8º ANO - 3º BIMESTRE

8º ANO - 3º BIMESTRE

Professor Diminoi

8º ANO – 3º BIMESTRE

Álgebra/Equações

Equações de 1º grau

Sistemas de equações e resolução de problemas

Inequações de 1º grau

Sistemas de coordenadas (plano cartesiano)

 

Equações de 1º grau

O que é uma equação do 1º grau?

Uma equação do primeiro grau é uma expressão em que o grau da incógnita é 1, isto é, o expoente da incógnita é igual a 1. Podemos representar uma equação do primeiro grau, de maneira geral, da seguinte forma:

ax + b = 0

Exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita:

a) 3x +3 = 0

b) 3x = x(7+3x)

c) 3 (x –1) = 8x +4

d) 0,5x + 9 = √81

Note que, em todos os exemplos, a potência da incógnita x é igual a 1 (quando não há número na base de uma potência, quer dizer que o expoente é um, ou seja, x = x1).

 

Exercícios resolvidos

00) Determine o conjunto solução da equação 4 (6x – 4) = 5 (4x – 1).

Resolução:

O primeiro passo é realizar a distributividade, logo:

24x – 16 = 20x – 5

Agora, organizando a equação com os valores que acompanham a incógnita de um lado e os demais no outro, vamos ter:

24x – 20x = –5 + 16

4x = 11

X = 11/4

X = 2,75

 

00) O dobro de um número adicionado com 5 é igual a 155. Determine esse número.

Resolução:

Como desconhecemos o número, vamos chamá-lo de n. Sabemos que o dobro de qualquer número é duas vezes ele mesmo, logo o dobro de n é 2n.

2n + 5 = 155

2n = 155 – 5

2n = 150

n = 150 / 2

n = 75

Conclusão: 75

 

00) Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara. A soma das idades das duas é 44. Determine a idade de Roberta e Bárbara.

Resolução:

Como não sabemos a idade de Roberta e Bárbara, vamos nomeá-las como r e b respectivamente. Como Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara, temos que:

r = b + 4

Sabemos também que a soma das idades das duas é de 44 anos, logo:

r + b = 44

Substituindo o valor de r na equação acima, temos:

r + b = 44

b + 4 + b = 44

b + b = 44 – 4

2b = 40

b = 40 / 2

b = 20

Conclusão: Bárbara tem 20 anos. Como Roberta é 4 anos mais velha, então ela tem 24 anos.

 

00) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?   

Resolução:

x + (x + 1) + (x + 2) = 393

3x + 3 = 393

3x = 390

x = 130

Conclusão: os números procurados são: 130, 131 e 132.

 

00) Resolva a equações a 18x - 43 = 65

Resolução:

18x = 65 + 43

18x = 108

x = 108/18

x = 6

 

00) Resolva a equações a 23x - 16 = 14 - 17x

Resolução:

23x = 14 - 17x + 16

23x + 17x = 30

40x = 30

= 30/40 = 3/4

 

00) Resolva a equações a 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20

Resolução:

10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20

5y - 6y = -26 + 5

-y = -21

y = 21

d: 

x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12

2x² + 6x = 2x² + 12

Diminuindo 2x² em ambos os lados:

6x = 12

x = 12/6 = 2

 

00) Resolva a equações x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

Resolução:

x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12

2x² + 6x = 2x² + 12

Diminuindo 2x² em ambos os lados:

6x = 12

x = 12/6 = 2

 

00) Resolva a equações a (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

Resolução:

[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20

2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x

-6x - 6 = 15 - 5x

-6x + 5x = 15 + 6

-x = 21

x = -21

 

00) Resolva a equações a 4x (x + 6) - x2 = 5x2

Resolução:

4x² + 24x - x² = 5x²

4x² - x² - 5x² = -24x

-2x² = -24x

Dividindo por x em ambos os lados:

-2x = - 24

x = 24/2 = 12

 

00) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.   

Resolução:

(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6

6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)

18a + 36 = 16a + 80

2a =  44

= 44/2 = 22

 

00) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)

Resolução:

(20 - 8x) / 4x = x/4x

20 - 8x = x

-8x = x - 20

-8x - x = -20

-9x = -20

x = 20/9

 

00) Resolva a equações a 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Resolução:

3bx = 7bx + 3bc - 6bc

3bx - 7bx = -3bc

-4bx = -3 bc

x = (3bc/4b)

= 3c/4

 

Sistema de equação

Um sistema de equações do grau com duas incógnitas é formado por duas equações, onde cada equação possui duas variáveis x e y.

Para encontrarmos numa equação de grau com duas incógnitas, por exemplo,
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas.

Essa relação é chamada de sistema.
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação.

 

Exemplo:

Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução.
Esses dois métodos são: Substituição e Adição.



Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como:

Dado o sistema, enumeramos as equações.

Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:

x + y = 20
x = 20 – y

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.

3x + 4 y = 72

3 (20 – y) + 4y = 72 

 60-3y + 4y  = 72

 -3y + 4y   =   72 – 60

       y = 12

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação

x = 20 – y.

x = 20 – y

x = 20 – 12

x = 8

Conclusão: a solução do sistema é S = (8, 12)

 

Método da adição

Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.

Dado o sistema:

Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3.

Agora, o sistema fica assim:

Adicionando as duas equações:

       - 3x – 3y = - 60
+     3x + 4y = 72
                 y   = 12


Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado:

x + y = 20

x + 12 = 20

x = 20 – 12

x = 8

Conclusão: a solução desse sistema é: S = (8, 12).

Método da substituição - Exercícios resolvidos

00) Considere o sistema:

Nesse passo, já descobrimos o valor de y, agora vamos encontrar o valor de x, então devemos substituir o valor de y na equação x = -y.

x = -y ⇒ x = 0

Conclusão: a solução do sistema é S = {0, 0}.

 

00) Considere o sistema abaixo:

Vamos isolar o x na equação 2:

Agora vamos substituir x na equação 1: 4x – 2y = 2:

já encontramos o valor de y, agora vamos voltar e substituir em x = 2 + y:

x = 2 – 3 ⇒ x = -1

Conclusão: o conjunto solução do sistema é: S = {-1, -3}

 

Método da adição - Exercícios resolvidos

 

00) Considere o sistema:

O sistema já possui duas incógnitas com sinais trocados, então basta somá-las.

Como agora a equação só tem uma incógnita, podemos encontrar o valor dela:

Por fim, vamos escolher uma das equações do sistema e substituir o valor de x.

Portanto, o conjunto solução do sistema é: S = {34; –78}

 

00) Considere o sistema:

Não podemos somar o sistema como está, pois não eliminaremos nenhuma incógnita. Para isso, devemos multiplicar a primeira equação por -2, toda ela.

Fazendo isso, temos o seguinte sistema:

Agora podemos somar as duas equações:

Com o valor de y, vamos escolher uma das equações do sistema e substituir para encontrar o valor de x.

Substituindo y = -4 em x + y = 5, temos:

x – 4 = 5 ⇒ x = 5 + 4 ⇒ x = 9

Conclusão: o conjunto solução do sistema é: S = {9; -4}

 

Inequação o 1º grau

O que é uma inequação?

Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. Como se trata de inequações, veremos as possibilidades de desigualdades para as funções.

Como se trata de inequações, veremos as possibilidades de desigualdades para as funções.

Com a b reais  a

Propriedades de um gráfico do primeiro grau

 

Exemplos:

 

Exercícios resolvido

Em cada caso resolva as seguintes inequações, em :

00) 2x + 1  x + 6

Resolução:

Diminuir x dos dois lados:

2x - x + 1  x - x + 6

x + 1  6

x  5

 

00) 2 - 3x  x + 14

Resolução:

2 - 3x - x  x - x + 14

2 - 4x  14

-4x  12

- x  3

x -3

 

00) 2(x + 3) > 3 (1 - x)

Resolução:

2x + 6 > 3 - 3x

2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x

6 - 3 > -5x

3 > - 5x

-x < 3/5

x > -3/5 

 

00) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x – 7

Resolução:

3 - 6x < 2x + 2 + x - 7

-6x - 3x < -8

-9x < -8

9x > 8

x > 8/9

 

00) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4

Resolução:

Primeiro devemos achar um mesmo denominador.

-2x - 6 < 3 - 3x

x < 9

 

00) (x + 3) > (-x-1)

Resolução:

x + 3 > -x - 1

2x > -4

x > -4/2

x > -2

 

00) [1 - 2*(x-1)] < 2

Resolução:

1 - 2x + 2 < 2

- 2x < 2 - 1 - 2

- 2x < -1

2x > 1

x > 1/2

 

00) 6x + 3 < 3x + 18

Resolução:

6x - 3x < 18 - 3

3x < 15

x < 15/3

x < 5

 

00) 8(x + 3) > 12 (1 - x)

Resolução:

8x + 24 > 12 - 12x

20x > 12 - 24

20x > -12

x > -12/20

x > -3/5

 

00) (x + 10) > ( -x +6)

Resolução:

x + x > 6 - 10

2x > -4

x > -4/2

x > -2

 

Sistema de coordenada (pano cartesiano)

Plano cartesiano

Sistema de orientação e localização

Plano cartesiano, também conhecido como sistema cartesiano, é um traçado de retas perpendiculares onde perpassa outra, sendo uma na horizontal e outra na vertical, formando quadrantes de 90°. Esse esquema serve para variados cálculos. 

Quem teorizou e desenvolveu o plano foi René Descartes. Ele simplificou a álgebra através da geometria euclidiana, fazendo cálculos em um pressuposto plano. Para entender do que se trata o sistema de orientação e cálculos de Descartes é importante aprender sobre as retas e infinidade dos números.

Propriedades

Entende-se que uma reta, além de ser o caminho mais curto de um ponto a outro, não possui nem início nem fim (infinita). Como não existe um início ou final, foi-se estabelecido que para criar um norte é necessário um ponto de origem. Esse tal ponto conta sempre como 0, sendo também o eixo e o meio. 

Cada ponto que a reta segue para cima ou à direita os valores passam a ser positivos. Já os pontos para baixo ou à esquerda os  números passam a ser negativos. 

Os eixos do plano cartesiano 

Uma das principais partes que formam o plano cartesiano são os eixos, que são chamados de abscissas e ordenadas. Servem para ajudar na orientação dos cálculos, principalmente na identificação das direções corretas.

Abscissa significa cortada, em latim. É uma coordenada na horizontal. Denomina-se eixo da abscissas e  eixo das ordenadas.

Quadrantes

Os quadrantes são numerados no sentido anti-horário. Começa pelo lado em que as abscissas e ordenadas são coordenadas positivas.

Exemplo: 

A relação dos quadrantes é dada por: 

Quadrante I: positivo, positivo;

Quadrante II: negativo, positivo;

Quadrante III: negativo, negativo;

Quadrante IV: positivo negativo.

Os formatos que as retas perpendiculares desenham assemelham-se com o desenho de uma cruz ou a letra L. Por isso, elas também formam áreas que lembram um quadrado,  que na verdade são quadrantes. Cada quadrante deve conter 90° graus, ainda que se recorte apenas um deles para exemplo.

 

Produto cartesiano

O produto cartesiano é a multiplicação entre os pares ordenados (xy) onde ∈ A e ∈ B, sendo A e B conjuntos. O produto cartesiano foi criado também por René Descartes e é amplamente usado na teoria dos conjuntos.

Definição:

Sejam os conjuntos A e B, não-vazios, chamamos produto cartesiano A x B, o conjunto dos pares ordenados (xy), onde ∈ A e ∈ B.

Assim:

A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}

Exemplo:

Considere os conjuntos: A = {1, 2} e B = {2, 4}

O conjuntos dos pares ordenados de A e B é: A x B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)}; o diagrama de flechas abaixo mostra essa relação do produto A x B.

Exercícios resolvidos

00) Marque os pontos A (2, 3)B (-2,5)C (-3, -2) e D (1, -4) no plano cartesiano.

Resolução:

 

00) Em um ponto Q (a, b) do plano cartesiano, a abscissa é menor que a ordenada, assim, em que quadrante esse ponto não pode estar?

Resolução:

Do enunciado, temos que o valor da abscissa é menor que o da ordenada, ou seja:

a < b

O único quadrante em que o ponto Q não pode estar é no quarto, visto que o valor da abscissa é sempre maior que o valor da ordenada.

 

00) Localize os pares ordenados no plano cartesiano:

a) (-9, 4)

b) (8, 3)

c) (0, -3)

d) (-4, -9)

e) (8, 0)

Resolução:

00) Em quais quadrantes estão localizados os pontos:

a) (-2, -4)

b) (3, 1)

c) (0, 6)

d) (8, -7)

e) (9, -3)

Resolução:

a) 3.° quadrante
b) 1.° quadrante
c) 1.° quadrante
d) 4.° quadrante
e) 4.° quadrante

 

00) Qual par ordenado não está representado no plano cartesiano?

(A) (3, -4)
(B) (4, -3)
(C) (-8, -9)
(D) (8, 9)
(E) (9, -8)

Alternativa: E

 

00) (PM ES 2013 – Exatus) Clarence desenhou o triângulo determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5)B(3;2) e C(7;2). Ao calcular a área e o perímetro desse triângulo, os valores obtidos foram, respectivamente:

(A) 3 e 3

(B) 3 e 6

(C) 6 e 6

(D) 6 e 12

(E) 12 e 12

Resolução:

Desenhando o triângulo:

Pela figura, temos um triângulo retângulo com BC = 4 e AC = 3. Vamos descobrir AB usando teorema de Pitágoras:

AB² = 4² + 3²

AB² = 16 + 9

AB² = 25

AB = 5

Perímetro = AB + BC + CA

Perímetro = 5 + 4 + 3 = 12

Área = 3×4/2 = 6

Alternativa: D

 

Continua...