8º ANO - 2º BIMESTRE

8º ANO - 2º BIMESTRE

Professor Diminoi

8º ANO – 2º BIMESTRE

 Álgebra

Equivalências e transformações de expressões algébricas

Produtos notáveis

Fatoração algébrica

 

Álgebra

A álgebra é a área da Matemática que estuda a manipulação de equações, polinômios e outras formas algébricas através do uso de operações válidas para os conjuntos numéricos.

História da Álgebra

A história da Álgebra tem seu início com o estudioso Diofante de Alexandria que viveu entre 325 d.C e 409 d.C. e suas contribuições se basearam no uso de símbolos para referenciar os cálculos matemáticos. Desta forma, a representação de expressões passava a ser mais compacta e abstrata, deixando de ser totalmente a partir de palavras.

 

Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números.

Exemplo:

a = 7 + 5 + 4

b = 5 + 20 – 87

c = (6 + 8) – 10

d = (5 x 4) + 15

 

Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.

Exemplo:

A = 2a + 7b

B = (3c + 4) – 5

C = 23c + 4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

 

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

Potenciação ou Radiciação

Multiplicação ou Divisão

Adição ou Subtração

 

Bases das equações algébricas, sua variáveis e operações.

 

Variáveis

As variáveis são identificadas usualmente pelas últimas letras do alfabeto e identificam valores desconhecidos na equação.

Ex: x + 8 = 0

A variável da equação é x.

Ex: y² + 3y + 2 = 0

A variável da equação é y.

 

Operações

As operações mais usadas na álgebra são adição, subtração, divisão, multiplicação, radiciação e potenciação.

Propriedades de cada uma das operações que são válidas para operandos de quaisquer conjuntos.

 

Adição

A operação da adição consiste em somar elementos iguais. Podemos somar, por exemplo, variáveis iguais, termos independentes iguais. As principais propriedades da adição são:

 

Associatividade: podemos associar termos da soma e ainda obter o mesmo resultado.

Ex: (x + y) + z = x + (y + z)

Ex: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) = 12

 

Comutatividade: podemos comutar, isto é, intercambiar os termos da soma e ainda obter o mesmo resultado.

Ex: x + y = y + x

Ex: 6 + 11 = 11 + 6 = 17

Existência de um elemento neutro: existe um elemento que, quando somado a qualquer equação não altera seu resultado. No caso da adição, esse elemento é o número zero (0).

Ex: x + 0 = x

Ex: 53 + 0 = 53

Existência de um elemento inverso: temos um elemento inverso quando a soma de um elemento e seu inverso sempre gera o elemento neutro.

Ex: x + (−x) = 0

Ex: 30 + (−30) = 0

 

Multiplicação

A multiplicação é indicada pelo sinal de ( . ) o qual indica que em uma operação de y . z iremos somar y vezes a variável z.

Ex: 8 . 3 = 8 + 8 + 8 = 24

Ex: 4 . 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

 

As propriedades da multiplicação são:

 

Associatividade: ao associar diferentes termos da multiplicação, ainda obteremos os mesmos resultados.

Ex: ( x . y ) z = x  . ( y .  z )

Ex: ( 3 . 2 ) . 4 = 3( 2 . 4 ) = 24

 

Comutatividade: podemos comutar, ou seja, intercambiar elementos da multiplicação sem alterar o resultado final.

Ex: y . z = z . y

Ex: 7 . 9 = 9 . 7 = 63

Existência de um elemento neutro: existe um elemento ao qual a sua multiplicação por qualquer termo não afeta o resultado.

Nessa operação, o elemento neutro é 1.

Ex: z  . 1 = z

Ex: 437  .  1 = 437

Existência do elemento inverso: para cada termo (menos o zero), existe um elemento inverso cuja multiplicação gera o elemento neutro, que no caso da multiplicação é o número 1.

Ex: z .  ½ = 1

Ex: 2  .  ½ = 1

 

Distributividade: a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição indica que o produto da soma de dois termos é igual a soma de cada um dos termos multiplicados pelo primeiro.

Ex: x × ( y + z ) = x . y + x × z

Ex: 3 × ( 6 + 4) = 3 . 6 + 3 . 4 = 30

 

Subtração:  A subtração de elementos consiste na mesma operação que a soma do primeiro operando com o negativo do segundo operando.

Ex: x – y = x + (–y)

Ex: 7 – 3 = 7 + ( –3) = 4

 

Observação: Nem todas as propriedades da soma podemos usar para a subtração.

Ex: A subtração não é comutativa, podemos observar simplesmente ao fazer

3 − 1 ≠ 1 − 3

2 ≠ − 2

Ex: A subtração não é associativa

( 2 –8 ) –3 = − 9

2 − (8 − 3) = − 3

No entanto, existe um elemento inverso e um elemento neutro para a subtração, assim como para a soma.

 

Divisão: A divisão de elementos é a operação inversa da multiplicação, garantindo assim as propriedades de existência do elemento inverso. Também, existe o elemento neutro, que é o mesmo da multiplicação, o número 1.

Ex: 1/x = x

Ex: 3/1 = 3

Mas igualmente a subtração não assume todas as propriedades da soma, a divisão também não assume todas as propriedades da multiplicação.

Ex: a divisão não é associativa.

(3 / 4) / 2 = 0,375

3 / (4 / 2) = 1,5

Ex: a divisão não é comutativa.

4 / 2 = 2

2 / 4 = 0,5

 

Expressões Algébricas

Expressões são o núcleo da Álgebra. Elas compõe uma sequência de operações matemáticas entre operandos. Tais expressões podem ser de dois tipos: numéricas, isto é, entre valores conhecidos ou expressões algébricas, que envolvem variáveis entre os operandos.

Ex: 8 + 49/7 – 3 = 12 é uma expressão numérica

Ex: x + y é uma expressão algébrica

 

Equações

Equações são expressões algébricas com uma igualdade.

Ex: x² + 2 × x + 1 = 0

Ex: x + 4 = 0

 

Polinômios

Um polinômio é uma expressão algébrica específica formada por operações entre monômios, que é um produto de uma ou mais variáveis a determinado expoente multiplicado por um coeficiente.

Ex: 2x²

Esse é um monômio com a variável x.

 

Ex: 8xy

Este é um polinômio nas variáveis x e y

Ex: 9x8 + 7x3

 

Exercícios resolvidos

00)

 

Equivalências e transformações de expressões algébricas

 

O que é expressão algébrica?

O que é expressão algébrica? É uma expressão formada por operações matemáticas que envolvem números conhecidos e desconhecidos.

 

As expressões algébricas são formadas por três itens básicos:

Números conhecidos

Números desconhecidos 

Operação matemática

 

Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são representados por letras.

Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis.

Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes.

Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas:

1) 4x + 2y

2) 16z

3) 22xa + y – 164x2y2

 

Valor numérico das expressões algébricas

Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha.

Exemplo:

Calcule o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3.

4x2 + 5y

Substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos:

4 . 22 + 5 . 3

Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta calcular a expressão numérica resultante:

4 . 22 + 5 . 3

4 . 4 + 5 .3

16 + 15 = 31

Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas. Se a expressão algébrica acima fosse:

2xy + xx + yy = 2xy + x2 + y2

Seu valor numérico seria:

2xy + x2 + y2

2 . 2 . 3 + 22 + 33

12 + 4 + 9 = 25

Monômios (multiplicação)

São expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas. São exemplos de monômios:

a) 2x

b) 3x2y4

c) x

d) xy

e) 16

 

Adição e subtração de monômios

Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final.

Exemplo:

2xy2k7 + 22xy2k7 – 20xy2k7 = 4xy2k7

 

Multiplicação e divisão de monômios

multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita a incógnita usando propriedades de potência.

Exemplo:

4x3k2yz . 15x2k4y = 60x3 + 2k2 + 4y1 + 1z = 60x5k6y2z

A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal.

Para mais exemplos e detalhes, consulte o texto sobre divisão de monômios clicando aqui.

 

Polinômios (adição)

São expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios. Assim, um polinômio nasce quando somamos ou subtraímos dois monômios distintos. Atenção: todo monômio também é polinômio.

 

Exemplos de polinômios:

1) 2x + 2x2

2) 2x + 3xy + 3y

3) 2ab + 16 – 4ab3

 

Adição e subtração de polinômios

Quando os polinômios não possuem termos semelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos. Quando polinômios possuem um termo que não é semelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nem subtraído, apenas repetido no resultado final.

Exemplo:

(12x2 + 21y2 – 7k) + (– 15x2 + 25y2) =

12x2 + 21y2 – 7k – 15x2 + 25y2 =

12x2 – 15x2 + 21y2 + 25y2 – 7k =

– 3x2 + 46y2 – 7k

Multiplicação de polinômios

multiplicação de polinômios sempre é feita com base na propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (também conhecida como chuveirinho). Para isso, é claro, usamos as propriedades de potência quando necessário.

Exemplo:

(x2 + a2)(y2 + a2)

x2y2 + x2a2 + a2y2 + a4

 

Divisão de polinômios

Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais: procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão.

Exemplo:

(x2 + 18x + 81) : (x + 9) =

x2 + 18x + 81 | x + 9
– x2 – 9x          x + 9 
9x + 81  
– 9x – 81     
    0

 

Exercícios resolvidos

00)

 

Produtos Notáveis

 

O que são produtos notáveis?

Produtos notáveis são multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos notáveis mais relevantes: 

Eles são usados para facilitar cálculos e agilizar procedimentos

 

Expressões Algébricas - Produtos Notáveis

Trinômio do quadrado perfeito (Quadrado da soma e quadrado da diferença)

( a + b )2 = a2  + 2ab + b2

( a – b )2 = a2 - 2ab + b2

 

Diferença de quadrados

(a + b) . ( a – b ) = a2 – b2

 

Cubo da soma e da diferença de dois números

( a + b )3 = a3 + 3a2b + 3ab3 + b3

( a - b )3 = a3 - 3a2b + 3ab3 - b3

 

Fatoração Algébrica - Fator Comum

O fator comum é um fator que aparece em todos os termos da expressão. Fatorar com a utilização do fator comum também é conhecido como “colocar em evidência”:

a . b + a . c = a( b + c)

 

Fatoração Algébrica - Produtos Notáveis

Trinômio do quadrado perfeito (Quadrado da soma e quadrado da diferença)

a2 + 2ab + b2 = (a + b )2

Observação: quadrado do primeiro termo mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo termo

 

Diferença de quadrados

a2 – b2 = ( a + b ) . ( a – b )

 

Cubo da soma e da diferença de dois números

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = ( a + b )3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = ( a - b )3

 

Fatoração Algébrica - Soma e Diferença de Cubos

a3 + b3 = ( a + b ) . ( a2 – ab + b2)

a3 - b3 = ( a - b ) . ( a2 + ab + b2)

 

Exercícios resolvidos

Quadrado da soma

00) (x + 7)2 = x2 + 2x7 + 49 = x2 + 14x + 49

 

Quadrado da diferença

00) (x – a)2 = x2 – 2xa + a2

 

Produto da soma pela diferença

00) Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy – 4).

(xy + 4)(xy – 4) = (xy)2 – 162

 

Cubo da soma

00) (x + 5)3 = x3 + 3x25 + 3x52 + 53 = x3 + 15x2 + 75x + 125

 

Cubo da diferença

00) (x – 2y)3

(x – 2y)3 = x3 – 3x22y + 3x(2y)2 – (2y)3 = x3 – 3x22y + 3x4y2 – 8y3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3

 

00) Qual é a forma fatorada do produto entre os polinômios x2 + 14x + 49 e x2 – 14x + 49?

(A) (x + 7)2·(x – 7)2

(B) (x2 + 14x + 49)·(x2 – 14x + 49)

(C) (x + 7)·(x – 7)2

(D) (x + 7)2·x – 72

(E) x + 72·(x – 7)2

Resolução:

Como estamos buscando a forma fatorada do produto, não é necessário multiplicar os polinômios, basta fatorá-los e escrever o produto entre as formas fatoradas. Observe:

A forma fatorada de x2 + 14x + 49, seguindo o método do trinômio quadrado perfeito, é:

x2 + 14x + 49 = (x + 7)2

Já a forma fatorada de x2 – 14x + 49, seguindo o mesmo método, é:

x2 – 14x + 49 = (x – 7)2

Portanto, o produto entre as formas fatoradas é:

(x + 7)2·(x – 7)2

Alternativa: A.

 

00) Qual é a forma simplificada da expressão algébrica abaixo?

(x2 + 14x + 49)·( x2 – 49)
       x2 – 14x + 49

 (A) (x + 7)·(x + 7)
          x – 7

(B) x + 7
      x – 7

(C) (x + 7)3
       x – 7

(D) (x + 7)2
        x – 7

(E) (x2 + 14x + 49)
          x – 7

Resolução:

Observe que existem três polinômios que podem ser fatorados nessa expressão algébrica. Para fatorá-los, utilizaremos os casos de trinômio quadrado perfeito e diferença de dois quadrados.

Observe:

(x2 + 14x + 49)·( x2 – 49)
x2 – 14x + 49

(x + 7)2·(x – 7)·(x + 7)
(x – 7)2

(x + 7)·(x + 7)·(x – 7)·(x + 7)
(x – 7)·(x – 7)

Agora basta “cortar” os termos idênticos no numerador e denominador. Nessa questão, existe apenas um termo idêntico, a saber (x – 7). O resultado final será:

(x + 7)·(x + 7)·(x + 7)
x – 7

Esse resultado pode ser reescrito da seguinte maneira:

(x + 7)3
x – 7

Alternativa: C

 

00) A razão entre as formas fatoradas dos polinômios ax + 2a + 5x + 10 e a2 + 10a + 25 é:

(A) (a + 5)(x – 2)
       (a + 5)(a + 5)

(B) a + 5

(C) a – 5

(D) x – 2
      a + 5

(E) x + 2
   a + 5

Resolução:

No numerador, utilizaremos o método de fatoração por agrupamento, que faz uso da fatoração por fator comum em evidência repetidas vezes. Já no denominador, utilizaremos o método de fatoração do trinômio quadrado perfeito. Escrevendo a razão proposta, obteremos:

ax + 2a + 5x + 10
a2 + 10a + 25

a(x + 2) + 5(x + 2)
(a + 5)(a + 5)

(a + 5)(x + 2)
(a + 5)(a + 5)

gora vamos dividir os termos idênticos presentes na expressão algébrica acima:

x + 2
a + 5

Alternativa: E

 

00) A forma simplificada da razão entre os polinômios x3 – 8y3 e x2 – 4xy + 4y2 é:

(A) (x + 4y)2
     x – 4y

(B) (x2 + 2xy + 4y2)
          x – 2y  

(C) (x + y)2
     x – y

(D) (2x + 2)2
      x – y

(E) (x + y)2
     2x – y

Resolução:

Para resolver essa questão, devemos escrever a razão entre os polinômios:

      x3 – 8y3     
x2 – 4xy + 4y2

Agora utilize o método de fatoração da diferença entre dois cubos no numerador e do trinômio quadrado perfeito no denominador.

(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
   (x – 2y)2

Escrevendo o denominador em forma de produto teremos:

(x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2)
(x – 2y)(x – 2y)

Agora basta “cortar” os fatores idênticos que aparecem tanto no numerador quanto no denominador:

(x2 + 2xy + 4y2)
x – 2y  

Alternativa: B

 

00)

Continua...