8º CADERNO OO ALUNO - VOLUME 1

8º CADERNO OO ALUNO - VOLUME 1

Professor Diminoi

 

Caderno do Aluno Volume 1

(Modificado)

Observação: As questões a seguir são questões do Caderno o Aluno Volume 1 Ano 2020. Portanto, para que você compreenda toas as resoluções o “ideal” é você ter em mãos o Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020.

Caderno do Aluno Volume 1 Ano 2020 é um material da Secretaria de Educação do Estado de São Paulo”

ATIVIDADE 1 - POTENCIAÇÃO COM EXPOENTES INTEIROS

Utilizando um quadradinho como uma unidade de medida, forme quadrados e pinte-os conforme a quantidade abaixo.

a)

b)

Quando escrevemos 3² = 9 ou 2² = 4, temos uma operação de potenciação. Lemos 3², três elevado ao quadrado e 2², dois elevado ao quadrado.

 

1.2 Escreva os 10 primeiros números naturais quadrados perfeitos.

02 = 0

121

22 = 4

32 = 9

42 = 16 

52 = 25

62 = 36

72 = 49

82 = 64

92 = 81

 

1.3 Observe os cubos a seguir. Complete com os dois próximos cubos.

Nenhuma descrição de foto disponível.Nenhuma descrição de foto disponível.

 

1.4 Faça a contagem dos cubos, utilizando como unidade de medida:

 

Figura 1 – 1 cubo

Figura 2 – 8 cubos

Figura 3 – 27 cubos

Figura 4 – 64 cubos

Figura 5 – 125 cubos

 

1.5 Escreva os dez primeiros números naturais elevados ao cubo:

0³ = 1

1³ = 1

2³= 8

3³= 27

4³ = 64

5³=125

6³= 216

7³ = 343

8³ = 512 9³ = 729

 

1.6 Escreva as potências abaixo na forma de produto e escreva por extenso cada uma:

a) 72 = 7 . 7 = 49 (sete elevado ao quadrado)

b) 84 = 8 . 8 . 8 . 8 = 4096 (oito elevado à quarta potência)

c) 123 = 12 . 12 . 12 = 1728 (doze elevado ao cubo)

d) 252 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 (dois elevado à quinta potência)

 

1.7 Agora, resolva as potências a seguir. O que você pôde observar?

a) 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81

b) 35 = 3 .  3 . 3 . 3 . 3 = 243

c) 363 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 729

d) 373 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3= 2187

Explore com os estudantes o que acontece com os resultados, por exemplo se multiplicarmos o resultado de 35 = 243 por 3 resultará em 729. Espera-se que o estudante perceba que ao aumentar uma unidade no expoente, significa multiplicar o valor da potência anterior pelo valor da base.

 

1.8 Subtraia 1 do expoente a partir do 33. Repita este processo sucessivamente para os próximos números. Observe os resultados encontrados e registre suas conclusões.

Converse com os estudantes, que um número elevado a zero é 1 devido às propriedades da

divisão potenciação de bases iguais e que potências de expoente negativo são calculadas da seguinte forma: 𝑥𝑛 = 1/𝑥𝑛 (com 𝑥 ≠ 0). Explore ouros exemplos para que os estudantes percebam o padrão dessas propriedades.

 Nenhuma descrição de foto disponível.

 

1.9 A seguir resolva as potências e expresse o resultado encontrado na forma fracionária:

a) 3-2 . 52

1/9 . 25 = 25/9 = (5/3)2

b) 210 . 28 : 26

218/26 = 218−6 = 212

c) ( 1/4 )3

1/64

e) (12)6 . (1/2 )12 : (1/2)8

(1/2)6 + 12 − 8 = (1/2)10

f) (5 . 4)2 / 54 . 28

52 . 42 / 54 . 28  = 52 .24 / 54 . 28 = 52 . 5−4 . 24 . 2−8  = 5−2 . 2−4 = 1/400

 

ATIVIDADE 2: ESTIMANDO RAIZ QUADRADA

2.1 Você já escreveu os 10 primeiros números quadrados perfeitos anteriormente. Agora, extraia a raiz quadrada de cada um deles. Após a extração das raízes, compare os resultados obtidos. Registre sua conclusão.

 Nenhuma descrição de foto disponível.

 

2.3 Você já escreveu e extraiu a raiz quadrada dos 10 primeiros números quadrados perfeitos. No entanto, nem todo número é um quadrado perfeito.

Exemplo: o número 6 não é quadrado perfeito, então não tem raiz quadrada exata. Mas, é possível estimar sua raiz quadrada.

Sabe-se que 6 está entre os quadrados perfeitos 4 e 9, isto é, 4 < 6 < 9.

Visto que √4 = 2 e √9 = 3, então √6 está entre 2 e 3, isto é, √4 < √6 < √9.

Para estimar a raiz quadrada não exata, podemos fazer:

(2,1)2 = 4,41 (2,2)2 = 4,84 (2,3)2 = 5,29 (2,4)2 = 5,76 (2,5)2 = 6,25

Considerando uma casa decimal, podemos encontrar aproximadamente √6, o que nos leva a concluir que, √6 está entre 2,4 e 2,5.

  

2.4   Seguindo esse raciocínio estime o valor das raízes quadradas dos números a seguir:

a) √28

√25 < √28 < √36, logo √28 5,39

b) √63

√49 < √63 < √64, 𝑙𝑜𝑔𝑜 √63 7,9

c) √45

√36 < √45 < √49, 𝑙𝑜𝑔𝑜 √45 6,7

d) √5

√4 < √5 < √9, 𝑙𝑜𝑔𝑜 √5 2,2

e) √20

√16 < √20 < √25, 𝑙𝑜𝑔𝑜 √20 4,5

 

2.5 Considere a afirmação: Se “a” é um número positivo e “m” e “n” são números naturais diferentes de zero, então: am/n = n√am

Escreva as potências dadas de modo que elas sejam expressas em forma de radical:

a) 31/2

2√31 = √3

b) 42/3

3√42

c) 2343/4

4√2433

d) 325/7

7√325

e) 1753/8

3√(175)8

 

ATIVIDADE 3 – NA PRÁTICA...POTÊNCIAS E RAÍZES.

 3.1 Carlos ligou ao zelador do seu prédio para saber as medidas do quarto principal, a fim de comprar piso para reforma. O zelador informou que, na última reforma, compraram 17m2 de piso e havia sobrado 1m2. Ficou sabendo também que a medida da largura e do comprimento do quarto eram iguais. Com essas informações, será possível Carlos encontrar as medidas do quarto principal? Quais foram as medidas encontradas por Carlos?

 Faça a representação geométrica do quarto principal.

Quantidade de piso comprada = 17 m².

Sobra de piso = 1 m²

A área do quarto encontrada por Carlos foi: 17 – 1 = 16 m².

Representação geométrica do quarto: Quadrado de lado 4 m.

 

3.2 Um professor decidiu apresentar um desafio sobre potência e radical aos estudantes. Foram escolhidos dois estudantes para participarem. Ao primeiro, foi apresentado a seguinte potência: 1252/6, e para o segundo foi apresentado o seguinte radical: 6√2012. Quais soluções devem ser apresentadas? Explique a forma como você efetuou os cálculos.

1252/6 = 6√1252 = 6√125 . 125

Fatorando, temos: 6√125 . 125 = 6√53 . 53 =  6√56 = 5

Segundo estudante.

6√2012 = 2012/6 = 202 = 20 . 20 = 400

 

3.3 Ao analisar a igualdade entre uma radiciação e uma potenciação, um estudante concluiu que 3√26 = 22. Ao apresentar a análise feita, um colega afirmou que o resultado não estava correto. Quem tinha razão? Comente como chegou à essa conclusão.

Para provar que este estudante está correto podemos fazer 3√26 = 26/3 = 22

Logo, a análise feita pelo estudante está correta.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

ATIVIDADE 1 – COMBINAÇÕES PERFEITAS

Objetivo: reconhecer e aplicar o princípio multiplicativo da contagem. Conversa inicial: apresente algumas situações em a partir de um esquema, possam perceber que a contagem é processo que utiliza-se diariamente, e tratando-se de escolhas, é possível calcular a quantidade de opções que temos, quando por exemplo, temos que escolher um sorvete com três sabores diferentes, considerando que posso escolher entre 5 sabores. Observe como os estudantes resolvem essa situação, se por esquema ou diretamente pela contagem. Socialize as resoluções e então, formalize o diagrama de árvores e o princípio da contagem. Resolução:

 

1.1 Ana foi a uma loja e comprou três blusas (rosa, branca, azul) e duas saias (preta e verde). Com as peças de roupas compradas, Ana fez todas as combinações possíveis e as registrou de duas maneiras diferentes, conforme mostrado a seguir. (no caderno do aluno) Quantas combinações de roupas Ana conseguiu formar? Será que existe uma outra maneira diferente das que foram apresentadas, para saber a quantidade de combinações?

Primeiro Esquema

Saia Preta:

Blusa branca - Blusa azul - Blusa rosa

Blusa branca - Blusa azul - Blusa rosa

Segundo Esquema

(saia preta, blusa branca) - (saia preta, blusa azul) - (saia preta, blusa rosa)

(saia verde, blusa branca) - (saia verde, blusa azul) - (saia verde, blusa rosa)}.

Observação: Verifique junto aos estudantes a quantidade de 6 combinações e outras possíveis maneiras de representá-las.

 

1.2 Mariana é manicure e maquiadora. Uma cliente foi até seu salão e levou consigo 5 cores de esmalte e 6 cores de batom para decidir, com Mariana, qual a melhor combinação entre os esmaltes e as cores de batom. De quantas diferentes Mariana pode maneiras combinar as cores para atender sua cliente?

Pelo princípio multiplicativo é possível multiplicar número de cores de esmalte pelo número de cores de batom, conforme o esquema a seguir:

Escolha de uma cor de esmalte (5) multiplicado escolha de uma cor de batom (5) = igual ao número de possibilidades.

5 . 6 = 30. Resposta: 30 possibilidades

 Nenhuma descrição de foto disponível.

 

1.3 Jorge está saindo de férias e decidiu visitar um amigo que mora no alto das montanhas. Ao traçar o percurso de sua viagem, viu que seria possível escolher três estradas (1, 2 e 3) distintas para chegar até a casa do amigo. De quantos modos diferentes Jorge poderá fazer sua viagem de ida e volta?

Se Jorge optar por ir pela estrada 1, ele poderá voltar pelas estradas 1, 2, ou 3, o que lhe fornece 3 modos diferentes de fazer o percurso de ida e volta, indicados por (1,1), (1,2) ou (1,3). Se Jorge optar por ir pela estrada 2, ele poderá voltar pelas estradas 1, 2, ou 3, o que lhe fornece outros 3 modos diferentes de fazer o percurso de ida e volta, indicados por (2,1), (2,2) ou (2,3).

Se Jorge optar por ir pela estrada 3, ele poderá voltar pelas estradas 1, 2, ou 3, o que lhe fornece outros 3 modos diferentes de fazer o percurso de ida e volta, indicados por (3,1), (3,2) ou (3,3).

Logo, Jorge terá 9 modos diferentes de fazer o percurso de ida e volta de sua viagem, que pelo princípio multiplicativo de contagem pode ser indicado por 3 x 3 = 9.

 

1.4 Marcos é representante de sala e na sua escola haverá um campeonato interclasses. Ele se reuniu com sua turma para decidirem as cores das listras da bandeira a ser colocada nas camisetas que serão utilizadas por eles durante os jogos. Ficou decidido pela turma que as cores das listras da bandeira seriam amarela, verde, branca e vermelha, não necessariamente nessa ordem. Então Marcos fez o desenho apenas para ilustrar uma possível opção. Sabendo que a bandeira terá 4 listras pintadas de cores diferentes, de quantas maneiras essa turma poderá colorir a bandeira?

Pelo princípio multiplicativo, verde, branco e vermelho, temos as seguintes opções

 Nenhuma descrição de foto disponível. 

Pelo proncípio multiplicativo temos 4 .3 . 2 . 1 = 24 bandeires diferentes

Ana, Maria e Letícia foram tomar um lanche após  a aula. No caminho resolveram comer pastel. Ao chegarem à pastelaria viram que tinham duas opções de massa: tradicional ou sem glúten. Como recheio poderiam optar por: calabresa, carne ou queijo, e para beber poderiam pedir: suco ou caldo de cana. Ana ficou em dúvida, não sabia o que pedir, pois teria que fazer algumas combinações. Construindo a árvore de possibilidades, ajude Ana a descobrir todas as possibilidades de fazer seu pedido.

 Nenhuma descrição de foto disponível.

 

2. Com a resolução do Conselho Nacional de trânsito (Contran), as mudanças das placas modelo Mercosul no Brasil, já começaram a ser implementadas em alguns estados. As placas padrão Mercosul, serão formadas por três letras, um número, uma letra e dois números, nessa ordem. Considerando esses dados, quantos automóveis serão possíveis emplacar com esse novo modelo?

Resolução:

O alfabeto e composto por 26 letras e temos 10 algarismos no sistema de numeração decimal, portanto:

Nenhuma descrição de foto disponível.

 Portanto, 456.976.000 formas diferentes de emplacamento.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

Para iniciar o trabalho com este assunto, sugere-se explorar os conhecimentos que os estudantes possivelmente trazem de anos anteriores. Procure investigar se eles têm noção do que é porcentagem, se conhecem sua escrita representativa.

Textos extraídos de pesquisas feitas pelo IBGE, encartes de lojas, anúncios de liquidação de produtos, entre outros podem ajudar nesta conversa inicial.

A investigação sobre fração é relevante para que se possa ter noção do nível de conhecimento dos estudantes. Para isso, pode-se fazer uso de perguntas do tipo:

▪ O que significa dizer que o corpo humano é de 70 a 75 por cento formado por água?

▪ O que significa dizer que 30 por cento das pessoas fazem compras pela internet?

Para perguntas como essas espera-se que os estudantes respondam que mais da metade do corpo humano é composto por água e que menos da metade das pessoas consultadas compram pela internet. Conversar com os estudantes o que significa 100% e sua relação com o inteiro.

A expressão “por cento” é muito comum na vida cotidiana, em notícias de jornais, revistas, promoções em supermercados e lojas, nas faturas de cartões de crédito, enfim, em quase tudo que esteja relacionado a movimentações financeiras e está presente também na divulgação dos resultados de pesquisas realizadas pelos institutos. Assim, podemos encontrar essa expressão representada de diferentes formas, entre elas representação percentual (%), centesimal e decimal.

 

ATIVIDADE 1 – A PORCENTAGEM NO COTIDIANO

A porcentagem pode ser definida como uma proporção de uma quantidade ou grandeza em relação a outra calculada em relação ao número 100 (por cem) e representada pelo símbolo %, escrevemos 100%, cem por cento.

 

1.1 O número de pessoas que ficam online pelo menos uma vez ao dia é crescente. Considere que 64,7% da população de um determinado país têm acesso à internet. Escreva esse número em forma de razão centesimal.

Como a porcentagem é uma razão de denominador 100, então: 64,7% = 64,7/100

 

1.2 Considerando que 64,7% da população desse país tenha acesso à internet e que a população total é de 145 milhões de habitantes, quantos habitantes não têm acesso à internet?

64,7% = 64,7/100 de 145.000.000 = 93.815.000

Se 93.815.000 dos habitantes tem acesso à internet, então 145.000.000 - 93.815.000 resulta em 51.185.000 habitantes que não tem acesso a internet.

 

1.3 O gerente de uma rede de lojas decidiu colocar produtos à venda com descontos. Uma televisão que custa R$ 1.400,00 foi oferecida com um desconto de 35% para pagamento à vista e 25%, para pagamento a prazo. Qual será o valor pago nesta televisão se o pagamento for à vista? E se for a prazo?

Pagamento à vista: desconto de 35% e o valor da TV é R$ 1.400,00, então o valor do desconto é:

35% de 1.400 = 35/100 de 1.400 = 35 × 1.400/100 = 490

Portanto o valor a ser pago à vista será: 1.400 – 490 = R$ 910,00

Pagamento a prazo: desconto de 25% e o valor da TV é R$ 1.400,00, então o valor do desconto será:

25% 𝑑𝑒 1.400 =25/100 𝑑𝑒 1.400 = 25 × 1.400/100 = 350

Portanto o valor a ser pago a prazo será de: 1.400 – 350 = R$ 1.050,00

 

1.4 Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o uso das redes sociais e o relacionamento com amigos. A pesquisa foi realizada com estudantes entre 13 e 17 anos. As seguintes perguntas foram respondidas pelos estudantes:

  • Você prefere ter amigos virtuais?
  • Você considera importante ter amigos presenciais?

Após a pesquisa os seguintes dados, foram obtidos e organizados em uma tabela:

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Sabendo que para a coleta dos dados apresentados foram entrevistados 600 estudantes. Determine a porcentagem de estudantes que responderam a cada um dos itens e a porcentagem daqueles que não opinaram.

Resolução:

Para calcular o percentual de respostas dadas a cada um dos itens apresentados é preciso determinar a quantidade de estudantes que responderam a cada um dos itens. Então:

Estudantes que preferem ter amigos virtuais.

Como os estudantes foram distribuídos em 5 faixas etárias, vamos somar o número que responderam a este item. Sendo assim, temos:

Prefere amigos virtuais: 20 + 25 + 30 + 42 + 45 = 162

De posse desse resultado é possível determinar o percentual de estudantes que responderam ao item 1. Lembrando que o total de entrevistados foi de 600, ficamos com:

162 × 100/600 = 27%

Estudantes que não opinaram.

Como os estudantes foram distribuídos em 5 faixas, vamos somar o número de alunos que não responderam aos itens. Sendo assim, temos:

Estudantes que não opinaram: 14 + 20 + 19 + 28 + 27 = 108

De posse desse resultado é possível determinar o percentual de alunos que não responderam aos itens. Lembrando que o total de entrevistados foi 600, ficamos com:

108 × 100/600 = 18%

Estudantes que preferem amigos presenciais.

Como os estudantes foram distribuídos em 5 faixas, vamos somar o número que respondeu a este item. Sendo assim, temos:

Estudantes que preferem amigos presenciais: 79 + 74 + 66 + 58 + 53 = 330

Resultado é possível determinar o percentual de estudantes que responderem ao item 3. Lembrando que o total entrevistado foi 600, ficamos com:

330 × 100/600 = 55%

Pode -se também sugerir por meio da diferença entre 100% e a soma dos percentuais dos primeiros itens: 100% - (27% + 18%) = 55%

Resposta: os percentuais de estudantes que responderam a cada um dos itens são 27%, e 55% e 18% não opinaram.

 

1.5 Com base na quantidade de respostas dadas pelos estudantes de acordo com a idade, escreva um texto analisando os resultados da pesquisa.

Resolução:

Resposta pessoal. Socialize alguns textos, observe se no texto estão apresentados os resultados de forma clara ao divulgar o resultado. Se as informações são suficientes ou se colocam muita informação, confundindo o entendimento.

 

 

1.5 Com base na quantidade de respostas dadas pelos estudantes de acordo com a idade, escreva um texto analisando os resultados da pesquisa.

Resposta pessoal. Socialize alguns textos, observe se no texto estão apresentados os resultados de forma clara ao divulgar o resultado. Se as informações são suficientes ou se colocam muita informação, confundindo o entendimento.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

 Conversa com o(a) professor(a)

Organize uma roda de conversa sobre os diferentes tipos de polígonos que conhecem, quais são os elementos que os constituem e se é possível que eles

sejam construídos com o uso dos instrumentos que lhes foram apresentados. Você pode fazer os seguintes questionamentos:

▪ O que vocês entendem por ponto médio?

▪ Qual é o seu entendimento sobre o termo segmento?

▪ Que recursos você usaria para representar o ponto médio de um segmento de 9 cm?

Neste momento, pode-se deixar os estudantes discutirem sobre os questionamentos feitos, no entanto, procure estar atento aos apontamentos feitos entre eles durante as discussões.

Veja se recorrem ao uso de régua, se tentam traçar linhas nos cadernos ou em qualquer outro local propício para registros. Durante esta movimentação circule pela sala e faça as intervenções necessárias.

 

ATIVIDADE 1 – A CONSTRUÇÃO DA MEDIATRIZ

A mediatriz de um segmento é o conjunto dos pontos que equidista das extremidades do segmento. Isso significa que, se você pudesse marcar todos os pontos que são equidistantes dos pontos A e B, eles formariam um conjunto: a mediatriz

A reta que une todos os pontos equidistantes dos pontos A e B é a mediatriz do segmento AB.

A partir disso, veja como é possível construir a mediatriz utilizando régua e compasso.

Resolução:

A reta que une todos os pontos equidistantes dos pontos A e B é a mediatriz do segmento CD.

1º Passo: construa um segmento AB

2º Passo: com a ponta seca do compasso centrada em A e a abertura maior que a metade do segmento AB, trace um arco em cima e outro embaixo do segmento AB.

3º Passo: com a ponta seca do compasso centrada em B e a mesma abertura anterior, trace um arco em cima e outro embaixo do segmento AB. Na intersecção dos arcos anteriores ficam definidos os pontos C e D.

4º Passo: trace a reta r que passa pelos pontos C e D.

Logo, a reta r é a mediatriz do segmento AB.

 

ATIVIDADE 2 – A BISSETRIZ

2.1. Construção da bissetriz de um ângulo C’ÂB’.

1º Passo: trace um segmento AC’

2º Passo: coloque a ponta seca do compasso no ponto A e com uma abertura qualquer, trace um arco que corte o segmento AC’. Definindo o ponto B’ (B’ está contido no segmento AC’).

3º Passo: com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso no ponto B’, trace um arco que corte o arcoanterior. Definindo o ponto C’.

4º Passo: trace a semirreta que passa pelos pontos A e C’. Definindo assim o lado OB’ do ângulo B’ÂC’.

5º Passo: coloque a ponta seca do compasso no ponto C, com uma abertura qualquer, trace um arco.

6º Passo: com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso em C1, trace um arco, marcando o ponto D.

7º Passo: Trace a semirreta OD. Essa semirreta é a bissetriz do ângulo      BÔA.

 

2.2 Construa um segmento AB e trace a mediatriz desse segmento. Encontre N o ponto médio do segmento AB, trace a mediatriz do segmento AN e a mediatriz do segmento NB. Registre os procedimentos da construção.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

2.3 Construa a bissetriz dos ângulos de 90º, 60º, 45º e 30º usando o algoritmo passo a passo.

 FIGURA PA 116, 117 E 118

 Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

tos O e F. Desta forma, teremos a semirreta OF, que é a bissetriz procurada.

 

O que é Fluxograma?

Fluxograma é um tipo de diagrama, e pode ser entendido como uma representação esquemática de um processo ou algoritmo, muitas vezes feito através de gráficos que ilustram de forma descomplicada a transição de informações entre os elementos que o compõem, ou seja, é a sequência operacional do desenvolvimento de um processo.

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 5

ATIVIDADE 1 - CONSTRUINDO POLÍGONO

1.1 Hexágono regular

Por definição, hexágono regular é um polígono com seis lados iguais e todos os ângulos internos congruentes (mesma medida).

Usando apenas régua e compasso, vamos construir um hexágono regular, conforme descrição a seguir:

1º Passo: trace um segmento OA.

2º Passo: coloque a ponta seca do compasso no ponto O e trace uma circunferência passando pelo ponto A.

3º Passo: destaque o diâmetro da circunferência passando pelos pontos A e B. Denomine as extremidades como pontos

A e B.

4º Passo: com a mesma abertura do compasso, coloque a ponta seca no ponto A e trace uma circunferência.

5º Passo: com a mesma abertura do compasso, coloque a ponta seca no ponto B e trace outra circunferência.

6º Passo: determine os pontos de intersecção entre as circunferências, nomeando-os C, D, E e F na circunferência.

 

7º Passo: unir os pontos com segmentos consecutivos.

Nenhuma descrição de foto disponível.

Assim temos o hexágono regular ABCDEF.

 

1.2 Elabore um fluxograma para construção de um hexágono regular, a partir dos passos anteriores.

Construir um fluxograma.

Nenhuma descrição de foto disponível. 

 

1.3 Descreva os passos para construção de um hexágono regular de 3 cm de lado.

O estudante poderá descrever o procedimento inicial, porém no procedimento precisa indicar a medida 3cm de lado. Para abrir uma discussão sobre o assunto

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 6

ATIVIDADE 1 - IDENTIFICANDO CONGRUÊNCIA ENTRE DOIS TRIÂNGULOS

 “Figuras congruentes têm o mesmo formato e apresentam as medidas de lados e ângulos iguais”

Sugere-se a seguinte formalização:

O símbolo " ≡ " é usado para indicar congruência; A escrita “ΔABC ≡ ΔDEF” é usada para indicar que os triângulos ABC e DEF são congruentes.

A ordem em que as letras se sucedem devem seguir, rigorosamente, a ordem de suas correspondências;

O símbolo " ↔ " indica uma correspondência entre os vértices de dois triângulos, sendo escrito da seguinte forma: 𝐴𝐵 ̂ 𝐶𝐷𝐸 ̂𝐹

 

1.1 Descreva as características de um triângulo qualquer.

Registre na lousa as repostas dos estudantes. A partir destas respostas elabore com eles a definição de triângulos. Apresente aos estudantes os tipos de triângulos quanto à medida de seus lados e quanto à medida dos ângulos. Em seguida destaque as propriedades de cada um.

 

1.2 Construa dois triângulos de medidas 16 cm, 17cm e 18 cm. Recorte-os e sobreponha-os e escreva o que você observou.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

1.3 Descreva os passos para construção de um hexágono regular de 3 cm de lado.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

O estudante poderá descrever o procedimento inicial, porém no procedimento precisa indicar a medida 3cm de lado. Para abrir uma discussão sobre o assunto

 

1.4 As marquinhas iguais representam lados congruentes, portanto os triângulos dados são congruentes pelo critério lado, lado e ladoTriangulo equilátero sã triângulos que tem todos os lado iguais

 

1.5. Qual é o caso de congruência entre os triângulos?

LLL

 

1.6 De que forma podemos escrever, em linguagem matemática, que os dois triângulos são congruentes?

 A imagem pode conter: texto que diz  

 

ATIVIDADE 2 – OS QUADRILÁTEROS

A imagem pode conter: texto que diz

Quadriláteros - Por definição, quadriláteros são polígonos que possuem quatro lados. Os quadriláteros estão divididos em:

Quadriláteros Convexo - Se tomarmos quaisquer dois pontos K e L na região limitada pelo polígono, o segmento de reta que os une sempre estará inteiramente contido nessa região.

 

2.1 Quais quadriláteros que você conhece? Desenhe-os e escreva as características observadas em cada um deles

Resposta pessoal. Após responderem, socialize e verifique se os estudantes estão se referindo aos quadriláteros.

 

ATIVIDADE 3 –INVESTIGANDO OS QUADRILÁTEROS

 3.1 O professor de Manu comunicou aos estudantes que a aula seria a respeito dos quadriláteros. Para isso, distribuiu a eles palitos e pediu que construíssem quadriláteros e as suas diagonais. Os alunos desenharam na tabela a seguir, os quadriláteros que construíram com os palitos. Para cada quadrilátero na tabela, indique o nome e cite as principais características

Observa figura abai e para cada uma dalas responda:

 

Nenhuma descrição de foto disponível.

Nenhuma descrição de foto disponível.

 

3.2 Nos quadriláteros da atividade anterior, há características comuns a todos? Quais são elas?

A característica comum a todos são os quatro lados.

 

3.3 Complete o diagrama organizacional a seguir:

Nenhuma descrição de foto disponível. 

3.4 A lição de geometria de Carlos tratava de um paralelogramo DEFG com diagonais que se interceptam no ponto O. Sendo a medida do segmento DO igual a 8,5 cm e a medida GO igual a 12 cm, ajude Carlos a calcular a medida das diagonais DF e GE que foram traçadas. Faça o esboço da figura.

Nenhuma descrição de foto disponível. 

Pelas propriedades do paralelograPeo, concluímos que DO ≡ OF, assim como, GO ≡ OE. As medidas das diagonais são calculadas abaixo:

DF = DO + OF

DF = 8,5 + 8,5

DF = 17 cm

GE = GO + O

GE = 12 + 12

GE = 24 cm

 

3.5 Otavio comprou todos os materiais necessários para a confecção de uma pipa. Cortou o papel no formato de um quadrilátero convexo com dois pares de lados consecutivos congruentes. Em seguida, colou as varetas de sustentação nas diagonais desse quadrilátero e colocou uma cauda. Desenhe a pipa que Otavio construiu. O que você pode dizer a respeito das diagonais?

Resolução:

Espera-se que o aluno, responda que a pipa possui diagonais que se interceptam no ponto médio.

 

Definições básicas de probabilidade

Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual

Cálculo da probabilidade

Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω ou U. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence.

Cálculo de probabilidades

As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis pelo número de resultados possíveis.

Exemplo 1

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número um?

Nesse exemplo, sair o número um é o evento E. Assim, n(E) = 1. O espaço amostral desse experimento contém seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Logo, n(Ω) = 6. Desse modo:

Resolução:

P = n(E)

      n(Ω)

P = 1

      6

P = 0,1666…

P = 16,6%

 

Exemplo 2

Qual a probabilidade de obtermos um número par no lançamento de um dado?

Resolução:

Os números pares possíveis em um dado são 2, 4 e 6. Logo, n(E) = 3.

P = n(E)

      n(Ω)

P = 3

      6

P = 0,5

P = 50%

 

Exemplos 3

Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?

Resolução:

Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento.

P(E) = n(E)

          n(U)

P(E) = 1

          2

P(E) = 0,5 = 50%

 

Exemplo 4

No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?

Resolução:

Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

P(E) = n(E)

            n(U)

P(E) = 2

            6

P(E) = 0,33... = 33,3%

 

Exemplo 5

Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado?

Resolução:

Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos.

A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer:

P(A-1) = 1 – P(E)

O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo:

P(A-1) = 1 – P(E)

P(A-1) = 1 – n(E)

                     n(U)

P(A-1) = 1 – 1

                  6

P(A-1) = 1 – 0,166..

P(A-1) = 0,8333… = 83,3%

 

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 7

ATIVIDADE 1 – POSSÍVEIS EVENTOS – A PRESENÇA DO ALEATÓRIO

1.1 Em um sorteio entre 20 participantes, cada um recebeu um número, entre 1 e 20, sem repetição.

Sabendo que cada participante teve direito a um único número, escreva:

a) Os elementos que formam o espaço amostral desse sorteio.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

b) Os elementos que descrevem o evento: “O resultado é um número par maior que 4 e menor que 20”.

Sendo o evento um subconjunto do espaço amostral do sorteio, temos: E = {6, 8, 10,12, 14, 16, 18}.

c) O número de elementos do evento que resultem em um número primo.

Dentro do espaço amostral descrito, temos como números primos E = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.

Então, n(E) = 8

d) A probabilidade de ao se sortear um número ao acaso o evento ser múltiplo de 6.

Espaço Amostral do sorteio:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Números múltiplos de 6 que possam sair no evento: E = {6, 12, 18}, então n(E) = 3.

Probabilidade de ocorrer o evento:

𝑃(𝐸) =𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆)

𝑃(𝐸) = 3/20 = 0,15 = 15%

 

1.2 Ao dividir ao acaso o número 60 por um de seus divisores positivos naturais, diferente de zero, qual é a chance de essa divisão ser feita por um número que seja par e múltiplo de 5? Expresse o resultado em forma de porcentagem.

Espaço Amostral dos divisores positivos de 60: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}, sendo assim temos: n(S) = (12) elementos.

Divisor de 60 que seja par e múltiplo de 5: E= {10, 20, 30, 60), então, n(E) = 4

𝑃(𝐸) = 𝑛(𝐸)/𝑛(S)

𝑃(𝐸) = 4/12 = 1/3

= 0,3333 = 33,33%

Logo, a chance é de 33,33%.

 

1.3 Eduarda, Pedro, Iasmin e Evandro estão brincando de jogar dados. Antes de iniciarem os lançamentos, definiram algumas regras:

- Todos terão que apostar em um número de 1 a 12 pois vão brincar com dois dados;

- Ganha um ponto quem primeiro tirar nos dados o número apostado;

- O resultado será dado pela soma das faces de cima nos dados;

- Após três rodadas, ganha quem tiver o maior número de pontos.

A tabela ilustra a situação.

 

Nenhuma descrição de foto disponível.

Analisando a tabela feita por eles, responda:

a) Quem ganhou o jogo?

Eduarda

b) Qual é a chance de Eduarda ganhar na 1ª rodada tendo escolhido o número 7?

O espaço amostral do experimento é:

S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}.

n(S) = 36.

Os elementos do evento que daria a vitória a Eduarda na primeira rodada são E = {(1,6), (6,1), 2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}, isto é, n(E) = 6, portanto:

𝑃(𝐸) = 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆) = 6/36 = 1/6

0,166 16,6%

c) Ao apostar no número 1 na primeira rodada, Pedro fez uma boa aposta? Justifique.

Não. Considerando as condições para ser o ganhador não há nenhuma possibilidade da soma das faces de cima dos dois dados resulte em 1, pois mesmo considerando o evento E = (1,1), o resultado da soma será igual a 2. Logo, pode-se concluir que este resultado, o número apostado por Pedro, é um evento impossível.

 

1.4 Uma criança está brincando com bolinhas numeradas de 1 a 15, que estão dentro de uma caixa. Sabendo que durante a brincadeira a criança derrubou uma das bolinhas no chão, determine a probabilidade de ocorrerem os seguintes eventos:

a) O número da bolinha que caiu ser par.

O espaço amostral é S(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

Com base no espaço amostral formamos o evento de ter caído bolinha de número par.

E = {2, 4, 6, 8,10, 12, 14}, então n(E) = 7

𝑃(𝐸) = 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆)

𝑃(𝐸) = 7/15 0,466 46,6%

b) O número da bolinha que caiu ser primo.

Com base no espaço amostral formamos o evento de ter caído bolinha de número primo.

E = {2, 3, 5, 7, 11, 13}, então n(E) = 6

𝑃(𝐸) = 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆)

𝑃(𝐸) = 6/15 = 0,4 = 40%

c) O número da bolinha que caiu ser par e primo.

Bolinha de número par = {2, 4, 6, 8, 10,12,14}, isto é, 7 possibilidades entre 15, n(E)=7 Bolinha de número primo = {2, 3, 5, 7, 11,13}, isto é, 6 possibilidades entre 15, n(E) = 6

Bolinha de número par ∩ primo = {2}, isto é, 1 possibilidade entre 15, n(E) = 1 𝑃(𝐸) = 1]15 6,67%

d) Ter caído qualquer uma das bolinhas, independentemente do número marcado.

S(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

S(E) = 15

n(E) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

n(E) = 15

𝑃(𝐸) = 1/15 = 1 = 100%

 

1.5 Uma empresa oferece bimestralmente uma palestra a seus colaboradores. Os temas sugeridos para o 4º bimestre são: Saúde, Finanças e Investimentos, Alimentação Saudável e Recursos Hídricos.

É feita uma votação em cada setor, e o tema mais votado é escrito em um pedaço de papel.

A figura ilustra a votação dos setores.

Em seguida, todos os papéis são dobrados igualmente e colocados dentro de uma caixa, para que o tema da palestra possa ser definido por meio de um sorteio. Analise as informações que foram dadas e responda:

a) Quantos votos recebeu cada tema? Organize-os em uma tabela.

A imagem pode conter: texto que diz

b) Qual é a probabilidade de cada um dos temas ser sorteado?

Resolução:

- Qual é a probabilidade de cada um dos temas ser sorteado?

Saúde = 620 = 3/10 = 30%

Finanças e Investimentos = 5/20 = 1/4 = 25%

Alimentação Saudável = 7/20 = 35%

Recursos Hídricos = 2/20 = 1/10 = 10%

 

1.6 Agora e com você! Junte-se com outros dois colegas de sua sala e formulem uma situação problema que envolva o princípio multiplicativo da contagem e o cálculo de probabilidades.

Quando a situação estiver pronta, proponha a um outro trio de colegas que discutam e resolvam o problema formulado por vocês. Ah, não se esqueçam de também resolverem o problema proposto por outra dupla. Quando tudo estiver pronto, verifiquem as respostas e discutam o raciocínio que foram traçados durante a resolução.

Resolução:

Verifique se os estudantes estão elaborando uma situação-problema de contagem que contemple o princípio multiplicativo ou cálculo de probabilidade, além de propiciar um momento de interação entre os estudantes, fazendo-os pensar, discutir, argumentar sobre suas propostas e seus raciocínios empregados na elaboração e resolução da atividade.

 

1. (SARESP – 2008) Para organizar a programação de rádio de uma escola foi feita uma pesquisa de opinião para verificar o interesse dos 600 alunos pelos diferentes ritmos musicais. O resultado de pesquisa para a escola foi apresentado no gráfico:

A imagem pode conter: texto que diz

Assinale a alternativa com a tabela associada a este gráfico.

A imagem pode conter: texto que diz

Alternativa: A

 

2 (SARESP 2015) Para frequentar as aulas de basquete, Rodrigo tem três camisetas, uma preta, uma amarela e uma branca, e duas bermudas, uma cinza e outra preta.

A imagem pode conter: shorts

De quantas maneiras diferentes Rodrigo pode se vestir para as aulas?

(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

Alternativa: D

 

3. (Saeb) Sendo N= (-3)2.-32, então, o valor de N é?

A) 18

(B) 0

(C) -18

(D) 12

Alternativa: 

 

 

4. (SAEB) Fabricio percebeu que as vigas do telhado da sua casa formavam um triangulo retângulo que tinha ângulo de 68°. Quanto medem os outros ângulos?

Nenhuma descrição de foto disponível.

(A) 22° e 90°

(B) 45° e 45°

(C) 56° e 56°

(D) 90° e 28

Alternativa: A