9º ANO - 3º BIMESTRE

9º ANO - 3º BIMESTRE

Professor Diminoi

9º ANO – 3º BIMESTRE

 

Geometria/Medidas

Proporcionalidade, noção de semelhança

Relações métricas entre triângulos retângulos

Razões trigonométricas

 

Proporcionalidade, noção de semelhança

Proporcionalidade entre Grandezas

Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.

Grandezas diretamente proporcionais

São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra também é divida à metade.

 

Exercícios resolvidos

00) Se cada lápis custa 2,00 e precisamos comprar 20 lápis, qual será o valor pago?

1 lápis – R$ 2,00
20 lápis – R$ x

Depois de montada a regra de 3, basta multiplicar cruzado:

X = R$ 40,00

 

00) Um automóvel está movendo-se a uma velocidade de 60 km/h e percorre 240 km em determinado período de tempo. Quantos quilômetros percorrerá a uma velocidade de 90 km/h?

Resolução:

Aumentando a velocidade, aumentamos também a distância percorrida pelo automóvel. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais. Para solucionar esse problema, basta construir a proporção entre elas e aplicar a propriedade fundamental das proporções:

 60 90
240    x 

60x = 90·240

60x = 21600

x = 21600
      60

x = 360

00)

 

Grandezas inversamente proporcionais
Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados grandezas inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta.

 

Exercícios resolvidos

00)

 

Observação: Na matemática, frequentemente as figuras geométricas são comparadas e os resultados possíveis são:

Figuras congruentes

Figuras semelhantes

Figuras diferentes

 

Áreas de figuras semelhantes

Suponha que as áreas de duas figuras sejam representadas por A1 e A2 e que essas figuras sejam semelhantes. Suponha também que L é a razão de semelhança entre as duas figuras, ou seja, L é o resultado da divisão entre dois lados correspondentes dessas duas figuras.

Nessa hipótese, a razão entre a área das figuras será igual ao quadrado da razão de semelhança, o que pode ser representado matematicamente da seguinte forma:

L= A1
      A2

Toda vez que dividimos as medidas de dois lados correspondentes de dois polígonos semelhantes o resultado é a razão de semelhança L. Se dividirmos as áreas desses mesmos polígonos, o resultado será L2.

 

Exercícios resolvidos

00) Dados os polígonos semelhantes a seguir, determine a área do segundo polígono, sabendo que a razão de semelhança entre eles é dois e que a área do polígono menor mede 4 cm2.

Resolução:

Quando a razão de semelhança é maior que um, significa que a maior medida foi dividida pela menor medida. Assim, podemos substituir os valores dados da área de uma das figuras e da razão de semelhança na fórmula abaixo:

L2 = A1
       A2

22 = A1
     4

4·22 = A1
4·4 = A1
16 = A1
A1 = 16 cm2

 Lembre-se que 4 cm2 é o denominador porque a razão de proporcionalidade é maior que um. Caso contrário, seria numerador.

 

00) Qual a razão de semelhança entre dois polígonos cujas áreas são, respectivamente, iguais a 16 cm2 e 100 cm2?

Resolução:

Geralmente, as razões de semelhança são números menores que um, portanto, a fração que origina essa razão deve ser estruturada com o menor número no numerador. Isso não é uma regra, é apenas o mais usual nesse conteúdo.

Uma segunda observação importante é a seguinte: não se esqueça de que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança, portanto:

L2 = A1
      A2

L= 16
       100

L = √16
      √100

L = 4
     10

L = 0,4

Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, seus três ângulos são congruentes (na mesma ordem) e seus lados homólogos são proporcionais.

 

Razão de semelhança

A razão entre dois lados homólogos ou entre dois triângulos semelhantes (k) é chamada de razão de semelhança.

Por exemplo, os triângulos abaixo são semelhantes:

Os ângulos são congruentes (iguais) e os lados homólogos são proporcionais.

 

Propriedades

Dois triângulos serão ditos triângulos semelhantes se existe proporcionalidade entre seus lados e seus ângulos são congruentes.

Lado Lado Lado (LLL): dois triângulos são semelhantes se possuem três lados proporcionais (definição).

Ângulo ângulo (AA): dois triângulos são semelhantes se possuem dois ângulos correspondentes congruentes.

Lado Ângulo Lado (LAL): dois triângulos são semelhantes se possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre eles for congruente.

Teorema fundamental

Se houver uma reta paralela a um dos lados de um triângulo e ela intercepta os outros dois lados em pontos distintos, dois triângulos serão formados e eles serão semelhantes.

Casos de semelhança

Para se verificar que dois triângulos são semelhantes, não é necessário conferir se todos os lados homólogos são proporcionais e que todos os ângulos são congruentes. Há alguns casos em que a detecção da semelhança é facilitada.

Caso AA (Ângulo, Ângulo)

Sejam dois triângulos ABC e DEF. Eles serão semelhantes se, e somente se, dois de seus ângulos forem congruentes.

Caso LAL (Lado, Ângulo, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem dois lados respectivamente proporcionais e se os ângulos formados por esses lados forem congruentes.

Caso LLL (Lado, Lado, Lado)

Dois triângulos serão semelhantes se, e somente se, eles tiverem os três lados respectivamente proporcionais.

Razão entre áreas

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é dada pelo quadrado da razão de semelhança entre eles.

Observe a pequena demonstração:

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes de a razão de semelhança for k = 1. Esses triângulos possuem os ângulos e os lados homólogos ambos congruentes.

Exercícios resolvidos

00) Existem alguns procedimentos que podem ser usados para descobrir se dois triângulos são semelhantes sem ter de analisar a proporcionalidade de todos os lados e, ao mesmo tempo, as medidas de todos os ângulos desses triângulos. A respeito desses casos, assinale a alternativa correta:

(A) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham três ângulos correspondentes congruentes.

(B) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham dois lados proporcionais e um ângulo congruente, em qualquer ordem.

(C) Para que dois triângulos sejam congruentes, basta que eles tenham os três lados correspondentes com medidas proporcionais.

(D) Dois triângulos que possuem dois lados correspondentes proporcionais não serão semelhantes em qualquer hipótese.

(E) Dois triângulos que possuem apenas dois ângulos correspondentes congruentes não podem ser considerados semelhantes.

Resolução:

a) Incorreta!
São necessários apenas dois ângulos correspondentes congruentes para que dois triângulos sejam semelhantes.

b) Incorreta!
Os triângulos precisam ter dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo que fica entre esses dois lados precisa ser congruente para que os dois triângulos sejam semelhantes. Assim, não é em qualquer ordem.

c) Correta!

d) Incorreta!
Para que esses triângulos sejam semelhantes, basta que o ângulo entre esses dois lados seja congruente.

e) Incorreta!
Esse é justamente um dos casos de semelhança de triângulos.

Alternativa: C

 

00) Qual o valor de x nos triângulos a seguir?

(A) 48 cm

(B) 49 cm

(C) 50 cm

(D) 24 cm

(E) 20 cm

Resolução:

Observe que os dois triângulos são semelhantes pelo caso AA. Entretanto, x é a medida do lado EF do triângulo maior, que, por sua vez, é correspondente ao lado CB do triângulo menor. Para descobrir a medida desse lado, podemos usar o teorema de Pitágoras:

302 = 182 + y2

900 = 324 + y2

y2 = 900 – 324

y2 = 576

y = √576

y = 24 cm

Como os lados dos triângulos são proporcionais, para descobrir a medida de x, basta usar a proporção entre os lados:

18 = 24
 36     x  

18x = 36·24

18x = 864

x = 864
      18

x = 48 cm.

Alternativa: A

 

00) Na imagem a seguir, é possível perceber dois triângulos que compartilham parte de dois lados. Sabendo que os segmentos BA e DE são paralelos, qual a medida de x?

(A) 210 m

(B) 220 m

(C) 230 m

(D) 240 m

(E) 250 m

Resolução:

Quando um triângulo é cortado por um segmento de reta paralelo a um de seus lados, esse segmento forma um segundo triângulo menor e semelhante ao primeiro. É o caso desse exercício. Para resolver essa questão, usaremos apenas a proporção:

400 = 160
  x     100

160x = 400·100

160x = 40000

x = 40000
     160

x = 250 m

Alternativa: E

 

00) Para descobrir a altura de um prédio, Luiz mediu a sombra do edifício e, em seguida, mediu sua própria sombra. A sombra do prédio media 7 metros, e a de Luiz, que tem 1,6 metros de altura, media 0,2 metros. Qual a altura desse prédio?

(A) 50 metros

(B) 56 metros

(C) 60 metros

(D) 66 metros

(E) 70 metros

Resolução:

Em problemas desse tipo, a sombra e a altura do prédio, assim como a sombra e a altura da pessoa – ou qualquer outro objeto usado para comparação –, formam triângulos retângulos, que são semelhantes, pois a sombra e a altura dos objetos são lados proporcionais e, entre eles, há um ângulo de 90°. Assim, para resolver esse problema, basta calcular a proporção entre altura e comprimento da sombra:

7 = 0,2
x    1,6

0,2x = 7·1,6

0,2x = 11,2

x = 11,2
      0,2

x = 56 metros

Alternativa: B

 

00)

 

Relações métricas entre triângulos retângulos

O que são relações métricas no triângulo retângulo?

São expressões que relacionam apenas as medidas dos lados desse tipo de triângulo.

As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.

 

Elementos do triângulo retângulo

A figura a seguir é um triângulo retângulo ABC, cujo ângulo reto é Â e é cortado pela altura AD:

Nesse triângulo, observe que:

A letra a é a medida da hipotenusa;

As letras c são as medidas dos catetos;

A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo;

A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa;

A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.

 

Teorema de Pitágoras

Primeira relação métrica

teorema de Pitágoras é o seguinte: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ele é válido para todos os triângulos retângulos e pode ser escrito da seguinte maneira:

a2 = b2 + c2

a é hipotenusa, b e c são catetos.

 

Exercícios resolvidos

00) Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 20 cm e o lado menor mede 10 cm?

Resolução:

diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos retângulos. Essa diagonal fica sendo a hipotenusa, como mostra a figura a seguir:

Para calcular a medida dessa diagonal, basta usar o teorema de Pitágoras:

a2 = b2 + c2

a2 = 202 + 102

a2 = 400 + 100

a2 = 500

a = √500

a = 22,36 cm, aproximadamente.

 

Segunda relação métrica

hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa, ou seja:

a = m + n

Terceira relação métrica

quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa. Matematicamente:

h2 = m . n

Assim, se for necessário descobrir a medida da hipotenusa conhecendo apenas as medidas das projeções, poderemos usar essa relação métrica.

 

Exercícios resolvidos

00) Um triângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 10 e 40 centímetros tem que altura?

Resolução:

h2 = m·n

h2 = 10·40

h2 = 400

h = √400

h = 20 centímetros.

 

Quarta relação métrica

É usada para descobrir a medida de um cateto quando as medidas de sua projeção sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa são conhecidas:

c2 = an

e

b2 = an

Perceba que b é a medida do cateto AC, e n é a medida de sua projeção sobre a hipotenusa. O mesmo vale para c.

 

Exercícios resolvidos

00) Sabendo que a hipotenusa de um triângulo retângulo mede 16 centímetros e que uma de suas projeções mede 4 centímetros, calcule a medida do cateto adjacente a essa projeção.

Resolução:

O cateto adjacente a uma projeção pode ser encontrado a partir de qualquer uma dessas relações métricas: c2 = am ou b2 = an, pois o exemplo não especifica o cateto em questão. Assim:

c2 = a . m

c2 = 16·4

c2 = 64

c = √64

c = 8 centímetros.

Quinta relação métrica

O produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus catetos.

ah = bc

Exercícios resolvidos:

00) Qual é a área de um triângulo retângulo cujos lados possuem as seguintes medidas: 10, 8 e 6 centímetros?

Resolução:

10 centímetros é a medida do maior lado, portanto, esse é a hipotenusa e os outros dois são catetos. Para encontrar a área, é necessário saber a altura, logo, usaremos essa relação métrica para encontrar a altura desse triângulo e depois calcularemos sua área.

A . h = b . c

10·h = 8·6

10·h = 48

h = 48
     10

h = 4,8 centímetros.

A = 10·4,8
       2

A = 48
      2

A = 24 cm2

 

Relações Trigonométricas

As relações trigonométricas são relações entre valores das funções trigonométricas de um mesmo arco. Essas relações também são chamadas de identidades trigonométricas.

Inicialmente a trigonometria tinha como objetivo o cálculo das medidas dos lados e ângulos dos triângulos.

Nesse contexto, as razões trigonométricas sen θ , cos θ e tg θ são definidas como relações entre os lados de um triângulo retângulo.

Dado um triângulo retângulo ABC com um ângulo agudo θ, conforme figura abaixo:

Definimos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente em relação ao ângulo θ, como:

Sendo,

a: hipotenusa, ou seja, lado oposto ao ângulo de 90º
b: cateto oposto ao ângulo θ
c: cateto adjacente ao ângulo θ

Para saber mais, leia também Lei dos Cossenos e Lei dos Senos

 

Relações fundamentais

trigonometria ao longo dos anos foi se tornando mais abrangente, não se restringindo apenas aos estudos dos triângulos.

Dentro deste novo contexto, define-se o círculo unitário, também chamado de circunferência trigonométrica. Ele é utilizado para estudar as funções trigonométricas.

 

Circunferência trigonométrica

circunferência trigonométrica é uma circunferência orientada de raio igual a 1 unidade de comprimento. Associamos a ela um sistema de coordenadas cartesianas.

Os eixos cartesianos dividem a circunferência em 4 partes, chamadas de quadrantes. O sentido positivo é anti-horário, conforme figura abaixo:

Usando a circunferência trigonométrica, as razões que a princípio foram definidas para ângulos agudos (menores que 90º), passam a ser definidas para arcos maiores de 90º.

Para isso, associamos um ponto P, cuja abscissa é o cosseno de θ e cuja ordenada é o seno de θ.

Como todos os pontos da circunferência trigonométrica estão a uma distância de 1 unidade da origem, podemos usar o teorema de Pitágoras. O que resulta na seguinte relação trigonométrica fundamental:

Podemos definir ainda a tg x, de um arco de medida x, no círculo trigonométrico como sendo:

Outras relações fundamentais:

Cotangente do arco de medida x

Secante do arco de medida x.

 

 

Cossecante do arco de medida x.

 

Continua...