9º CADERNO DO ALUNO - VOLUME 1

9º CADERNO DO ALUNO - VOLUME 1

Professor Diminoi

 

Caderno do Aluno Volume 1

(Modificado)

Observação: As questões a seguir são questões do Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020. Portanto, para que você compreenda toas as resoluções o “ideal” é você ter em mãos o Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020.

Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020 é um material da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo”

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

ATIVIDADE 1 – RODA DE CONVERSA – RETOMANDO OS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Vamos conversar sobre os conjuntos numéricos que você já conheceu. Escreva as principais características referentes aos conjuntos numéricos. Em seguida, a partir das ideias registradas, formule um parágrafo sobre os conjuntos numéricos.

A imagem pode conter: texto que diz "Conjuntos Numéricos"

Teoria dos Conjuntos – É o ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos.

Conjuntos Numéricos

Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. Eles nasceram como resultado das necessidades da humanidade em determinado período histórico.

Observação: Os números reais formam um conjunto que engloba aos números positivosnegativosdecimaisfracionárioszero, dízimas periódicas e dízimas não periódicas. Esse conjunto é considerado o mais completo e é capaz de realizar operações matemáticas de adição, subtração, multiplicação e divisão.

 

ATIVIDADE 2 – ESCREVENDO OS NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL.

2.1 Os números racionais 20/4 ; 10/4 ; – 6/10 ; 2/6 ; – 83/300 ; 45/13 estão na forma de fração. Escreva-os

na forma decimal. Em seguida, explique como você fez esse procedimento.

20/4 = 20 ÷ 4 = 5

10/4 = 10 ÷ 4 = 2,5

−6/10 = (−6) ÷ 10 = −0,6

2/6 = 2 ÷ 6 = 0,333 … = 0,3̅

−83/300 = (−83) ÷ 300 = 0,27666 … = −0,276̅

45/13 = 45 ÷ 13 = 3,461538461538… = 3, 4̅̅6̅̅1̅̅5̅3̅̅8̅

Espera-se que o estudante ao explicar o procedimento, afirme que fez uma divisão entre o numerador e o denominador, obtendo assim números decimais com diferentes características: números decimais exatos; números decimais em que os números que compõem a parte decimal se repetem.

 

2.2 Escolha um critério e separe os números racionais na forma decimal em categorias a partir das suas características. Explique seu critério e faça uma análise desses números racionais.

Uma possibilidade:

Decimais exatos: 5; 2,5 e -0,6;

Dízimas periódicas: 0,3̅; −0,276̅ e 3, 461538 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅

A representação decimal de um número racional é sempre um decimal exato ou uma dízima periódica.

 

2.3 Observe os seguintes números racionais: 0,5; 23,4; – 0,354; 6,23; 0,23; 2,12; 3,2453. Eles estão na representação decimal. Escreva-os na representação fracionária e explique o procedimento que você utilizou.

5/10 = 0,5

23,4 = 234/10

- 0,354 = −354/1000

6,23 = 623/100

0,̅2̅3̅̅ =Tem-se uma dízima periódica, vamos representa-la por 𝑥,

𝑥 = 0,2323 … ( I )

Após a vírgula aparece a parte periódica e com dois algarismos, então se multiplica ( I ) por 100 e se obtém:

100𝑥 = 23,2323... ( II )

Subtrai-se ( I ) de ( II) temos: 99𝑥 = 23, portanto, 𝑥 = 23/99

2,12̅ = Temos uma dízima periódica, vamos representá-la por 𝑥,

𝑥 = 2,1222 …

Vamos deixar somente a parte que se repete, após a vírgula, para isso multiplica-se por

10

10𝑥 = 21,222 … (I)

A parte periódica apresenta somente um algarismo então multiplica-se ( I ) por 10

100𝑥 = 212,222... (II)

Subtraindo (I) de (II) temos: 90𝑥 = 191 , portanto 𝑥 = 191/90

3,24̅5̅̅3̅ = Temos uma dízima periódica, vamos representá-la por 𝑥,

𝑥 = 3,245353 …

Vamos deixar somente a parte que se repete após a vírgula, para isso multiplica-se por

100𝑥 = 324,5353 … (I)

A parte periódica apresenta dois algarismos então multiplica-se ( I ) por 100

10000𝑥 = 32453,5353 ….. ( II )

Subtraindo ( I ) de ( II) temos: 9900𝑥 = 32129 , portanto 𝑥 = 32129/9900

 

ATIVIDADE 3 – LOCALIZANDO NÚMEROS RACIONAIS NA RETA NUMÉRICA.

É possível localizar os números racionais em uma reta numérica, inclusive considerando suas diferentes representações. Localize os números a seguir na reta numérica. Explique como você procedeu para localizá-los.

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 – OS INCOMENSURÁVEIS (Geometria)

Geometria é uma das três grandes áreas da Matemática, ao lado de cálculo e álgebra. A palavra “geometria” tem origem grega e sua tradução literal é: “medir a terra”. Essa informação nos dá pistas de como nasceu e o motivo pelo qual ela se desenvolveu durante os séculos.

A Geometria é o estudo das formas dos objetos presentes na natureza, das posições ocupadas por esses objetos, das relações e das propriedades relativas a essas formas.

Há muitos anos foi atribuído aos pitagóricos o exemplo mais famoso de segmentos incomensuráveis: a relação da diagonal do quadrado com o seu lado. Essa medida resultava num valor que não podia ser representado em forma de uma fração, portanto não poderia ser um número racional. O termo “racional” vem do latim rationalis, no qual ratio significa razão, ou seja, todo número que pode ser escrito na forma de uma razão (fração) é um número racional. Logo, os números que não podiam ser escritos em forma de fração ficaram conhecidos como números Irracionais.

Vamos descobrir qual é a relação da diagonal do quadrado com o seu lado a partir de uma construção geométrica: Passo 1 – Desenhe em uma folha dois quadrados de lado 1 dm. Trace uma diagonal em cada um, e recorte-os.

a) Calcule a área de cada quadrado.

Passo 2 – Recorte os quadrados pelas suas diagonais, obtendo 4 triângulos retângulos isósceles.

Passo 3 – Forme um único quadrado utilizando os quatro triângulos isósceles, sem sobrepô-los e sem deixar espaços vazios.

b) Qual é a área do novo quadrado? E a medida de seu lado?

c) Qual é a relação entre a diagonal dos quadrados que foram recortados (e divididos pelas diagonais) e o lado do novo quadrado?

 

 

Vamos descobrir qual é a relação da diagonal do quadrado com o seu lado a partir de uma construção geométrica:

Passo 1 – Desenhe em uma folha dois quadrados de lado 1 dm.  Trace uma diagonal em cada um, e recorte-os.

 

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a) Calcule a área de cada quadrado.

 

O quadrado novo é composto pelos dois quadrados anteriores, portanto sua área será 1 𝑑𝑚2 + 1 𝑑𝑚2 = 2 𝑑𝑚². Como a área do quadrado é dada por 𝑙², temos: 𝑙 2 = 2 𝑙 = √2 𝑑m

Passo 2 Recorte os quadrados pelas suas diagonais, obtendo 4 triângulos retângulos isósceles.

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Passo 3 Forme um único quadrado utilizando os quatro triângulos isósceles, sem sobrepô-los e sem deixar espaços vazios.

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b) Qual é a área do novo quadrado? E a medida de seu lado?

O quadrado novo é composto pelos dois quadrados anteriores, portanto sua área será 1 𝑑𝑚2 + 1 𝑑𝑚2 = 2 𝑑𝑚². Como a área do quadrado é dada por 𝑙², temos:

𝑙2 = 2 𝑙 = √2 𝑑𝑚

c) Qual é a relação entre a diagonal dos quadrados que foram recortados (e divididos pelas diagonais) e o lado do novo quadrado?

Possuem a mesma medida, pois o lado maior do triângulo retângulo (hipotenusa) forma o lado do quadrado novo.

 

ATIVIDADE 2 – A REPRESENTAÇÃO DE ALGUNS NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA

2.1 Os números Irracionais podem ser representados na reta numérica por meio de construções geométricas.

a) Desenhe um quadrado de lado 1, com um de seus vértices no ponto zero e um de seus lados sobre a reta numérica abaixo.

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b) Em seguida, com a ponta seca do compasso no ponto 0 e abertura do compasso com a medida da diagonal, construa o arco até cortar a reta numérica, marcando um ponto.

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O ponto encontrado sobre a reta numérica o ponto A será no número irracional √2.

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2.2 Para representar √3 na reta numérica, considere o segmento que vai do 0 a √2 encontrado anteriormente e construa um retângulo de base √2 e altura 1. Trace a diagonal do retângulo e transfira a medida para a reta numérica, iniciando no zero.

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O ponto encontrado sobre a reta numérica o ponto A será no número irracional √2.

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Resolução:

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O número representado está entre 2 e 3, ou seja, entre √4 e √9, podendo ser: √5,√6, √7, 𝑜𝑢 √8. Como o número está antes da metade entre 2 e 3, ele está mais próximo de √4 do que √9 (entre √4 e √6,25, pois 6,25 = 2,5 × 2,5), restando duas opções: √5 𝑜𝑢 √6. Observando os itens anteriores desta atividade, é possível concluir que é √5, pois no item “a” o lado do quadrado media 1 e a projeção da diagonal sobre a reta numérica resultou em √2 , no item “b” as dimensões do retângulo eram 1 × √2 e a projeção da diagonal sobre a reta numérica resultou em √3

 

2,  Represente na reta numérica os números irracionais √6 e √7. Para representar √6, construa um quadrado de lado √3.

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3. Represente √7 na reta numérica. Para isso, construa um retângulo com as dimensões √4 𝑝𝑜𝑟 √3.

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ATIVIDADE 3 – OS NÚMEROS REAIS

3.1 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo:

(  F  ) 11/7 é um número irracional.

( V  ) A soma de dois números naturais resulta sempre em outro número natural.

 ) – 10/44 é um número inteiro.

(  V ) Todo número natural é também um número racional.

(  F ) A divisão entre dois números inteiros resulta sempre em um número racional.

(  F ) Toda dízima periódica é um número irracional.

(  F ) O número π pode ser representado por meio de uma fração, sem aproximação.

(  V  ) Todos os anteriores pertencem ao conjunto dos números reais.

 

3.2 Considere os números a seguir, identifique a quais conjuntos numéricos eles pertencem, justificando sua resposta:

Números Naturais: 1; 5 ; 2030

Números inteiros: 1; 5 ; 2030 ; -2;

Números racionais: 1; 5 ; 2030 ; -2 ; -3,7 ; −3/7 ; -0,333...; 35% ; 0,00010203

Números irracionais: √2, √5 3 , 𝜋.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

ATIVIDADE 1 – RAZÃO: UMA RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS

3.1 Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) as afirmações abaixo:

(F) 11 7 é um número Irracional.

(V) a soma de dois números Naturais resulta sempre em outro número Natural.

(F) − 10 4 é um número Inteiro.

(V) Todo número Natural é também um número Racional.

(F) A divisão entre dois números Inteiros resulta sempre em um número Racional. (F) Toda dízima periódica é um número Irracional.

(F) O número 𝜋 pode ser representado através de uma fração, sem aproximação.

(V) Todos os anteriores pertencem ao conjunto dos números Reais.

 

3.2 Considere os números a seguir, identifique a quais conjuntos numéricos eles pertencem, justificando sua resposta:

Números Naturais: 1; 5; 2030

Números inteiros: 1; 5; 2030; -2;

Números racionais: 1; 5; 2030; -2; -3,7; − 3 7 ; -0,333...; 35%; 0,00010203

Números irracionais: √2, √5 3 , 𝜋.

 

Verifique a relação entre as grandezas, determine a razão e preencha a tabela:

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ATIVIDADE 2 – DENSIDADE DEMOGRÁFICA: UMA RAZÃO PRESENTE EM NOSSO COTIDIANO

A densidade demográfica, ou densidade populacional, é um índice muito útil para as políticas públicas, pois permite que sejam feitas comparações entre diferentes regiões do mundo. Serve para avaliar a distribuição da população em um determinado espaço geográfico e é expressa em hab/km2 (habitantes por quilômetro quadrado).

2.1 Sabendo que a área territorial da China é de aproximadamente 9.597.000 km² e a população é estimada em 1.394.550.000 habitantes em 2019. Calcule a densidade demográfica da China.                                 

Para calcular a densidade demográfica da China devemos efetuar a divisão entre o

número de habitantes pela área do país. Ao dividir 1.394.550.000 por 9.597.000, obtemos, aproximadamente, 145 hab/km².

 

2.2 Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, o Brasil possui aproximadamente 210 milhões de habitantes em 2019 sobre um território estimado de 8.500.000 km². A partir dos dados obtidos na questão 01 desta atividade, qual país possui maior densidade demográfica, Brasil ou China? No que isso interfere na disseminação do vírus, no números de infectados e na quantidade de mortes causados pelo condi 19.

A densidade demográfica do Brasil obtemos realizando a divisão entre o número de habitantes (210.000.000) pela área em km² (8.500.000), que resulta em, aproximadamente, 25 hab/km², logo a China possui maior densidade demográfica.

 

ATIVIDADE 3 – PÚBLICO NA MEDIDA CERTA

Em shows, festas, entre outros, é possível estimar o público presente utilizando a ideia de densidade demográfica, só que em escala menor. As concentrações de pessoas podem ser estimadas em número de pessoas por metro quadrado. Este cálculo possibilita ao Poder Público estimar a real necessidade de profissionais (médicos, policiais, bombeiros), infraestrutura, dentre outras necessidades, para dar suporte ao evento.

3.1 Em sua sala, em grupo, marque no chão (com fita adesiva, giz, jornal ou outro material) um quadrado de lado 1 metro. Determine a área do quadrado delimitado no chão e verifique quantos alunos “cabem” nesse espaço. Discuta com o grupo a quantidade de pessoas que ficaria confortável nesse espaço de 1 m2 e registre todas as observações desta atividade.

Possivelmente caberão no máximo, 9 pessoas por metro quadrado e confortavelmente 3 pessoas.

 

3.2 No campo de futebol de uma cidade do interior do Estado de São Paulo, ocorrerá um show muito esperado pelos habitantes da região. O campo possui as seguintes dimensões:

Para esse show, qual será a capacidade máxima de pessoas nesse campo de futebol? Quantos ingressos, no máximo, poderem ser colocados à venda?

 A capacidade máxima do campo de futebol é de 73.260 (110 x 74 x 9 = 73.260)
Confortavelmente, apenas 24.420 (110 x 74 x 3 = 24.420) pessoas.
Importante ressaltar que o quantitativo de pessoas por metro quadrado será o valor consensual determinado pela vivência realizada pelos estudantes. Neste problema considera-se a densidade demográfica conhecida, por exemplo máximo 9 pessoas/m², então calcula-se primeiramente, quantos metros quadrados possui o ambiente (110 x 74) e multiplica por 9 porque em cada um desses metros quadrados obtidos, comportarão no máximo 9 pessoas.

 

3.3 Em ambientes fechados, além de todas as normas que regem o tamanho das portas e os materiais de isolamento não inflamável que podem ser utilizados, os bombeiros recomendam uma lotação máxima de 2,5 pessoas por metro quadrado. Um local que possui 280 m² comportaria um público de 1.120 pessoas? Justifique.

A capacidade máxima desse local, segundo a orientação dos bombeiros, é de 700 (280 x 2,5 = 700) pessoas.

 

3.4 Este é um ano memorável, pois você e sua turma irão concluir o Ensino Fundamental. Visando uma possível festa de formatura em sua escola, identifique o maior local disponível (quadra, pátio, refeitório, auditório, entre outros espaços) e calcule sua capacidade, segundo as orientações dos bombeiros.

Esta resposta depende das dimensões do espaço escolhido, por exemplo: se o pátio da escola possui 16 m por 25m, sua área será de 400 𝑚² e sua capacidade de 1.000 pessoas (400 x 2,5). Solicitar aos estudantes que busquem informações sobre lotação máxima de pessoas nos ambientes na própria escola, entrevistando bombeiros ou em pesquisas na internet, quando possível.

 

Os estudantes deverão identificar a ampliação correta da figura e justificar suas respostas. Será considerado o fator de ampliação, neste caso a razão da altura da figura pelo seu comprimento (estamos considerando a figura em 2D) para elucidar a proporcionalidade direta através de uma relação visual. Após tal percepção, os estudantes serão convidados a verificar a existência de proporcionalidade direta em situações do cotidiano. Ao final da atividade é importante consolidar a ideia de constante de proporcionalidade.

A alternativa que apresenta a ampliação correta da figura é a “d”. Como justificativa, os estudantes podem elencar que ela “aumentou” proporcionalmente na altura e no comprimento; ou que a altura dobrou e o comprimento também; ou que a razão entre a altura e o comprimento se manteve.

 

3.5 Este é um ano memorável, pois você e sua turma irão concluir o Ensino Fundamental. Visando uma possível festa de formatura em sua escola, identifique o maior local disponível (quadra, pátio, refeitório, auditório, entre outros espaços) e calcule sua capacidade, segundo as orientações dos bombeiros.

 

ATIVIDADE 4 – A PROPORCIONALIDADE DIRETA: UMA RAZÃO PARA EXISTIR

A figura a seguir do representa um martelo de um famoso super-herói: 

Esse martelo foi ampliado para aumentar seu poder. Indique, dentre as alternativas abaixo, qual representa a correta ampliação do martelo e justifique sua resposta.

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4.1 Analise as situações abaixo e indique, em cada uma, se há ou não proporcionalidade direta ou inversa, justificando sua resposta:

a) Para aumentar a renda familiar, Sr. José abriu uma microempresa de marmitex e vende cada marmita por R$ 10,00. Marcos comprou 12 marmitas e pagou R$ 120,00, e Poliana comprou 5 marmitas, pagando R$ 50,00.

Há proporcionalidade direta, pois a razão do número de marmitex pelo preço pago se mantém.

b) Numa promoção, na compra de três camisetas pagavam-se R$ 57,00, cinco camisetas saíam por R$ 75,00 e dez camisetas saíam por R$ 120,00.

Não há proporcionalidade direta, pois a nem a razão entre o preço pago e o número de camisetas se mantém (57/3 = 19, 75/5 = 15 e 120/10 = 12), também não há proporcionalidade indireta pois, nem o produto das variáveis se mantém (3 × 57 = 171; 5 × 75 = 375; e 10 × 120 = 1200).

c) Uma caixa d’água de 1000 ℓ proporciona 10 banhos de 100 ℓ cada, ou 20 banhos de 50 ℓ cada, ou 50 banhos de 20 ℓ cada.

Há proporcionalidade inversa, pois o produto 10 × 100 = 20 × 50 = 50 × 20 = 1000.

 

ATIVIDADE 1 – CONHECENDO A PLANTA BAIXA

Para trocar o piso da sala e da cozinha, Seni solicitou ao pedreiro que realizasse o cálculo do total dessas duas áreas. Após alguns minutos, o pedreiro informou que o total das duas áreas era de 45 m². Veja a seguir a planta arquitetônica da casa de Seni:

A imagem pode conter: texto que diz "Banheiro Suite Banheiro Quarto Corredor Sala Cozinha Varanda Varanda ESCALA 1:100"

1.1 Com base na planta baixa (planta arquitetônica) da casa de Seni, calcule:

a) As medidas da cozinha e da sala em metros.

Para obter o comprimento, oriente os alunos a utilizarem a régua. O comprimento da cozinha, em centímetros, é de 4 cm. Interpretando a escala, cada centímetro na planta arquitetônica equivale a 100 cm no real, o comprimento da cozinha, no real, é de 400 cm, ou, conforme o solicitado, 4 m. O comprimento da sala, em centímetros, é de 6 cm. Como, segundo a escala, cada centímetro na planta arquitetônica equivale a 100 cm no real, o comprimento da sala, no real, é de 600 cm, ou, conforme o solicitado, 6 m.

b) A área da cozinha e da sala em metros quadrados.

A cozinha possui 4 cm × 3 cm, ou seja, utilizando a escala dada, 4 m × 3 m = 12 m². A sala possui 6 cm × 3 cm, ou seja, utilizando a escala dada, 6 m × 3 m = 18 m².

c) O pedreiro estava correto em seus cálculos? Justifique.

O pedreiro se equivocou nos cálculos, pois 12 𝑚² + 18 𝑚² = 30 𝑚² e não 45 𝑚².

 

OS MAPAS E AS PLANTAS ARQUITETÔNICAS: ESCALAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

 

Lê, interpretar e fazer conversão de Escalas de Mapas e Plantas

Ler e interpretar escalas em mapas é nosso assunto dessa atividade. Explore o mapa, converse com os estudantes como imaginam que os mapas são elaborados

Escala gráfica:

1 cm no mapa equivale a 250km no tamanho real.

Escala numérica:

1:250 000 000 expressa a razão entre a distância obtida no mapa (1cm)   a distância real (25 000 000 cm). Assim, o 1 é o numerador e 25 000 000 o denominador.

Na representação fracionária podemos representar: 1/25 000 00

Observação:

1m = 100cm

1km = 100 000cm

1km = 1000m

 

Exemplo 1: Um ponto está localizado a 5cm e a escala é 1:200 000. Qual a distância real dente ponto em km?

Podemos usar regra de três simples

  m        1

----- = --------

  M       n

d = medida no desenho

D = medida real

1/n = escala

 5cm           1

------ = --------------   

  D        200 000

D . 1 = 5 . 200 000 cm

D = 100 0000 cm

Observação: 1km = 10 0000 cm

Transformar cm em km divide-se por 10 000

Portanto, 100 000/10000 = 10

Resposta: nesse caso, a distância real é 10km

 

Exemplo 2: No gráfico a seguir e responda qual é a razão da escala numérica adotada nesse gráfico?

Mapa do Estado de São paulo

Observação: dimensão fora de padrão, não use régua nem outro instrumento de medição, aplique apenas o conceito.

A escala é 1:600 000

 

Exemplo 3: Em um mapa cuja escala é 1:2 500 000, duas cidades estão separadas, em linha reta, por centímetros. A distância real (no terreno em km) entre essas duas cidades é:

(A) 50 km                  

(B) 75 km               

(C) 125 km                 

(D) 500 km               

(E) 1250 km

Podemos usar regra de três simples

  m        1 (numerador)

----- = --------

  D         n (denominado)

m = medida no desenho

D = medida real

1/n = escala

 5cm           1

------ = --------------   

  M        2 500 000

D . 1 = 5 . 2 500 000

D = 1 250 0000 cm

Observação: 1km = 10 0000 cm

Transformar cm em km divide-se por 10 000

Portanto, 1 250 000/10000 = 125 km

Resposta: a distância real é

Alternativa: C

 

ATIVIDADE 2 – OS MAPAS E AS PLANTAS ARQUITETÔNICAS:

ESCALAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

No rodapé dos mapas e das plantas arquitetônicas, normalmente encontram-se suas escalas. A escala é elaborada a partir da razão de redução ou ampliação sofrida. É possível calcular a medida real utilizando a escala. Nas aulas de Geografia muitos mapas são analisados, cada um com sua escala. Quando o mapa apresenta uma escala de 1:1000, por exemplo, significa que cada unidade de medida no mapa representa mil unidades de medida no real. Se você estiver utilizando uma régua, significa que cada centímetro no mapa representa 1.000 centímetros no tamanho real. Com base no exposto, resolva os problemas elencados a seguir:

 

2.1 Malkom vai viajar até a casa de Diana, sua prima, que mora numa cidade vizinha. Ao pesquisar no GPS o endereço de Diana, deparou-se com o seguinte mapa:

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2.2 Utilize a régua para medir, em centímetros, a distância entre a casa de Malkom e a de Diana. Após utilizar a escala do mapa para transformar a distância medida em distância real, determine a distância aproximada, em quilômetros, da casa de Malkom até a moradia de Diana.

 

2.3 Ana Voig, moradora da Estância Hidromineral de Águas de Santa Bárbara, interior de São Paulo, em uma busca na internet, descobriu que a cidade de Brotas é famosa por seu esporte radical Rafting, e Boituva é famosa pelos saltos de paraquedas. Ao consultar o mapa político do Estado de São Paulo, disponível no site do IBGE, pôde conferir, aproximadamente, as distâncias entre as cidades. Utilizando uma régua, meça, em centímetros, a distância entre a cidade de Ana Voig e as cidades de Brotas e Boituva. Em seguida, utilizando a escala indicada no mapa, calcule essa distância em quilômetros. Qual das duas cidades é mais próxima da cidade de Ana? Qual é a diferença entre as distâncias encontradas?

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No mapa, os estudantes devem medir, utilizando a régua, a distância (em linha reta) entre Águas de Santa Bárbara e Boituva. Utilizando a escala disponibilizada, eles devem multiplicar o valor encontrado por 1.400.000. Como devem calcular em km, lembre-os que 1 km= 100.000 cm, assim farão a conversão dos valores encontrados em centímetros para quilômetros. Devem comparar as distâncias e então encontrar qual á a cidade mais próxima, calculando a diferença entre as cidades.

 

SITUÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

ATIVIDADE 1 – RELAÇÕES ENTRE OS ÂNGULOS FORMADOS POR

RETAS PARALELAS CORTADAS PELA RETA TRANSVERSAL.

Vamos estudar sobre as retas paralelas e retas transversais. Temos na figura duas retas distintas r e s, que são paralelas (r // s), e a reta t que as intercepta.

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1.1 Observando a figura 1 responda:

a) Quantos ângulos a reta t forma com as retas paralelas r e s?

8 ângulos

b) Com o transferidor meça cada um dos ângulos, e organize esses dados em uma tabela.

a = 40º

b = 40º

c = 140º

d = 140º

e = 40º

f = 40º

g = 140º

h = 140º

c) Agora agrupe os ângulos que possuem a mesma medida.

𝑎̂ = 𝑏 ̂ = ̂𝑒 = ̂𝑓 = 40° e 𝑐̂= 𝑑 ̂ = ̂𝑔 = ̂ = 140° (de acordo com a figura 1)

 

1.2 Identifique os pares desses ângulos que são:

 

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ATIVIDADE 2– DEMONSTRANDO ALGUMAS PROPRIEDADES

2.1 Demonstre que ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Apresentamos aqui uma sugestão para o encaminhamento da demonstração, mas você poderá utilizar outra forma que esteja mais familiarizado.

Provar que 𝑎̂ = 𝑓̂ (o.p.v.)

Sabe-se que 𝑎̂ + 𝑏 ̂ = 180° (ângulos suplementares) (I) e que 𝑏 ̂ + 𝑓̂ = 180° (ângulos

suplementares) (II), igualando a equação ( I ) com a equação ( II ), temos

𝑎̂ + 𝑏 ̂ = 𝑏 ̂ + 𝑓̂ logo 𝑎̂ = 𝑓̂

 

2.2 Demonstre que ângulos alternos internos são congruentes.

Apresentamos aqui uma sugestão para o encaminhamento da demonstração, mas você poderá utilizar outra forma que esteja mais familiarizado.

Provar que ĉ = f̂ (ângulos alternos internos)

Sabe-se que â = ĉ ( I ) (ângulos correspondentes) e â = f̂ ( II ) (o.p.v.), igualando a equação ( I ) com a equação ( II ), temos ĉ = f̂ .

 

ATIVIDADE 3 – DESCOBRINDO O “X DA QUESTÃO”!

Sabendo que a reta r é paralela à reta s e a reta t é paralela à reta v, junto com seus colegas encontre o valor do ângulo x, justificando sua resposta.

 

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3.1 Etapa concluída: Escreva o que você aprendeu nesta Situação de Aprendizagem.

Reescrevam o que aprenderam. É uma oportunidade para que você possar refletir sobre sua aprendizagem, principalmente porque fazer demonstrações envolve o raciocínio de forma organizada estruturando uma lógica para os procedimentos de uma demonstração.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6

ATIVIDADE 1 – ESPECULANDO MEDIDA.

A tirolesa, originária da região do Tirol (Áustria), é um meio de transporte individual para travessia de rios, lagos e desfiladeiros. Constitui-se em um cabo de aço aéreo, ancorado entre dois pontos, no qual o usuário, preso a um cinto especial, se desloca através de roldanas conectadas por mosquetões a um arnês (uma espécie de cinto de segurança para a escalada). Atualmente é usado como atividade esportiva de aventura.

professora Cláudia possui uma parque com atrações radicais, entre elas uma tirolesa entre que tem seus pontos de sustentação em dois postes paralelos, colocados a uma distância o 40m e unidos por um cabo de ação aéreo de 50m. A fim de ampliar essa tirolesa, mantendo a mesma inclinação, será colocado um novo poste, paralelamente aos anteriores e a uma distância de 60m conforme a figura abaixo.

A professora Cláudia precisará trocar o cabo de aço aéreo e, para isso, comprou 70m de cabo. Será que ela comprou a quantidade suficiente?

Aplicando regra de três simples

x        50    

60       40

40x = 50 . 50

40x = 3000

x = 3000/40

x = 75

Resposta: a quantidade de cabo de aço que a professoras Cláudia comprou não ´suficiente porque ela precisa de 75 m e tirolesa.

 

ATIVIDADE 2 – FAMILIARIZANDO-SE COM RAZÃO ENTRE SEGMENTOS APOIADO EM PROJETO DE VIDA.

2.1 Quando queremos saber se determinado curso de uma faculdade tem grande concorrência, precisamos obter a relação de candidatos por vaga, que é a razão do total de inscritos no vestibular dividido pelo número de vagas oferecido pela instituição.

A Faculdade A possui 3250 candidatos inscritos para 50 vagas, e a Faculdade B possui 1950 candidatos inscritos para 30 vagas. Em qual das duas faculdades o candidato terá maior “chance”? Justifique.

Faculdade A = 3250/ 50 = 65 candidatos por vaga, e na Faculdade B = 1950/30 = 65 candidatos por vaga, observa-se que nas duas Faculdades as “chances”, se igualam (são as mesmas).

 

2.2 Dado um segmento AB de 3 cm e um segmento CD de 12 cm, qual é a razão entre AB e CD nesta ordem?

3/12 = 1/4

 

2.3 Em dupla, elabore um problema que envolva a razão entre duas grandezas e entregue-a para outra dupla resolver.

Resposta pessoal. Após a elaboração do problema, entregar a folha para outra dupla e resolver o problema proposto pelos outros colegas. Acompanhe as discussões entre as duplas, verificando se o problema elaborado atende ao solicitado na proposta.

 

ATIVIDADE 3 – APROFUNDANDO O CONHECIMENTO: RAZÃO ENTRE SEGMENTOS

3.1 A Figura 4 é representada por um feixe de retas paralelas r // s // t, cortadas por duas transversais, v e y.

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Com uma régua, encontre o valor de:

a) AB; BC; A’B’; B’C’

̅𝐴̅̅𝐵̅ = 1; ̅𝐵̅̅𝐶̅ = 2; ̅𝐴̅̅′̅𝐵̅̅′ = 3; ̅𝐵̅̅′̅𝐶̅̅′ = 6

b) Qual a razão de AB para BC?

̅𝐴̅̅𝐵̅/̅𝐵̅̅𝐶̅ =  1/2

c) Qual a razão de AB para A’B’?

𝐴̅̅̅𝐵̅̅/𝐴′𝐵′ = 1/3

d) Qual a razão de A’B’ para B’C’?

̅𝐴̅̅′̅𝐵̅̅′/̅𝐵̅̅′̅𝐶̅̅′ = 3/6 = 1/ 2

e) Qual a razão de BC para B’C’?

̅𝐵̅̅𝐶̅/𝐵′𝐶 = 2/ 6 = 1/3

 

 

3.2 Junto com um colega, resolva os exercícios a seguir para encontrar o valor de x, sabendo que as retas a, b e c são paralelas, e que determinam nas retas transversais r e s, segmentos cujas medidas estão indicadas em cm.

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3.3 Retomando o problema da professora Cláudia, vamos verificar se a medida de cabo de aço que ele comprou será suficiente para ampliar a distância da tirolesa?

Aplicando regra de três simples

x        50    

60       40

40x = 50 . 50

40x = 3000

x = 3000/40

x = 75

Resposta: a quantidade de cabo de aço que a professoras Cláudia comprou não ésuficiente porque ela precisa de 75 m e tirolesa  la só comprou 70 m.

 

ATIVIDADE 4 – TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS

4.1 Nas figuras a seguir, temos DE//BC. Considerando a propriedade do Teorema de Tales nos triângulos, encontre a medida x:

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4.3 Em uma determinada hora do dia, o prédio da escola projeta uma sombra de 12 m, e uma árvore plantada ao lado, com 5 metros de altura, projeta uma sombra de 3 m. Veja o esquema ao lado. Se mais tarde a sombra da árvore diminuir em um metro, qual será a sombra do prédio da escola?

 

A imagem pode conter: texto que diz

 

4.34 Em grupo, façam uma pesquisa sobre Tales e seu Teorema. Tragam curiosidades sobre o tema para compartilhar com a classe.

No dia agendado para apresentarem a pesquisa, organize os alunos de forma que todos possam participar. Uma sugestão seria antecipadamente verificar com os estudantes qual o formato da apresentação, assim você poderá organizar os tempos dos grupos e o espaço.

 

ATIVIDADE 5 – SEMELHANÇA

Você considera essas figuras semelhantes? Justifique sua resposta

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.1 Amplie ou reduza a figura abaixo na malha quadriculada e descreva como pensou.

Observe se as justificativas contemplam: proporcionalidades entre os lados dos polígonos originais (ampliação/redução) bem como a igualdade entre os ângulos correspondentes.

 

5.2 Identifique os polígonos que formam a figura original e da figura que você ampliou ou reduziu. Quais são eles?

Paralelogramo, triângulo, retângulo e quadrado.

 

 

5.3 Agora, utilizando uma régua, meça os lados do polígono original e da sua ampliação ou redução e encontre a constante de proporcionalidade entre os lados correspondentes de todos os polígonos. Após o cálculo, o que você conclui?

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Supondo que o estudante tenha encontrado estas medidas

aralelogramo: largura → 2,83/5,66 = 1/2 ; comprimento → 8/16 = 1/2

Triângulo: lado → 2,83 5,66 = 1/2 ; lado → 4/8 = 1/2

Retângulo: largura → 4/8 = 1/2 ; comprimento → 8/16 = 1/2

Quadrado: lado→ 4/8 = 1/2

Temos a figura original como a metade da ampliada, poderia ter feito ao contrário aí a constante de proporcionalidade seria 2, isto é, a ampliada é o dobro da figura original. Com a constante de proporcionalidade garante-se que as figuras são semelhantes.

 

 

ATIVIDADE 6 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

6.1 Observe as figuras abaixo:

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É possível afirmar que temos uma ideia de semelhança? Justifique.

Explore com os estudantes a ideia de semelhança. Podem medir os lados dos triângulos e fazer uma relação entre eles.

 

6.2 Utilizando um compasso, construa dois triângulos: um com lados 1 cm; 3,5 cm e 5 cm e outro com lados 2 cm; 7 cm e 10 cm. Há semelhança entre eles?

 A imagem pode conter: texto que diz

 

6.3 Construa um triângulo com um lado de 4 cm e outro de 6 cm formando um ângulo de 40°. Depois construa outro triângulo, com um lado de 8 cm e outro de 12 cm formando um ângulo de 40°. Os triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta.

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Porque há constante de proporcionalidade entre os pares de lados correspondentes.

 

6 .4 Construa um triângulo com um lado de 4 cm e outro de 6 cm formando um ângulo de 40°. Depois construa outro triângulo, com um lado de 8 cm e outro de 12 cm formando um ângulo de 40°. Os triângulos são semelhantes? Justifique sua resposta.

 

ATIVIDADE 7 – CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

7.1 Considerando que e são ângulos congruentes, os triângulos ABF e CFD são semelhantes? Justifique.

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Os triângulos são semelhantes pelo caso AA. (𝐵𝐹 ̂𝐴  𝐶𝐹 ̂𝐷 (𝑜𝑝𝑣. ) 𝑒 𝛼  𝛽)

 

7.2 Considerando que os segmentos AB e CD são paralelos:

 Observe a figura. Considerando que os segmentos ̅𝐴̅̅𝐵̅ e ̅𝐶̅̅𝐷̅ são paralelos:

a) Quantos triângulos temos na figura?

Temos dois triângulos 𝐴𝐵𝐸 𝑒 𝐶𝐷𝐸.

b) Por que os dois triângulos são semelhantes?

Porque:

𝐵𝐴 ̂ 𝐸  𝐷𝐶 ̂ 𝐸 (são ângulos correspondentes)

𝐴𝐵 ̂ 𝐸  𝐶𝐷 ̂𝐸 (são ângulos correspondentes)

𝐸 ̂  𝐸 ̂ (ângulo comum ao dois triângulos)

c) Qual é a constante de proporcionalidade entre os pares de lados correspondentes?

Pelo caso AA, os triângulos 𝐴𝐵𝐸 𝑒 𝐶𝐷𝐸, são triângulos semelhantes e 14/10 = 7/5 é a constante de proporcionalidade entre os pares de lados correspondentes dos dois triângulos.

d) Qual é a medida indicada por x?

Temos:

𝑥 + 8/8 = 𝑦 + 5/5 = 7/5

𝑥 + 8/8 = 7/5 → 5𝑥 + 40 = 56 → 5𝑥 = 16 → 𝑥 = 16/5

e) Qual é a medida indicada por y?

(𝑦+5)/5 = 7/5 → 𝑦 + 5 = 7 → 𝑦 = 2

 

7.3 Elabore e resolva uma situação-problema na qual se utilize semelhança de triângulos. Em seguida, dê a questão para um colega resolver

Os estudantes podem ser organizados em duplas para elaborarem o problema. Orient

 

 

 

ATIVIDADE 3 – O USO DA CRIATIVIDADE NA ELABORAÇÃO DE SITUAÇÕES-PROBLEMA.

Nesta atividade você terá a oportunidade de utilizar sua criatividade para elaborar situações-problema e desafiar seus colegas a resolvê-las.

3.1 A partir de tudo que estudamos nesta Situação de Aprendizagem, junte-se a um colega e elaborem uma situação-problema que envolva proporcionalidade direta ou inversa. Não se esqueçam de, em uma folha avulsa, realizar a resolução detalhada do problema elaborado, para corrigir possíveis equívocos. Proponham a situação-problema elaborada para outra dupla resolver e verifiquem as respostas apontadas.

Resposta pessoal. Socialize os problemas elaborados pelos estudantes. Verifique se a resolução envolve a proporcionalidade direta ou inversa.

 

3.2 Elabore, em grupo, uma situação-problema que envolva escalas em mapas ou plantas arquitetônicas. Utilize régua para desenhar o mapa ou a planta arquitetônica nas devidas proporções. Realize a resolução detalhada do problema elaborado em uma folha avulsa, para verificar se todos os dados estão corretos e se a resposta é possível. Proponha a situação-problema elaborada para outro grupo responder e verifique as respostas apontadas.

Resposta pessoal. Auxilie os estudantes nessa organização.

Dica: pesquise mapas ou plantas arquitetônicas para complementar sua elaboração e utilize dados do bairro onde mora, de sua casa ou da escola onde estuda.

 

Exemplos 1: Observe a figura abaixo e encontre os valores de x e y. Respectivamente.

Resposta: x = 50º e y = 130º

 

Exemplo 2: Calcule o valor de x na figura.

Os ângulos da figura são complementares, isto é, a soma entre eles é igual a 90º.

x + 40 + 3x + x – 10 = 90

5x + 30 = 90

5x = 90 – 30

5x = 60

x = 12

 

Exemplo 3: Calcule o valor de x, y, z na figura.

Resposta: x = 70º,  y = 70º, z = 110º

 

Exemplo 4: As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos

a) 

55º

b) 

74º

c) 

33º

 

Exemplo 5: As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î ?

Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b.

Portanto:

î = 80° + 50° = 130°

 

Exemplo 6: Obtenha as medidas dos ângulos assinalados

a) 

160° - 3x = x + 100°       

160° - 100° = x + 3x   

60° = 4x    

x = 60°/4   

x = 15° 

Portanto:

15° + 100° = 115° e 160° -3 . 15° = 115°

b) 

6x + 15° + 2x + 5º = 180°

6x + 2x = 180° -15° - 5°

8x = 160°

x = 160°/8

x = 20°

Portanto:

6 . 20° + 15° =135° e 2 . 20° + 5° = 45°

 

 

Ângulos opostos pelo vértice: a , b ; c , d ; g , h ; e , f

 

 

 

Teorema de Tales

 

Teorema de Tales é como ficou conhecida a propriedade matemática que relaciona as medidas dos segmentos de reta formados por um feixe de retas paralelas cortado por retas transversais. Antes de falar do teorema em si, é bom lembrar o conceito de feixe de retas paralelas, retas transversais e uma de suas propriedades:

Duas ou mais retas são paralelas quando elas não possuem nenhum ponto em comum. Quando destacamos três ou mais retas paralelas em um plano, dizemos que elas formam um feixe de retas paralelas. As retas transversais são aquelas que “cortam” as retas paralelas.

 

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Exemplo 1: Aplicando a proporcionalidade existente no Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na ilustração a seguir:

AB = 2x – 3
BC = x + 2
A’B’ = 5
B’C’ = 6

Determinando o valor de x:
AB = 2x – 3 → 2 . 4 – 3 = 5
BC = x + 2 → 4 + 2 = 6


Exemplo 2: Determine o valor de x na figura a seguir:

 

Exemplo 3: A figura a seguir, r//s//t, determine as medidas dos segmentos.

Aplicando o teorema de Tales, temos:

Para determinar a medida dos segmentos, devemos substituir os valores de x.

 

Exemplo 4: (Enem) A planta de determinado bairro de uma cidade apresentou o desenho a seguir. O responsável pelo departamento de obras do município constatou a ausência de algumas medidas nessa planta, as quais ele representou no projeto por x e y.


Com base nos dados do projeto, esse responsável pôde calcular corretamente os respectivos valores de x e y:

(A) 35 m e 56 m

(B) 25 m e 40 m

(C) 35 m e 70 m

(D) 56 m e 70 m

(E) 56 m e 84 m

Observando a imagem, temos que o teorema de Tales pode ser aplicado na planta do bairro. Os segmentos que ligam as ruas A e B são paralelos, logo, temos:

Portanto, os valores de x e y são, respectivamente, 35 m e 56 m.

Alternativa: A

 

Exemplo 5: Observe a figura r // s // t. Calcule o valor de x de acordo com o Teorema de Tales.

Resolução:

 

Exemplo 6: (Fuvest-SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m? 

Resolução:

Resposta: A medida da frente dos lotes em relação à rua B são: 80, 60 e 40 metros.

 

Exemplo 7: No triângulo ABC a seguir, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Determine o valor de x aplicando a proporcionalidade entre segmentos paralelos cortados por segmentos transversais. 

Pelo Teorema de Tales temos:

Resposta: o valor de x corresponde a 9.

 

Exemplo 8: Observa a figura e encontre o valor de x.

Resolução:

7(2x – 2) = 4(3x + 1)
14x – 14 = 12x + 4
14x – 12 x = 4 + 14
2x = 18
x = 18/2
x = 9

 

Exemplo 9: Observa a figura e encontre o valor de x.

Resolução:

x(x – 2) = (x – 3)  (x + 2)

x² – 2x = x² + 2x – 3x – 6
x² – x² – 2x – 2x + 3x = – 6
– 4x + 3x = – 6
– x = – 6
x = 6

 

Exemplo 10: a figura, temos a // b // c. Nessas condições, determine a medida  indicada.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SEMELHANÇA

O que são figuras semelhantes?

Figuras semelhantes são aquelas que possuem ângulos correspondentes semelhantes e lados correspondentes proporcionais. Essa proporção entre os lados e a semelhança entre as figuras garantem também a existência de uma propriedade envolvendo suas áreas. Para compreender melhor essa propriedade, é necessário relembrar o conceito de razão de semelhança

Razão de semelhança

razão de semelhança é o resultado da divisão entre as medidas de um lado da primeira figura e o lado correspondente a ele da segunda figura. Isso só vale para figuras que são semelhantes. Os hexágonos regulares, representados a seguir, são exemplos de figuras semelhantes:

Nessas figuras, a razão entre o lado AB e o lado GH é igual a 0,5. A razão entre os lados FE e LK também é 0,5, pois esses lados são correspondentes.

Exemplo 1: (Saresp) Na figura a seguir, a figura B é uma ampliação da figura A. Para esta transformação podemos afirmar que 

(A) o perímetro de B se manteve o mesmo de A, e os ângulos internos correspondentes dobraram de valor.

(B) o perímetro de B passou a ser o triplo do perímetro de A, e os ângulos internos nos correspondentes não se alteram.

(C) o perímetro de B passou a ser o dobreo do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes não se alteram.

(D) o perímetro de B passou a ser o dobro do perímetro de A, e os ângulos internos correspondentes também dobraram de valor.

Alternativa: C

 

Exemplo 2: As figuras I e II são semelhantes e a razão entre seus lados é 2.

Pode-se concluir que as razões entre os perímetros e entre as áreas das figuras I e II são, respectivamente,

(A) 2 e 2

(B) 2 e 4

(C) 2 e 8

(D) 4 e 4

Alternativa: B

 

 

 

 

ATIVIDADE 4 – TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS

4.1 Nas figuras a seguir, temos DE//BC. Considerando a propriedade do Teorema de Tales nos triângulos, encontre a medida x:

Resposta

a) 4/2 = 6/𝑥

𝑥 = 3

 

b) 6/4 = (5𝑥 − 3)/8, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑥 = 3

 

4.3 Em uma determinada hora do dia, o prédio da escola projeta uma sombra de 12 m, e uma árvore plantada ao lado, com 5 metros de altura, projeta uma sombra de 3 m. Veja o esquema ao lado. Se mais tarde a sombra da árvore diminuir em um metro, qual será a sombra do prédio da escola?

Resposta:

Tem-se o prédio e a arvore sobre as retas paralelas (r e s) e suas projeções nas retas transversais (t e u), pelo Teorema de Tales podemos escrever:

/5 = 12/3 → 3 = 60 → = 20 𝑚 é a altura do prédio. A sombra da árvore diminuiu em um metro, passou para 2 m, mas a altura do prédio e a altura da árvore continuam a mesma, então teremos 2/𝑥 = 5/2 → 5𝑥 = 40 → 𝑥 = 8 𝑚

 

4.4 Em grupo, façam uma pesquisa sobre Tales e seu Teorema. Tragam curiosidades sobre o tema para compartilhar com a classe.

Resposta:

No dia agendado para apresentarem a pesquisa, organize os alunos de forma que todos possam participar. Uma sugestão seria antecipadamente verificar com os estudantes qual o formato da apresentação, assim você poderá organizar os tempos dos grupos e o espaço.

 

ATIVIDADE 5 – SEMELHANÇA

 

Você considera essas figuras semelhantes? Justifique sua resposta.

Resposta:

 

5.1 Amplie ou reduza a figura abaixo na malha quadriculada e descreva o processo que usou.

Resposta:

Observe se as justificativas contemplam: proporcionalidades entre os lados dos polígonos originais (ampliação/redução) bem como a igualdade entre os ângulos correspondentes.

 

5.1 Identifique os polígonos que formam a figura original e da figura que você ampliou ou reduziu. Quais são eles?

Resposta:

Paralelogramo, triângulo, retângulo e quadrado.

 

5.2 Agora, utilizando uma régua, meça os lados do polígono original e da sua ampliação ou redução e encontre a constante de proporcionalidade entre os lados correspondentes de todos os polígonos. Após o cálculo, o que você concluiu?

Resolução:

A seguir, um exemplo do cálculo que o estudante deverá fazer, considerando as medidas encontradas por ele.

Supondo que o estudante tenha encontrado estas medidas

Paralelogramo: largura →2,83/5,66 = 1/2; comprimento → 8/16 = 1/2 Triângulo: lado → 2,83/5,66 = 1/2; lado → 4/8 = 1/2.

Retângulo: largura → 4/8 = 1/2; comprimento → 8/16 = 1/2

Quadrado: lado→ 4/8 = 1/2

Temos a figura original como a metade da ampliada, poderia ter feito ao contrário aí a constante de proporcionalidade seria 2, isto é, a ampliada é o dobro da figura original. Com a constante de proporcionalidade garante-se que as figuras são semelhantes.

 

 

 

e-os sobre a estrutura de um problema e sobre a clareza. Após a resolução entre os estudantes, socialize alguns enunciados e algumas resoluções.

 

AVALIAÇÕES EXTERNAS

1. (ENEM 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é:

(A) 1,16 metro

(B) 3,0 metros

(C) 5,4 metros

(D) 5,6 metros E) 7,04 metros

Alternativa: D

 

2. (ENEM 2018) Um mapa é a representação reduzida e simplificada de uma localidade. Essa redução, que feita com o uso com o uso de uma escala, mantém a proporção do espaço representado em relação ao espaço real. Certo mapa tem escala 1: 58 000 000.

 

Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do tesouro meça 7,6 cm. A medida em quilômetro, desse segmento de reta é:

(A) 4 408

(B) 7 632

(C) 44 080

(D) 76 316

(E) 440 800

Alternativa A

 

3. (ENEM 2017) O resultado de uma pesquisa eleitoral, sobre a preferência dos eleitores em relação a dois candidatos, foi representado por meio do Gráfico 1. Ao ser divulgado esse resultado em jornal, o Gráfico 1

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foi cortado durante a diagramação, como mostra o Gráfico 2.

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Apesar de os valores apresentados estarem corretos e a largura das colunas ser a mesma, muitos leitores criticaram o formato do Gráfico 2 impresso no jornal, alegando que houve prejuízo visual para o candidato B. A diferença entre as razões da altura da coluna B pela coluna A nos gráficos 1 e 2 é:

(A) 0

(B) 1/2

(C) 1/5

(D) 2/15

(E) 8/35

Alternativa: E

 

4. (ENEM 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

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Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

(𝐴) 1 𝑚

(𝐵) 2 𝑚

(𝐶) 2,4𝑚

(𝐷) 3 𝑚

(𝐸) 2√6 m

Alternativa: C