Professor Diminoi
8º ANO – 2º BIMESTRE
Álgebra
Equivalências e transformações de expressões algébricas
Produtos notáveis
Fatoração algébrica
Álgebra
A álgebra é a área da Matemática que estuda a manipulação de equações, polinômios e outras formas algébricas através do uso de operações válidas para os conjuntos numéricos.
História da Álgebra
A história da Álgebra tem seu início com o estudioso Diofante de Alexandria que viveu entre 325 d.C e 409 d.C. e suas contribuições se basearam no uso de símbolos para referenciar os cálculos matemáticos. Desta forma, a representação de expressões passava a ser mais compacta e abstrata, deixando de ser totalmente a partir de palavras.
Expressões Numéricas
São expressões matemáticas que envolvem operações com números.
Exemplo:
a = 7 + 5 + 4
b = 5 + 20 – 87
c = (6 + 8) – 10
d = (5 x 4) + 15
Expressões algébricas
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.
Exemplo:
A = 2a + 7b
B = (3c + 4) – 5
C = 23c + 4
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
Bases das equações algébricas, sua variáveis e operações.
Variáveis
As variáveis são identificadas usualmente pelas últimas letras do alfabeto e identificam valores desconhecidos na equação.
Ex: x + 8 = 0
A variável da equação é x.
Ex: y² + 3y + 2 = 0
A variável da equação é y.
Operações
As operações mais usadas na álgebra são adição, subtração, divisão, multiplicação, radiciação e potenciação.
Propriedades de cada uma das operações que são válidas para operandos de quaisquer conjuntos.
Adição
A operação da adição consiste em somar elementos iguais. Podemos somar, por exemplo, variáveis iguais, termos independentes iguais. As principais propriedades da adição são:
Associatividade: podemos associar termos da soma e ainda obter o mesmo resultado.
Ex: (x + y) + z = x + (y + z)
Ex: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 12
Comutatividade: podemos comutar, isto é, intercambiar os termos da soma e ainda obter o mesmo resultado.
Ex: x + y = y + x
Ex: 6 + 11 = 11 + 6 = 17
Existência de um elemento neutro: existe um elemento que, quando somado a qualquer equação não altera seu resultado. No caso da adição, esse elemento é o número zero (0).
Ex: x + 0 = x
Ex: 53 + 0 = 53
Existência de um elemento inverso: temos um elemento inverso quando a soma de um elemento e seu inverso sempre gera o elemento neutro.
Ex: x + (−x) = 0
Ex: 30 + (−30) = 0
Multiplicação
A multiplicação é indicada pelo sinal de ( . ) o qual indica que em uma operação de y . z iremos somar y vezes a variável z.
Ex: 8 . 3 = 8 + 8 + 8 = 24
Ex: 4 . 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
As propriedades da multiplicação são:
Associatividade: ao associar diferentes termos da multiplicação, ainda obteremos os mesmos resultados.
Ex: ( x . y ) z = x . ( y . z )
Ex: ( 3 . 2 ) . 4 = 3( 2 . 4 ) = 24
Comutatividade: podemos comutar, ou seja, intercambiar elementos da multiplicação sem alterar o resultado final.
Ex: y . z = z . y
Ex: 7 . 9 = 9 . 7 = 63
Existência de um elemento neutro: existe um elemento ao qual a sua multiplicação por qualquer termo não afeta o resultado.
Nessa operação, o elemento neutro é 1.
Ex: z . 1 = z
Ex: 437 . 1 = 437
Existência do elemento inverso: para cada termo (menos o zero), existe um elemento inverso cuja multiplicação gera o elemento neutro, que no caso da multiplicação é o número 1.
Ex: z . ½ = 1
Ex: 2 . ½ = 1
Distributividade: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição indica que o produto da soma de dois termos é igual a soma de cada um dos termos multiplicados pelo primeiro.
Ex: x × ( y + z ) = x . y + x × z
Ex: 3 × ( 6 + 4) = 3 . 6 + 3 . 4 = 30
Subtração: A subtração de elementos consiste na mesma operação que a soma do primeiro operando com o negativo do segundo operando.
Ex: x – y = x + (–y)
Ex: 7 – 3 = 7 + ( –3) = 4
Observação: Nem todas as propriedades da soma podemos usar para a subtração.
Ex: A subtração não é comutativa, podemos observar simplesmente ao fazer
3 − 1 ≠ 1 − 3
2 ≠ − 2
Ex: A subtração não é associativa
( 2 –8 ) –3 = − 9
2 − (8 − 3) = − 3
No entanto, existe um elemento inverso e um elemento neutro para a subtração, assim como para a soma.
Divisão: A divisão de elementos é a operação inversa da multiplicação, garantindo assim as propriedades de existência do elemento inverso. Também, existe o elemento neutro, que é o mesmo da multiplicação, o número 1.
Ex: 1/x = x
Ex: 3/1 = 3
Mas igualmente a subtração não assume todas as propriedades da soma, a divisão também não assume todas as propriedades da multiplicação.
Ex: a divisão não é associativa.
(3 / 4) / 2 = 0,375
3 / (4 / 2) = 1,5
Ex: a divisão não é comutativa.
4 / 2 = 2
2 / 4 = 0,5
Expressões Algébricas
Expressões são o núcleo da Álgebra. Elas compõe uma sequência de operações matemáticas entre operandos. Tais expressões podem ser de dois tipos: numéricas, isto é, entre valores conhecidos ou expressões algébricas, que envolvem variáveis entre os operandos.
Ex: 8 + 49/7 – 3 = 12 é uma expressão numérica
Ex: x + y é uma expressão algébrica
Equações
Equações são expressões algébricas com uma igualdade.
Ex: x² + 2 × x + 1 = 0
Ex: x + 4 = 0
Polinômios
Um polinômio é uma expressão algébrica específica formada por operações entre monômios, que é um produto de uma ou mais variáveis a determinado expoente multiplicado por um coeficiente.
Ex: 2x²
Esse é um monômio com a variável x.
Ex: 8xy
Este é um polinômio nas variáveis x e y
Ex: 9x8 + 7x3
Exercícios resolvidos
00)
Equivalências e transformações de expressões algébricas
O que é expressão algébrica?
O que é expressão algébrica? É uma expressão formada por operações matemáticas que envolvem números conhecidos e desconhecidos.
As expressões algébricas são formadas por três itens básicos:
Números conhecidos
Números desconhecidos
Operação matemática
Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são representados por letras.
Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis.
Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes.
Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas:
1) 4x + 2y
2) 16z
3) 22xa + y – 164x2y2
Valor numérico das expressões algébricas
Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha.
Exemplo:
Calcule o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3.
4x2 + 5y
Substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos:
4 . 22 + 5 . 3
Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta calcular a expressão numérica resultante:
4 . 22 + 5 . 3
4 . 4 + 5 .3
16 + 15 = 31
Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas. Se a expressão algébrica acima fosse:
2xy + xx + yy = 2xy + x2 + y2
Seu valor numérico seria:
2xy + x2 + y2
2 . 2 . 3 + 22 + 33
12 + 4 + 9 = 25
Monômios (multiplicação)
São expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas. São exemplos de monômios:
a) 2x
b) 3x2y4
c) x
d) xy
e) 16
Adição e subtração de monômios
Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final.
Exemplo:
2xy2k7 + 22xy2k7 – 20xy2k7 = 4xy2k7
Multiplicação e divisão de monômios
A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita a incógnita usando propriedades de potência.
Exemplo:
4x3k2yz . 15x2k4y = 60x3 + 2k2 + 4y1 + 1z = 60x5k6y2z
A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal.
Para mais exemplos e detalhes, consulte o texto sobre divisão de monômios clicando aqui.
Polinômios (adição)
São expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios. Assim, um polinômio nasce quando somamos ou subtraímos dois monômios distintos. Atenção: todo monômio também é polinômio.
Exemplos de polinômios:
1) 2x + 2x2
2) 2x + 3xy + 3y
3) 2ab + 16 – 4ab3
Adição e subtração de polinômios
Quando os polinômios não possuem termos semelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos. Quando polinômios possuem um termo que não é semelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nem subtraído, apenas repetido no resultado final.
Exemplo:
(12x2 + 21y2 – 7k) + (– 15x2 + 25y2) =
12x2 + 21y2 – 7k – 15x2 + 25y2 =
12x2 – 15x2 + 21y2 + 25y2 – 7k =
– 3x2 + 46y2 – 7k
Multiplicação de polinômios
A multiplicação de polinômios sempre é feita com base na propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (também conhecida como chuveirinho). Para isso, é claro, usamos as propriedades de potência quando necessário.
Exemplo:
(x2 + a2)(y2 + a2)
x2y2 + x2a2 + a2y2 + a4
Divisão de polinômios
Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais: procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão.
Exemplo:
(x2 + 18x + 81) : (x + 9) =
x2 + 18x + 81 | x + 9
– x2 – 9x x + 9
9x + 81
– 9x – 81
0
Exercícios resolvidos
00)
Produtos Notáveis
O que são produtos notáveis?
Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos notáveis mais relevantes:
Eles são usados para facilitar cálculos e agilizar procedimentos
Expressões Algébricas - Produtos Notáveis
Trinômio do quadrado perfeito (Quadrado da soma e quadrado da diferença)
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a – b )2 = a2 - 2ab + b2
Diferença de quadrados
(a + b) . ( a – b ) = a2 – b2
Cubo da soma e da diferença de dois números
( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab3 + b3
( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab3 - b3
Fatoração Algébrica - Fator Comum
O fator comum é um fator que aparece em todos os termos da expressão. Fatorar com a utilização do fator comum também é conhecido como “colocar em evidência”:
a . b + a . c = a( b + c)
Fatoração Algébrica - Produtos Notáveis
Trinômio do quadrado perfeito (Quadrado da soma e quadrado da diferença)
a2 + 2ab + b2 = (a + b )2
Observação: quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo
Diferença de quadrados
a2 – b2 = ( a + b ) . ( a – b )
Cubo da soma e da diferença de dois números
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = ( a + b )3
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = ( a - b )3
Fatoração Algébrica - Soma e Diferença de Cubos
a3 + b3 = ( a + b ) . ( a2 – ab + b2)
a3 - b3 = ( a - b ) . ( a2 + ab + b2)
Exercícios resolvidos
Quadrado da soma
00) (x + 7)2 = x2 + 2x7 + 49 = x2 + 14x + 49
Quadrado da diferença
00) (x – a)2 = x2 – 2xa + a2
Produto da soma pela diferença
00) Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy – 4).
(xy + 4)(xy – 4) = (xy)2 – 162
Cubo da soma
00) (x + 5)3 = x3 + 3x25 + 3x52 + 53 = x3 + 15x2 + 75x + 125
Cubo da diferença
00) (x – 2y)3
(x – 2y)3 = x3 – 3x22y + 3x(2y)2 – (2y)3 = x3 – 3x22y + 3x4y2 – 8y3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3
00) Qual é a forma fatorada do produto entre os polinômios x2 + 14x + 49 e x2 – 14x + 49?
(A) (x + 7)2·(x – 7)2
(B) (x2 + 14x + 49)·(x2 – 14x + 49)
(C) (x + 7)·(x – 7)2
(D) (x + 7)2·x – 72
(E) x + 72·(x – 7)2
Resolução:
Como estamos buscando a forma fatorada do produto, não é necessário multiplicar os polinômios, basta fatorá-los e escrever o produto entre as formas fatoradas. Observe:
A forma fatorada de x2 + 14x + 49, seguindo o método do trinômio quadrado perfeito, é:
x2 + 14x + 49 = (x + 7)2
Já a forma fatorada de x2 – 14x + 49, seguindo o mesmo método, é:
x2 – 14x + 49 = (x – 7)2
Portanto, o produto entre as formas fatoradas é:
(x + 7)2·(x – 7)2
Alternativa: A.
00) Qual é a forma simplificada da expressão algébrica abaixo?
(x2 + 14x + 49)·( x2 – 49)
x2 – 14x + 49
(A) (x + 7)·(x + 7)
x – 7
(B) x + 7
x – 7
(C) (x + 7)3
x – 7
(D) (x + 7)2
x – 7
(E) (x2 + 14x + 49)
x – 7
Resolução:
Observe que existem três polinômios que podem ser fatorados nessa expressão algébrica. Para fatorá-los, utilizaremos os casos de trinômio quadrado perfeito e diferença de dois quadrados.
Observe:
(x2 + 14x + 49)·( x2 – 49)
x2 – 14x + 49
(x + 7)2·(x – 7)·(x + 7)
(x – 7)2
(x + 7)·(x + 7)·(x – 7)·(x + 7)
(x – 7)·(x – 7)
Agora basta “cortar” os termos idênticos no numerador e denominador. Nessa questão, existe apenas um termo idêntico, a saber (x – 7). O resultado final será:
(x + 7)·(x + 7)·(x + 7)
x – 7
Esse resultado pode ser reescrito da seguinte maneira:
(x + 7)3
x – 7
Alternativa: C
00) A razão entre as formas fatoradas dos polinômios ax + 2a + 5x + 10 e a2 + 10a + 25 é:
(A) (a + 5)(x – 2)
(a + 5)(a + 5)
(B) a + 5
(C) a – 5
(D) x – 2
a + 5
(E) x + 2
a + 5
Resolução:
No numerador, utilizaremos o método de fatoração por agrupamento, que faz uso da fatoração por fator comum em evidência repetidas vezes. Já no denominador, utilizaremos o método de fatoração do trinômio quadrado perfeito. Escrevendo a razão proposta, obteremos:
ax + 2a + 5x + 10
a2 + 10a + 25
a(x + 2) + 5(x + 2)
(a + 5)(a + 5)
(a + 5)(x + 2)
(a + 5)(a + 5)
gora vamos dividir os termos idênticos presentes na expressão algébrica acima:
x + 2
a + 5
Alternativa: E
00) A forma simplificada da razão entre os polinômios x3 – 8y3 e x2 – 4xy + 4y2 é:
(A) (x + 4y)2
x – 4y
(B) (x2 + 2xy + 4y2)
x – 2y
(C) (x + y)2
x – y
(D) (2x + 2)2
x – y
(E) (x + y)2
2x – y
Resolução:
Para resolver essa questão, devemos escrever a razão entre os polinômios:
x3 – 8y3
x2 – 4xy + 4y2
Agora utilize o método de fatoração da diferença entre dois cubos no numerador e do trinômio quadrado perfeito no denominador.
(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
(x – 2y)2
Escrevendo o denominador em forma de produto teremos:
(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
(x – 2y)(x – 2y)
Agora basta “cortar” os fatores idênticos que aparecem tanto no numerador quanto no denominador:
(x2 + 2xy + 4y2)
x – 2y
Alternativa: B
00)
Continua...