8º ANO - 4º BIMESTRE

8º ANO - 4º BIMESTRE

Professor Diminoi

8º ANO – 4º BIMESTRE

Geometria/Medidas

Teorema de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações

Área de polígonos

Volume do prisma

 

Teorema de Tales e Pitágoras: apresentação e aplicações

O Teorema de Tales é usado para a melhor compreensão da proporcionalidade.

Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos, observe a ilustração:

Com base nesse esquema, Tales conseguiu medir a altura de uma pirâmide com base no tamanho da sua sombra. Para tal situação ele procedeu da seguinte forma: fincou uma estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu a proporção:

 

O Teorema de Tales pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência:

“Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.

Para compreender melhor o teorema observe o esquema representativo a seguir:

Pela proporcionalidade existente no Teorema, temos a seguinte situação:

Exercícios resolvidos

00) No feixe de retas paralelas a seguir, vamos determinar a medida do segmento NM.

Resolução:

Seja x o comprimento do segmento NM, vamos mostrar a proporcionalidade entre os segmentos e utilizar a propriedade fundamental das proporções para resolver a equação:

2 = 4
8    x

2x = 32

x = 32
      2

x = 16 cm.

Note que 8 = 2·4 e que 16 também é igual a 2·4. Isso acontece porque, na configuração utilizada, a razão de proporcionalidade é 1/4.

 

00) A partir da imagem a seguir, vamos calcular a medida do segmento JK.

Resolução:

Vamos escolher uma das razões descritas no teorema de Tales, substituir os valores dados no exercício e utilizar a propriedade fundamental das proporções, ou seja:

4x – 20 = 20
6x + 30 = 40

40(4x – 20) = 20(6x + 30)

160x – 800 = 120x + 600

160x – 120x = 600 + 800

40x = 1400

x = 1400
     40

x = 35

Para descobrir o comprimento de JK, temos que resolver a seguinte expressão:

JK = 4x – 20

JK = 4·35 – 20

JK = 140 – 20

JK = 120

 

Pitágoras

Teorema de Pitágoras

Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 

O teorema de Pitágoras é muito importante para a Matemática, tendo influenciado outros grandes resultados matemáticos. Veja também uma das demonstrações do teorema e parte da biografia de seu criador.

 

Fórmula do teorema de Pitágoras

Para aplicação do teorema de Pitágoras, é necessário compreender as nomenclaturas dos lados de um triângulo retângulo.

maior lado do triângulo fica sempre oposto ao maior ângulo, que é o ângulo de 90°. Esse lado recebe o nome de hipotenusa e será representado aqui pela letra a.

Os demais lados do triângulo são chamados de catetos e serão aqui representados pelas letras b e c.

O teorema de Pitágoras afirma que é válida a relação a seguir:

a2 = b2 + c2

Observação: o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.

Exercícios resolvidos

00) Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.

Resolução:

00) Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. 

Resolução:

00) Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro. 

Resolução:

 

00) Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios.  

Resolução:

 

00) (PM ES – Exatus) A diagonal de um retângulo mede 10 cm, e um de seus lados mede 8 cm. A superfície desse retângulo mede:

(A) 40 cm²

(B) 48 cm²

(C) 60 cm²

(D) 70 cm²

(E) 80 cm²

Resolução:

Desenhando o retângulo com as características informadas:

Para calcular a área precisamos saber a medida do outro lado, que pode ser descoberto pelo teorema de Pitágoras:

10² = 8² + x²

100 = 64 + x²

100 – 64 = x²

36 = x²

x = 6

Calculando a área do retângulo:

Conclusão: Área = 8.6 = 48 cm²

 

00) (Bombeiros ES - Cespe) Considerando que a área de um triângulo retângulo é igual a 30 cm² e a média aritmética das medidas de seus lados é igual a 10 cm, a afirmação abaixo está certa ou errada?

“O maior lado desse triângulo mede menos que 13,5 cm.”

Resolução:

Desenhando o triângulo com as características informadas:

Como a média aritmética dos lados é igual a 10 cm:

(a + b + c) /3= 10

a + b + c = 30

Utilizando a fórmula da área do triângulo retângulo:

A = base x altura / 2

30 = b.c/2

b.c = 60

Pelo Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

Temos

a + b + c = 30

30 – a = b + c

(30 – a)² = (b + c)²

30² – 2.30.a + a² = b² +2bc + c²

900 – 60a + a² = b² +2bc + c²

Sabendo do teorema de pitágoras podemos eliminar a² = b² + c². Vamos também substituir bc = 60:

900 – 60a = 2.60

60a = 900 – 120

60a = 780

a = 780/60

a = 13

Resposta: Certo

 

00) (PM SP 2014 – Vunesp)  Duas estacas de madeira, perpendiculares ao solo e de alturas diferentes, estão distantes uma da outra, 1,5 m. Será colocada entre elas uma outra estaca de 1,7 m de comprimento, que ficará apoiada nos pontos A e B, conforme mostra a figura.

A diferença entre a altura da maior estaca e a altura da menor estaca, nessa ordem, em cm, é:

(A) 95.

(B) 75.

(C) 85.

(D) 80.

(E) 90.

Resolução:

Para resolvermos a questão, vamos localizar um triângulo retângulo na figura. 

Note que x é exatamente a diferença que queremos, e podemos calculá-lo através do Teorema de Pitágoras:

1,7² = 1,5² + x²

2,89 = 2,25 + x²

x² = 2,89 – 2,25

x² = 0,64

x = 0,8 m ou 80 cm

Alternativa: D

 

00) (SAP - SP) Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um alambrado de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em ângulo reto) e fechar essa área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra. Se ele utilizou 6 metros de um muro, do outro muro ele irá utilizar, em metros,

(A) 7.

(B) 5.

(C) 8.

(D) 6.

(E) 9.

Resolução:

A questão fala em cercar um canto murado, utilizando 10m de tela. Temos claramente um triângulo retângulo. Veja a figura:

Basta utilizarmos o teorema de pitágoras, onde 10 é a hipotenusa, um cateto é 6 e o outro vamos chamar de x:

10² = 6² + x²

100 = 36 + x²

x² = 100 – 36

x² = 64

x = 8

Alternativa: C

 

00) (PM Pará – Fadesp) Uma praça tem a forma de um triângulo ABC, retângulo em A, cuja hipotenusa a mede 250 metros e o cateto c mede 200 metros. Para garantir a execução de um serviço, houve necessidade de se interditar uma parte da praça com uma corda MN perpendicular à hipotenusa, distando 150 metros do vértice B, com M na hipotenusa e N no cateto c. O comprimento dessa corda, em metros, é

(A) 112,5.

(B) 125,5.

(C) 150,5.

(D) 175,5.

Resolução:

Com as informações do enunciado, o formato da praça pode ser representado pela figura abaixo:

Nosso primeiro passo é acharmos o valor de AC através do teorema de Pitágoras:

BC² = AB² + AC²

250² = 200² + AC²

62500 = 40000 + AC²

AC² = 62500 – 40000

AC² = 22500

AC = 150

Pela semelhança dos triângulos ABC e MBN:

https://sabermatematica.com.br/wp-content/uploads/2016/06/CodeCogsEqn-16.gif

Alternativa: A

 

00) (IBGE – Cesgranrio) Na Figura a seguir, PQ mede 6 cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm.

A distância entre os pontos P e T, em cm, mede

(A) 17

(B) 21

(C) 18

(D) 20

(E) 19

Resolução:

Vamos marcar na figura as distâncias fornecidas e um ponto Z, de modo que tenhamos um triângulo retângulo onde PT é a medida da hipotenusa.

Como temos um triângulo retângulo iremos utilizar o famoso teorema de Pitágoras, onde:

PT = hipotenusa

PZ = 12 – 4 = 8

ZT = 6 + 9 = 15

PT² = 8² + 15²

PT² = 64 + 225

PT² = 289

PT = 17

Alternativa: A

 

00) (TJ SP 2015 Vunesp) Em um jardim, um canteiro de flores, formado por três retângulos congruentes, foi dividido em cinco regiões pelo segmento AB, conforme mostra a figura.

Se AB mede 20 m, então a área total desse canteiro é, em m2, igual a

(A) 162.

(B) 126.

(C) 135.

(D) 153.

(E) 144.

Resolução:

Sabendo que os retângulos são congruentes e que AB = 20, vamos aplicar o teorema de pitágoras no triângulo abaixo:

Onde 6 e x são as medidas do retângulo.

10² = x² + 6²

100 = x² + 36

x² = 100 – 36

x² = 64

x = 8 m

Calculando a área do retângulo:

A = 6 x 8 = 48 m²

Como o canteiro é formado por 3 desses retângulos:

At = 3 x 48 = 144 m²

Alternativa: E

 

Polígono

Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Em outras palavras, são figuras geométricas planas formadas por lados, que, por sua vez, são segmentos de reta.

Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se tocam apenas nas extremidades.

Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é chamado de complexo.

 Polígono convexo e côncavo

A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava.

Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece.

 Polígonos regulares

Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo.

Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular.

Elementos do Polígono

Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono.

Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos.

Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.

Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela seguinte fórmula:

A = (n – 2)180

Nessa fórmula, n é o número de lados do polígono.

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°, e o número de diagonais de um polígono convexo é obtido pela fórmula abaixo:

d = n(n – 3)
     2

Polígonos regulares

Quando um polígono convexo possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos com a mesma medida, ele é chamado de regular.

 

As propriedades dos polígonos regulares são:

Cada ângulo interno de um polígono regular pode ser obtido pela fórmula:

A = (n – 2)180
      n

Nessa fórmula acima, o numerador do segundo membro é a fórmula usada para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, e n é o número de lados do polígono.

Cada ângulo externo de um polígono regular de n lados pode ser obtido pela seguinte fórmula:

S = 360°
      n

Em que n é o número de lados do polígono.

Ângulos externos: São ângulos formados entre um lado de um polígono e o prolongamento do lado consecutivo a ele.

 

Diagonais:  São segmentos de reta que ligam dois vértices consecutivos de um polígono convexo.

A imagem a seguir mostra cada um desses elementos de um polígono:

segmento CD é lado desse polígono, e o ponto C é um de seus vértices. O ângulo α é um de seus ângulos internos, e β é um de seus ângulos externos. Além disso, o segmento AD é uma de suas diagonais.

 

Exercícios resolvidos

00) A respeito das classificações que os polígonos podem sofrer, assinale a alternativa que for correta:

(A) Um polígono é chamado convexo quando, dados os pontos A e B em seu interior, existe um único segmento que liga esses pontos.

(B) Um polígono é chamado não convexo quando, dados os pontos A e B, nem todos os pontos do segmento AB estão no interior do polígono.

(C) Um polígono é chamado regular quando todos os seus ângulos possuem a mesma medida.

(D) Um polígono é chamado regular quando todos os seus lados possuem a mesma medida.

(E) Um polígono convexo não pode ser regular.

Resolução:

a) Incorreta!

No plano, sempre existirá um segmento de reta que ligará dois pontos. Portanto, a afirmativa é inconclusiva. Apenas com essa afirmativa é impossível determinar se um polígono é convexo ou não, pois, para que um polígono seja convexo, é necessário que nenhum dos pontos do segmento AB seja exterior ao polígono, quando os pontos A e B estiverem em seu interior.

b) Correta!

c) Incorreta!

Um polígono é regular quando seus ângulos internos têm a mesma medida e, ao mesmo tempo, seus lados são todos congruentes.

d) Incorreta!

Os ângulos desse polígono precisam ter a mesma medida para que ele seja regular.

e) Incorreta!

Para que um polígono seja regular, ele precisa obrigatoriamente ser convexo.

Alternativa: B

 

00) Todo polígono é composto por elementos que são outras figuras geométricas e que recebem um nome especial por causa de sua função, definição e propriedades. A respeito desses elementos dos polígonos, assinale a alternativa correta:

(A) Os triângulos não possuem diagonais.

(B) Uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices.

(C) Um ângulo externo de um polígono é qualquer ângulo que pertença a ele e que não seja um ângulo interno.

(D) Os quadrados possuem apenas uma diagonal.

(E) Os retângulos e os quadrados possuem um número diferente de diagonais.

Resolução:

a) Correta!

As diagonais são segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos de um polígono. Não existem vértices que não sejam consecutivos em um triângulo, por isso não existem diagonais nele.

b) Incorreta!

Para ser diagonal, o segmento de reta precisa ligar dois vértices não consecutivos do polígono.

c) Incorreta!

Um ângulo externo é a abertura entre um lado e o prolongamento do lado adjacente a ele. Portanto, não é qualquer ângulo que pode ser considerado um ângulo externo de um polígono.

d) Incorreta!

Os quadrados possuem duas diagonais.

e) Incorreta!

Quadrados e retângulos possuem o mesmo número de diagonais.

Alternativa: A

 

00) Um polígono convexo que possua exatamente 170 diagonais é formado por quantos lados?

(A) 10 lados

(B) 13 lados

(C) 15 lados

(D) 17 lados

(E) 20 lados

Resolução:

Para descobrir o número de lados de um polígono convexo, sabendo-se seu número de diagonais, basta usar a fórmula da soma das diagonais de um polígono convexo. Substituindo nessa fórmula o número de diagonais desse polígono, teremos:

S = n(n – 3)
         2

170 = n(n – 3)
            2

170·2 = n(n – 3)

340 = n2 – 3n

n2 – 3n – 340 = 0

 Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 340)

Δ = 9 + 1360

Δ = 1369

n = – b ± √Δ
           2ª

n = – (– 3) ± √1369
       2

n = 3 ± 37
      2

n’ = 3 + 37 = 40 = 20
   2        2

n’’ = 3 – 37 = – 34 = – 17
           2           2            

Como não pode existir um polígono com – 17 lados, então essa figura tem exatamente 20 lados.

Alternativa: E

 

00) Qual é a medida de um ângulo interno de um eneágono regular?

(A) 100°

(B) 110°

(C) 120°

() 140°

(E) 150°

Resolução:

Um eneágono é um polígono que possui nove lados. A medida de cada um dos ângulos internos dessa figura é dada pela seguinte expressão:

A = (n – 2)180
            n

A = (9 – 2)180
           9

A = (7)180
          9

A = 1260
         9

A = 140°

Cada ângulo interno de um polígono convexo que possua nove lados mede 140°.

Alternativa: D

 

00) Os polígonos podem ser classificados como convexos ou não convexos, regulares ou não regulares. A respeito dessa classificação, assinale a alternativa correta:

(A) Um polígono é dito convexo quando possui todos os lados iguais.

(B) Um polígono é dito convexo quando possui todos os ângulos iguais.

(C) Um polígono é regular quando possui lados congruentes.

(D) Um polígono é convexo quando qualquer segmento de reta, que possui extremidades em seu interior, não possui pontos fora dele.

(E) Um polígono é dito regular quando um segmento de reta, que possui extremidades em seu interior, possui pontos fora dele.

Resolução:

Um polígono é dito convexo quando não existe nenhum segmento de reta com extremidades em seu interior com pontos fora dele. Um polígono é dito regular quando seus lados são congruentes e todos os seus ângulos internos têm a mesma medida. Assim, as alternativas ab, c e e estão incorretas.

Alternativa: D

 

00) Considerando os elementos dos polígonos convexos e suas definições básicas, assinale a alternativa correta:

(A) Os lados de um polígono são segmentos de reta que podem cruzar-se em qualquer ponto.

(B) O vértice de um polígono é o ponto de encontro entre seus dois maiores lados.

(C) Os ângulos externos de um polígono são a abertura entre dois lados consecutivos, só que pelo lado externo do polígono.

(D) Os ângulos internos do polígono são a abertura entre dois lados consecutivos do polígono, em seu interior.

(E) As diagonais de um polígono são segmentos de reta que ligam dois de seus vértices.

Resolução:

a) Incorreta!

Os lados de um polígono são segmentos de reta que não se cruzam. Esses elementos encontram-se apenas em suas extremidades.

b) Incorreta!

Os vértices de um polígono são todos os pontos de encontro entre seus lados.

c) Incorreta!

Os ângulos externos de um polígono são a abertura entre um lado e o prolongamento do lado adjacente.

d) Correta!

e) Incorreta!

As diagonais de um polígono são segmentos de reta que ligam dois de seus vértices, com a condição de que esses vértices não sejam consecutivos. O segmento de reta que liga dois vértices consecutivos de um polígono é o lado.

Alternativa: D

 

00) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é igual a 2340°. Quantos lados esse polígono possui?

(A) 13 lados

(B) 15 lados

(C) 17 lados

(D) 19 lados

(E) 21 lados

Resolução:

Para fazer esse cálculo, basta usar a fórmula:

S = (n – 2)180

Em que S é a soma dos ângulos internos do polígono e n é seu número de lados. Substituindo 2340° nessa fórmula, teremos:

2340 = (n – 2)180

2340 = n – 2
  180             

13 = n – 2

n = 13 + 2

n = 15

O polígono possui 15 lados.

Alternativa: B

 

00) Um polígono convexo possui 25 lados. Qual é o número total de diagonais que esse polígono possui?

(A) 200

(B) 225

(C) 250

(D) 260

(E) 275

Resolução:

Para encontrar o número de diagonais de um polígono convexo, basta usar a fórmula:

d = n(n – 3)
           2    

Na qual n é o número de lados do polígono. Substituindo n por 25, teremos:

d = n(n – 3)
          2   

d = 25(25 – 3)
             2    

d = 25(22)
         2   

d = 25·11

d = 275

 Alternativa: E

 

Prisma

Prisma é um poliedro cujas bases são duas regiões poligonais congruentes (mesma forma e mesmo tamanho) e paralelas. Suas faces laterais são regiões em forma de paralelogramo.

Nomenclatura de Prismas

A nomenclatura de prisma ocorre de acordo com o polígono de suas bases. Alguns exemplos:

Prisma triangular: bases são triângulos.

Prisma quadrangular: bases são quadrados.

Prisma pentagonal: bases são pentágonos.

Prisma hexagonal: bases são hexágonos.

Prisma heptagonal: bases são heptágonos.

Prisma octogonal: bases são octógonos.

 

Elementos do prisma

Bases: são as faces paralelas e congruentes do prisma.

Faces laterais: são todas paralelogramos. No caso de um prisma reto, as faceslaterais são retângulos.

Altura (h): é a menor distância entre as suas bases.

Observação: No caso do prisma reto, a altura coincide com a medida da aresta lateral. Já no caso do prisma oblíquo, a altura não é paralela à aresta lateral.

 

Classificação de prismas

Prisma reto: As arestas laterais formam um ângulo reto (90°) com as bases.

Prisma oblíquo: As arestas laterais formam um ângulo diferente de 90° com as bases

Prisma regular: é um prisma reto e sua base é um polígono regular.

Observação: um polígono é regular se, e somente se, todos os seus lados possuem a mesma medida e todos os ângulos internos são congruentes entre si.

 

Volume do prisma

O volume também é conhecido como capacidade.

A fórmula usada para calcular o volume dos prismas é a seguinte:

V = AB . h

V = volume do prisma
AB = área da base do prisma
h = altura

 

Exercícios resolvidos

00) Um bloco retangular possui 15 cm de largura, 10 cm de comprimento e 45 cm de altura. Qual é o volume desse bloco retangular?

Resolução:

bloco retangular é um prisma reto cuja base é um retângulo. A largura e o comprimento de um prisma são as dimensões de sua base. Dessa maneira, a base desse prisma é um retângulo cuja “altura” e “base” medem 10 cm e 15 cm, respectivamente. Assim, a área da base AB será:

AB = 15·10 = 150 cm2

A partir disso, o volume do prisma será calculado da seguinte forma:

V = AB . h

V = 150·45

V = 6750 cm3

Conclusão:  o volume desse prisma é de 6750 cm3.

 

00) Calcule o volume de um prisma cuja base é um triângulo equilátero com 18 cm de lado e 30 cm de altura.

Resolução:

Para calcular a área da base, é necessário calcular a área do triângulo equilátero e multiplicar pela altura do prisma. A área desse triângulo pode ser calculada pela fórmula a seguir. Essa fórmula também pode ser encontrada com mais detalhes e exemplos no texto: 

Área de um triângulo equilátero.

AB = l2·√3
       4

AB = 182·√3
        4

AB = 324·1,73
       4

AB = 560,52
       4

AB = 140,13 cm2

Assim, a área do prisma será:

V = AB·h

V = 140,13·30

V = 4203,9 cm3

 

00) Calcule o volume do prisma abaixo sabendo que suas bases são regulares.

Resolução:

Na imagem abaixo, observe a divisão do hexágono regular feita por meio de suas diagonais. Dessa maneira, é possível dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros, cujo lado corresponde a 20 cm. Assim, a área da base desse prisma será igual a 6 vezes a área da do triângulo equilátero de lado 20 cm.

AB = 6·202·√3
          4

AB = 6·400·1,73
         4

AB = 6·692
          4

AB = 6·173

AB = 1038 cm2

Assim, é possível calcular o volume:

V = AB·h

V = 1038·50

V = 51900 cm3

 

00) Qual é o volume do prisma da imagem a seguir, sabendo que ele é um prisma reto e sua base é quadrada?

(A) 5760 cm3

(B) 5000 cm3

(C) 2500 cm3

(D) 1080 cm3

E) 480 cm3

Resolução:

O volume do prisma é obtido pelo produto da área da base pela altura. A área da base desse prisma é dada por:

Ab = 12·12

Ab = 144 cm2

O produto da área da base pela altura será:

V = Ab . h

V = 144·40

V = 5760 cm3

Alternativa: A

 

00) Qual o volume de um prisma reto de base hexagonal, sabendo que a base é um polígono regular cujo lado mede 2 centímetros e cujo apótema mede aproximadamente 1,73 centímetros, e que a altura desse prisma é de 25 centímetros.

(A) 10,38 cm3

(B) 259,5 cm3

(C) 129,7 cm3

(D) 20,76 cm3

(E) 40,86 cm3

Resolução:

Não é necessário ter o esboço do prisma para calcular seu volume. Para obter seu volume, basta saber como calcular a área da base e multiplicar o resultado obtido pela altura dele. A área da base desse prisma é dada pela área do hexágono regular, obtida por meio da fórmula:

A = P·a
     2

Em que P é o perímetro e a é o apótema. Substituindo os valores, temos:

A = (2·6)·1,73
   2

A = 12 ·1,73
      2

A = 20,76
     2

A = 10,38 cm2

Para finalizar o exercício, basta multiplicar a área da base pela altura do prisma.

V = Ab . h

V = 10,38 .  25

V = 259,5 cm3

Alternativa: B

 

00) (UE-PA/modificada) Uma calha em forma de prisma reto, conforme a figura abaixo, possui 5 m de comprimento e uma secção transversal ABC, na forma de V, tal que AB = AC = 40 cm e BÂC = 60°. Qual o volume que essa calha comporta? (Considere √3 =1,73)

(A) 300000 cm3

(B) 326000 cm3

(C) 346000 cm3

(D) 400000 cm3

(E) 446000 cm3

Resolução:

A base desse prisma é um triângulo isósceles com um ângulo de 60°. Isso significa que os outros dois ângulos também terão essa medida, portanto, esse triângulo também é equilátero. A área do triângulo equilátero é dada pela expressão:

Ab = l2√3
       4

Substituindo a medida do lado do triângulo nessa fórmula, temos:

Ab = 402√3
        4

Ab = 1600√3
        4

Ab = 400√3 cm2

Para finalizar, basta multiplicar a área da base pela altura do prisma. Lembre-se de que 5 m = 500 cm.

V = Ab . h

V = 400√3 . 500

V = 200000 . √3

V = 200000 . 1,73

V = 346000 cm3

Alternativa: C

 

00) O volume de uma piscina em forma de prisma de base quadrada é 3125 metros cúbicos. Sabendo que a altura dessa piscina é de 5 metros cúbicos, qual é a medida da aresta de sua base em metros?

(A) 5 m

(B) 10 m

(C) 15 m

(D) 20 m

(E) 25 m

Resolução:

O volume do prisma é dado pelo produto da área de sua base pela altura. A área de um quadrado – base desse prisma – é dada pela medida de seu lado elevado ao quadrado. Se o lado desse quadrado é l, podemos substituir os seguintes elementos da fórmula do volume:

V = Ab . h

V = l . l . h

V = l2·h

3125 = l2·5

3125 = l2
5    

l2 = 625

l = √625

l = 25 m

Alternativa: E