8º ANO - 3º BIMESTRE

8º ANO - 3º BIMESTRE

Professor Diminoi

8º ANO – 3º BIMESTRE

Álgebra/Equações

Equações de 1º grau

Sistemas de equações e resolução de problemas

Inequações de 1º grau

Sistemas de coordenadas (plano cartesiano)

 

Equações de 1º grau

O que é uma equação do 1º grau?

Uma equação do primeiro grau é uma expressão em que o grau da incógnita é 1, isto é, o expoente da incógnita é igual a 1. Podemos representar uma equação do primeiro grau, de maneira geral, da seguinte forma:

ax + b = 0

Exemplos de equações do 1º grau com uma incógnita:

a) 3x +3 = 0

b) 3x = x(7+3x)

c) 3 (x –1) = 8x +4

d) 0,5x + 9 = √81

Note que, em todos os exemplos, a potência da incógnita x é igual a 1 (quando não há número na base de uma potência, quer dizer que o expoente é um, ou seja, x = x1).

 

Equação do primeiro grau com uma incógnita

A equação do primeiro grau com uma incógnita é uma ferramenta que resolve grandes problemas na matemática e até mesmo no nosso cotidiano. Essas equações são provenientes de polinômios de grau 1, e sua solução é um valor que zera tal polinômio, ou seja, encontrado o valor da incógnita e substituindo-o na expressão, vamos encontrar uma identidade matemática que consiste em uma igualdade verdadeira, por exemplo, 4 = 22.

O que é uma equação do 1º grau?

Uma equação do primeiro grau é uma expressão em que o grau da incógnita é 1, isto é, o expoente da incógnita é igual a 1. Podemos representar uma equação do primeiro grau, de maneira geral, da seguinte forma:

ax + b = 0

No caso acima, é a incógnita, ou seja, o valor que devemos encontrar, a e b são chamados de coeficientes da equação. O valor do coeficiente a deve ser sempre diferente de 0.

 

Exemplos de equações do 1º grau

Veja aqui alguns exemplos de equações do primeiro grau com uma incógnita:

a) 3x +3 = 0

b) 3x = x(7+3x)

c) 3 (x –1) = 8x +4

d) 0,5x + 9 = √81

Note que, em todos os exemplos, a potência da incógnita x é igual a 1 (quando não há número na base de uma potência, quer dizer que o expoente é um, ou seja, x = x1).

 

Solução de uma equação do 1º grau.

Em uma equação, temos uma igualdade, a qual separa a equação em dois membros. Do lado esquerdo da igualdade, vamos ter o primeiro membro, e do lado direito, o segundo membro.

ax + b = 0

(1º membro) = (2º membro)

Para manter a igualdade sempre verdadeira, devemos operar tanto no primeiro membro como no segundo, ou seja, se realizarmos uma operação no primeiro membro, devemos realizar a mesma operação no segundo membro. Essa ideia recebe o nome de princípio da equivalência.

15 = 15

15 + 3 = 15 + 3

18 = 18

18 – 30 = 18 – 30

– 12 = – 12

Veja que a igualdade permanece verdadeira desde que operemos de maneira simultânea nos dois membros da equação.

O princípio da equivalência é utilizado para determinar o valor da incógnita da equação, ou seja, determinar a raiz ou solução da equação. Para encontrar o valor de x, devemos utilizar o princípio da equivalência para isolar o valor da incógnita.

 

Exemplo:

2x – 8 = 3x – 10

O primeiro passo é fazer com que o número – 8 desapareça do primeiro membro. Para isso, vamos somar o número 8 em ambos os lados da equação.

2x – 8 + 8 = 3x – 10 + 8

2x = 3x – 2

O próximo passo é fazer com que 3x desapareça do segundo membro. Para isso, vamos subtrair 3x em ambos os lados.

2x – 3x = 3x – 2 – 3x

– x = – 2

Como estamos à procura de x, e não de – x, vamos agora multiplicar ambos os lados por (– 1).

(– 1)· (– x) = (– 2) · (– 1)

x = 2

O conjunto solução da equação é, portanto, S = {2}.

 

Macete para a solução de equação do primeiro grau

Existe um macete decorrente do princípio da equivalência que facilita encontrar a solução de uma equação. De acordo com essa técnica, devemos deixar tudo que depende da incógnita no primeiro membro e tudo que não depende da incógnita no segundo membro. Para isso, basta “passar” o número para o outro lado da igualdade, trocando seu sinal pelo sinal oposto. Se um número é positivo, por exemplo, quando passado para o outro membro, ele se tornará negativo. Caso o número esteja multiplicando, basta “passá-lo” dividindo e assim sucessivamente.

Exemplo:

2x – 8 = 3x – 10

Nessa equação, temos que “passar” o –8 para o segundo membro e o 3x para o primeiro, trocando seus sinais. Assim:

2x – 3x = –10 + 8

(–1)· – x = –2 ·(– 1)

x = 2

S = {2}.

 

Exemplo 1- Determine o conjunto solução da equação 4 (6x – 4) = 5 (4x – 1).

Resolução:

O primeiro passo é realizar a distributividade, logo:

24x – 16 = 20x – 5

Agora, organizando a equação com os valores que acompanham a incógnita de um lado e os demais no outro, vamos ter:

24x – 20x = –5 + 16

4x = 11

 

01) O dobro de um número adicionado com 5 é igual a 155. Determine esse número.

Resolução:

Como desconhecemos o número, vamos chamá-lo de n. Sabemos que o dobro de qualquer número é duas vezes ele mesmo, logo o dobro de n é 2n.

2n + 5 = 155

2n = 155 – 5

2n = 150

Resposta: 75.

 

02) Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara. A soma das idades das duas é 44. Determine a idade de Roberta e Bárbara.

Resolução:

Como não sabemos a idade de Roberta e Bárbara, vamos nomeá-las como r e b respectivamente. Como Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara, temos que:

r = b + 4

Sabemos também que a soma das idades das duas é de 44 anos, logo:

r + b = 44

Substituindo o valor de r na equação acima, temos:

r + b = 44

b + 4 + b = 44

b + b = 44 – 4

2b = 40

Resposta: Bárbara tem 20 anos. Como Roberta é 4 anos mais velha, então ela tem 24 anos.

 

Exercícios resolvidos

00) Determine o conjunto solução da equação 4 (6x – 4) = 5 (4x – 1).

Resolução:

O primeiro passo é realizar a distributividade, logo:

24x – 16 = 20x – 5

Agora, organizando a equação com os valores que acompanham a incógnita de um lado e os demais no outro, vamos ter:

24x – 20x = –5 + 16

4x = 11

X = 11/4

X = 2,75

 

00) O dobro de um número adicionado com 5 é igual a 155. Determine esse número.

Resolução:

Como desconhecemos o número, vamos chamá-lo de n. Sabemos que o dobro de qualquer número é duas vezes ele mesmo, logo o dobro de n é 2n.

2n + 5 = 155

2n = 155 – 5

2n = 150

n = 150 / 2

n = 75

Conclusão: 75

 

00) Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara. A soma das idades das duas é 44. Determine a idade de Roberta e Bárbara.

Resolução:

Como não sabemos a idade de Roberta e Bárbara, vamos nomeá-las como r e b respectivamente. Como Roberta é quatro anos mais velha que Bárbara, temos que:

r = b + 4

Sabemos também que a soma das idades das duas é de 44 anos, logo:

r + b = 44

Substituindo o valor de r na equação acima, temos:

r + b = 44

b + 4 + b = 44

b + b = 44 – 4

2b = 40

b = 40 / 2

b = 20

Conclusão: Bárbara tem 20 anos. Como Roberta é 4 anos mais velha, então ela tem 24 anos.

 

00) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?   

Resolução:

x + (x + 1) + (x + 2) = 393

3x + 3 = 393

3x = 390

x = 130

Conclusão: os números procurados são: 130, 131 e 132.

 

00) Resolva a equações a 18x - 43 = 65

Resolução:

18x = 65 + 43

18x = 108

x = 108/18

x = 6

 

00) Resolva a equações a 23x - 16 = 14 - 17x

Resolução:

23x = 14 - 17x + 16

23x + 17x = 30

40x = 30

= 30/40 = 3/4

 

00) Resolva a equações a 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) – 20

Resolução:

10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20

5y - 6y = -26 + 5

-y = -21

y = 21

d: 

x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12

2x² + 6x = 2x² + 12

Diminuindo 2x² em ambos os lados:

6x = 12

x = 12/6 = 2

 

00) Resolva a equações x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

Resolução:

x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12

2x² + 6x = 2x² + 12

Diminuindo 2x² em ambos os lados:

6x = 12

x = 12/6 = 2

 

00) Resolva a equações a (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

Resolução:

[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 20

2x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x

-6x - 6 = 15 - 5x

-6x + 5x = 15 + 6

-x = 21

x = -21

 

00) Resolva a equações a 4x (x + 6) - x2 = 5x2

Resolução:

4x² + 24x - x² = 5x²

4x² - x² - 5x² = -24x

-2x² = -24x

Dividindo por x em ambos os lados:

-2x = - 24

x = 24/2 = 12

 

00) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.   

Resolução:

(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6

6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)

18a + 36 = 16a + 80

2a =  44

= 44/2 = 22

 

00) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)

Resolução:

(20 - 8x) / 4x = x/4x

20 - 8x = x

-8x = x - 20

-8x - x = -20

-9x = -20

x = 20/9

 

00) Resolva a equações a 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Resolução:

3bx = 7bx + 3bc - 6bc

3bx - 7bx = -3bc

-4bx = -3 bc

x = (3bc/4b)

= 3c/4

 

Sistema de equações

Consideramos um sistema de equações quando vamos resolver problemas que envolvem quantidades numéricas e que, geralmente, recorremos ao uso de equações para representar tais situações. Na maioria dos problemas reais, devemos considerar mais de uma equação simultaneamente, o que depende, dessa forma, da elaboração de sistemas.

Problemas, como a modelagem de tráfego, podem ser solucionados utilizando sistemas lineares, para isso, devemos entender os elementos de um sistema linear, quais métodos utilizar e como determinar sua solução.

 

Sistemas de equações são aqueles que trabalham com mais de uma quantidade numérica.

Nosso estudo será em volta de sistemas de equações lineares, então, vamos entender primeiramente o que é uma equação linear.

Uma equação será dita linear quando puder ser escrita dessa forma:

a·x1 + a·x2 + a·x3 +...+ a·xn = k

Em que (a1, a2, a3, ..., an) são os coeficientes da equação, (x1, x2, x3, ..., xn) são as incógnitas e devem ser lineares e k é o termo independente.

 

Exemplos

-2x + 1 = -8 Equação linear com uma incógnita

5p + 2r = 5 Equação linear com duas incógnitas

9x – y - z = 0 Equação linear com três incógnitas

8ab +c – d = -9 Equação não linear

 

Como calcular um sistema de equação

A solução de um sistema linear é todo conjunto ordenado e finito que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema. A quantidade de elementos do conjunto solução sempre é igual ao número de incógnitas do sistema.

Exemplo:

Considere o sistema:

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_phv%20%5Clarge%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20+%20y%20%3D%204%5C%5C%20x%20-%20y%20%3D%208%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

O par ordenado (6; -2) satisfaz ambas equações, assim, ele é solução do sistema. O conjunto formado pelas soluções do sistema é chamado de conjunto solução. Do exemplo acima, temos:

S = {( 6; -2)}

A forma de escrever com chaves e parênteses indica um conjunto solução (sempre entre chaves) formado por um par ordenado (sempre entre parênteses).

Observação: Se dois ou mais sistemas possuem o mesmo conjunto solução, esses sistemas são chamados de sistemas equivalentes.

 

Método as substituição

O método da substituição resume-se em seguir três passos. Para isso, considere o sistema

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_phv%20%5Clarge%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%203x%20+%202y%20%3D%20-5%5C%5C%20x%20-%202y%20%3D%20-7%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

1º passo:

O primeiro passo consiste em escolher uma das equações (a mais fácil) e isolar uma das incógnitas (a mais fácil). Assim,

x – 2y = -7

x = -7 + 2y

2º Passo:

No segundo passo, basta substituir, na equação não escolhida, a incógnita isolada no primeiro passo. Logo,

 3x + 2y = -7

3 (-7 + 2y) + 2y = - 5

-21 + 6y + 2y = -5

8y = -5 +21

8y = 16

y = 2

3º passo:

O terceiro passo, consiste em substituir o valor encontrado no segundo passo em qualquer uma das equações. Assim,

x = -7 + 2y

x = -7 + 2(2)

x = -7 + 4

x = -3

Portanto, a solução do sistema é S {(-3, 2)}.

 

Método da adição

Para realizar o método da adição, devemos lembrar que os coeficientes de uma das incógnitas devem ser opostos, ou seja, ter números iguais com sinais contrários. Vamos considerar o mesmo sistema do método da substituição.

https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_phv%20%5Clarge%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%203x%20+%202y%20%3D%20-5%5C%5C%20x%20-%202y%20%3D%20-7%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

 Veja que os coeficientes da incógnita atendem nossa condição, assim, basta somar cada uma das colunas do sistema, obtendo a equação:

4x + 0y = -12

4x = -12

x = -12/4

x = -3

E substituindo o valor de x em qualquer uma das equações temos:

x - 2y = -7

-3 - 2y = -7

-2y = -7 + 3

(-1) (-2y) = -4 (-1)

2y = 4

y = 2

Portanto, a solução do sistema é S {(-3, 2)}

 

Classificação dos sistemas lineares

Podemos classificar um sistema linear quanto ao número de soluções. Um sistema linear pode ser classificado em possível e determinadopossível e indeterminado e impossível.

Sistema é possível e determinado (SPD): solução única

Sistema possível e indeterminado (SPI): mais de uma solução

Sistema impossível: não admite solução

 

Observa o esquema abaixo:

QUESTÕES RESOLVIDAS

01 (Vunesp) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais é:

(A) 11

(B) 12

(C) 13

(D) 17

(E) 38

Resolução:

Vamos atribuir a incógnita x ao preço de cada lapiseira, y ao preço de cada caderno e z ao preço de cada caneta. Do enunciado, temos que:

 https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_phv%20%5Clarge%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20x%20+%203y%20+%20z%20%3D%2033%5C%5C%202x%20+7y%20+2z%20%3D%2076%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

Multiplicando a equação de cima por -2 teremos que:

 https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cfn_phv%20%5Clarge%20%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20-2x%20-6y%20-2z%20%3D%20-66%5C%5C%202x%20+7y%20+2z%20%3D%2076%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.

Somando termo a termo, teremos que:

y = 10

Substituindo o valor de y encontrado na primeira equação, teremos que:

x + 3y + z = 33

x + 30 + z  = 33

x + z = 3

Portanto, o preço de uma lapiseira de um caderno e uma caneta é:

x + y + z = 13 reais.

Alternativa C

 

02) João gosta muito de animais de estimação e de charadas. Certo dia um amigo perguntou-lhe quantos cachorros e quantos gatos ele tinha. Prontamente João respondeu com o seguinte enigma: “A soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17. E a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”. Será que você consegue desvendar esse enigma e descobrir quantos cachorros e quantos gatos João possui?

(A) três gatos e quatro cachorros

(B) três gatos e três cachorros

(C) quatro gatos e quatro cachorros

(D) cinco gatos e quatro cachorros

(E) três gatos e três cachorros

Resolução:

De início, vamos interpretar algebricamente o enigma de João. Para isso, identificaremos o número de gatos como g e o número de cachorros como c. Se “a soma do dobro do número de cachorros e do triplo do número de gatos é igual a 17”, chegamos a:

2c + 3g = 17

E se “a diferença entre o número de cachorros e de gatos é apenas 1”, podemos concluir que:

c – g = 1

Com as equações encontradas, podemos montar o seguinte sistema:

Para resolver esse sistema pelo método da adição, multiplicaremos todos os termos da segunda equação por 3 e somaremos as equações:

5c + 0.g = 20
5c = 20
c = 20
      5
c = 4

Substituindo c = 4 em c – g = 1, teremos:

c – g = 1
4 – g = 1
– g = 1 – 4
(– 1) . (– g) = (– 3) . (– 1)
g = 3

Podemos concluir que João possui três gatos e quatro cachorros.

Alternativa: A

 

03) Em sua rua, André observou que havia 20 veículos estacionados, dentre motos e carros. Ao abaixar-se, ele conseguiu visualizar 54 rodas. Qual é a quantidade de motos e de carros estacionados na rua de André?

(A) treze carro e sete motos

(B) treze motos e sete carros

(C) oito motos e sete carros

(D) treze motos e oito carros

(E) treze motos e vinte carros

Resolução:

Se identificarmos a quantidade de motos com a incógnita m e a quantidade de carros com a incógnita c, podemos afirmar que a equação m + c = 20 é válida.

Sabendo que cada moto possui 2 rodas e cada carro, 4, podemos montar ainda outra equação: 2 · m + 4 · c = 54. Organizando-as em um sistema de equações, teremos:

Para resolver esse sistema através do método da substituição, isolaremos m na primeira equação, substituindo-o na segunda:

m + c = 20
m = 20 – c

2m + 4c = 54
2(20 – c) + 4c = 54
40 – 2c + 4c = 54
– 2c + 4c = 54 – 40
2c = 14
c = 14
      2
c = 7

Substituindo c = 7 em m = 20 – c, teremos:

m = 20 – c
m = 20 – 7
m = 13

Portanto, há treze motos sete carros estacionados na rua de André.

Alternativa: B

 

04) (Fuvest) Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi:

(A) 110

(B) 120

(C) 130

(D) 140

(E) 150

Resolução:

De acordo com o enunciado, as caixas contêm detergentes no aroma limão e no aroma coco. Representaremos suas quantidades com as variáveis L e C, respectivamente. Nós sabemos que, somando as quantidades dos dois aromas em uma caixa, teremos um total de 24 detergentes, isto é, L + C = 24. Sabemos ainda que cada caixa contém dois detergentes de limão a mais do que de coco, logo, L = C + 2. Reorganizando essa equação, teremos: L – C = 2.

Com as equações identificadas, podemos montar um sistema que resolveremos pelo método da adição:

L + 0 . C = 26
2L = 26
L = 26
      2
L = 13

Cada caixa continha 13 frascos de detergente aroma limão. Mas como foram estregues 10 caixas com essa mesma quantidade (13 . 10 = 130), o supermercado adquiriu 130 frascos de detergente aroma limão. 

Alternativa: C

 

05) (Vunesp) Em um campeonato de futsal, se um time vence, marca 3 pontos; se empata, marca 1 ponto e se perde não marca nenhum ponto. Admita que, nesse campeonato, o time A tenha participado de 16 jogos e perdido apenas dois jogos. Se o time A, nesses jogos, obteve 24 pontos, então a diferença entre o número de jogos que o time A venceu e o número de jogos que empatou, nessa ordem, é

(A) 8.

(B) 4.

(C) 0.

(D) – 4.

(E) – 8.

Resolução:

De acordo com o enunciado, o time A participou de 16 jogos e perdeu em dois destes. Podemos afirmar, portanto, que, em 14 dos jogos, o time A pode ter vencido ou empatado. Representando pela letra os jogos em que o time venceu e por e aqueles em que empatou, algebricamente temos v + e = 14 (o número de vitórias somado ao número de empates é igual a 14). Para determinar a pontuação de um time, multiplicamos as vitórias por 3 e os empates por e somamos os resultados. No caso do time A, temos:

3v + 1e = 24
3v + e = 24

Podemos montar o seguinte sistema de equações:

Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Para isso, isolaremos a incógnita na primeira equação, ficando com: e = 14 – v. Substituindo esse valor de e na segunda equação, teremos:

3v + e = 24
3v + 14 – v = 24
3v – v = 24 – 14
2v = 10
v = 10
     2
v = 5

Substituindo o valor encontrado de v em e = 14 – v, teremos:

e = 14 – v
e = 14 – 5
e = 9

O time A teve nove empates e cinco vitórias, mas o exercício pediu a diferença entre o número de jogos em que A venceu e o número de jogos em que empatou. Essa diferença é 5 – 9 = – 4. 

Alternativa: D

 

06) (UFMG) Uma prova de múltipla escolha com 60 questões foi corrigida da seguinte forma: o aluno ganhava 5 pontos por questão que acertava e perdia 1 ponto por questão que errava ou deixava em branco. Se um aluno totalizou 210 pontos, qual o número de questões que ele acertou?

(A) 25 questões

(B) 30 questões

(C) 34 questões

(D) 40 questões

(E) 45 questões

Resolução:

Acertos: x
Erros: y

Para totalizar 210 pontos, o aluno acertou 45 questões. 

Alternativa: E

 

07) (Unirio – RJ) Em um escritório de advocacia trabalham apenas dois advogados e uma secretária. Como o Dr. André e o Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretaria Cláudia coloca 1 grampo em cada processo do Dr. André e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que , ao  todo, são 78 processos nos quais foram usados 110 grampos. Calcule o número de processos do Dr. Carlos.

(A) 40

(B) 46

(C) 32

(D) 55

(E) 32

Resolução:

Dr. André : x
Dr. Carlos: y

O número de processos do Dr. Carlos é igual a 32.

Alternativa: C

 

08) (Unifor – CE) Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte correspondente ao dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, determine o número de balas de hortelã e laranja.

(A) Temos 20 balas de hortelã e 24 de laranja. 

(B) Temos 14 balas de hortelã e 14 de laranja. 

(C) Temos 24 balas de hortelã e 12 de laranja. 

(D) Temos 24 balas de hortelã e 24 de laranja. 

(E) Temos 14 balas de hortelã e 24 de laranja. 

Resolução:

Hortelã: x
Laranja: y

Temos 24 balas de hortelã e 24 de laranja. 

Alternativa: D

 

09) Na compra de duas canetas e um caderno, Joana gastou R$ 13,00. Carlos comprou quatro canetas e três cadernos e gastou R$ 32,00. Determine o valor de uma caneta e um caderno.

(A) O valor de uma caneta é de R$ 3,5 e o de um caderno R$ 3,50.

(B) O valor de uma caneta é de R$ 4,5 e o de um caderno R$ 6,00.

(C) O valor de uma caneta é de R$ 3,5 e o de um caderno R$ 6,50.

(D) O valor de uma caneta é de R$ 3,0 e o de um caderno R$ 6,00.

(E) O valor de uma caneta é de R$ 3,5 e o de um caderno R$ 6,00.

Resolução:

Caneta: x
Caderno: y

O valor de uma caneta é de R$ 3,5 e o de um caderno R$ 6,00.

Alternativa: E

 

Fixando o aprendizado - Sistema de equação

Um sistema de equações do grau com duas incógnitas é formado por duas equações, onde cada equação possui duas variáveis x e y.

Para encontrarmos numa equação de grau com duas incógnitas, por exemplo,
4x + 3y = 0, os valores de x e de y é preciso relacionar essa equação com outra ou outras com as mesmas incógnitas.

Essa relação é chamada de sistema.
Um sistema de equação de 1º grau com duas incógnitas é formado por: duas equações de 1º grau com duas incógnitas diferentes em cada equação.

 

Exemplo:

Para encontramos o par ordenado solução desse sistema é preciso utilizar dois métodos para a sua solução.
Esses dois métodos são: Substituição e Adição.



Método da substituição
Esse método consiste em escolher uma das duas equações, isolar uma das incógnitas e substituir na outra equação, veja como:

Dado o sistema, enumeramos as equações.

Escolhemos a equação 1 e isolamos o x:

x + y = 20
x = 20 – y

Agora na equação 2 substituímos o valor de x = 20 – y.

3x + 4 y = 72

3 (20 – y) + 4y = 72 

 60-3y + 4y  = 72

 -3y + 4y   =   72 – 60

       y = 12

Descobrimos o valor de y, para descobrir o valor de x basta substituir 12 na equação

x = 20 – y.

x = 20 – y

x = 20 – 12

x = 8

Conclusão: a solução do sistema é S = (8, 12)

 

Método da adição

Esse método consiste em adicionar as duas equações de tal forma que a soma de uma das incógnitas seja zero. Para que isso aconteça será preciso que multipliquemos algumas vezes as duas equações ou apenas uma equação por números inteiros para que a soma de uma das incógnitas seja zero.

Dado o sistema:

Para adicionarmos as duas equações e a soma de uma das incógnitas de zero, teremos que multiplicar a primeira equação por – 3.

Agora, o sistema fica assim:

Adicionando as duas equações:

       - 3x – 3y = - 60
+     3x + 4y = 72
                 y   = 12


Para descobrirmos o valor de x basta escolher uma das duas equações e substituir o valor de y encontrado:

x + y = 20

x + 12 = 20

x = 20 – 12

x = 8

Conclusão: a solução desse sistema é: S = (8, 12).

Método da substituição - Exercícios resolvidos

00) Considere o sistema:

Nesse passo, já descobrimos o valor de y, agora vamos encontrar o valor de x, então devemos substituir o valor de y na equação x = -y.

x = -y ⇒ x = 0

Conclusão: a solução do sistema é S = {0, 0}.

 

01) Considere o sistema abaixo:

Vamos isolar o x na equação 2:

Agora vamos substituir x na equação 1: 4x – 2y = 2:

já encontramos o valor de y, agora vamos voltar e substituir em x = 2 + y:

x = 2 – 3 ⇒ x = -1

Conclusão: o conjunto solução do sistema é: S = {-1, -3}

 

Método da adição - Exercícios resolvidos

02) Considere o sistema:

O sistema já possui duas incógnitas com sinais trocados, então basta somá-las.

Como agora a equação só tem uma incógnita, podemos encontrar o valor dela:

Por fim, vamos escolher uma das equações do sistema e substituir o valor de x.

Portanto, o conjunto solução do sistema é: S = {34; –78}

 

03) Considere o sistema:

Não podemos somar o sistema como está, pois não eliminaremos nenhuma incógnita. Para isso, devemos multiplicar a primeira equação por -2, toda ela.

Fazendo isso, temos o seguinte sistema:

Agora podemos somar as duas equações:

Com o valor de y, vamos escolher uma das equações do sistema e substituir para encontrar o valor de x.

Substituindo y = -4 em x + y = 5, temos:

x – 4 = 5 ⇒ x = 5 + 4 ⇒ x = 9

Conclusão: o conjunto solução do sistema é: S = {9; -4}

 

Inequação o 1º grau

O que é uma inequação?

Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. Como se trata de inequações, veremos as possibilidades de desigualdades para as funções.

Como se trata de inequações, veremos as possibilidades de desigualdades para as funções.

Com a b reais  a

Propriedades de um gráfico do primeiro grau

 

Exemplos:

 

Exercícios resolvido

Em cada caso resolva as seguintes inequações, em :

04) 2x + 1  x + 6

Resolução:

Diminuir x dos dois lados:

2x - x + 1  x - x + 6

x + 1  6

x  5

 

05) 2 - 3x  x + 14

Resolução:

2 - 3x - x  x - x + 14

2 - 4x  14

-4x  12

- x  3

x -3

 

06) 2(x + 3) > 3 (1 - x)

Resolução:

2x + 6 > 3 - 3x

2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x

6 - 3 > -5x

3 > - 5x

-x < 3/5

x > -3/5 

 

07) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x – 7

Resolução:

3 - 6x < 2x + 2 + x - 7

-6x - 3x < -8

-9x < -8

9x > 8

x > 8/9

 

08) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4

Resolução:

Primeiro devemos achar um mesmo denominador.

-2x - 6 < 3 - 3x

x < 9

 

09) (x + 3) > (-x-1)

Resolução:

x + 3 > -x - 1

2x > -4

x > -4/2

x > -2

 

10) [1 - 2*(x-1)] < 2

Resolução:

1 - 2x + 2 < 2

- 2x < 2 - 1 - 2

- 2x < -1

2x > 1

x > 1/2

 

11) 6x + 3 < 3x + 18

Resolução:

6x - 3x < 18 - 3

3x < 15

x < 15/3

x < 5

 

12) 8(x + 3) > 12 (1 - x)

Resolução:

8x + 24 > 12 - 12x

20x > 12 - 24

20x > -12

x > -12/20

x > -3/5

 

13) (x + 10) > ( -x +6)

Resolução:

x + x > 6 - 10

2x > -4

x > -4/2

x > -2

 

Sistema de coordenada (pano cartesiano)

Plano cartesiano

Sistema de orientação e localização

Plano cartesiano, também conhecido como sistema cartesiano, é um traçado de retas perpendiculares onde perpassa outra, sendo uma na horizontal e outra na vertical, formando quadrantes de 90°. Esse esquema serve para variados cálculos. 

Quem teorizou e desenvolveu o plano foi René Descartes. Ele simplificou a álgebra através da geometria euclidiana, fazendo cálculos em um pressuposto plano. Para entender do que se trata o sistema de orientação e cálculos de Descartes é importante aprender sobre as retas e infinidade dos números.

Propriedades

Entende-se que uma reta, além de ser o caminho mais curto de um ponto a outro, não possui nem início nem fim (infinita). Como não existe um início ou final, foi-se estabelecido que para criar um norte é necessário um ponto de origem. Esse tal ponto conta sempre como 0, sendo também o eixo e o meio. 

Cada ponto que a reta segue para cima ou à direita os valores passam a ser positivos. Já os pontos para baixo ou à esquerda os  números passam a ser negativos. 

Os eixos do plano cartesiano 

Uma das principais partes que formam o plano cartesiano são os eixos, que são chamados de abscissas e ordenadas. Servem para ajudar na orientação dos cálculos, principalmente na identificação das direções corretas.

Abscissa significa cortada, em latim. É uma coordenada na horizontal. Denomina-se eixo da abscissas e  eixo das ordenadas.

Quadrantes

Os quadrantes são numerados no sentido anti-horário. Começa pelo lado em que as abscissas e ordenadas são coordenadas positivas.

Exemplo: 

A relação dos quadrantes é dada por: 

Quadrante I: positivo, positivo;

Quadrante II: negativo, positivo;

Quadrante III: negativo, negativo;

Quadrante IV: positivo negativo.

Os formatos que as retas perpendiculares desenham assemelham-se com o desenho de uma cruz ou a letra L. Por isso, elas também formam áreas que lembram um quadrado,  que na verdade são quadrantes. Cada quadrante deve conter 90° graus, ainda que se recorte apenas um deles para exemplo.

 

Produto cartesiano

O produto cartesiano é a multiplicação entre os pares ordenados (xy) onde ∈ A e ∈ B, sendo A e B conjuntos. O produto cartesiano foi criado também por René Descartes e é amplamente usado na teoria dos conjuntos.

Definição:

Sejam os conjuntos A e B, não-vazios, chamamos produto cartesiano A x B, o conjunto dos pares ordenados (xy), onde ∈ A e ∈ B.

Assim:

A x B = {(x, y) | x ∈ A e y ∈ B}

Exemplo:

Considere os conjuntos: A = {1, 2} e B = {2, 4}

O conjuntos dos pares ordenados de A e B é: A x B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4)}; o diagrama de flechas abaixo mostra essa relação do produto A x B.

Exercícios resolvidos

00) Marque os pontos A (2, 3)B (-2,5)C (-3, -2) e D (1, -4) no plano cartesiano.

Resolução:

 

00) Em um ponto Q (a, b) do plano cartesiano, a abscissa é menor que a ordenada, assim, em que quadrante esse ponto não pode estar?

Resolução:

Do enunciado, temos que o valor da abscissa é menor que o da ordenada, ou seja:

a < b

O único quadrante em que o ponto Q não pode estar é no quarto, visto que o valor da abscissa é sempre maior que o valor da ordenada.

 

00) Localize os pares ordenados no plano cartesiano:

a) (-9, 4)

b) (8, 3)

c) (0, -3)

d) (-4, -9)

e) (8, 0)

Resolução:

00) Em quais quadrantes estão localizados os pontos:

a) (-2, -4)

b) (3, 1)

c) (0, 6)

d) (8, -7)

e) (9, -3)

Resolução:

a) 3.° quadrante
b) 1.° quadrante
c) 1.° quadrante
d) 4.° quadrante
e) 4.° quadrante

 

00) Qual par ordenado não está representado no plano cartesiano?

(A) (3, -4)
(B) (4, -3)
(C) (-8, -9)
(D) (8, 9)
(E) (9, -8)

Alternativa: E

 

00) (PM ES 2013 – Exatus) Clarence desenhou o triângulo determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5)B(3;2) e C(7;2). Ao calcular a área e o perímetro desse triângulo, os valores obtidos foram, respectivamente:

(A) 3 e 3

(B) 3 e 6

(C) 6 e 6

(D) 6 e 12

(E) 12 e 12

Resolução:

Desenhando o triângulo:

Pela figura, temos um triângulo retângulo com BC = 4 e AC = 3. Vamos descobrir AB usando teorema de Pitágoras:

AB² = 4² + 3²

AB² = 16 + 9

AB² = 25

AB = 5

Perímetro = AB + BC + CA

Perímetro = 5 + 4 + 3 = 12

Área = 3×4/2 = 6

Alternativa: D

 

Continua...