável independente.

Gráfico 1: o gráfico 1 está associado à função do 1º grau, f(x) = ax + b é uama reta crescente. Os pontos A(-3, 0) e B(0, 3), pertencem à reta.

a.(0) + b = 3

-3ª + b =0

0 = -3a + b

3 = a . 0 + b, assim temos

b = 3

a = 1

Portanto a função será f(x) = x + 3

 

Gráfico 2: O gráfico associado à função de 1º grau, f(x) = ax + b é uma reta decrescente.

Localizando algumas coordenadas, temos: (0, 0); (1, -1); (2, -2); (3, -3); e assim por diante. Logo temos que a adcissa e a ordenada são iguais e opostas, ou seja f(x) = -x, que é a função.

 

Gráfico 3: Esse gráfico está associado à uma função do 2º grau, pois é uma parábola. O vértice dessa parábola é o ponto (0, 0). Se observarmos algumas coordenadas, temos: (0,0), (-1, 1), (1,1), (2, 4).  O  valor da ordenada é igual ao quadrado do valor da abscissa. Assim, podemos relacioná-lo à função  f(x) =  x².

Gráfico 4: Observando algumas de suas coordenadas, temos (-1, 3); (0,3); (1, 3); 

 

Gráfico 4: Observando algumas de suas coordenadas, temos (-1, 3); (0, 3); (1,3); (2, 3), e assim por diante. Observando que a ordenada assume sempre o valor 3. Ou seja, esse valor é constante para qualquer valor de x. logo, para o gráfico 4, a lei de formação será: f(x) = 3.

 

2.1 Os gráficos a seguir, de 1 a 4, são gráficos de funções, pois relacionam duas grandezas: x e y ou f(x), onde y depende x e, para cada valor da grandeza x, encontramos um único valor da grandeza y.

Organizem-se em dupla, analisem e descubram quais funções estão relacionadas a cada gráfico. Comente as características de cada uma.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

Para essa atividade, os estudantes devem encontrar as leis das funções relacionadas a cada gráfico.

Os gráficos representados acima, de 1 a 4, são funções, pois relacionam duas grandezas (x e y ou f(x)), onde y depende x e, para cada valor da grandeza x, encontramos um único valor na grandeza y.

No eixo x, eixo das abscissas (eixo horizontal), colocamos a variável independente, e no eixo y, eixo das ordenadas (eixo vertical), a variável que depende da variável independente.

 

Gráfico 1: O gráfico 1 está associado à função do 1° grau, f(x) = ax +b é uma reta crescente. Os pontos A (-3, 0)

B (0, 3), pertencem à reta.

Substituindo o ponto em f(x) = ax + b, e construindo o sistema a seguir:

{𝑎.(0) + 𝑏 = 3 − 3𝑎 + 𝑏 =0

0 = -3a + b e 3 = a. 0 + b, assim temos

b = 3

a = 1, logo, a função f(x) =  x + 3.

 

Gráfico 2: O gráfico associado à função do 1° grau, f(x) = ax + b é uma reta decrescente.

Localizando algumas coordenadas, temos: (0, 0); (1,-1); (2, -2); (3, -3), (-2, 2), (-3, 3) e assim por diante. Logo temos que a abscissa e a ordenada são iguais e opostas, ou seja f(x) = -x, que é a função.

 

Gráfico 3: Esse gráfico está associado à uma função do 2º grau, pois é uma parábola. O vértice dessa parábola é o ponto (0, 0). Se observarmos algumas coordenadas, temos: (0,0), (-1, 1), (1,1), (2, 4). O valor da ordenada é igual ao quadrado do valor da abscissa. Assim, podemos relacioná-lo à função f(x) = x².

 

Gráfico 4: Observando algumas de suas coordenadas, temos (-1, 3); (0,3); (1, 3);

(2, 3), e assim por diante. Observem que a ordenada assume sempre o valor 3. Ou seja, esse valor é constante para qualquer valor de x. Logo, para o gráfico 4, a lei de formação será f(x) = 3.

 

2.2 Em duplas, analisem a tabela de preços a seguir. Elaborem e resolvam as questões que possam ser respondidas com os dados fornecidos. Explorem o gráfico ou a lei de formação. Depois, troquem-as com outra dupla para discutir suas respostas.

Resolução:

Após a elaboração em duplas das questões e das resoluções, escolha algumas duplas para compartilhar com a turma suas produções. Espera-se que os estudantes reconheçam que o valor a ser pago varia de acordo com o número de alunos, a função f (x) = 2x, com x representando o número de alunos, e f (x) como o valor a ser pago pela escola.

Tabela de preços

Número de alunos

1

10

20

30

40

Valor a ser pago

R$2,00

R$20,00

R$40,00

R$60,00

R$80,00

 

ATIVIDADE 3 – OLHANDO AS FUNÇÕES EM DIFERENTES PERSPECTIVAS

3.1 Qual é a função que nos fornece o perímetro do quadrado? Construa o gráfico dessa função e analise-o.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O perímetro do quadrado é dado por f (x) = 4x, onde x é a medida do lado.

O gráfico dessa função é uma reta, com x > 0, uma vez que x corresponde à medida do lado. O gráfico dessa função é uma linha contínua, pois as medidas dos lados são números reais.

 

3.2 Dadas as funções, construa uma tabela, atribuindo valores para a variável x. Em seguida construa o gráfico de cada função.

 

a) f(x) = 3x

Resolução:

x

-3

-2

-1

0

1

2

f(x)

-9

-6

-3

0

3

6

b) f(x) = x + 3

Resolução:

x

-3

-2

-1

0

1

2

f(x)

0

1

2

3

4

5

c) f(x) = -x – 2

Resolução:

x

-2

-1

0

1

2

3

f(x)

0

-1

-2

-3

-4

-5

 

3.3 Sendo f(x) = x + 1/2 a lei de formação da função f, encontre:

 

a) f (1) + f (3)

Resolução:

f(x) = x + 1/2 = f(1) = 1 + 1/2 = f(1) = 1

f(x) = x + 1/2 = f(3) = 3 + 1/2 = 2

f(1) + f(3) = 1 + 2 = 3

 

b) f (–1) + f (–3)

Resolução:

f(x) = x + 1/2 = f(-1) = -1 + 1/2 = f(-1) = 0

f(x) = x + 1/2 = f(-3) = -3 + 1/2 = f(-3) = -1

f(1) + f(3) = 0 -1 = -1

 

3.4 Encontre o valor de x , na função f definida por f(x) = x – 3, sabendo que:

 

a) f(x) = 0

0 = x -3

x = 3

 

b) f(x) = -3

-3 = x -3

x = 0

 

c) f(x) = 5

5 = x -3

x = 8

 

d) f(x) = x – 3

x -3 = x – 3

x = 0

Para o item d, você poderá discutir a igualdade, quando obtemos uma equação como 0x=0, temos uma equação identidade, pois admite infinitas soluções.

 

3.5 Sabendo que f(x) = - x – 2, coloque V ou F nas afirmações abaixo:

 

a) f(0) = 2 (F)

 

b) f(-1) = 1 (F)

 

c) f( 1) = -3 (V)

 

d) f(2) = 0 (F)

 

e) f(3) = -5 (V)

 

f) f(-2) = 0 (V)

 

ATIVIDADE 4 – NA PRÁTICA

4.1 O lucro de uma empresa de perfumes é dado de acordo com a função

L (n) = 20n – 200, em que L é o lucro e n é o número de perfumes vendidos. Com base nessas informações, responda:

 

a) Qual é o lucro da empresa se ela vender 100 unidades de perfumes?

Resolução:

L(100) = 20. (100) - 200 = 1 800 reais.

 

b) Quantos perfumes terão que ser vendidos para obter R$ 5 000,00 de lucro?

Resolução:

5 000 = 20n−200

5 200 = 20𝑛

5 20020 = 𝑛

260 =𝑛  . Portanto, para obter

R$ 5 000,00 de lucro é preciso vender 260 perfumes.

 

c) Qual é o número mínimo de perfumes que esta empresa precisa vender para começar a obter lucro?

Resolução:

0 = 20n−200

200 = 20𝑛

20020 = 𝑛

10 =𝑛 . Portanto, o número mínimo de perfumes que a empresa precisa vender é 11.

 

4.2 Roberto vende camisetas customizadas e percebeu que, cobrando R$ 20,00 por camiseta, ele consegue vender 300 camisetas mensalmente. A cada R$ 0,50 que ele abaixa do preço da camiseta, ele vende 10 camisetas a mais.

Sabendo que a receita é o valor total recebido pelas vendas, responda as questões a seguir:

a) Complete a tabela com a receita obtida por Roberto em cada caso.

Quantidade vendida

Preço por unidade

Receita

300

R$ 20,00

R$ 6 000,00

310

R$ 19,50

R$ 6 045,00

320

R$ 19,00

R$ 6 080,00

330

R$ 18,50

R$ 6 105,00

340

R$ 18,00

R$ 6 120,00

350

R$ 17,50

R$ 6 125,00

360

R$ 17,00

R$ 6 120,00

370

R$ 16,50

R$ 6 105,00

380

R$ 16,00

R$ 6 080,00

 

b) O que você observou na receita conforme foi abaixando o preço da camiseta?

Resolução:

Espera-se que os estudantes respondam que a receita vai aumentando até a venda de 350 camisetas. Ao vender uma quantidade maior, a receita começa a diminuir.

 

c) Qual é o valor a ser cobrado por camiseta para que se obtenha receita máxima?

Resolução:

O valor para obter a receita máxima por camiseta é de R$ 17,50.

 

d) Determine a lei de formação da função de 2º grau que representa a receita em função do valor diminuído no preço de cada camiseta.

Resolução:

R(x) = (300 + 10x) (20 – 0,5x) = 6 000 – 150x + 300x – 5x² = -5x² + 150x +6 000.

É possível explorar o conceito de máximo e mínimo de função do 2º grau após encontrar a equação.

 

4.3 Represente algebricamente as funções que estão representadas nos gráficos a seguir:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

a) f(x) = x - 1

 

b) f(x) = - x + 1

 

c) f(x) = - x2

 

d) f(x) = 0,5x

 

4.4 Analise o gráfico a seguir, elabore uma questão que possa ser respondida com base nos dados fornecidos e resolva.

Resolução:

Após a elaboração dos problemas, socialize as produções, analisando-as de acordo com o gráfico dado.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

ATIVIDADE 1 – A IMPORTÂNCIA DOS GRÁFICOS

A comunicação pode acontecer de várias formas. Uma delas é a comunicação visual, que está muito presente no nosso cotidiano. Observe as placas a seguir e assinale a que chamou mais a sua atenção. Por que você as escolheu?

 

1.1 Analise as duas formas propostas para divulgação do percentual de rendimento das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental de uma escola:

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Tabela 1 - Percentual de rendimento, bimestre a bimestre, das turmas de 9º ano do EF da escola.

Turmas

1º Bimestre

2º Bimestre

3º Bimestre

4º Bimestre

9º ano W

70%

60%

70%

50%

9º ano X

40%

40%

30%

50%

9º ano Y

10%

15%

20%

30%

9º ano Z

60%

70%

90%

60%

Gráfico 1 - Rendimento anual médio das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental da escola. Rendimento médio dos 9º anos do EF

Observação: Gráfico no Caderno doa Aluno Volume 2 de 2020

 

Qual das duas formas de divulgação de resultados lhe chamou mais atenção? Por quê?

Resolução:

Resposta pessoal. Escolha alguns alunos para comentarem suas escolhas. 

 

1.2 A partir dos dados apresentados, responda as questões abaixo:

 

a) O que significam os percentuais apresentados na Tabela 1 e no Gráfico 1?

Resolução:

Os percentuais representam o rendimento médio das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental.

 

b) Qual das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental obteve o melhor rendimento médio anual?

Resolução:

A turma que apresentou o melhor rendimento médio anual foi o 9º ano “Z” do Ensino Fundamental.

 

c) Você utilizou a Tabela 1 ou o Gráfico

Resolução:

1 para responder o item b desta atividade? Justifique.   A descrição da resposta será pessoal. 

 

ATIVIDADE 2 – PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS E SUAS CARACTERÍSTICAS

Existem diversos tipos de gráficos, cada um com sua finalidade. Possivelmente, você já se deparou com alguns.

Os gráficos são representações visuais de dados ou valores numéricos, e trazem uma dimensão estatística de um determinado fato.

 

2.1 Assista ao vídeo “Cada gráfico no seu galho”, do site da Matemática Multimídia da UNICAMP, acessando o QR Code ou o link, e discuta, em grupo, qual seria o tipo de gráfico mais adequado para representar cada situação a seguir: O link do vídeo está no Caderno do Aluno:

https://www.youtube.com/watch?v=cN1l2te79Ck&feature=youtu.be

 

a) A evolução escolar de um aluno, ou seja, analisar suas médias em um período.

Resolução:

Espera-se que os estudantes escolham o gráfico de linhas, por favorecer a análise de dados ao longo de um período.

 

b) A preferência de seus colegas entre as disciplinas escolares “Matemática” e “Ciências”.

Resolução:

Espero que o tipo e gráfico escolhido seja o             de setores, por representar qualitativamente os dados e discernir bem quando são poucos dados.

 

ATIVIDADE 3 – OS DIFERENTES TIPOS DE GRÁFICOS

3.1 Com base na análise dos gráficos, o que você escreveria a respeito do resultado da pesquisa? Qual gráfico você escolheria para divulgar essa pesquisa? Por quê?

Resolução:

Professor, os gráficos estão apresentados no material do aluno. As informações a seguir servirão para direcionar a atividade. As respostas devem ser acompanhadas a partir da leitura dos gráficos e, então, compartilhadas. Se for necessário, atue em pontos equivocados por parte dos estudantes na leitura e interpretação de cada gráfico.

O gráfico de coluna empilhada apresenta o somatório dos dados e separa os valores usando cores diferentes.

O gráfico de coluna agrupada apresenta o somatório dos dados e separa os valores também usando cores diferentes.

O gráfico de barras empilhadas apresenta o somatório dos dados e separa os valores usando cores diferentes.

O gráfico de barras agrupadas apresenta o somatório dos dados e separa os valores usando cores diferentes.

 

ATIVIDADE 4 – GRÁFICO DE SETORES OU GRÁFICO CIRCULAR

Os gráficos a serem analisados são apresentados no Material do Aluno. O gráfico de setores ou gráfico circular também é conhecido como gráfico de pizza por suas aparências serem similares. Por ser esteticamente agradável ao nosso sentido visual, são muito utilizados pela mídia. É conveniente quando o número de setores for pequeno (poucas “fatias”), para que haja boa percepção e distinção dos dados representados.

Torna-se importante tomar cuidado com valores muito próximos, pois dificultariam sua distinção visual. Este gráfico pode apresentar valores em porcentagem e, por ser circular, para sua construção, deve-se considerar os graus do setor circular (100% equivale a 360º, ou seja, para cada 1%, o ângulo do setor circular deverá ser de 3,6º).

 

4.1 Analise os gráficos a seguir e escreva uma notícia para divulgar o resultado da pesquisa.

Resolução:

Nessa atividade, os estudantes deverão analisar os gráficos e redigir uma notícia para divulgar os seus resultados. Isso envolve a leitura e a interpretação dos dados apresentados.

Ao compartilhar a produção dos estudantes, observe se há notícias que, a partir do mesmo gráfico, apresentam interpretação contraditória. Caso aconteça, discuta com a turma em relação à interpretação e como a divulgação pode ser influenciada por quem as publica, de acordo com os interesses do momento.

 

ATIVIDADE 5 – GRÁFICO DE LINHA

Conversa inicial: O gráfico de linha também é comumente utilizado pela mídia e pelos institutos de pesquisas por possibilitar análises de alterações ao longo do tempo, facilitando a percepção de tendências ou anomalias.

Esse tipo de gráfico possui segmentos de linhas retas, geralmente conectados por pontos de dados chamados de “marcadores”. Seu eixo horizontal (x) apresenta as categorias, enquanto os resultados ou dados obtidos são apresentadas no eixo (y).

 

5.1 Quais informações são possíveis listar a partir da análise do gráfico de linhas a seguir?

Resolução:

Uma possível análise: Ao observarmos a média dos rendimentos das turmas de 9º ano do Ensino Fundamental por bimestre através de um gráfico de linhas, podemos perceber que o 9º ano W apresenta uma queda em seu rendimento ao longo do ano, tendo apenas um momento de melhora, o 3º bimestre. Outro fato perceptível é o avanço do rendimento do 9º ano Y, que vem melhorando bimestre a bimestre; dentre outras análises que podem ser feitas.

 

5.2 Robson pretende comprar uma empresa gráfica e, durante sua pesquisa de mercado, ficou em dúvida entre três opções. Para tomar sua decisão, ele queria investigar o rendimento anual de cada empresa. Para isso, construiu a tabela abaixo com os rendimentos de cada uma nos últimos quatro anos; construa o gráfico mais apropriado para essa situação. Justifique sua escolha.

Após a escolha do tipo de gráfico, analise os resultados e indique em que empresa Robson deveria comprar.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

A empresa que Robson deveria comprar é a Empresa 1, pois ao longo dos anos analisados, apontam um crescimento contínuo quanto ao rendimento anual.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

ATIVIDADE 1 – MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Conversa inicial: Inicie uma conversa sobre tendência, entendida como uma disposição a seguir um determinado sentido e, por isso, pode auxiliar na previsão de eventos. Os estilistas, por exemplo, utilizam as tendências mundiais de cada estação do ano para projetar seus modelos de roupas.

As medidas de tendência central são importantes para avaliar o comportamento de certos conjuntos de dados. A utilização de tais medidas pode simplificar a representação de grandes conjuntos de dados e facilitar sua análise. Dentre as medidas de tendência central, as mais comuns são: média, mediana e moda.

 

1.1 Em nosso cotidiano, é comum ouvirmos falar em média. Essa medida de tendência central é muito comum no dia a dia. Por exemplo, a expectativa média de vida é obtida por meio da média aritmética dos anos vividos pelos indivíduos de uma certa região ou família.

Uma empresa divulga a notícia de que a expectativa de vida média da população brasileira é de 80 anos para mulheres e 73 anos para homens. Os dados das idades de uma família constam na tabela a seguir.

Tabela 6 - Pesquisa da longevidade

Familiar Materno

Familiar Paterno

Familiar

Viveu em anos

Familiar

Viveu em anos

Familiar

Viveu em anos

Familiar

Viveu em anos

Bisavô

83

Bisavô

89

Bisavô

66

Bisavô

64

Avô

89

Av

99

Avô

66

Avô

89

Faça uma análise da média da expectativa de vida dessa família. A expectativa média desses familiares está dentro da expectativa média dos brasileiros? Compare a expectativa média dos familiares maternos e paternos.

Resolução:

A expectativa média de vida das mulheres da parte materna dessa família é de 94 anos, bem acima da expectativa média de vida das mulheres brasileiras, que é de 80 anos. A expectativa de vida dos homens da parte materna dessa família é de 86 anos, também acima da média nacional de 73 anos.

A expectativa média de vida das mulheres da parte paterna dessa família é de 76 anos, abaixo da expectativa média de vida das mulheres brasileiras, que é de 80 anos. A expectativa de vida dos homens da parte paterna dessa família é de 66 anos, também abaixo da média nacional de 73 anos.

A média da expectativa de vida dessa família (tanto da parte materna, quanto da parte paterna) está acima da média brasileira, pois para os homens está em 76 anos (3 anos acima da média nacional), e para as mulheres está em 85 anos (5 anos acima da média nacional).

 

1.2 A medida de tendência central “moda” apresenta os valores que ocorrem com maior frequência em uma distribuição. Organize uma pesquisa sobre o mês de aniversário de cada estudante de sua classe e organize os dados em uma tabela. Determine a moda dos valores obtidos.

Resolução:

Para determinar a moda, os estudantes deverão observar o(s) mês(es) que possui(em) maior frequência. Pode ocorrer o caso bimodal, ou seja, dois valores (meses) que mais aparecem, ou multimodal, quando vários valores são os que mais aparecem.

 

1.3 Mediana é a medida de tendência central que determina exatamente o valor central de um conjunto de dados. Para isso, é necessário organizá-los em ordem crescente. Quando o número de dados dispostos em ordem crescente é ímpar, o termo central é a mediana. Quando se trata de um número par de dados, a mediana é obtida através da média aritmética dos dois valores centrais.

Considerando essa informação, resolva a seguinte situação:

As rodas dos veículos são medidas em polegadas: os aros 13” possuem 13 polegadas de diâmetro; os aros 14” possuem 14 polegadas de diâmetro, e assim por diante.

Num determinado dia, uma loja de rodas personalizadas vendeu os seguintes conjuntos de rodas:

Aro em polegadas

12”

13”

14”

15”

16”

17”

24”

32”

Conjuntos de rodas vendidas

10

8

7

0

3

4

3

1

Uma segunda loja de rodas personalizadas foi inaugurada. Para distribuir o estoque, o dono adotou o seguinte critério: considerando os dados da tabela, a divisão do estoque deve garantir que cada loja venda tamanhos de aros diferentes e sequencial. Além disso, a quantidade de vendas em conjunto de rodas deve ser o mesmo para as duas lojas. Como você organizaria essa distribuição, garantindo as condições de vendas para as duas lojas?

Resolução:

A         média aritmética       dos      valores contidos         na        tabela é aproximadamente 15. Porém, esse dado não é útil, pois se utilizarmos o 15 como base de separação entre as lojas, uma das lojas irá vender 25 conjuntos de rodas, enquanto a outra apenas 11. A moda também não auxiliaria neste caso, pois a moda é 12” e, se em uma loja ficarem apenas rodas de aros 12”, esta venderia 10 conjuntos de rodas, enquanto a outra, vendendo os demais tamanhos, teria uma venda de 26 conjuntos de rodas. A medida de tendência central mais apropriada para esse caso seria a mediana. Como há um número par de dados (36), a mediana seria dada pela média aritmética dos dois valores centrais (13” e 14”), ou seja: 13,5”. Isso implica que em uma loja seriam vendidas rodas de aros 12” e 13” (18 conjuntos de rodas vendidos, segundo a tabela de vendas do dia), enquanto na outra seriam vendidas as rodas de aros 14”, 15”, 16”, 17”, 24” e 32” (também 18 conjuntos de rodas vendidos).

 

ATIVIDADE 2 – ANÁLISE DOS GRÁFICOS

Conversa inicial: A leitura e a interpretação de dados expressos em gráficos auxiliam na tomada de decisões a partir de uma análise. Por outro lado, dependendo da situação dada, também é importante saber optar pelo tipo de gráfico mais adequado para a divulgação de uma informação. Essa discussão deve ser considerada e, então, a resolução da atividade deve ser proposta.

 

2.1 Lindomar, após aplicar as avaliações bimestrais na turma em que leciona, colocou os dados na tabela a seguir:

Qual é o gráfico mais adequado para representar esses dados? Justifique sua resposta.

Resolução:

O gráfico mais apropriado para esses dados é o gráfico de colunas, pois favorece a leitura das notas mais altas, mais baixas, bem como as mais comuns.

 

Encontre a média, a moda e a mediana das notas dos estudantes. Faça uma análise desses resultados, registrando suas conclusões.

Resolução:

A média aritmética das notas da turma é 6,0 e apenas o aluno Alberto está na média. Acima da média há 8 alunos e, abaixo dela, 6 alunos. A moda desses dados é a nota 7,0. A mediana dessas notas é 7,0, portanto essa é uma turma que possui mais notas acima de 5,0 (ou, no caso, acima de 7,0).

 

2.2 Analisando os gastos familiares, Davi organizou as finanças em uma tabela, considerando apenas as compras no cartão de crédito e no cartão de débito durante o primeiro trimestre.

Tabela 9 - Organização dos gastos com cartão

 

Janeiro

Fevereiro

Março

Cartão de crédito

R$ 1 200,00

R$ 9800

R$ 450,00

Cartão de débito

R$ 380,00

R$ 660,00

R$ 800,00

Qual é o gráfico mais apropriado para analisar os gastos ao longo do tempo? Justifique.

Faça uma análise desses resultados, registrando suas conclusões.

Resolução:

O gráfico mais apropriado é o gráfico de linhas, pois permite a análise dos gastos ao longo do tempo, além de apontar uma tendência de gastos. 

 

Encontre a média, a moda e a mediana dos gastos com cartão. Faça uma análise desses resultados, registrando suas conclusões.

Resolução:

A média aritmética dos gastos no cartão de crédito é R$ 876,67, enquanto a média para os gastos no débito é de R$ 613,33.

A média com gastos é de R$ 1 490,00.

Moda: Não há, pois nenhum dado se repete. Esse é um espaço amostral amodal.

Mediana do cartão de crédito: R$ 980,00

Mediana do cartão de débito: R$ 660,00

 

ATIVIDADE 3 – NA PRÁTICA

3.1 Foi feita uma pesquisa com 25 pessoas de uma empresa sobre a higiene bucal. As pessoas responderam com que frequência escovavam os dentes diariamente. As respostas foram as seguintes:

3

3

2

5

4

1

3

2

5

3

3

4

2

2

2

2

3

3

5

4

2

1

3

3

4

Determine a média, moda e mediana dos dados obtidos na pesquisa.

Resolução:

Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 = 2,96

Moda = Valor que mais vezes aparece = 3, aparecendo 9 vezes.

Mediana = Colocando os valores em ordem, 1,1,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5, a mediana será o 13º termo, 3.

 

3.2 A média de idade dos 10 jogadores de um time de basquete é de 25 anos. Porém, dois desses jogadores, um com 20 e outro com 22 anos, foram transferidos para outro time por se destacarem em seus jogos. Qual é a média de idade do restante do time?

Resolução:

Como a média de idade dos 10 jogadores é 25, temos que a soma da idade dos jogadores é 250. Como saíram dois jogadores, a soma de idade passa a ser

250 – 20 – 22 = 208, porém, agora temos 2 jogadores a menos, totalizando 8 jogadores. A nova média será 208/8/=/26 anos.

 

3.3 Os estudantes do 9º ano fizeram uma pesquisa na escola para descobrir as preferências dos colegas em relação à escolha de possíveis profissões. Nesta pesquisa foram consultados um total de 500 estudantes, conforme a tabela a seguir:

Profissão

Quantidade de Entrevistados

Médico(a)

100

Engenheiro(a)

70

Professor(a)

50

Contador(a)

50

Programador(a)

40

Enfermeiro(a)

80

Não souberam responder

110

Total

500

Em seguida, escolha e construa um gráfico para divulgar os resultados, justificando sua escolha.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resolução:

O estudante poderá optar por responder a questão por meio do gráfico de setores, destacando o percentual de resposta dos entrevistados, ou poderá optar por um gráfico de colunas ou de barras, informando o resultado da pesquisa.

 

3.4 Uma rede de supermercados, com objetivo de realizar uma campanha promocional de seus produtos, fez uma pesquisa para saber o horário que seus clientes costumam frequentar o supermercado para realizar suas compras, nesta pesquisa. Foram consultados 3000 clientes:

Horário

Nº de clientes

8h Ⱶ 12h

1500

12h Ⱶ 16h

500

16h Ⱶ 20h

1000

20h Ⱶ 23h

500

Em seguida, escolha e construa um gráfico para divulgar os resultados, justificando sua escolha.

Resolução:

Espera-se que os alunos escolham um gráfico de colunas e que elas estejam juntas, pois a frequência das classes é contínua.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

3.5 O gráfico a seguir mostra uma pesquisa feita com alunos do 9º ano de uma escola do estado de São Paulo sobre a quantidade de irmãos(as).

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

Com base nos dados observados no gráfico, determine a média, moda e mediana da quantidade de irmãos(as) dos alunos dessa turma.

Resolução:

Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

 12 . 0 + 15 . 1 + 5 .2 + 3 . 312 + 15 + 5 + 3 = 3435 0,97

É importante que o professor discuta o conceito de média ponderada com os alunos.

Mediana = Colocando os valores em ordem, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, a mediana será o 18º termo, 1.

Moda = Valor que mais vezes aparece = 1, aparecendo 15 vezes.

 

3.6 O gráfico a seguir mostra a média de Matemática de 3 turmas de 9º ano de uma escola de São Paulo durante o ano.

Figura está no Caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Com base nas informações dos gráficos, determine:

 

a) Qual é a média anual de cada turma?

Resolução:

Turma A Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

7 + 8 + 6 + 9/4 = 30/4 =7,5

Turma B Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠  𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

6 + 6 + 5 + 8/4 = 25/4 = 6,25

Turma C Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

8 + 8 + 7 + 9,5/4 = 31,54 7,9

 

b) Qual é a média de cada bimestre das turmas juntas?

Resolução:

1º Bimestre Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

6 + 7 + 8/3 = 21/3 = 7

2º Bimestre Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

6  + 8 + 8/3 = 22/3 7,3

3º Bimestre Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

5 + 6 + 7/3 = 18/3 = 6

4º Bimestre Média = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 / 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠

8 + 8,5 + 9/3 = 25,5/3 = 8,5

 

TESTE SEU CONHECIMENTO

1. (ENEM /2009.1) Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas, e anotar o número obtido em cada jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de frequências.

 

NÚMERO DO ÓBITO

FREQUENCIA

1

4

2

1

4

2

5

2

6

1

A média, mediana e moda dessa distribuição de frequências são, respectivamente:

(A) 3, 2 e 1

(B) 3, 3 e 1

(C) 3, 4 e 2

(D) 5, 4 e 2

(E) 6, 2 e 4

Alternativa: B

 

2. (ENEM/2009.2) Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani

O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.

Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é:

(A) 1,5 x 102 vezes a capacidade do reservatório novo.

(B) 1,5 x 103 vezes a capacidade do reservatório novo.

(C) 1,5 x 106 vezes a capacidade do reservatório novo.

(D) 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatório novo.

(E) 1,5 x 109 vezes a capacidade do reservatório novo.

Alternativa: E

 

3. (ENEM/2009) Nas últimas décadas, desencadeou-se uma discussão quanto ao papel da Amazônia no equilíbrio da biosfera e sobre as consequências que sua devastação poderá trazer para o clima do planeta. No gráfico a seguir, está representada, em quilômetros quadrados, a evolução da área que foi desmatada na floresta amazônica entre 1988 e 2007.

De acordo com os dados, o biênio em que ocorreu o maior desmatamento acumulado foi:

(A) 1988–1989.

(B) 1994–1995.

(C) 1995–1996.

(D) 2003–2004.

(E) 2000–2001.

Alternativa: D

 

4. (SARESP/2013) Qual das figuras a seguir, em relação à área hachurada, representa a expressão algébrica (m+2)²?

Alternativa: A

 

Continua...