8º ANO - CADERNO O ALUNO VOLUME 1 E 2

8º ANO - CADERNO O ALUNO VOLUME 1 E 2

Professor Diminoi

 

Caderno do Aluno Volume 1

(Modificado)

Observação: As questões a seguir são questões do Caderno o Aluno Volume 1 Ano 2020. Portanto, para que você compreenda toas as resoluções o “ideal” é você ter em mãos o Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020.

Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020 é um material da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo”

ATIVIDADE 1 - POTENCIAÇÃO COM EXPOENTES INTEIROS

Utilizando um quadradinho como uma unidade de medida, forme quadrados e pinte-os conforme a quantidade abaixo.

 

a)

 

b)

Resolução:

Quando escrevemos 3² = 9 ou 2² = 4, temos uma operação de potenciação. Lemos 3², três elevado ao quadrado e 2², dois elevado ao quadrado.

 

1.2 Escreva os 10 primeiros números naturais quadrados perfeitos.

Resolução:

02 = 0

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

 

1.3

 

1.4 Faça a contagem dos cubos, utilizando como unidade de medida:

Resolução:

Figura 1 – 1 cubo

Figura 2 – 8 cubos

Figura 3 – 27 cubos

Figura 4 – 64 cubos

Figura 5 – 125 cubos

 

1.5 Escreva os dez primeiros números naturais elevados ao cubo:

Resolução

0³ = 1

1³ = 1

2³= 8

3³= 27

4³ = 64

5³=125

6³= 216

7³ = 343

8³ = 512 9³ = 729

 

1.6 Escreva as potências abaixo na forma de produto e escreva por extenso cada uma:

 

a) 72

Resolução:

7 . 7 = 49 (sete elevado ao quadrado)

 

b) 84

Resolução:

8 . 8 . 8 . 8 = 4096 (oito elevado à quarta potência)

 

c) 123

Resolução:

12 . 12 . 12 = 1728 (doze elevado ao cubo)

 

d) 25

Resolução:

2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 (dois elevado à quinta potência)

 

1.7 Agora, resolva as potências a seguir. O que você pôde observar?

 

a) 34

Resolução:

3 . 3 . 3 . 3 = 81

 

b) 35

Resolução:

3 .  3 . 3 . 3 . 3 = 243

 

c) 36

Resolução:

3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 729

 

d) 37

Resolução:

3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3= 2187

Explore com os estudantes o que acontece com os resultados, por exemplo se multiplicarmos o resultado de 35 = 243 por 3 resultará em 729. Espera-se que o estudante perceba que ao aumentar uma unidade no expoente, significa multiplicar o valor da potência anterior pelo valor da base.

 

1.8 Subtraia 1 do expoente a partir do 33. Repita este processo sucessivamente para os próximos números. Observe os resultados encontrados e registre suas conclusões.

Resolução:

Converse com os estudantes, que um número elevado a zero é 1 devido às propriedades da

divisão potenciação de bases iguais e que potências de expoente negativo são calculadas da seguinte forma: 𝑥𝑛 = 1/𝑥𝑛 (com 𝑥 ≠ 0). Explore ouros exemplos para que os estudantes percebam o padrão dessas propriedades.

 

33

Resolução:

33-1 = 32 = 9

 

32

Resolução:

32−1 = 31 = 3

 

31

Resolução:

31−1 = 30 = 1, pois 31/3 = 3 1−1 = 30 = 1

 

30

Resolução:

30 −1 = 3−1 = 1/3

 

3-1

Resolução:

3−1−1 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9

 

3-2

Resolução:

3−2−1 = 3−3 = (1/3)3 = 1/27

 

3-3

Resolução:

3−3−1 = 3−4 = (1/3)4 = 1/81

 

1.9 A seguir resolva as potências e expresse o resultado encontrado na forma fracionária:

 

a) 3-2 . 52

Resolução:

1/9 . 25 = 25/9 = (5/3)2

 

b) 210 . 28 : 26

Resolução:

218/26 = 218−6 = 212

 

c) ( 1/4 )3

Resolução:

1/64

 

e) (12)6 . (1/2 )12 : (1/2)8

Resolução:

(1/2)6 + 12 − 8 = (1/2)10

 

f) (5 . 4)2 / 54 . 28

Resolução:

52 . 42 / 54 . 28  = 52 .24 / 54 . 28 = 52 . 5−4 . 24 . 2−8  = 5−2 . 2−4 = 1/400

 

ATIVIDADE 2: ESTIMANDO RAIZ QUADRADA

 

2.1 Você já escreveu os 10 primeiros números quadrados perfeitos anteriormente. Agora, extraia a raiz quadrada de cada um deles. Após a extração das raízes, compare os resultados obtidos. Registre sua conclusão.

Resolução:

√0 = 0

√1 =1

√4 =2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 =8

√81 = 9

 

2.3 Você já escreveu e extraiu a raiz quadrada dos 10 primeiros números quadrados perfeitos. No entanto, nem todo número é um quadrado perfeito.

 

Exemplo: o número 6 não é quadrado perfeito, então não tem raiz quadrada exata. Mas, é possível estimar sua raiz quadrada.

Sabe-se que 6 está entre os quadrados perfeitos 4 e 9, isto é, 4 < 6 < 9.

Visto que √4 = 2 e √9 = 3, então √6 está entre 2 e 3, isto é, √4 < √6 < √9.

Para estimar a raiz quadrada não exata, podemos fazer:

(2,1)2 = 4,41 (2,2)2 = 4,84 (2,3)2 = 5,29 (2,4)2 = 5,76 (2,5)2 = 6,25

Considerando uma casa decimal, podemos encontrar aproximadamente √6, o que nos leva a concluir que, √6 está entre 2,4 e 2,5.

 

Raiz Quadrada de Número Decimal

Para estimar a raiz quadrada não exata, podemos fazer:

 

a) (2,1)2

Resolução:

2,1 , 2,1 = 4,41

 

b) (2,2)2

Resolução:

2,2 . 2,2 = 4,84

 

c) (2,3)2

Resolução:

2,3 . 2,3 = 5,29

 

d) (2,4)2

Resolução:

2,4  . 2,4 =5,76

 

e) (2,5)2

Resolução:

2,5 . 2,5 = 6,25

 

2.4   Seguindo esse raciocínio estime o valor das raízes quadradas dos números a seguir:

 

a) √28

Resolução:

√25 < √28 < √36, logo √28 5,39

 

b) √63

Resolução:

√49 < √63 < √64, 𝑙𝑜𝑔𝑜 √63 7,9

 

c) √45

Resolução:

√36 < √45 < √49, 𝑙𝑜𝑔𝑜 √45 6,7

 

d) √5

Resolução:

√4 < √5 < √9, 𝑙𝑜𝑔𝑜 √5 2,2

 

e) √20

Resolução:

√16 < √20 < √25, 𝑙𝑜𝑔𝑜 √20 4,5

 

 

2.5 Considere a afirmação: Se “a” é um número positivo e “m” e “n” são números naturais diferentes de zero, então: am/n = n√am

Escreva as potências dadas de modo que elas sejam expressas em forma de radical:

 

a) 31/2

Resolução:

2√31 = √3

 

b) 42/3

Resolução:

3√42

 

c) 2343/4

Resolução:

4√2433

 

d) 325/7

Resolução:

7√325

 

e) 1753/8

Resolução:

3√(175)8

 

ATIVIDADE 3 – NA PRÁTICA...POTÊNCIAS E RAÍZES.

 

3.1 Carlos ligou ao zelador do seu prédio para saber as medidas do quarto principal, a fim de comprar piso para reforma. O zelador informou que, na última reforma, compraram 17m2 de piso e havia sobrado 1m2. Ficou sabendo também que a medida da largura e do comprimento do quarto eram iguais. Com essas informações, será possível Carlos encontrar as medidas do quarto principal? Quais foram as medidas encontradas por Carlos?

 Faça a representação geométrica do quarto principal.

Resolução:

Quantidade de piso comprada = 17 m².

Sobra de piso = 1 m²

A área do quarto encontrada por Carlos foi: 17 – 1 = 16 m².

Representação geométrica do quarto: Quadrado de lado 4 m.

 

3.2 Um professor decidiu apresentar um desafio sobre potência e radical aos estudantes. Foram escolhidos dois estudantes para participarem. Ao primeiro, foi apresentado a seguinte potência: 1252/6, e para o segundo foi apresentado o seguinte radical: 6√2012. Quais soluções devem ser apresentadas? Explique a forma como você efetuou os cálculos.

Resolução:

1252/6 = 6√1252 = 6√125 . 125

Fatorando, temos: 6√125 . 125 = 6√53 . 53 =  6√56 = 5

Segundo estudante.

6√2012 = 2012/6 = 202 = 20 . 20 = 400

 

3.3 Ao analisar a igualdade entre uma radiciação e uma potenciação, um estudante concluiu que 3√26 = 22. Ao apresentar a análise feita, um colega afirmou que o resultado não estava correto. Quem tinha razão? Comente como chegou à essa conclusão.

Resolução:

Para provar que este estudante está correto podemos fazer 3√26 = 26/3 = 22

Logo, a análise feita pelo estudante está correta.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 – COMBINAÇÕES PERFEITAS

 

Objetivo: reconhecer e aplicar o princípio multiplicativo da contagem. Conversa inicial: apresente algumas situações em a partir de um esquema, possam perceber que a contagem é processo que utiliza-se diariamente, e tratando-se de escolhas, é possível calcular a quantidade de opções que temos, quando por exemplo, temos que escolher um sorvete com três sabores diferentes, considerando que posso escolher entre 5 sabores. Observe como os estudantes resolvem essa situação, se por esquema ou diretamente pela contagem. Socialize as resoluções e então, formalize o diagrama de árvores e o princípio da contagem. Resolução:

 

1.1 Ana foi a uma loja e comprou três blusas (rosa, branca, azul) e duas saias (preta e verde). Com as peças de roupas compradas, Ana fez todas as combinações possíveis e as registrou de duas maneiras diferentes, conforme mostrado a seguir. (no caderno do aluno) Quantas combinações de roupas Ana conseguiu formar? Será que existe uma outra maneira diferente das que foram apresentadas, para saber a quantidade de combinações?

Resolução:

Primeiro Esquema

Saia Preta:

Blusa branca - Blusa azul - Blusa rosa

Blusa branca - Blusa azul - Blusa rosa

Segundo Esquema

(saia preta, blusa branca) - (saia preta, blusa azul) - (saia preta, blusa rosa)

(saia verde, blusa branca) - (saia verde, blusa azul) - (saia verde, blusa rosa)}.

Observação: Verifique junto aos estudantes a quantidade de 6 combinações e outras possíveis maneiras de representá-las.

 

1.2 Mariana é manicure e maquiadora. Uma cliente foi até seu salão e levou consigo 5 cores de esmalte e 6 cores de batom para decidir, com Mariana, qual a melhor combinação entre os esmaltes e as cores de batom. De quantas diferentes Mariana pode maneiras combinar as cores para atender sua cliente?

Resolução:

Pelo princípio multiplicativo é possível multiplicar número de cores de esmalte pelo número de cores de batom, conforme o esquema a seguir:

Escolha de uma cor de esmalte (5) multiplicado escolha de uma cor de batom (5) = igual ao número de possibilidades.

5 . 6 = 30. Resposta: 30 possibilidades

 

1.3 Jorge está saindo de férias e decidiu visitar um amigo que mora no alto das montanhas. Ao traçar o percurso de sua viagem, viu que seria possível escolher três estradas (1, 2 e 3) distintas para chegar até a casa do amigo. De quantos modos diferentes Jorge poderá fazer sua viagem de ida e volta?

[FIGURA]

Resolução:

Se Jorge optar por ir pela estrada 1, ele poderá voltar pelas estradas 1, 2, ou 3, o que lhe fornece 3 modos diferentes de fazer o percurso de ida e volta, indicados por (1,1), (1,2) ou (1,3). Se Jorge optar por ir pela estrada 2, ele poderá voltar pelas estradas 1, 2, ou 3, o que lhe fornece outros 3 modos diferentes de fazer o percurso de ida e volta, indicados por (2,1), (2,2) ou (2,3).

Se Jorge optar por ir pela estrada 3, ele poderá voltar pelas estradas 1, 2, ou 3, o que lhe fornece outros 3 modos diferentes de fazer o percurso de ida e volta, indicados por (3,1), (3,2) ou (3,3).

Logo, Jorge terá 9 modos diferentes de fazer o percurso de ida e volta de sua viagem, que pelo princípio multiplicativo de contagem pode ser indicado por 3 x 3 = 9.

 

1.4 Marcos é representante de sala e na sua escola haverá um campeonato interclasses. Ele se reuniu com sua turma para decidirem as cores das listras da bandeira a ser colocada nas camisetas que serão utilizadas por eles durante os jogos. Ficou decidido pela turma que as cores das listras da bandeira seriam amarela, verde, branca e vermelha, não necessariamente nessa ordem. Então Marcos fez o desenho apenas para ilustrar uma possível opção. Sabendo que a bandeira terá 4 listras pintadas de cores diferentes, de quantas maneiras essa turma poderá colorir a bandeira?

Resolução:

Considerando as cores amarelo, verde, branco e vermelho, temos as seguintes opções:

Posição da Faixa        Opções de Cores

Primeira Posição       4 opções

Segunda Posição        3 opções

Terceira Posição        2 opções

Quarta Posição          4 opções

Primeira Posição       1 opções

Pelo princípio multiplicativo temos 4 x 3 x 2 x 1 = 24 bandeiras diferentes.

 

Ana, Maria e Letícia foram tomar um lanche após a aula. No caminho resolveram comer pastel. Ao chegarem à pastelaria viram que tinham duas opções de massa: tradicional ou sem glúten. Como recheio poderiam optar por: calabresa, carne ou queijo, e para beber poderiam pedir: suco ou caldo de cana. Ana ficou em dúvida, não sabia o que pedir, pois teria que fazer algumas combinações. Construindo a árvore de possibilidades, ajude Ana a descobrir todas as possibilidades de fazer seu pedido.

Resolução:

[FIGURA]

Construindo a árvore de possibilidades verificamos que Ana tem 2 . 3 . 2 = 12 possibilidades de fazer seu pedido.

 

2. Com a resolução do Conselho Nacional de trânsito (Contran), as mudanças das placas modelo Mercosul no Brasil, já começaram a ser implementadas em alguns estados. As placas padrão Mercosul, serão formadas por três letras, um número, uma letra e dois números, nessa ordem. Considerando esses dados, quantos automóveis serão possíveis emplacar com esse novo modelo?

Resolução:

O alfabeto e composto por 26 letras e temos 10 algarismos no sistema de numeração decimal, portanto:

Letra  x   Letra  x  Letra  x  Número  x   Letra  x  Número  x   Número

   26            26          26           10                26            10               10 = 456.976.000

Portanto, 456.976.000 formas diferentes de emplacamento.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

 

Para iniciar o trabalho com este assunto, sugere-se explorar os conhecimentos que os estudantes possivelmente trazem de anos anteriores. Procure investigar se eles têm noção do que é porcentagem, se conhecem sua escrita representativa.

Textos extraídos de pesquisas feitas pelo IBGE, encartes de lojas, anúncios de liquidação de produtos, entre outros podem ajudar nesta conversa inicial.

A investigação sobre fração é relevante para que se possa ter noção do nível de conhecimento dos estudantes. Para isso, pode-se fazer uso de perguntas do tipo:

▪ O que significa dizer que o corpo humano é de 70 a 75 por cento formado por água?

▪ O que significa dizer que 30 por cento das pessoas fazem compras pela internet?

Para perguntas como essas espera-se que os estudantes respondam que mais da metade do corpo humano é composto por água e que menos da metade das pessoas consultadas compram pela internet. Conversar com os estudantes o que significa 100% e sua relação com o inteiro.

A expressão “por cento” é muito comum na vida cotidiana, em notícias de jornais, revistas, promoções em supermercados e lojas, nas faturas de cartões de crédito, enfim, em quase tudo que esteja relacionado a movimentações financeiras e está presente também na divulgação dos resultados de pesquisas realizadas pelos institutos. Assim, podemos encontrar essa expressão representada de diferentes formas, entre elas representação percentual (%), centesimal e decimal.

 

ATIVIDADE 1 – A PORCENTAGEM NO COTIDIANO

A porcentagem pode ser definida como uma proporção de uma quantidade ou grandeza em relação a outra calculada em relação ao número 100 (por cem) e representada pelo símbolo %, escrevemos 100%, cem por cento.

 

1.1 O número de pessoas que ficam online pelo menos uma vez ao dia é crescente. Considere que 64,7% da população de um determinado país têm acesso à internet. Escreva esse número em forma de razão centesimal.

Resolução:

Como a porcentagem é uma razão de denominador 100, então: 64,7% = 64,7/100

 

1.2 Considerando que 64,7% da população desse país tenha acesso à internet e que a população total é de 145 milhões de habitantes, quantos habitantes não têm acesso à internet?

Resolução:

64,7% = 64,7/100 de 145.000.000 = 93.815.000

Se 93.815.000 dos habitantes tem acesso à internet, então 145.000.000 - 93.815.000 resulta em 51.185.000 habitantes que não tem acesso a internet.

 

1.3 O gerente de uma rede de lojas decidiu colocar produtos à venda com descontos. Uma televisão que custa R$ 1.400,00 foi oferecida com um desconto de 35% para pagamento à vista e 25%, para pagamento a prazo. Qual será o valor pago nesta televisão se o pagamento for à vista? E se for a prazo?

Resolução:

Pagamento à vista: desconto de 35% e o valor da TV é R$ 1.400,00, então o valor do desconto é:

35% de 1.400 = 35/100 de 1.400 = 35 × 1.400/100 = 490

Portanto o valor a ser pago à vista será: 1.400 – 490 = R$ 910,00

Pagamento a prazo: desconto de 25% e o valor da TV é R$ 1.400,00, então o valor do desconto será:

25% 𝑑𝑒 1.400 =25/100 𝑑𝑒 1.400 = 25 × 1.400/100 = 350

Portanto o valor a ser pago a prazo será de: 1.400 – 350 = R$ 1.050,00

 

1.4 Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o uso das redes sociais e o relacionamento com amigos. A pesquisa foi realizada com estudantes entre 13 e 17 anos. As seguintes perguntas foram respondidas pelos estudantes:

  • Você prefere ter amigos virtuais?
  • Você considera importante ter amigos presenciais?

Após a pesquisa os seguintes dados, foram obtidos e organizados em uma tabela:

 [FIGURA]

Sabendo que para a coleta dos dados apresentados foram entrevistados 600 estudantes. Determine a porcentagem de estudantes que responderam a cada um dos itens e a porcentagem daqueles que não opinaram.

Resolução:

Para calcular o percentual de respostas dadas a cada um dos itens apresentados é preciso determinar a quantidade de estudantes que responderam a cada um dos itens. Então:

Estudantes que preferem ter amigos virtuais.

Como os estudantes foram distribuídos em 5 faixas etárias, vamos somar o número que responderam a este item. Sendo assim, temos:

Prefere amigos virtuais: 20 + 25 + 30 + 42 + 45 = 162

De posse desse resultado é possível determinar o percentual de estudantes que responderam ao item 1. Lembrando que o total de entrevistados foi de 600, ficamos com:

162 × 100/600 = 27%

Estudantes que não opinaram.

Como os estudantes foram distribuídos em 5 faixas, vamos somar o número de alunos que não responderam aos itens. Sendo assim, temos:

Estudantes que não opinaram: 14 + 20 + 19 + 28 + 27 = 108

De posse desse resultado é possível determinar o percentual de alunos que não responderam aos itens. Lembrando que o total de entrevistados foi 600, ficamos com:

108 × 100/600 = 18%

Estudantes que preferem amigos presenciais.

Como os estudantes foram distribuídos em 5 faixas, vamos somar o número que respondeu a este item. Sendo assim, temos:

Estudantes que preferem amigos presenciais: 79 + 74 + 66 + 58 + 53 = 330

Resultado é possível determinar o percentual de estudantes que responderem ao item 3. Lembrando que o total entrevistado foi 600, ficamos com:

330 × 100/600 = 55%

Pode -se também sugerir por meio da diferença entre 100% e a soma dos percentuais dos primeiros itens: 100% - (27% + 18%) = 55%

Resposta: os percentuais de estudantes que responderam a cada um dos itens são 27%, e 55% e 18% não opinaram.

 

1.5 Com base na quantidade de respostas dadas pelos estudantes de acordo com a idade, escreva um texto analisando os resultados da pesquisa.

Resolução:

Resposta pessoal. Socialize alguns textos, observe se no texto estão apresentados os resultados de forma clara ao divulgar o resultado. Se as informações são suficientes ou se colocam muita informação, confundindo o entendimento.

Para as atividades de porcentagem, como razão de denominador 100, algumas atividades sugeridas podem ser de representar na forma de fração, representá-la em decimal ou porcentagem (carões). Pode-se usar atividades de pareamento ou completar tabela, pintar da mesma cor a porcentagem e a fração ou o número decimal.

A atividade proposta usando textos ou encartes podem ser desenvolvidas com pequenas adaptações, por exemplo, o texto pode ser o mesmo distribuído para os demais alunos, sugere-se apenas o cuidado, caso julgue necessário, de aumentar a fonte e deixá-la com espaço maior entre as linhas, esse cuidado facilita ao aluno que não é alfabetizado encontrar os números e os símbolos no texto. Se optarem pela sugestão, pode solicitar ao estudante que circule no texto os números representados em porcentagem.

Tabulação da pesquisa

13 anos

Idade do(a) estudante Itens:  20

Pesquisados: 14

Quantidade de Estudantes: 79

13 anos

Idade do(a) estudante Itens: 25

Pesquisados: 20

Quantidade de Estudantes: 74

14 anos

Idade do(a) estudante Itens: 30

Pesquisados: 19

Quantidade de Estudantes: 66

15 anos

Idade do(a) estudante Itens: 42

Pesquisados: 28

Quantidade de Estudantes: 58

16 anos

Idade do(a) estudante Itens: 45

Pesquisados: 27

Quantidade de Estudantes: 53

Sabendo que para a coleta dos dados apresentados foram entrevistados 600 estudantes. Determine a porcentagem de estudantes que responderam a cada um dos itens e a porcentagem daqueles que não opinaram.

Resolução:

Para calcular o percentual de respostas dadas a cada um dos itens apresentados é preciso determinar a quantidade de estudantes que responderam a cada um dos itens. Então:

Estudantes que preferem ter amigos virtuais.

Como os estudantes foram distribuídos em 5 faixas etárias, vamos somar o número que responderam a este item. Sendo assim, temos:

Prefere amigos virtuais: 20 + 25 + 30 + 42 + 45 = 162

De posse desse resultado é possível determinar o percentual de estudantes que responderam ao item 1. Lembrando que o total de entrevistados foi de 600, ficamos com: 162 . 100/600 = 27%

Estudantes que não opinaram.

Como os estudantes foram distribuídos em 5 faixas, vamos somar o número de alunos que não responderam aos itens. Sendo assim, temos:

Estudantes que não opinaram: 14 + 20 + 19 + 28 + 27 = 108

De posse desse resultado é possível determinar o percentual de alunos que não responderam aos itens. Lembrando que o total de entrevistados foi 600, ficamos com: 108 . 100/600 = 18%

Estudantes que preferem amigos presenciais.

Como os estudantes foram distribuídos em 5 faixas, vamos somar o número que respondeu a este item. Sendo assim, temos:

Estudantes que preferem amigos presenciais: 79 + 74 + 66 + 58 + 53 = 330

Resultado é possível determinar o percentual de estudantes que responderem ao item 3. Lembrando que o total entrevistado foi 600, ficamos com: 330 × 100/600 = 55%

Pode -se também sugerir por meio da diferença entre 100% e a soma dos percentuais dos primeiros itens: 100% - (27% + 18%) = 55%

Logo, os percentuais de estudantes que responderam a cada um dos itens são 27%, e 55% e 18% não opinaram.

 

1.5 Com base na quantidade de respostas dadas pelos estudantes de acordo com a idade, escreva um texto analisando os resultados da pesquisa.

Resolução:

Resposta pessoal. Socialize alguns textos, observe se no texto estão apresentados os resultados de forma clara ao divulgar o resultado. Se as informações são suficientes ou se colocam muita informação, confundindo o entendimento.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

 

Conversa com o(a) professor(a)

Organize uma roda de conversa sobre os diferentes tipos de polígonos que conhecem, quais são os elementos que os constituem e se é possível que eles

sejam construídos com o uso dos instrumentos que lhes foram apresentados. Você pode fazer os seguintes questionamentos:

▪ O que vocês entendem por ponto médio?

▪ Qual é o seu entendimento sobre o termo segmento?

▪ Que recursos você usaria para representar o ponto médio de um segmento de 9 cm?

Neste momento, pode-se deixar os estudantes discutirem sobre os questionamentos feitos, no entanto, procure estar atento aos apontamentos feitos entre eles durante as discussões.

Veja se recorrem ao uso de régua, se tentam traçar linhas nos cadernos ou em qualquer outro local propício para registros. Durante esta movimentação circule pela sala e faça as intervenções necessárias.

 

ATIVIDADE 1 – A CONSTRUÇÃO DA MEDIATRIZ

 

A mediatriz de um segmento é o conjunto dos pontos que equidista das extremidades do segmento. Isso significa que, se você pudesse marcar todos os pontos que são equidistantes dos pontos A e B, eles formariam um conjunto: a mediatriz

A reta que une todos os pontos equidistantes dos pontos A e B é a mediatriz do segmento AB.

A partir disso, veja como é possível construir a mediatriz utilizando régua e compasso.

Resolução:

A reta que une todos os pontos equidistantes dos pontos A e B é a mediatriz do segmento CD.

1º Passo: construa um segmento AB

2º Passo: com a ponta seca do compasso centrada em A e a abertura maior que a metade do segmento AB, trace um arco em cima e outro embaixo do segmento AB.

3º Passo: com a ponta seca do compasso centrada em B e a mesma abertura anterior, trace um arco em cima e outro embaixo do segmento AB. Na intersecção dos arcos anteriores ficam definidos os pontos C e D.

4º Passo: trace a reta r que passa pelos pontos C e D.

Logo, a reta r é a mediatriz do segmento AB.

ATIVIDADE 2 – A BISSETRIZ

 

Por definição, bissetriz de um ângulo é a semirreta que tem origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.

 

2.1. Construção da bissetriz de um ângulo C’ÂB’.

Resolução:

1º Passo: trace um segmento AC’

2º Passo: coloque a ponta seca do compasso no ponto A e com uma abertura qualquer, trace um arco que corte o segmento AC’. Definindo o ponto B’ (B’ está contido no segmento AC’).

3º Passo: com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso no ponto B’, trace um arco que corte o arcoanterior. Definindo o ponto C’.

4º Passo: trace a semirreta que passa pelos pontos A e C’. Definindo assim o lado OB’ do ângulo B’ÂC’.

5º Passo: coloque a ponta seca do compasso no ponto C, com uma abertura qualquer, trace um arco.

6º Passo: com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso em C1, trace um arco, marcando o ponto D.

7º Passo: Trace a semirreta OD. Essa semirreta é a bissetriz do ângulo      BÔA.

2.2 Construa um segmento AB e trace a mediatriz desse segmento. Encontre N o ponto médio do segmento AB, trace a mediatriz do segmento AN e a mediatriz do segmento NB. Registre os procedimentos da construção.

Resolução:

 

2.3 Construa a bissetriz dos ângulos de 90º, 60º, 45º e 30º usando o algoritmo passo a passo.

 

Construção do ângulo de 90°

Resolução:

1º Passo: Trace o segmento OB.

2º Passo: Com centro em O e abertura qualquer, trace um arco que corte o segmento OB, assim teremos o ponto B1.

3º Passo: Com centro em B1 e mesma abertura trace um novo arco, assim teremos o ponto C.

4º Passo: Com centro em C e mesma abertura trace um novo arco, assim teremos o ponto D, e ainda com centro em D trace outro arco. 5º Passo: Com centro em C trace um novo arco, interseccionando o anterior, assim teremos o ponto A1.

6º Passo: Trace uma semirreta que passe pelos pontos O e A1. Desta forma, teremos um ângulo reto e consequentemente o ponto A2.

 

Construção da bissetriz do ângulo de 90°

Resolução:

1º Passo: Com centro em A2 e mesma abertura trace um novo arco.

2º Passo: Com centro em B e mesma abertura trace um arco interseccionando o anterior, assim teremos A3.

3º Passo: Trace uma semirreta que passe pelos pontos O e A3. Desta forma, teremos a semirreta OA3, que é a bissetriz procurada.

 

Construção do ângulo de 60°

Resolução:

1º Passo: Trace o segmento OB.

2º Passo: Com centro em O e abertura qualquer, trace um arco que corte o segmento OB, assim teremos o ponto B1.

3º Passo: Com centro em B1 e mesma abertura, trace um novo arco.

4º Passo: Com centro em O e mesma abertura trace um novo arco interseccionando o arco anterior, assim teremos o ponto C.

5º Passo: Trace uma semirreta passando pelos pontos O e C, construindo assim um ângulo de 60º.

 

Construção da bissetriz do ângulo de 60°

Resolução:

1º Passo: Com centro em C e mesma abertura, trace um novo arco.

2º Passo: Com ponta seca em B1, trace um outro arco interseccionando o arco anterior, assim teremos o ponto D.

3º Passo: Trace uma semirreta que passe pelos pontos O e D. Esta é a bissetriz procurada.

 

Construção do ângulo de 45°

Resolução:

1º Passo: Trace o segmento OB.

2º Passo: Com centro em O e abertura qualquer, trace um arco que corte o segmento OB, assim teremos o ponto B1.

3º Passo: Com centro em B1 e mesma abertura, trace um novo arco, assim teremos o ponto C.

4º Passo: Com centro em C e mesma abertura, trace um novo arco, assim teremos o ponto D, e ainda com centro em D trace outro arco. 5º Passo: Com centro em C trace um novo arco, interseccionando o anterior, assim teremos o ponto E. 6º Passo: Trace uma semirreta que passe pelos pontos O e E. Desta forma, teremos um ângulo reto e consequentemente o ponto F. 7º Passo: Com centro em F e mesma abertura trace um novo arco.

8º Passo: Com centro em B1 e mesma abertura, trace um arco interseccionando o anterior, assim teremos G.

9º Passo: Trace uma semirreta que passe pelos pontos O e G. Desta forma, teremos o ângulo de 45º e consequentemente o ponto H.

 

Construção da bissetriz do ângulo de 45°

Resolução:

1º Passo: Com centro em H e mesma abertura trace um novo arco.

2º Passo: Com centro em B1 e mesma abertura trace um arco interseccionando o anterior, assim teremos o ponto I.

3º Passo: Trace uma semirreta que passe pelos pontos O e I. Desta forma, teremos a semirreta OI, que é a bissetriz procurada.

 

Construção do ângulo de 30°

Resolução:

1º Passo: Trace o segmento OB.

2º Passo: Com centro em O e abertura qualquer, trace um arco que corte o segmento OB, assim teremos o ponto B1.

3º Passo: Com centro em B1 e mesma abertura, trace um novo arco.

4º Passo: Com centro em O e mesma abertura, trace um novo arco interseccionando o arco anterior, assim teremos o ponto C.

5º Passo: Trace uma semirreta passando pelos pontos O e C, construindo assim um ângulo de 60º.

6º Passo: Com centro em C e mesma abertura trace um novo arco.

7º Passo: Com ponta seca em B1, trace um outro arco interseccionando o arco anterior, assim teremos o ponto D.

8º Passo: Trace uma semirreta que passe pelos pontos O e D. Desta forma, teremos o ângulo de 30º e consequentemente o ponto E.

 

Construção da bissetriz do ângulo de 30°

Resolução:

1º Passo: Com centro em E, com mesma abertura trace um novo arco.

2º Passo: Com ponta seca em B1, trace um outro arco interseccionando o arco anterior, assim teremos o ponto F.

3º Passo: Trace uma semirreta que passe pelos pontos O e F. Desta forma, teremos a semirreta OF, que é a bissetriz procurada.

 

O que é Fluxograma?

Fluxograma é um tipo de diagrama, e pode ser entendido como uma representação esquemática de um processo ou algoritmo, muitas vezes feito através de gráficos que ilustram de forma descomplicada a transição de informações entre os elementos que o compõem, ou seja, é a sequência operacional do desenvolvimento de um processo.

Exemplo 1

Exemplo 2

Exemplo 3

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

ATIVIDADE 1 - CONSTRUINDO POLÍGONO

 

1.1 Hexágono regular

Por definição, hexágono regular é um polígono com seis lados iguais e todos os ângulos internos congruentes (mesma medida).

Resolução:

Usando apenas régua e compasso, vamos construir um hexágono regular, conforme descrição a seguir:

1º Passo: trace um segmento OA.

2º Passo: coloque a ponta seca do compasso no ponto O e trace uma circunferência passando pelo ponto A.

3º Passo: destaque o diâmetro da circunferência passando pelos pontos A e B. Denomine as extremidades como pontos

A e B.

4º Passo: com a mesma abertura do compasso, coloque a ponta seca no ponto A e trace uma circunferência.

5º Passo: com a mesma abertura do compasso, coloque a ponta seca no ponto B e trace outra circunferência.

6º Passo: determine os pontos de intersecção entre as circunferências, nomeando-os C, D, E e F na circunferência.

7º Passo: unir os pontos com segmentos consecutivos.

Assim temos o hexágono regular ABCDEF.

 

1.2 Elabore um fluxograma para construção de um hexágono regular, a partir dos passos anteriores.

Resolução:

Construir um fluxograma.

 

1.3 Descreva os passos para construção de um hexágono regular de 3 cm de lado.

Resolução:

O estudante poderá descrever o procedimento inicial, porém no procedimento precisa indicar a medida 3cm de lado. Para abrir uma discussão sobre o assunto

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6

ATIVIDADE 1 - IDENTIFICANDO CONGRUÊNCIA ENTRE DOIS TRIÂNGULOS

 

“Figuras congruentes têm o mesmo formato e apresentam as medidas de lados e ângulos iguais”

Sugere-se a seguinte formalização:

O símbolo " ≡ " é usado para indicar congruência; A escrita “ΔABC ≡ ΔDEF” é usada para indicar que os triângulos ABC e DEF são congruentes.

A ordem em que as letras se sucedem devem seguir, rigorosamente, a ordem de suas correspondências;

O símbolo " ↔ " indica uma correspondência entre os vértices de dois triângulos, sendo escrito da seguinte forma: 𝐴𝐵 ̂ 𝐶𝐷𝐸 ̂𝐹

 

1.1 Descreva as características de um triângulo qualquer.

Resolução:

Registre na lousa as repostas dos estudantes. A partir destas respostas elabore com eles a definição de triângulos. Apresente aos estudantes os tipos de triângulos quanto à medida de seus lados e quanto à medida dos ângulos. Em seguida destaque as propriedades de cada um.

 

1.2 Construa dois triângulos de medidas 16 cm, 17cm e 18 cm. Recorte-os e sobreponha-os e escreva o que você observou.

Resolução:

1.3 Descreva os passos para construção de um hexágono regular de 3 cm de lado.

Resolução:

1 - AC ↔ RQ

     AB ↔ RP

     BC ↔ PQ

2 - AD ↔ MG

      AC ↔ MX

      DC ↔ GX

3 – BI ↔ MT̅

      BH ↔ TQ

      HI ↔ MQ

4 - IH ↔ EA

     HR ↔ AO

     IR ↔ EO

O estudante poderá descrever o procedimento inicial, porém no procedimento precisa indicar a medida 3cm de lado. Para abrir uma discussão sobre o assunto

 

1.4 Observação o Triangulo equilátero.

As marquinhas iguais representam lados congruentes, portanto os triângulos dados são congruentes pelo critério lado, lado e ladoTriangulo equilátero sã triângulos que tem todos os lado iguais

 

1.5. Qual é o caso de congruência entre os triângulos?

Resolução:

LLL

 

1.6 De que forma podemos escrever, em linguagem matemática, que os dois triângulos são congruentes?

Resolução:

AB ≡ DE

BC ≡ EF Δ𝐀𝐁𝐂 ≡ Δ𝐃𝐄𝐅

AC ≡ DF

 

ATIVIDADE 2 – OS QUADRILÁTEROS

Quadriláteros - Por definição, quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Os quadriláteros estão divididos em:

Quadriláteros Convexo - Se tomarmos quaisquer dois pontos K e L na região limitada pelo polígono, o segmento de reta que os une sempre estará inteiramente contido nessa região.

 

2.1 Quais quadriláteros que você conhece? Desenhe-os e escreva as características observadas em cada um deles

Resolução:

Resposta pessoal. Após responderem, socialize e verifique se os estudantes estão se referindo aos quadriláteros.

 

ATIVIDADE 3 –INVESTIGANDO OS QUADRILÁTEROS

 

3.1 O professor de Manu comunicou aos estudantes que a aula seria a respeito dos quadriláteros. Para isso, distribuiu a eles palitos e pediu que construíssem quadriláteros e as suas diagonais. Os alunos desenharam na tabela a seguir, os quadriláteros que construíram com os palitos. Para cada quadrilátero na tabela, indique o nome e cite as principais características

Observa figura abai e para cada uma dalas responda:

- Nome do Quadrilátero

- Características do Quadrilátero

 

 

 

 

 

Resolução:

Trapézio Retângulo

É um quadrilátero em que dois lados são paralelos.

É um quadrilátero em que dois ângulos são retos.

 

 

 

 

Resolução:

Trapézio Isósceles

É um quadrilátero em que dois lados são paralelos.

Em um trapézio isósceles, as diagonais são congruentes.

Em um trapézio isósceles os lados não paralelos são congruentes.

 

 

 

 

Resolução:

Trapézio Escaleno

É um quadrilátero

 

 

 

 

Resolução:

Paralelogramo

Um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos, ou seja, possui dois pares de lados opostos paralelos e congruentes.

As diagonais se cruzam em seus respectivos pontos médios.

Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.

Cada diagonal separa um paralelogramo em dois triângulos congruentes.

 

 

 

 

Resolução:

Retângulo

As diagonais têm a mesma medida.

As diagonais se cruzam em seus respectivos pontos médios.

Cada ângulo interno mede 90º.

Os lados opostos são paralelos entre si.

 

 

 

Resolução:

Losango

As diagonais se cruzam em seus respectivos pontos médios.

Os lados opostos são paralelos entre si.

Todos os lados têm a mesma medida.

As diagonais são perpendiculares entre si.

Resolução:

Quadrado

As diagonais têm a mesma medida.

As diagonais se cruzam em seus respectivos pontos médios.

Cada ângulo interno mede 90º.

As diagonais são perpendiculares entre si

Os lados opostos são paralelos entre si.

 Todos os lados têm mesma medida.

 

3.2 Nos quadriláteros da atividade anterior, há características comuns a todos? Quais são elas?

Resolução:

A característica comum a todos são os quatro lados.

 

3.3 Complete o diagrama organizacional a seguir:

Resolução:

Faça um fluxograma

 

3.4 A lição de geometria de Carlos tratava de um paralelogramo DEFG com diagonais que se interceptam no ponto O. Sendo a medida do segmento DO igual a 8,5 cm e a medida GO igual a 12 cm, ajude Carlos a calcular a medida das diagonais DF e GE que foram traçadas. Faça o esboço da figura.

Resolução:

- Trace as diagonais:

GO igual a 12 cm

DO igual a 8,5 cm

Pelas propriedades do paralelogramo, concluímos que DO ≡ OF, assim como, GO ≡ OE. As medidas das diagonais são calculadas abaixo:

DF = DO + OF

DF = 8,5 + 8,5

DF = 17 cm

GE = GO + O

GE = 12 + 12

GE = 24 cm

 

3.5 Otavio comprou todos os materiais necessários para a confecção de uma pipa. Cortou o papel no formato de um quadrilátero convexo com dois pares de lados consecutivos congruentes. Em seguida, colou as varetas de sustentação nas diagonais desse quadrilátero e colocou uma cauda. Desenhe a pipa que Otavio construiu. O que você pode dizer a respeito das diagonais?

Resolução:

Espera-se que o aluno, responda que a pipa possui diagonais que se interceptam no ponto médio.

 

Definições básicas de probabilidade

Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual

Cálculo da probabilidade

Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω ou U. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence.

Cálculo de probabilidades

As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis.

Exemplo 1

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número um?

Nesse exemplo, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço amostral desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6. Desse modo:

Resolução:

P = n(E)

      n(Ω)

P = 1

      6

P = 0,1666…

P = 16,6%

 

Exemplo 2

Qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado?

Resolução:

Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3.

P = n(E)

      n(Ω)

P = 3

      6

P = 0,5

P = 50%

 

Exemplos 3

Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?

Resolução:

Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento.

P(E) = n(E)

          n(U)

P(E) = 1

          2

P(E) = 0,5 = 50%

 

Exemplo 4

No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?

Resolução:

Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

P(E) = n(E)

            n(U)

P(E) = 2

            6

P(E) = 0,33... = 33,3%

 

Exemplo 5

Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado?

Resolução:

Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos.

A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer:

P(A-1) = 1 – P(E)

O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo:

P(A-1) = 1 – P(E)

P(A-1) = 1 – n(E)

                     n(U)

P(A-1) = 1 – 1

                  6

P(A-1) = 1 – 0,166..

P(A-1) = 0,8333… = 83,3%

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7

ATIVIDADE 1 – POSSÍVEIS EVENTOS – A PRESENÇA DO ALEATÓRIO

 

1.1 Em um sorteio entre 20 participantes, cada um recebeu um número, entre 1 e 20, sem repetição.

Sabendo que cada participante teve direito a um único número, escreva:

 

a) Os elementos que formam o espaço amostral desse sorteio.

Resolução:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

 

b) Os elementos que descrevem o evento: “O resultado é um número par maior que 4 e menor que 20”.

Resolução:

Sendo o evento um subconjunto do espaço amostral do sorteio, temos: E = {6, 8, 10,12, 14, 16, 18}.

 

c) O número de elementos do evento que resultem em um número primo.

Resolução:

Dentro do espaço amostral descrito, temos como números primos E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.

Então, n(E) = 8

 

d) A probabilidade de ao se sortear um número ao acaso o evento ser múltiplo de 6.

Resolução:

Espaço Amostral do sorteio:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Números múltiplos de 6 que possam sair no evento: E = {6, 12, 18}, então n(E) = 3.

Probabilidade de ocorrer o evento:

𝑃(𝐸) =𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆)

𝑃(𝐸) = 3/20 = 0,15 = 15%

 

1.2 Ao dividir ao acaso o número 60 por um de seus divisores positivos naturais, diferente de zero, qual é a chance de essa divisão ser feita por um número que seja par e múltiplo de 5? Expresse o resultado em forma de porcentagem.

Resolução:

Espaço Amostral dos divisores positivos de 60: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, sendo assim temos: n(S) = (12) elementos.

Divisor de 60 que seja par e múltiplo de 5: E= {10, 20, 30, 60), então, n(E) = 4

𝑃(𝐸) = 𝑛(𝐸)/𝑛(S)

𝑃(𝐸) = 4/12 = 1/3

= 0,3333 = 33,33%

Logo, a chance é de 33,33%.

 

1.3 Eduarda, Pedro, Iasmin e Evandro estão brincando de jogar dados. Antes de iniciarem os lançamentos, definiram algumas regras:

- Todos terão que apostar em um número de 1 a 12 pois vão brincar com dois dados;

- Ganha um ponto quem primeiro tirar nos dados o número apostado;

- O resultado será dado pela soma das faces de cima nos dados;

- Após três rodadas, ganha quem tiver o maior número de pontos.

A tabela ilustra a situação.

1 Rodada

Nome - Número apostado -  Números que saíram nos dados - Resultado

Evandro: 12  - 5 e 1 - 6

Iasmin: 9 - 1 e 4 -

Eduarda: 7 - 2 e 1 - 3

Pedro: 1 - 4 e 6 - 10

2 Rodada

Nome - Número apostado -  Números que saíram nos dados - Resultado

Evandro: 10 2 e 6 8

Iasmin: 8 - 6 e 3 - 9

Eduarda: 4 - 5 e 2 - 7

Pedro: 7 - 2 e 3 - 5

3 Rodada

Nome - Número apostado -  Números que saíram nos dados - Resultado

Evandro: 3 1 e 3 4

Iasmin: 6 - 5 e 5 - 10

Eduarda: 8 - 2 e 6 - 8

Pedro: 11 - 5 e 4 - 9

Analisando a tabela feita por eles, responda:

 

a) Quem ganhou o jogo?

Resolução:

Eduarda

 

b) Qual é a chance de Eduarda ganhar na 1ª rodada tendo escolhido o número 7?

Resolução:

O espaço amostral do experimento é:

S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.

n(S) = 36.

Os elementos do evento que daria a vitória a Eduarda na primeira rodada são E = {(1,6), (6,1), 2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}, isto é, n(E) = 6, portanto:

𝑃(𝐸) = 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆) = 6/36 = 1/6

0,166 16,6%

 

c) Ao apostar no número 1 na primeira rodada, Pedro fez uma boa aposta? Justifique.

Resolução:

Não. Considerando as condições para ser o ganhador não há nenhuma possibilidade da soma das faces de cima dos dois dados resulte em 1, pois mesmo considerando o evento E = (1,1), o resultado da soma será igual a 2. Logo, pode-se concluir que este resultado, o número apostado por Pedro, é um evento impossível.

 

1.4 Uma criança está brincando com bolinhas numeradas de 1 a 15, que estão dentro de uma caixa. Sabendo que durante a brincadeira a criança derrubou uma das bolinhas no chão, determine a probabilidade de ocorrerem os seguintes eventos:

 

a) O número da bolinha que caiu ser par.

Resolução:

O espaço amostral é S(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

Com base no espaço amostral formamos o evento de ter caído bolinha de número par.

E = {2, 4, 6, 8,10, 12, 14}, então n(E) = 7

𝑃(𝐸) = 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆)

𝑃(𝐸) = 7/15 0,466 46,6%

 

b) O número da bolinha que caiu ser primo.

Resolução:

Com base no espaço amostral formamos o evento de ter caído bolinha de número primo.

E = {2, 3, 5, 7, 11, 13}, então n(E) = 6

𝑃(𝐸) = 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆)

𝑃(𝐸) = 6/15 = 0,4 = 40%

 

c) O número da bolinha que caiu ser par e primo.

Resolução:

Bolinha de número par = {2, 4, 6, 8, 10,12,14}, isto é, 7 possibilidades entre 15, n(E)=7 Bolinha de número primo = {2, 3, 5, 7, 11,13}, isto é, 6 possibilidades entre 15, n(E) = 6

Bolinha de número par ∩ primo = {2}, isto é, 1 possibilidade entre 15, n(E) = 1 𝑃(𝐸) = 1]15 6,67%

 

d) Ter caído qualquer uma das bolinhas, independentemente do número marcado.

Resolução:

S(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

S(E) = 15

n(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

n(E) = 15

𝑃(𝐸) = 1/15 = 1 = 100%

 

1.5 Uma empresa oferece bimestralmente uma palestra a seus colaboradores. Os temas sugeridos para o 4º bimestre são: Saúde, Finanças e Investimentos, Alimentação Saudável e Recursos Hídricos.

É feita uma votação em cada setor, e o tema mais votado é escrito em um pedaço de papel.

A figura ilustra a votação dos setores.

Figura do Caderno do Aluno Volume 1

Em seguida, todos os papéis são dobrados igualmente e colocados dentro de uma caixa, para que o tema da palestra possa ser definido por meio de um sorteio. Analise as informações que foram dadas e responda:

 

a) Quantos votos recebeu cada tema? Organize-os em uma tabela.

Resolução:

Tema Quantidade de Votos

Saúde: 6

Finanças e Investimentos: 5

Alimentação Saudável: 7

Recursos Hídricos: 2

 

b) Qual é a probabilidade de cada um dos temas ser sorteado?

Resolução:

- Qual é a probabilidade de cada um dos temas ser sorteado?

Saúde = 620 = 3/10 = 30%

Finanças e Investimentos = 5/20 = 1/4 = 25%

Alimentação Saudável = 7/20 = 35%

Recursos Hídricos = 2/20 = 1/10 = 10%

 

1.6 Agora e com você! Junte-se com outros dois colegas de sua sala e formulem uma situação problema que envolva o princípio multiplicativo da contagem e o cálculo de probabilidades.

Quando a situação estiver pronta, proponha a um outro trio de colegas que discutam e resolvam o problema formulado por vocês. Ah, não se esqueçam de também resolverem o problema proposto por outra dupla. Quando tudo estiver pronto, verifiquem as respostas e discutam o raciocínio que foram traçados durante a resolução.

Resolução:

Verifique se os estudantes estão elaborando uma situação-problema de contagem que contemple o princípio multiplicativo ou cálculo de probabilidade, além de propiciar um momento de interação entre os estudantes, fazendo-os pensar, discutir, argumentar sobre suas propostas e seus raciocínios empregados na elaboração e resolução da atividade.

 

Caderno do Aluno Volume 2

  Observação: As questões a seguir são questões do Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020. Portanto, para que você compreenda toas as resoluções o “ideal” é você ter em mãos o Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020.

“Caderno do Aluno Volume 2 Ano 2020 é um material da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo”

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

ATIVIDADE 1 – AS DESCOBERTAS DA BASE 10

1.1 Analise os números que estão dispostos no quadro. Verifique se é possível escrever uma regra que permita completar o quadro, considerando as relações entre os números. Complete as colunas coloridas

Resolução:

Espera-se que os estudantes observem que as potências de 10, cujo expoente é um número inteiro negativo, são números menores do que as potências de 10 cujo expoente é um inteiro positivo.

Explore como os números são escritos a partir dos expoentes inteiros negativos ou positivos.

Potência de 10 com expoente inteiro positivo: escreve-se o 1 seguido de tantos zeros conforme indicado no expoente: 104 = 10 000 , número 1 seguido de 4 zeros.

Potência de 10 com expoente inteiro negativo: escreve-se o zero e a vírgula, na parte decimal acrescenta-se as casas decimais conforme indicado no expoente:

10−4 =0,0001 , isto é 4 casas decimais.

 

ATIVIDADE 2 – COMPREENDENDO OS NÚMEROS GRANDES

2.1 Você teve dificuldade para realizar a leitura do parágrafo anterior? Como você poderia reescrevê-lo de uma forma diferente?

Resolução:

Os estudantes, ao reescreverem o texto, devem pensar em uma forma que considerem mais de simples leitura, conforme o que sabem sobre o assunto:

Sugestão de escrita:

Números

Arredondar e escrever por extenso

Arredondar para a classe mais próxima

12.756.000 m

12,7 milhões m

13 milhões m

510.072.000 km²

510,1 milhões km²

510 milhões km²

5.973.600.000.000.000.000.000.000kg

5,9 septilhões kg

6 septilhões kg

7.722.522.000 habitantes

7,7 bilhões habitantes

8 bilhões de habitantes

1.350.000.000.000.000.000 toneladas

1,3 quintilhão de toneladas

1 quintilhão de toneladas

1/4400

0,00022727

2,3 . 10−4

361.800.000 km².

361,8 milhões km²

362 milhões km²

Podem aparecer outras escritas. Assim, compartilhe com a turma, discuta sobre outras formas de escrever e a funcionalidade ao expressar um número muito grande. Em geral, é comum arredondar esses números e escrever por extenso a sua classe.

 

2.2 Professor, nesta atividade, você pode discutir com os estudantes as escritas dos números muito grandes ou muito pequenos, apresentando a notação científica e a sua estrutura para escrever esses números.

Resolução:

Em seguida, organize-os em duplas para resolver as atividades e circule pela sala para auxiliar os estudantes com dificuldades na compreensão dos conceitos.

 

2.3 Reescreva o primeiro parágrafo do texto “Números que impressionam” e os números que aparecem na forma de notação científica.

Resolução:

Na reescrita do parágrafo, incentive-os a escrever os números em notação científica. Apresentamos duas formas de fazê-lo, inclusive considerando arredondar os números.

Números

Notação científica

Notação científica (considerando arredondamentos)

12.756.000 m

1,2756 . 107 m

1,3 . 107 m

510.072.000 km²

5,10072 .108 km²

5,1 .108 km²

5.973.600.000.000.000.000.000.000kg

5,9736 . 1024 kg

6,0 . 1024 kg

7.722.522.000 habitantes

7,722522 . 109 habitantes

7,8 . 109 habitantes

1.350.000.000.000.000.000 toneladas

1,35 .1018 toneladas

1,3 .1018 toneladas

1/4 400

2,2727 . 10−4

2,3 . 10−4

361.800.000 km².

3,618 . 10 km²

3,6 . 108 km²

 

2.4 Escreva de duas formas diferentes os números a seguir.

 

a)000.000.000 = 4 . 1010 ou 40 . 109

 

b) 0,02 = 2 . 10-2 ou 0,2 .10−1 dois centésimos.

 

c)000.000 = 1,05 . 108 ou 105 .106

 

d) 0,000 000 007 = 7 . 10-9 ou 0,7 . 10−8

 

e) 456.983 =4,56983 . 105 ou 457 000 (arredondando para a classe de milhar)

 

f) 0,000 000 673 = 6,73 . 10-7 ou 673 . 10−6

Existem outras possibilidades, inclusive é possível que apareça a escrita por extenso.

 

2.5 Compare os números abaixo utilizando os sinais menor que “<” ou maior que “>”. Em seguida, explique como você decidiu a escolha dos sinais.

 

a) 10-7 < 10-3

 

b) 2 . 10-4 < 2 .10-3

 

c) 5,3 . 102 > 1,8 .10-3

 

d) 0,003 . 102 < 3 . 10

 

ATIVIDADE 3 – TRABALHANDO COM NÚMEROS GRANDES E PEQUENOS

Conversa inicial: Para abordar este tema, sugere-se que seja promovida uma interação para diagnosticar o que os estudantes sabem sobre a resolução de imagens em celulares, câmeras fotográficas, televisão, tela de notebooks, impressoras etc. Após esta interação, sugere-se que seja destacado que a imagem digital é formada pela incidência da luz sobre um sensor, que possui um filtro colorido permitindo a identificação das três cores básicas: vermelho, verde e azul. A tela é um retângulo e os pixels contidos nela estão organizados em colunas e linhas. Para conhecer a quantidade de pixels, multiplica-se o número de pixels da linha pelo número de pixels da coluna.

 

3.1 Cláudia quer comprar uma câmera fotográfica. Ao pesquisar em sites de compras, encontrou vários modelos e anotou-os com as respectivas resoluções, conforme a seguir:

 

Modelo                       Resolução da câmera

Modelo AX                1 334 . 750 pixels

Modelo KYK             1 920 . 1 080 pixels

Modelo Super K         2 436 . 1 125 pixels

Escreva em seu caderno qual é a quantidade de pixels existente na câmera de cada um dos modelos. Para comparar os resultados, escreva-os em notação científica. Qual modelo possui a melhor resolução? Justifique.

Resolução da camera

Número de pixels

Notação científica do número de pixels

1 334 . 750 pixels

1 000 500 pixels

1,0005 . 106 pixels

1 920 . 1 080 pixels

2 073 600 pixels

2,0736 . 106 pixels

2 436 . 1 125 pixels

2 740 500 pixels

2,7405 . 106 pixels

 

3.2 Há diversos tipos de resolução para telas, entre as tantas existentes no mercado podemos citar: HD, Full HD, Ultra HD etc. Sabendo que a resolução de uma tela está relacionada com o número de pixels contidos nela, João quer um monitor grande e de excelente resolução. Para isso, pesquisou na internet os modelos disponíveis no mercado. Após a pesquisa, anotou os modelos e as respectivas resoluções, conforme seguir.

HD: 1 280 x 720 pixels

Full HD: 1 920 x 1 080 pixels

2K: 2 048 x 1 080 pixels

4K ou Ultra HD: 3 840 x 2 160 pixels

8K: 7 680 x 4320 pixels

10K: 10 240 x 4 320 pixels

Compare todos os modelos. Qual modelo atende à necessidade de João? Argumente porque esse modelo seria o ideal. Ao realizar os cálculos, escreva-os em notação científica.

Resolução:

10K: 10 240 . 4 320 pixels, ou 44 236 800 pixels, ou aproximadamente 4,4 . 107 𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙𝑠. Esse modelo é o ideal porque possui a maior quantidade de pixels.

 

ATIVIDADE 4 – COMO PODEMOS TOCAR O SOL

4.1 A atmosfera solar é alvo de muitos estudos. Por este motivo um laboratório apresentou um projeto que traz um grande desafio: será possível “tocar” o Sol? E quem sabe, desvendar os mistérios que intrigam há décadas a ciência? Nessa busca, os cientistas iniciaram os estudos para desenvolver um aparelho que seja capaz de gravitar a 6,4 milhões de quilômetros do Sol, e que suporte ser exposto a temperaturas superiores a 1,3 mil graus Celsius. O orçamento foi calculado em R$ 4,8 bilhões, caso o projeto seja colocado em prática no futuro. Considerando que esse estudo é uma possibilidade futura e com base nos dados apresentados no texto acima, escreva utilizando todos os algarismos a temperatura, a distância e o valor do orçamento.

Resolução:

Temperatura: 1,3 mil graus Celsius = 1 300°C.

Distância 6,4 milhões de km = 6 400 000 km.

Orçamento R$ 4,8 bilhões = R$ 4 800 000 000.

 

4.2 Os cientistas que receberam o desafio de desenvolver o projeto de criação do aparelho que seja capaz de orbitar a Esfera Solar, estimam que o raio do Sol mede aproximadamente 695.700 km. Ajude estes cientistas a calcularem o tamanho do diâmetro do Sol. Apresente o resultado na forma de notação científica. Explique como você chegou a esse resultado.

Resolução:

Sendo D = 2 . r,

temos D = 2 . 695 700.

Logo, D = 1 391 400 km.

Em notação científica, o número

1 391 400 é da ordem de

1 000 000, isto é, 106.

Então: 1 391 400 = 1,391400 . 106.

Logo: 1 391 400 = 1,3914 . 106 km.

Ou, arredondando esse número: 1,4 . 106 km.

 

4.3 Pesquise e escreva as medidas de duas formas diferentes:

Resolução:

Distância de um ano-luz = 9,5 trilhões de quilômetros aproximadamente,

9 500 000 000 000 = 9,5 x 1012 km.

Velocidade da luz = 3,0 x 105 km/s aproximadamente,

300 000 km/s

 

ATIVIDADE 5: AS OPERAÇÕES E A NOTAÇÃO CIENTÍFICA

5.1 Aplicando as propriedades, resolva as expressões a seguir:

 

a) 56,7 . 10-3 + 0,01 . 103 = 0,0567 + 10 = 10,0567

 

b) 15 200 . 102 – 6,4 . 104 = 152 . 104 – 6,4 . 104 = 145,6 . 104 = 1,456 . 106

 

c) 7,86 . 1012 + 3,54 . 1017 = 0,0000786 . 1017 + 3,54 . 1017 = (0,0000786 + 3,54) (1017) = 3,5400786 . 1017

 

d) 3,5 . 107 . 4,3 . 10-5 = (3,5 . 4,3) . (107x10-5) = 15,05 . 102

 

e) 9,3 . 10-6 : 3,1 . 10-3 = 3 . 10-3

Escolha estudantes para resolverem alguns itens e os comente para retomar algumas propriedades.

 

ATIVIDADE 6 – PARA PRATICAR 1

6.1 O uso das potências na escrita em notação científica é muito comum em textos científicos, como nos exemplos a seguir:

230 000 = 2,3 .105

0,00000045 = 4,5 .10−7

1 978 000 000 = 1,978 .109

0,00457 = 4,57 .10−3

Resolução:

Compare as igualdades. Qual é a diferença entre a escrita dos resultados?

Observa-se que, para escrever um número em notação científica, temos um produto em que um dos fatores é um número maior ou igual a 1 e menor que 10, e o outro é uma potência de 10 em que o expoente é um número inteiro.

 

6.2 Complete as colunas com a escrita utilizando todos os algarismos.

Notação científica

4,22 .10−1 = 42,2

9,8 .106 = 9 800 000

2,349 .10 = 23,49

4,5.10−3 = 0,0045

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 - CADA NÚMERO NO SEU LUGAR

1.1 Em dupla, completem a reta numérica a seguir, considerando cada intervalo igual a 0,1.

Resolução:

-1,0, -0,9, -0,8, -0,7, -06, 0,5, -04, -03, -02, -01. 0, 0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9, 1

 

1.2 Represente os números escritos anteriormente por vocês em sua forma fracionária na reta numérica. Explique como você fez para escrever esses números.

Resolução:

11/10, -9/10, -8/10, -7/10, -6/10, -5/10, -4/10, -3/10, -2/10, 1/10, 0, 1/10, 2/10, 3/10, 4/10, 5/10, 6/10, 7/10, 9/10, 10/10

Uma possível explicação seria converter cada número decimal em fração, usando a propriedade de potenciação, assim 0,1 = 1 . 10−1 = 10−1 = 110.

 

1.3 Considere as frações escritas no item 1.2. Se possível, escreva-as com denominador 5 e represente-as na reta numérica.

Resolução:

-5/5, -9/10-, -4/5, -7/10, -3/5, -5/10, -2/5, -1/5, -1/10, 0, 1/10, 1/5, 2/10, 5/10, 2/5, 7/10, 4/5. 9/10, 5/5

Discuta com os estudantes quais foram possíveis escrever com denominador 5. Socialize como encontraram essas frações equivalentes.

 

1.4 Das frações escritas no item 1.3, quais são irredutíveis? Justifique.

Resolução:

As frações irredutíveis são:/

−9/10 ,−4/5,−7/10 ,−3/5− 2/5 ,−3/10 −1/5, −1/10, 1/10, 1/5, 3/10,2/5,3/5 ,710, 4/5,9/10 , pois, para cada fração, não há um número diferente de 1 que seja divisor do numerador e do denominador simultaneamente.

 

1.5 O quadro a seguir apresenta algumas frações. Complete-a com suas equivalentes de modo que a primeira coluna contenha as irredutíveis das que foram apresentadas.

Resolução:

Uma possível resolução:

3/1

6/2

12/4

24/8

48/16

1/3

3/9

9/27

27/81

81/243

1/6

3/18

5/30

8/48

9/54

1/7

3/21

4/28

6/42

8/56

1/8

8/64

10/80

15/120

21/168

 

ATIVIDADE 2 – DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES E COMPOSTA

2.1 Considere as frações a seguir. Com o uso de uma calculadora, escreva esses números na forma decimal, anotando todos os números que você lê no visor da calculadora.

Resolução:

a) 1/3 = 0,33333...

 

b) 22/15 = 1,46666...

 

c) 2/3 = 0,66666...

 

d) 53/11 = 4,818181...

 

e) 322/45 = 7,15555...

 

f) 14/9 = 1,55555...

Você deve perceber que, após a vírgula, alguns números se repetem. Reforce com eles que, em muitos casos, no visor da calculadora não aparecem todos os números. Por esse motivo, as representações dos números na forma decimal devem ser feitas com reticências.

 

2.2 Errata: No Caderno do Aluno, onde se lê: 1.1, leia-se 2.1.

Analisando os resultados encontrados no item 2.1, identifique o período, classificando-os em dízimas periódicas simples ou compostas.

Resolução:

a) 0,33333... Período simples: 3 - dízima periódica simples.

 

b) 1,46666... Período composto: 6 - dízima periódica composta.

 

c) 0,66666... Período simples: 6 - dízima periódica simples.

 

d) 4,818181... Período simples: 81 - dízima periódica simples.

 

e) 7,15555... Período composto: 5 - dízima periódica composta.

 

f) 1,55555... Período simples: 5 - dízima periódica simples.

 

2.3 Errata: No Caderno do Aluno, onde se lê: 1.1, leia-se 2.1.

Escreva na forma reduzida os números decimais encontrados no item 2.1:

Resolução:

a) 0,33333... = 0,3̅

 

b) 1,46666... = 1,46̅

 

c) 0,66666... = 0,6̅

 

d) 4,818181...= 4,81̅̅̅̅

 

e) 7,15555...= 7,15̅

 

f) 1,55555... = 1,5̅

 

2.4 Com auxílio de uma calculadora, escreva três frações diferentes que:

Quando transformadas em decimal, são dízimas periódicas simples.

Resolução:

Exemplo de frações que geram dízima periódica simples: 1/9 ,16/3 ,4/33 .

 

Quando transformadas em decimal, são dízimas periódicas compostas.

Resolução:

Exemplo de frações que geram dízima periódica composta: 17/6 ,1/45 ,21/90 .

 

Quando transformadas em decimal, a divisão entre o numerador e denominador não resultará em uma dízima periódica.

Resolução:

Exemplo de frações cuja divisão entre o numerador e denominador não resulta em uma dízima periódica: 11/5 𝑒 5/8 .

As respostas são pessoais, mas precisam ser validadas para ver se atendem à condição de cada item.

 

ATIVIDADE 3 – ONDE ESTÃO AS FRAÇÕES?

3.1 Considere as dizimas periódicas a seguir e encontre a fração geratriz correspondente a cada uma delas:

 

a) 0,3333... = 1/3

 

b) 0,444... = 4/9

 

c) 0,313131... = 31/99

 

d) 1,5555... = 14/9

 

e) 0,2777... = 25/9

 

f) 1,136136...= 1 135/999

 

ATIVIDADE 4 – PARA PRATICAR 2

4.1 Considere as frações a seguir. Utilize uma calculadora para obter a representação decimal das frações dadas no quadro abaixo. A partir desses resultados, preencha o quadro e compare-os com os de um colega.

Resolução:

Oriente os estudantes a utilizarem a calculadora para obterem a representação decimal das frações dadas. Após resolverem, eles devem comparar os resultados encontrados com outro colega.

 

Frações

Classificação

Período

a) 1/3

0,3333... dízima periódica simples

3

b) 22/15

1,4666... dízima periódica composta

6

𝑐) 2/3

0,6666... dízima periódica simples

6

d) 53/11

4,818181... dízima periódica simples

81

e) 322/45

7,15555... dízima periódica composta

5

f) 14/9

1,5555... dízima periódica simples

5

 

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

ATIVIDADE 1 – AMPLIANDO O CONHECIMENTO SOBRE SEQUÊNCIAS

1.1 Escreva em seu caderno duas sequências diferentes e indique a regra de formação de cada uma delas.

Observação:

A partir das discussões iniciais, os estudantes podem escrever sobre o assunto, inclusive discutindo sobre as regras de formação das sequências, de forma que a resposta é pessoal. Nesse primeiro momento, as sequências que irão escrever podem não ser exclusivamente numérica. A ideia é fazer o diagnóstico do que compreendem por sequência.

 

1.2 Os números de uma sequência recebem o nome de termo e cada um dos termos ocupa uma determinada ordem (posição) dentro da sequência. Veja a seguir:

Ordem

...

Número

1

4

9

16

25

36

49

64

...

É possível escrever qual é a regra da sequência representada no quadro acima?

Resolução:

A tabela apresenta a sequência dos números quadrados perfeitos, relacionados com a posição.

 

1.3 A seguir temos outra sequência:

Ordem

...

Número

4

8

12

16

20

24

28

32

...

Qual é a regra de formação dessa sequência?

Resolução:

A sequência da tabela acima representa os múltiplos de 4. Essa regra pode ser representada pela expressão 4n, onde n é a posição do número na sequência dada.

 

ATIVIDADE 2 – CONHECENDO AS SEQUÊNCIAS

2.1 São chamadas de sequências recursivas quando cada termo ocupa uma posição e tem seu valor determinado por uma regra. Quando os termos de uma sequência não obedecem a nenhuma regra de formação, nesse caso, temos uma sequência não recursiva.

 

a) Sequência recursiva: (1, 4, 7, 10, 13, ...), escreva a regra de formação dessa sequência.

Resolução:

3n – 2, onde n é a posição na sequência.

 

b) Sequência não recursiva: (1, 4, 9, 25, 16...). para obter qualquer termo da sequência, não dependemos do termo anterior. Escreva a regra de formação dessa sequência.

Errata: Onde se lê: Sequência não recursiva: (1, 4, 9, 25,16, ...) para ... Leia-se: Sequência não recursiva: Placas atuais de um carro, modelo Mercosul: B, F, A, 2, M, 1, 8 ; para ...

Resolução:

As placas dos automóveis conforme modelo Mercosul são organizadas em uma sequência onde a regra de formação é três letras iniciais, um número, uma letra e dois números. Essa formação não depende do termo anterior.

 

2.2 Agora que você estudou a diferença entre sequência recursiva e não recursiva, observe as sequências de figuras a seguir e responda as questões:

 

a) Quantos quadradinhos tem cada uma das figuras da sequência apresentada?

Número da Figura

Quantidade de quadradinhos

Figura 1

1

Figura 2

4

Figura 3

9

Figura 4

16

 

b) Quantos quadrados terá a figura 5? E a figura 6?

Resolução:

A figura 5 terá 25 quadrados e a figura 6 terá 36 quadradinhos.

 

c) Diante dos resultados obtidos, o que você pode observar?

Resolução:

Espera-se que o estudante perceba que a sequência dada é formada pelos números quadrados perfeitos.

 

d) Escreva a expressão algébrica que representa o número de quadrados da figura n.

Resolução:

, onde n é o número da figura.

 

e) Elabore uma tabela com os dez primeiros termos da sequência formada pelos números de quadradinhos.

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

 

2.3 O fluxograma a seguir mostra os procedimentos para encontrar as figuras da sequência apresentada na atividade

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

2.4 A sequência a seguir apresenta os sete primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... .Considerando a sequência apresentada:

 

a) Escreva os cinco próximos termos dessa sequência.

Resolução:

19, 23, 29, 31 e 37.

 

b) Classifique essa sequência em recursiva ou não recursiva. Justifique sua resposta.

Resolução:

A sequência é não recursiva, pois seus termos não obedecem a nenhuma regra de formação e a obtenção do próximo termo não depende do termo anterior.

 

c) Monte um fluxograma para a sequência dos números primos.

Resolução:

Resposta pessoal. Porém, é importante que o estudante construa a compartilhe com um colega o fluxograma, verificando se os comandos auxiliam na escrita da sequência de números primos. A seguir uma sugestão:

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

2.5 Sabendo que cada figura da sequência possui uma posição (n), e que esta é indicada por um número, encontre uma expressão algébrica que defina o total de quadradinhos da figura genérica n.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Observação: observe que a cada figura são acrescidos 5 quadradinhos. Portanto, a expressão algébrica que define a sequência é 5n, com n sendo o número da figura.

 

2.6 Observe a sequência de figuras abaixo.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Com três lados formamos um triângulo, conforme a figura 1. Preencha o quadro a seguir:

Figuras (n)

Nº de lados

Números de Triângulos

Figura 1

3

1

Figura 2

5

2

Figura 3

7

3

Figura 4

9

4

 

2.7 Para a resolução da próxima atividade, em dupla, analisem a sequência (2 187, 729, 243, 81, 27, ...):

 

a) Essa sequência é recursiva ou não recursiva? Escreva a expressão algébrica se for possível.

Resolução:

Esta sequência é recursiva. É possível encontrar o termo seguinte dividindo o termo anterior por 3. Uma expressão algébrica que identifique qualquer termo da sequência 𝑎𝑛 = 1/3 𝑎𝑛−1,onde n é a posição do termo na sequência e 𝑎1 = 2 187.

 

a) Se for possível, monte o fluxograma dessa sequência.

Resolução:

Considerando 𝑎1 = 2 187, iniciaremos a sequência com n =2.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

ATIVIDADE 3 – PARA PRATICAR 3

3.1 Em uma academia foram organizados os materiais de uso das aulas de musculação. Os pesos foram organizados de forma que a pilha se sustentasse, como mostra a figura a seguir. Continuando com esse padrão de organização, responda:

Resolução:

a) Quantos pesos serão necessários para formar o 5° termo da sequência? E o 6°?

Resolução:

Para o 5° termo serão necessários 15 pesos, e para o 6° termo, 21 pesos.

 

b) Encontre uma expressão algébrica que expresse a regra de formação dessa sequência.

Resolução:

Chamando a enésima figura de 𝐹𝑛, podemos escrever:

𝐹𝑛 = 𝑛 + (𝑛 − 1) + (𝑛 – 2) + (𝑛 − 3) + + 1

𝐹6 = 6 + (6 -1) + (6 - 2) + (6 - 3) + (6 - 4) + (6 - 5) +1 = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21

 

c) Organize o procedimento descrito anteriormente para construir a sequência por meio de um fluxograma.

Resposta pessoal. Os estudantes devem construir um fluxograma que atenda essa sequência:

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

3.2 Observe a sequência abaixo e responda as perguntas.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 202

 

a) Quantos quadradinhos verdes há em cada figura? Quantos quadradinhos verdes na 6º e na 7º figura?

Resolução:

𝐹1 = 1 quadradinho, 𝐹2 = 4 quadradinhos, 𝐹3 = 5 quadradinhos , 𝐹4 = 8 quadradinhos, 𝐹5 = 9 quadradinhos, 𝐹6= 12 quadradinhos e 𝐹7 = 13 quadradinhos.

 

b) Determine um procedimento para encontrar a quantidade de quadradinhos verdes de um termo qualquer dessa sequência.

Resolução:

Se a posição da figura n for par, a quantidade de quadradinhos será 2n.

Se a posição da figura n for ímpar, a quantidade de quadradinhos será 2n – 1.

 

c) Elabore um fluxograma que determine a quantidade de quadradinhos verdes de qualquer termo da sequência apresentada.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

3.3 Elabore um fluxograma para a sequência dos números naturais, percorrendo ao menos três termos dela, de modo que seus colegas compreendam o fluxo. Inicie encontrando a regra de formação. Depois compare sua produção com a de seu colega.

Resposta pessoal.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

ATIVIDADE 1 – ESTUDANDO AS GRANDEZAS DIRETA E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Você poderá ampliar a discussão incluindo as grandezas não proporcionais. Discuta exemplos como: “uma garrafa de suco de 1 litro custa R$ 8,90; a garrafa de 500 ml custa R$ 5,80. Ao diminuir a quantidade de mililitros da garrafa de suco, seu preço diminuiu proporcionalmente?” Questione os estudantes sobre situações como essas e questione-os se já observaram promoções em que as quantidades e os preços não são praticados de forma proporcional.

1.1 Classifique os itens a seguir em grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais e justifique sua resposta.

 

a) A medida do lado de um quadrado e o seu perímetro.

Resolução:

Diretamente proporcionais, porque quando aumenta o lado do quadrado, seu perímetro aumenta na mesma proporção, pois a cada 1 unidade de aumento no lado do quadrado, seu perímetro aumenta em 4 unidades.

 

b) O tempo que um automóvel leva para percorrer uma certa distância e sua velocidade média.

Resolução:

Inversamente proporcionais, pois quanto maior a velocidade média, o tempo de percurso será proporcionalmente menor.

 

c) A quantidade de funcionários de uma fábrica e o número de produtos fabricados.

Resolução:

Diretamente proporcionais, pois quanto mais funcionários, a produtividade é proporcionalmente maior, considerando que todos trabalhem no mesmo ritmo.

 

d) A distância percorrida por um veículo e a quantidade de combustível usado.

Resolução:

Diretamente proporcionais, pois quanto maior a distância, o consumo de combustível será proporcionalmente maior.

 

e) Quantidade de trabalhadores e a construção de um muro, sendo mantido o mesmo ritmo de trabalho.

Resolução:

Inversamente proporcionais, pois quanto maior a quantidade de trabalhadores, o tempo para a construção de um muro será proporcionalmente menor.

 

1.2 Veja a tabela que descreve o mesmo percurso realizado por três meios de transporte diferentes.

 

Velocidade (Km/h)

Tempo (minutos)

Patinete

20

160

Moto

40

80

Carro

80

40

As grandezas presentes nesta tabela são diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique sua resposta.

Resolução:

São inversamente proporcionais. Ao duplicar a velocidade, o tempo é reduzido pela metade.

 

1.3 Agora, observe na tabela como estão associados o valor e a quantidade de um determinado produto, e depois responda:

Valor (R$)

210,00

420,00

840,00

1680,00

Quantidade do produto

3

6

12

24

 

a) Como pode-se observar, o valor a ser pago é diretamente proporcional à quantidade de produtos. Por quê?

Resolução:

Porque ao dobrar a quantidade de produtos, o valor a ser pago também dobra.

 

b) Escreva uma sentença algébrica que relacione o valor a ser pago e a quantidade de produtos.

Resolução:

P = 70n, onde P representa o valor pago e n representa a quantidade de produtos.

 

c) Quanto uma pessoa irá pagar caso ela compre 18 unidades desse produto?

Resolução:

Fazendo uso da expressão escrita no item anterior, temos:

P = 70n

P = 70 . 18

P = 1 260

Logo, caso essa pessoa compre as 18 unidades, ela irá pagar R$ 1 260,00.

 

d) Encontre a quantidade de produtos que uma pessoa poderá adquirir ao pagar R$ 3 360,00.

Resolução:

Ainda fazendo uso da expressão algébrica, temos:

P = 70n 𝑛 =336070 n = 48

Logo, a quantidade de produtos comprados com R$ 3 360,00 é de 48 unidades.

 

e) Qual será o valor de 1 produto? Explique como resolver essa questão.

Resolução:

Substituindo o valor de n por 1, temos:

P = 70n P = 70 . 1 P = 70

Um produto custará R$ 70,00.

 

1.4 O funcionário de uma empresa irá encher um tanque de 200 cm de altura com água. Para isso, fará uso de uma torneira cuja vazão constante obedece à expressão A = 5t, em que A representa a altura da água dentro do tanque e t os minutos que a água leva para atingir esta altura. Junto com um colega de turma, construa o gráfico que relacione as duas grandezas. Analisem os resultados obtidos por vocês e respondam se essas grandezas são direta ou inversamente proporcionais.

Resolução:

Substituindo alguns valores na expressão dada A = 5t, obtemos:

Tempo (minutos)

Altura (centímetros)

10

50

20

100

30

150

40

200

É possível observar que quanto maior o tempo, a altura aumenta proporcionalmente.

 

1.5 Elabore três problemas, seguindo as orientações a seguir:

Todas as respostas são pessoais, porém os exemplos trabalhados anteriormente podem servir de apoio para a elaboração dos problemas. Planeje um momento para compartilharem as produções.

 

a) Um problema que envolva duas grandezas diretamente proporcionais.

 

b) Um problema que envolva duas grandezas inversamente proporcionais.

 

c) Um problema que envolva duas grandezas, mas que não haja proporcionalidade.

 

1.6 A área de um retângulo é de 36 cm². A tabela abaixo nos mostra algumas possibilidades de se obter tal área relacionando a medida do comprimento e da largura.

Comprimento

Largura

18

2

12

3

9

4

6

6

 

a) Escreva a sentença algébrica que relaciona o comprimento (C) e a largura (x), em centímetros.

Resolução:

C = 36/𝑥, sendo C o comprimento e x a largura.

Este é o momento para ampliar essa discussão e verificar as variações possíveis de uma expressão algébrica. A partir da expressão da área, é possível discutir suas variações: 𝐴 = 𝐶.𝑥 𝑥 = 𝐴/𝐶 𝐶 = 𝐴/𝑥

Observe que qualquer uma delas poderá atender a proposta da atividade.

 

b) A medida do comprimento e da largura desses retângulos são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não há proporcionalidade? Justifique sua resposta.

Resolução:

Inversamente proporcionais. Uma possível resposta: observa-se que ao diminuir a medida do comprimento, a medida da largura aumenta.

 

1.7 O gráfico a seguir relaciona o valor pago de acordo com o peso (massa) adquirido do tomate. Agora, analise o gráfico a seguir e responda aos itens propostos:

 

a) Qual o preço de 2 kg de tomates? R$ 3,00.

 

b) Qual o valor pago por 5 kg? R$ 7,50.

 

c) Quanto pagarei se levar 7 kg? R$ 10,50.

 

d) Como você classificaria essas grandezas? Grandezas diretamente proporcionais.

 

ATIVIDADE 2 – SITUAÇÕES-PROBLEMAS

2.1 Uma família está viajando de carro por uma estrada em que a velocidade máxima permitida é de 80 km/h. Considerando que o motorista do carro mantenha a velocidade constante, o quadro a seguir mostra a distância percorrida por esse carro em certos intervalos de tempo:

Tempo de viagem (em horas)

1

2

3

4

5

6

Distância percorrida (em quilômetros)

80

160

240

320

400

480

 

a) Encontre a distância percorrida em quilômetros para os tempos de viagem (7 h, 8h, 9h e 10 h.

Tempo de viagem (em horas)

7

8

9

10

Distância percorrida (em quilômetros)

560

640

720

800

 

b) Representando pela letra t o tempo de viagem, e pela letra d a distância percorrida durante esse intervalo de tempo, escreva uma expressão algébrica que relacione tempo de viagem e a distância percorrida. Expressão algébrica: d = 80t.

 

c) Esboce um gráfico no plano cartesiano que represente a relação entre o tempo de viagem e distância percorrida.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

2.2 Num teste de Matemática com 5 questões, a professora decidiu que todos os alunos seriam premiados conforme o número de acertos.

Nº de acertos (questões)

Pontos

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10

 

Represente os dados do quadro acima no plano cartesiano. Utilize como grandezas no eixo das abscissas o número de questões, e no eixo das ordenadas a pontuação. Explique o gráfico que representa essa situação.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

O gráfico trata de grandezas discretas, pois a pontuação não é dada de forma contínua. Assim, só é possível marcar os pontos.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

Conversa com o(a) professor(a):

Faça um diagnóstico do que os estudantes já sabem sobre área:

A sala de aula possui uma área? Como vocês fariam para calculá-la?

Seu formato lembra algo que vocês conheçam? O que?

O que mais vocês conhecem que possuem área? Peça para verbalizarem.

Neste momento, espera-se que eles se recordem das áreas de polígonos, possivelmente já estudadas. A partir das respostas trazidas por eles, proponha a resolução das atividades. Procure agrupá-los de modo a respeitar os níveis de proficiência diagnosticados em cada um durante a exploração feita.

Durante a conversa, faça com que os estudantes remetam o uso das formas à arquitetura e design.

Sugerimos preparar fichas com de formas geométricas para o aluno desenhar em malha quadriculada as formas apresentadas, podendo ou não ter as medidas dos lados das figuras. Essa decisão vai depender dos objetivos e dificuldades dos estudantes.

 

ATIVIDADE 1 – DESCOBRINDO MEDIDAS DE ÁREA

Investigue quais polígonos os estudantes conhecem. Questione-os sobre como fazem para calcular a área de alguns polígonos. Com essas perguntas, investigue se eles se recordam de que, para alguns casos, o cálculo da área está associado a uma fórmula.

 

1.1 A tabela a seguir apresenta as coordenadas de pontos que, quando ligados na ordem em que foi dada, formam quadriláteros. Utilizando uma malha quadriculada, marque os pontos em um mesmo plano cartesiano e, na sequência, identifique e nomeie cada um deles.

1º Quadrilátero

Coordenadas: A= (2,6); B= (5,6); C= (7,3);

D= (0,3).

trapézio

2º Quadrilátero

Coordenadas: E= (-5,5); F= (-3,8); G= (-1,5);

H=(-3,2).

losango

3º Quadrilátero

Coordenadas: I= (1,-3); J= (3, -1);

K=(8,-1); L=(6,-3).

quadrado

4º Quadrilátero

Coordenadas: M = (-4,-2); N = (-2,-1);

O= (-1,-4); P=(-4,-4).

paralelogramo

5º Quadrilátero

Coordenadas: Q = (10,-2); R = (10,-4);

S=(14,-2); T=(14, -4).

retângul

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

1.2 Pesquise a expressão para o cálculo da área de cada quadrilátero identificado na malha quadriculada. Faça uma tabela relacionando cada um deles com a respectiva expressão para o cálculo da área.

Resolução:

Espera-se que os alunos tragam uma pesquisa, conforme a tabela a seguir:

Polígono

Expressão

Polígono

Expressão

Trapézio

(B+b).h/2

Paralelogramo

b.h

Retângulo

b.h

Losango

D.d/2

Quadrado

 

 

 

1.3 Um retângulo tem 8 cm de base e 4 cm de altura. Encontre outros retângulos cujas medidas sejam diferentes e que resultem em uma área igual ao do retângulo dado.

Resposta pessoal, mas as dimensões dos retângulos construídos devem atender a expressão 𝑎.𝑏=32, onde 𝑎 𝑒 𝑏 são as dimensões do retângulo.

 

1.4 A professora de Matemática do 8º ano, ao abordar o conceito de área de figuras planas, apresentou aos estudantes um painel com formas geométricas para que analisassem e determinassem a área ocupada pela figura ABCD, representada no interior do quadrado. Após a análise, estes estudantes apresentaram a área da figura ABCD. Sabendo-se que B é o ponto médio do segmento AE, e C é o ponto médio do segmento EF, qual foi a área encontrada pelos estudantes?

Resolução:

Observando a figura, notamos que a área vermelha corresponde à área do quadrado de lado 25 m menos a área dos triângulos BEC e CFD.

A medida do lado BE, do triângulo BEC, é igual a 12,5 m, pois o ponto B divide o lado em dois segmentos congruentes (ponto médio do segmento). O mesmo acontece com os lados EC e CF, ou seja, suas medidas também são iguais a 12,5 m, pois o ponto C é o ponto médio do segmento EF. Assim, podemos calcular a área dos triângulos BEC e CFD.

Considerando um dos lados que formam o ângulo reto como a base, o outro lado desse ângulo será a altura, pois os triângulos são retângulos. Calculando a área do quadrado e dos triângulos BEC e CFD, temos:

Á𝑟𝑒𝑎Δ = base ×altura2

Área Δ BEC =12,5 𝑥 12,52 = 78,125 m2

Área Δ CFD =12,5 𝑥 252 = 156,25 m2

Área = = l2

Área AEFD = 25 . 25 = 625 m2

A= 625 – 156,25 – 78,125 = 390,625 m2.

A área encontrada foi de 390,625 m².

 

1.5 O dono de uma academia, em comemoração ao aniversário do estabelecimento, pretende distribuir a cada um de seus frequentadores toalhas de mão de 22 cm de largura e 30 cm de comprimento. Sabendo que em cada toalha será estampada, de forma centralizada, a logomarca da academia, cujas dimensões serão 12 cm de largura e 20 cm de comprimento, determine a porcentagem que essa estampa ocupará da área total da toalha.

Resolução:

Para calcular a porcentagem que a área da estampa ocupa, é necessário calcular a área total da toalha e a área total da estampa. Depois, é preciso dividir a área da estampa pela área da toalha.

A toalha e a estampa têm formato retangular. 𝐴𝑡𝑜𝑎𝑙𝑎=𝑏 ×ℎ 𝐴𝑡𝑜𝑎𝑙𝑎 = 22 .30 𝐴𝑡𝑜𝑎𝑙𝑎 = 660 𝑐𝑚2 𝐴𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 =𝑏 ×ℎ 𝐴𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 =12 .20 𝐴𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 = 240 𝑐𝑚2

Dividindo a área da estampa pela área da toalha, temos: 𝑃 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑡𝑜𝑎𝑙𝑎 = 240660 = 0,36 = 36%

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6

ATIVIDADE 1 – COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

Conversa inicial: Para esta atividade, é importante que os alunos tragam um objeto circular e uma fita métrica (ou uma linha e uma régua).

 

1.1 Essa é uma atividade prática para o cálculo do comprimento de uma circunferência. Ver instruções no Caderno do Aluno.

Construa uma tabela relacionando as medidas encontradas. Agora, faça uma análise dos resultados encontrados e compare-os com os de seus colegas. Em relação às medidas encontradas, o que é possível concluir? Escreva suas conclusões para determinar o comprimento da circunferência. O comprimento da circunferência é diretamente proporcional ao seu diâmetro e o diâmetro equivale a 2 vezes o raio. Escreva uma expressão que represente essa situação.

Resolução:

Espera-se que o estudante obtenha o resultado aproximado de 3,14.

Sugere-se enfatizar que o valor aproximado a que todos chegaram (3,14) é representado pela letra grega 𝝅 (lê-se pi). Portanto:

𝐂𝐨𝐦𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐚 𝐜𝐢𝐫𝐜𝐮𝐧𝐟𝐞𝐫ê𝐧𝐜𝐢𝐚 / 𝐝𝐢â𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨 = 𝝅

𝑪 = 𝒅 .𝝅

 

1.2 O clube da cidade de Heloísa está promovendo uma caminhada beneficente. O percurso consiste em dar três voltas completas em torno de uma praça da cidade, que tem o formato circular, com um raio de 0,2 km. As pessoas que participarem da caminhada completa deverão percorrer quantos quilômetros?

Resolução:

C 2.3,14 . r C 2 . 3,14 . 0,2 C 1,25 km

Para concluírem toda a caminhada, os participantes terão que dar três voltas completas, então:

Ct 3 .1,25 Ct 3,75 km

Logo, para uma pessoa completar toda a caminhada, terá que andar 3,75 km. É importante observar que os valores encontrados são aproximados, uma vez que estamos utilizando o valor aproximado de 𝜋 3,14.

 

ATIVIDADE 2 – ÁREA DO CÍRCULO

Como será possível obter a área do círculo?

Resolução:

A partir desse questionamento, oriente os estudantes a organizarem-se e seguirem o passo a passo para descobrir por que calculamos a área do círculo usando a fórmula A= πr².

 

2.1 Nessa atividade, o trabalho deve ser realizado em grupos. Circule pelos grupos para auxiliar os estudantes que tiverem dificuldade. Faça uma roda de conversa para que possam comentar sobre a experiência dessa construção e o que descobriram. Esclareça as dúvidas a partir de equívocos que forem citados. O vídeo de apoio encontra-se disponível em: https://youtu.be/GmUmhgPChLI

 

a) As partes coladas apresentam o formato semelhante a algum polígono já conhecido por você? Qual?

Resolução:

O formato é semelhante ao de um paralelogramo, e isso fica mais nítido quando se aumenta cada vez mais o número de divisões de partes do círculo, conforme os desenhos a seguir:

Divisão do Círculo em 8 partes

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Divisão do Círculo em 12 partes

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Divisão do Círculo em 16 partes

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

b) Considere o comprimento da circunferência e associe-o às medidas do novo polígono. É possível encontrar a área do círculo? Explique escrevendo um pequeno texto.

Resolução:

Sim. Como a nova figura será a metade de um paralelogramo, basta calcular 𝐴 = 𝑏 .ℎ2 , onde a base será o comprimento da circunferência, que atende a expressão 𝐶 = 2𝑟 . 𝜋, e a altura h vale r (raio), que resulta na expressão: 𝐴 = 𝑏.ℎ2

𝐴 = 2𝜋𝑟.𝑟2 = 𝜋 𝑟²

 

2.2 Carlos pretende contratar uma empresa para construir uma piscina de formato circular em sua casa. Sabendo que ela terá 6 m de diâmetro, e que Carlos tem um espaço de área igual a 39 m² disponível para a construção da piscina, responda se este espaço será suficiente para esta construção.

Resolução:

Calcular a área da piscina e comparar com a área do espaço disponível para verificar se este espaço é maior ou no mínimo igual ao espaço que a piscina ocupará.

𝐴𝑝 = 𝜋 .𝑟2 𝐴𝑝 3,14 .32

Calculando a área do círculo, obtemos: 𝐴𝑝 28,26 𝑚2.

Ao comparar os valores das duas áreas, observe que o espaço disponível para a construção da piscina é maior que o espaço que ela ocupará. Sendo assim, a área disponível é suficiente para a construção.

 

2.3 A caminhada, por ser um exercício físico que pode ser realizado por qualquer pessoa, pois não apresenta restrição de idade, além de poder ser realizada quase que a qualquer hora do dia, vem continuamente conquistando mais e mais praticantes. Pensando nisso, a prefeitura de uma determinada cidade resolveu construir uma pista de caminhada em formato circular. Sabendo que a área desta pista será igual a 1.519,76 m2, qual deve ser a medida de seu diâmetro?

Resolução:

Calcular o raio e depois multiplicá-lo por 2 para encontrar o diâmetro.

𝐴𝑝= 𝜋 . . 2 1.519,76 3 ,14 . 𝑟2

𝑟2  1.519,763,14 𝑟2 484 𝑟 √484 𝑟 22 𝑚

Como o raio é igual a 22 m e o diâmetro é igual a 2r, temos:

d = 2r d 44 m

É importante discutir com os alunos os sinais que utilizamos em situações como essa. Veja que quando usamos a expressão d = 2r, utilizamos o sinal de igual; mas quando trocamos o r pelo valor obtido, devemos indicar d 44 m. Logo, esta pista terá aproximadamente 44 m de diâmetro.

 

ATIVIDADE 3 – ÁREAS DE UM CÍRCULO E DE SUAS PARTES

3.1 Considere a figura ao lado. Elabore um problema envolvendo a área, o ângulo central dado e o setor circular destacado. Troque com um colega para que ele resolva o problema elaborado por você, enquanto você resolve o dele.

Resolução:

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

O contexto do problema é pessoal. Para o cálculo, temos:

A área procurada é um setor circular com ângulo central de 67°. Os estudantes podem, no contexto, atribuir um valor para o raio.

𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 = 𝜋 . 𝑟2 .𝛽360 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 =𝜋  . 𝑟2 . 67360 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 = 𝜋 . 𝑟² . 67360 𝐴𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 = 67𝜋𝑟²360

Socialize as produções e as resoluções, escolhendo alguns estudantes para apresentar seu trabalho.

 

3.2 Foi solicitado a um engenheiro um projeto para a produção de uma peça circular que será parafusada em uma chapa de metal. Como modelo, o engenheiro recebeu a foto acima. Como se trata de uma máquina de médio porte, a peça deve ter raios 7cm e 4 cm.

 

a) Faça um esboço da peça, indicando as medidas dos raios, e explique como essa peça deverá ser produzida.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

b) Calcule a área da superfície da chapa que será coberta quando a peça for parafusada.

Resolução:

Para a resolução desta atividade, espera-se que os estudantes concluam que a região limitada pelas duas circunferências denota a área da coroa circular.

Calculando a área da coroa circular:

𝐴𝑐 = 𝜋 .(𝑅2𝑟2)

𝐴𝑐 3,14 ×(72 − 42) 𝐴𝑐 3,14 .33 𝐴𝑐 103,62 𝑐𝑚2.

Desta forma, a área limitada pelas duas circunferências é aproximadamente 103,62 cm2.

 

3.3 Qual deve ser a área da região colorida para que os raios das circunferências que deram origem a ela assumam valores iguais a 25 cm e 20 cm? Explique como você resolveu essa questão.

Resolução:

A área da região procurada equivale a 1/4 da área da coroa circular formada pelas duas circunferências:

𝐴 = 1/4 . 𝜋(𝑅2 𝑟2)

𝐴 1/4 . 3,14(252 − 202)

𝐴 1/4 .3,14(625 − 400)

𝐴 706,5/4 = 176,62 𝑐𝑚2

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7

ATIVIDADE 1 - ESTUDO DE GRÁFICOS

1.1 No dia a dia, muitas informações são veiculadas por meio dos gráficos, por serem uma forma visual que possibilita observar muitos dados em uma única representação. Para isso, temos uma variedade de gráficos que permitem a interpretação rápida e clara das informações a partir dos dados coletados. Para conhecer os tipos de gráficos, acesse o link ao lado. Organize um resumo comparando os tipos de gráficos e em quais situações devem ser utilizados.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Resposta pessoal.

 

1.2 Dados os gráficos a seguir, identifique cada um deles relacionando adequadamente as colunas.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

1.3 Estudantes entre 12 e 20 anos participaram de uma pesquisa sobre amizades nos ambientes virtuais. A pesquisa teve como questões norteadoras:

Você prefere ter amigos virtuais?

Você não vê diferença entre ter um outro tipo de amigos?

Você considera importante ter amigos presenciais?

Após a pesquisa, foram obtidos os seguintes dados:

36% dos alunos preferem ter amigos virtuais;

72% não veem diferença entre um e outro;

43% dos alunos consideram ser importante ter amigos presenciais.

A partir desses resultados, analise qual tipo de gráfico seria o mais adequado para divulgar os resultados dessa pesquisa. Justifique sua escolha e construa o gráfico.

Resolução:

O gráfico mais adequado é o de colunas, pois a soma das porcentagens resulta em um valor maior que 100%, não podendo descrevê-las num gráfico de setores. Por não haver um conjunto de classes contínuas, também não é possível representa-las através de um histograma ou gráfico de linhas.

 

1.4 Considere que nesta pesquisa foram entrevistados 600 alunos, e que os 43% que consideraram importante as amizades presenciais foram distribuídos de acordo com a faixa etária, conforme tabela a seguir. Qual gráfico seria o mais adequado para divulgar esses resultados? Justifique e construa o gráfico.

Resolução:

Ao analisar a tabela em que os dados estão agrupados, percebemos que 68 alunos entrevistados possuem entre 12 a 14 anos, não oferecendo condições de indicarmos quantos possuem 12, quantos 13 ou 14 anos, e isto ocorre com os demais entrevistados de acordo com a faixa etária, por isso o histograma é o melhor tipo de gráfico para representar os dados.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

1.5 Organizem-se em grupos e façam a mesma pesquisa com os colegas da sua turma. Organizem os dados e construam um gráfico para divulgar os resultados da pesquisa.

Reposta pessoal

 

ATIVIDADE 2 – A ESCOLHA ADEQUADA DO GRÁFICO

2.1 O gerente de uma distribuidora de frutas solicitou a um funcionário que fizesse o levantamento de quantas caixas de banana, laranja, maçã, pera e uva haviam sido vendidas na primeira semana de um determinado mês. Ao analisar os registros de vendas, o funcionário levantou que haviam sido vendidas 290 caixas de banana, 210 caixas de laranja,180 caixas de maçã, 80 caixas de pera e 40 caixas de uva. De posse dos dados levantados, responda os itens:

 

a) Qual foi o total de caixas das frutas, especificadas na situação, vendidas na semana analisada?

Resolução:

Calculando a quantidade de caixas vendidas, 290 + 210 + 180 + 80 + 40 = 800 caixas.

 

b) Que porcentagem representa o quantitativo de caixas de cada um dos tipos de frutas vendidas em relação ao todo?

Resolução:

Chamando de B, L, M, P e U, respectivamente, os percentuais de caixas de banana, laranja, maçã, pera e uva, temos:

B = 36,255%

L = 26,25%

M = 22,5%

P= 10%

U = 5%

 

b) Construa o gráfico que melhor representa os percentuais calculados em relação ao todo.

Resolução:

O estudante deve escolher o gráfico e justificar sua escolha.

 

d) Qual gráfico expressaria corretamente a quantidade de caixas de tipos de frutas que foram vendidas?

Resolução:

Gráfico de barras. As barras poderiam ser feitas na posição vertical ou horizontal, pois a intenção é apresentar a quantidade de caixas vendidas, considerando o tipo de fruta.

 

ATIVIDADE 4 – A EXPANSÃO DA PRODUÇÃO DE CARNES NO BRASIL

4.1 O gráfico a seguir representa a expansão da pecuária no Brasil em relação à produção de carnes

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

 

a) Qual foi o período em que a expansão de carne bovina superou as demais?

Resolução:

Entre 2005 e 2007.

 

b) Qual foi a produção de carne que teve pouca expansão no período apresentado no gráfico?

Resolução:

A produção de carne suína.

 

c) Em grupo, após analisar o gráfico, façam um resumo das informações apresentadas.

Resposta pessoal. Os estudantes podem focar em pontos importantes diferentes. É preciso verificar se o que estão apontando é coerente com as informações contidas no gráfico.

 

d) Explique por que o gráfico de linha foi escolhido para ilustrar o resultado dessa pesquisa.

Resolução:

Ele foi escolhido porque mostra a evolução da expansão da pecuária ao longo dos anos. A expansão se dá de forma contínua.

 

4.2 Elabore um problema que envolva os dados apresentados no gráfico a seguir. Troque com um colega para que ele resolva o problema criado por você, enquanto você resolve o dele.

Resposta pessoal.

 

TESTE SEU CONHECIMENTO

1. (ENEM 2019) A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus Influenza. Ao entrar no nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo os pulmões. O vírus Influenza é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm.

Em notação científica, o diâmetro interno do vírus Influenza, em mm, é:

(A) 1,1 × 10-1

(B) 1,1 × 10-2

(C) 1,1 × 10-3

(D) 1,1 × 10-4

(E) 1,1 × 10-5

Alternativa: D

 

2. (Prova Brasil/2011) Os alunos de uma turma do 9º Ano fizeram uma estimativa para 200 pessoas com base no estudo seguinte:

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

Entre os gráficos abaixo, aquele que melhor apresenta as informações da tabela é:

Alternativa B

 

3. (SARESP) As figuras a seguir representam caixas numeradas de 1 a n, contendo bolinhas, em que a quantidade de bolinhas em cada caixa varia em função do número dessa caixa.

Figura no caderno do Aluno Volume 2 ano 2020

A observação das figuras permite concluir que o número de bolinhas da enésima caixa é dado pela expressão:

(A) n²

(B) (n-1)²

(C) (n+1)²

(D) n²+1

Alternativa: C

 

4. (SARESP/2009) Observe a tabela que Laís fez com as quantidades de ganhadores de um sorteio de loteria e o valor do prêmio destinado a cada um dos possíveis ganhadores:

Quantidade de ganhadores

2

3

4

5

...

Prêmio para cada ganhador em mil reais

1.800

1.200

900

720

...

Se o número de ganhadores for 200, o valor que cada um ganhará, em reais, será:

(A) R$ 36 000,00.

(B) R$ 18.000,00.

(C) R$ 8.600,00.

() R$ 1.100,00.

Alternativa: B

 

Continua...