8º ANO - 1º BIMESTRE

Professor Diminoi

8º ANO – 1º BIMESTRE

Números Racionais

Transformação de decimais em fração

Dízimas periódicas e fração geratriz

Potenciação

Propriedades para expoentes inteiros

Tratamento da Informação

A linguagem das potências

Teoria dos Conjuntos – É o ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos.

Conjuntos Numéricos

Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. Eles nasceram como resultado das necessidades da humanidade em determinado período histórico.

Observação: Os números reais formam um conjunto que engloba aos números positivos, negativos, decimais, fracionários, zero, dízimas periódicas e dízimas não periódicas. Esse conjunto é considerado o mais completo e é capaz de realizar operações matemáticas de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Tipos de Conjuntos numéricos:

Conjunto dos Números Naturais

Conjunto dos Números Inteiros

Conjunto dos Números Racionais

Conjunto dos Números Irracionais

Conjunto dos Números Reais

Conjunto dos Números Complexos

Relação entre conjuntos numéricos

Alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros. Algumas dessas relações foram evidenciadas no decorrer do texto, contudo, todas elas serão expostas a seguir:

1 – O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros;

2 – O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais;

3 – O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos números reais;

4 – O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos números reais;

5 – O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números racionais não possuem nenhum elemento em comum;

6 – O conjunto dos números reais é subconjunto do conjunto dos números complexos.

Utilizando simbologia de teoria de conjuntos, essas relações podem ser escritas da seguinte maneira:

Números Racionais

O conjunto dos números racionais é constituído por números: inteiro (positivo e negativo), decimais, dizima periódica composta/ simples e frações. Utilizamos esses números para representar quantidades e medidas. Os conjuntos dos números naturais e inteiros fazem parte do conjunto dos números racionais. Na reta numérica podemos representar esse conjunto da seguinte forma:

Notação e relação de inclusão

O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo Q. A relação de inclusão é estabelecida com os conjuntos dos números naturais (N) e inteiros (Z). Observe o diagrama a seguir:

N ⊂ Z ⊂ Q

Lê-se:

N está contido em Z

Z está contido em Q

N está contido em Q

Elementos do conjunto dos números naturais (N)

N = {0, +1, +2, +3, +4, +5}

Elementos do conjunto dos números inteiros (Z)

Z = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5}

Elementos do conjunto dos números racionais (Q)

Q = {-7; -6; -5; -4; -3,4; -3; -2; -1,55...; -1; -0,422...; −13; -0,02; 0; +12; +0,8; +1; +2; +3; +4; +5; +9,6}

Subconjuntos dos números racionais

Os números racionais também possuem subconjuntos, os mesmos estão listados a seguir:

Conjunto dos números racionais não nulos

Q* = { x∈Q / x ≠ 0 }

Exemplo:

Q* = {...+2,5; -2; -1,5; -1; +12, +1; +1,5; +2; + 2,5...}

Observação: o (*) significa que o zero não pertence ao conjunto por ser o elemento nulo.

Conjunto dos números racionais não negativos

Q+ = { x∈Q / x ≥ 0 }

Exemplo:

Q+ = {0; +12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...}

Conjunto dos números racionais positivos e não nulo

Q+* = { x∈Q / x > 0 }

Exemplo:

Q+* = {+12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...}

Conjunto dos números racionais não positivos

Q− = { x∈Q / x ≤ 0}

Exemplo:

Q− = {-2; -1,5; -1; 0}

Conjunto dos números racionais negativos e não nulo

Q−* = { x∈Q / x <0}

Exemplo:

Q−* = {-2; -1,5; -1}

Exercícios resolvidos

Representação decimal de uma fração ordinária

Podemos transformar qualquer fração ordinária (ou seja, uma fração que não é decimal) em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos:

Observe os seguintes números decimais:

0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, 8/10.

0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja,65/100 .

5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, 536/100.

0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 47/1000

Observe então que:

Observação:

Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

Transformação de fração decimal em número decimal

Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

Observação: Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

Exercícios resolvidos:

00) Converta 3/4 em número decimal.

Conclusão: 3/4 é igual a 0,75 que é um decimal exato.

00) Converta 1/3 em número decimal.

Conclusão: 1/3 é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples.

00) Converta 5/6 em número decimal.

Conclusão: 5/6 é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta.

Exercícios resolvidos

00)

Dízima periódica

As dízimas periódicas fazem parte do conjunto dos Números Racionais, o mesmo é representado pelo símbolo Q. Esse conjunto é formado pela reunião dos números: naturais, inteiros, decimais, frações e dízima periódica. A representação simbólica desse conjunto é dada por:

Q = { x = a/b, com a ∈ Z e b ∈z∗ }

Há frações que não possuem representações decimal exata. A este numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Exemplos:

a) 1/3 = 0,333...

b) 5/6 = 0,833

Em uma dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

Dízimas periódicas simples

Nas dízimas periódicas simples, o período apresenta-se logo após a vírgula. Veja os exemplos:

a) 5/9 = 0,555... (período = 5)

b) 7/3 = 2,333... (período = 3)

c) 4/33 = 0.1212... (período = 12)

Dízimas periódicas compostas

Nas dízimas periódicas compostas, entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica. Exemplos:

a) 1/45 = 0,0222...

Período = 2
Parte não periódica ou anteperíodo = 0

b) 1039/900 = 1,15444...

Período = 4
Parte não periódica ou anteperíodo = 15

c) 61/495 = 0,1232323...

Período = 23
Parte não periódica ou anteperíodo = 1

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

a) 0,555... ou 0,5

b) 0,12323... ou 0,123

Fração Geratriz

Para tratarmos do assunto referente à fração geratriz, precisamos relembrar os conceitos de: dízima, dízima periódica simples e dízima não periódica.

Isso porque a fração geratriz é obtida por meio das dízimas periódicas.

Dízima é toda fração cuja divisão não resulta em um número decimal exato, ou seja, a divisão da fração irá gerar um número com infinitas casas decimais.

Exemplos:

0,34567...

2,33333...

0,345345...

0,222222...

A dízima periódica simples é dada pela repetição de termos numéricos nas casas decimais. Sendo assim, uma dízima periódica apresenta repetições de termos numéricos depois da vírgula, esses termos determinam o período.

Exemplos:

2,555... Período igual a 5

1,235235... Período igual a 235

0,323232... Período igual a 32

Já a dízima não periódica não possui período.

Observe:

2,326598..... Não possui período

25,12032569.... Não possui período

0,02069875... Não possui período

Vamos agora explicar um método prático para encontrar a fração geratriz. Caso tenha interesse em aprender o método tradicional clique aqui: Geratriz de uma dízima periódica.

Para utilizar esse método prático o primeiro passo é identificar o período da dízima periódica.

Exemplo:

Dízima periódica: 0,222...

Período igual a 2

No segundo passo devemos montar a fração geratriz. O numerador será o valor numérico do período, já o denominador será 9. A quantidade de noves no denominador é determinada pela quantidade de termos numéricos que compõem o período.

A dízima periódica 0,222... possui um período, então o numerador da fração será o numero 2 e o denominador possuirá somente um 9, porque temos somente um algarismo que representa o numerador. Logo:

0,222...= 2
9

A fração encontrada é a geratriz, ou seja, quando dividimos 2 por 9 geramos o valor de 0,222....

A fração geratriz, quando representada na forma decimal, produz dízimas periódicas simples ou compostas. Portanto, toda dízima periódica (número decimal) deve possuir uma forma fracionária, por isso demonstraremos como transformar números decimais em frações geratrizes. Primeiro vamos observar alguns exemplos de números racionais com períodos:

0,33333333... , período 3 (um algarismo)
0,23232323..., período 23 (dois algarismos)
0,562562562..., período 562 (três algarismos)

Exemplo 1: Encontrar a fração geratriz da seguinte dízima periódica: x = 0,333333...

Resolução:

1º passo

Relacionar a dízima periódica com uma incógnita

x = 0,333333...

2º passo

Multiplicar os dois lados da igualdade por um múltiplo de 10, de acordo com a quantidade de algarismos do período, por exemplo:
um algarismo, multiplicar por 10 dois algarismos, multiplicar por 100

três algarismos, multiplicar por 1000, e assim sucessivamente.

x = 0,333333 ... * 10

10x = 3,3333 ...

3º passo

Subtrair a segunda igualdade da primeira igualdade

10x = 3,3333

– x = 0,3333

9x = 3

x = 3/9

Exemplo 2: Encontrar a fração geratriz da seguinte dízima periódica: 0,232323... .

Resolução:
1º passo

x = 0,232323....

2º passo

x = 0,232323 ... * 100

100x = 23,23

3º passo

100x = 23,23

– x = 0,23

99x = 23

x = 23/99

Exemplo 3: Determinar a fração geratriz do número racional 0,562562...

Resolução:
1º passo

x = 0,562562...

2º passo

x = 0,562562... * 1000

1000x = 562,562

3º passo

1000x = 562,562

– x = 0,562

999x = 562

x = 562/999

Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas abaixo.

01) 0,3333...

Resolução:

período: 3

Numerador: 3

Denominador: 9, pois o numerador é representado por somente um algarismo.

Fração geratriz: 3
9

O número e o denominador são divisíveis por 3. Podemos então simplificar a fração geratriz:

3 ^{: 3} = 1
9 ^{: 3} 3

Caso queira verificar se 1/3 é, de fato, a fração que gera o número decimal 0,333... basta dividir 1 por 3.

02) Dízima periódica: 0,120120...

Resolução:

período: 120

Numerador: 120

Denominador: 999, pois o numerador é representado por 3 algarismos.

Fração geratriz: 120
999

O numerador e o denominador são divisíveis por 3. Simplificando a fração geratriz por 3 temos que:

120 = 40

999 333

03) Dízima periódica: 2,3737...

Resolução:

Essa dízima periódica possui um número inteiro que é 2. Para encontrar a fração geratriz dessa dízima basta separarmos a parte inteira da decimal numa soma e aplicarmos o método prático para encontrar a fração geratriz na parte decimal.

2,3737... = 2 + 0,3737... =

Período: 37

Numerador: 37

Denominador: 99, pois o numerador é representado por 2 algarismos.

Fração geratriz: 37
99

Agora substituímos, na soma, o valor decimal pela fração geratriz:

2,3737... = 2 + 0,3737... = 2 + 37
99

Faça com que os termos da soma tenha o mesmo denominador, em seguida some os numeradores.

2,3737... = 2 + 0,3737... = 2 ^{x 99}+ 37 = 198 + 37 = 235
1 ^{x 99} 99 99 99

A fração geratriz para a dízima periódica 2,3737... é:

2,3737... = 235
99

Exemplos:

Exercícios resolvido:

Exercícios 1: Calcule a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas simples:

Exercícios 2 Calcule a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas compostas:

Exercícios 3: Encontre a fração geratriz para realizar as seguintes operações entre números decimais:

Exercícios 4: Utilizando fração geratriz, encontre o resultado da seguinte operação:

(1,0131313… – 0, 0141414…)

Exercícios 5: Por meio de fração geratriz, encontre o resultado da seguinte operação:

0,54 + 3/5 – 1,22222… + 1,133333…

Método Prático

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos também utilizar um método prático.

Quando a dízima for simples, o numerador será igual a parte inteira com o período menos a parte inteira, e no denominador, a quantidades de "noves" igual ao número de algarismo do período.

Exemplos

1) Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,222...

Resolução:

Para encontrar a fração geratriz, vamos usar o método prático conforme esquematizado abaixo:

2) Qual a fração geratriz da dízima periódica 34,131313...?

Resolução:

Acompanhe o esquema abaixo para encontrar a fração geratriz.

Quando a dízima for composta, o numerador será igual a parte que não se repete com o período, menos a parte que não se repete.

3) Encontre a fração geratriz da dízima periódica 6,3777...

Resolução:

Como a dízima periódica é composta, encontraremos a fração geratriz utilizando o seguinte esquema:

Método Direto Para Obter a Fração de Uma Dízima Periódica

A regra para para obter a fração de uma dízima periódica é como descrita a seguir:

Primeiro de tudo, o numerador da fração é igual a toda a parte não periódica seguida do período menos a parte não periódica.

Enquanto o denominador é composto por tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica localizada após a vírgula.

Certamente, se uma dízima periódica possui dois dígitos no período e três dígitos para a parte não periódica, seriam dois noves seguidos de três zeros. Portanto, divide-se por 99000.

Exercícios resolvidos

00) Determine a fração geratriz da dízima 0,17222...

Resolução:

O numerador é composto pela parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica, ou seja, o numerador é dado por:

171 – 17 = 155

Além disso, o denominador é formado por um nove seguidos de dois zeros.

Conclusão: a fração geratriz da dízima 0,17222... é igual a 155/900.

00) Determine a fração geratriz da dízima 3,4555....

Resolução:

O numerador é composto pela parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica, ou seja, o numerador é dado por:

345 – 34 = 311

Além disso, o denominador é formado por um nove (correspondente a quantidade de algarismos do período), seguido de um zero (correspondente a quantidade de algarismos da parte não periódica após a vírgula).

Conclusão: a fração geratriz da dízima 3,4555... é igual a 311/90

00) Determine a fração geratriz da dízima 2,71333...

Resolução:

O numerador é composto pela parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica, ou seja, o numerador é dado por:

2713 – 271 = 2442

Além disso, o denominador é formado por um nove (correspondente a quantidade de algarismos do período), seguidos de dois zeros (correspondente a quantidade de algarismos da parte não periódica após a vírgula).

Conclusão: a fração geratriz da dízima 2, 71333... é igual a 2442/900. Dividindo o numerador e o denominador da fração por 3, tem-se a fração igual a 814/300.

Potências

A operação de potenciação com expoente natural pode ser interpretada como uma multiplicação com fatores iguais.

A operação de potenciação com expoente natural pode ser interpretada como uma multiplicação com fatores iguais. Então seja um número real a e um número natural n, tal que n diferente de 0, a potência aⁿ é a multiplicação de a por si mesmo n vezes.

Exemplos:

a) 5 ³ = 5 . 5 . 5 = 125

b) 20 ² = 20 . 20 = 400

c) (- 4,3)² = (- 4,3) . (- 4,3) = 18,49

A potência com expoente 1 é igual à própria base:

a) a¹ = a

b) 250 ¹ = 250

c) (-49 )¹ = -49

A potência que tem como base um número real não nulo e expoente zero é igual a 1:

a) a⁰= 1

b) 1000⁰= 1

Propriedades da potenciação

A potenciação possui oito propriedades mais importantes, com as quais é possível resolver quase todos os problemas envolvendo essa operação:

Expoente zero

Sempre que o expoente de uma potência for zero, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência será igual a 1. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a⁰ = 1

Expoente unitário

Sempre que o expoente de uma potência for 1, independentemente do valor de sua base, o resultado dessa potência sempre será igual ao valor da base. Em outras palavras, sendo a pertencente ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0:

a¹ = a

Produto de potências de mesma base

O resultado de um produto entre duas potências de bases iguais será uma terceira potência, na qual a base será igual às bases das potências que foram multiplicadas, e o expoente será igual à soma dos expoentes dessas potências.

Matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, e m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

na . a^m = a^{n + m}

Para verificar isso, observe o exemplo:

a⁴. a² = a . a . a . a . a . a = a⁶ = a^{4 + 2}

Divisão de potências de mesma base

Na divisão de potências de mesma base, mantemos a base no resultado, e seu expoente será a diferença entre os expoentes das potências que estão sendo divididas.

Assim, traduzindo matematicamente, se a for pertencente ao conjunto dos números reais, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, com a ≠ 0, teremos:

na : a^m = a^{n – m}

Exemplo:

a⁹: a⁷ = a^{9 – 7} = a²

Isso acontece porque:

a⁷:a⁹ = a⁷ = aaaaaaaaa = aa = a²
a⁹ aaaaaaa

Potência de potência

Isso ocorre quando a base de uma potência é outra potência. Nesse caso, multiplicamos os expoentes e conservamos a base.

Assim, se a for pertencente ao conjunto dos números reais e diferente de zero, m e n pertencentes ao conjunto dos números naturais, teremos:

(aⁿ)^m = a^n.m

Potência cuja base é uma divisão ou um produto

Nesse caso, cada um dos fatores deverá ser elevado separadamente ao expoente da potência. Dessa forma, se a e b forem pertencentes ao conjunto dos números reais e diferentes de zero, e m pertencente ao conjunto dos números naturais, teremos:

(a . b)ⁿ = na . bⁿ

Se a base for uma divisão, teremos:

(a : b)ⁿ = na : bⁿ

Esse último caso também pode ser expresso na forma de fração.

Expoentes negativos

Quando um expoente é negativo, seu sinal poderá ser invertido desde que, para isso, a base da potência também seja invertida.

Assim, caso a pertença aos números reais, e n seja pertencente aos números naturais e diferente de zero, teremos:

Potências com expoente racional

Caso uma potência apresente base a e expoente m/n, ela poderá ser reescrita como a raiz enésima de a elevado a m. Assim, matematicamente, teremos:

Exercícios resolvidos

00)

Como se lê uma potência

Toda potência tem a sua forma de representação, assim, possui também uma leitura específica que irá depender do valor do expoente. Veja como é feita a leitura das potências.

5¹ = cinco elevado a potência um ou cinco elevado a um.

4² = quatro elevado a potência dois ou quatro elevado a dois ou quatro elevado ao quadrado ou quadrado de nove.

8³ = oito elevado a terceira potência, oito elevado a três ou oito elevado ao cubo ou cubo de oito.

9⁴ = nove elevado a quarta potência, nove elevado a quarta.

2⁵ = dois elevado a quinta potência ou dois elevado a quinta.

Quando o expoente é igual a 2 ou 3 chamamos de quadrado ou cubo, essa denominação veio do cálculo da área de um quadrado que é o produto de dois fatores iguais (lados iguais) e do volume do cubo que é o produto de três fatores iguais (comprimento, largura e altura).

Observação:

A base de uma potência pode assumir qualquer valor real como o expoente também, ou seja, a base ou o expoente podem ser representados em forma de fração, número decimal, número negativo.

Exemplo:

Considere a potência 54 = 625, agora faça a identificação de seus elementos:

5 é a base

4 é o expoente

625 é a potência

Veja como calculamos algumas potências:

Exemplo:

30² = 30 . 30 = 900

12³ = 12 . 12 . 12 = 1728

10⁴= 10 . 10 . 10 . 10 = 10000

A Utilização de Potências no Cotidiano

As potências surgiram no intuito de representar multiplicações onde os fatores eram iguais. Dessa forma, algumas propriedades foram criadas nas operações envolvendo potenciações de bases iguais ou diferentes, simplificando os cálculos. Observe o desenvolvimento de uma potência:

3² = 3 x 3 = 9

4³ = 4 x 4 x 4 = 64

10³ = 10 x 10 x 10 = 1000

2⁵= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

6⁴= 6 x 6 x 6 x 6 = 1296

As potências possuem inúmeras aplicações no cotidiano, os cálculos envolvendo juros compostos são desenvolvidos baseados na potenciação das taxas de juros, a função exponencial também é um exemplo onde utilizamos potências, a notação científica utiliza potências no intuito de representar números muito grandes ou pequenos. É notório a importância das potências nos cálculos matemáticos modernos, facilitando e contribuindo na resolução de problemas cotidianos.

Exercícios resolvidos
00) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a uma taxa de 2% ao mês durante 10 meses, no regime de juros compostos. Determine o valor a ser recebido após o tempo da aplicação.

Resolução:

A situação acima envolve juros compostos, por isso ocorre acumulação de capital que deverá ser expresso por uma potenciação, onde o número de meses corresponderá ao expoente e a base será representada pela taxa. Observe a fórmula do cálculo do montante nos juros compostos:

M = C * (1 + i)^t (base = (1 + i) e expoente = t)

M = 500 * (1 + 0,02)¹⁰

M = 500 * 1,02¹⁰

M = 500 * 1,21899441999475713024

M = 609,50

Conclusão: o valor foi de R$ 609,50

00) A distância entre o Sol e a Terra é de aproximadamente 150 milhões de quilômetros
(150 000 000).

Conclusão: 1,5 x 10⁸. (base = 10 e expoente = 8)

Números muito pequenos

0,0000000007 = 7 . 10^–10 (base = 10 e expoente = –10)

Exercícios resolvidos

00)

Continua...