7167 ANO - 4º BIMESTE

7167 ANO - 4º BIMESTE

Professor Diminoi

7º ANO – 4º BIMESTRE

 Álgebra

Uso de letras para representar um valor desconhecido

Conceito de equação

Resolução de equações

Equações e problemas

 

O que é álgebra?

Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Isso significa que os conceitos e operações provenientes da aritmética (adição, subtração, multiplicação, divisão etc.) serão testados e sua eficácia será comprovada para todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos.

Nos estudos de álgebra, letras são utilizadas para representar números. Essas letras tanto podem representar números desconhecidos quanto um número qualquer pertencente a um conjunto numérico.

Propriedades das operações matemáticas

Sabendo que um número qualquer pertencente a um conjunto pode ser representado por uma letra, considere os números x, y e z como pertencentes ao conjunto dos números reais e as operações adição e multiplicação representadas por “+” e “·”, respectivamente. Então, as seguintes propriedades são válidas para x, y e z:

 

Associatividade

(x + y) + z = x + (y + z)

(x . y) z = x . (y·z)

Comutatividade

x + y = y + x

x . y = y . x

Existência de elemento neutro (1 para a multiplicação e 0 para a adição)

x + 0 = x

x . 1 = x

Existência de elemento oposto (ou simétrico).

x + (– x) = 0

 1 = 1
   x  

Distributividade (também chamada de propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição)

X . (y + z) = x . y + x . z

Essas cinco propriedades são válidas para todos os números reais x, y e z, uma vez que essas letras foram usadas para representar qualquer número real. Elas também são válidas para as operações adição e multiplicação.

 

Expressões Algébricas

Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam números, letras e operações.

As expressões desse tipo são usadas com frequência em fórmulas e equações.

As letras que aparecem em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um valor desconhecido.

Os números escritos na frente das letras são chamados de coeficientes e deverão ser multiplicados pelos valores atribuídos as letras.

Exemplo:

2 + 3 – 7 é uma expressão numérica.

Observação: quando essa expressão envolve números desconhecidos (incógnitas), ela é chamada de expressão algébrica.

Observação: uma expressão algébrica que possui apenas um termo é chamada de monômio.

 

Equações

Equações são expressões algébricas que possuem uma igualdade. Dessa forma, equação é um conteúdo da Matemática que relaciona números a incógnitas por intermédio de uma igualdade.

A presença da incógnita é o que classifica a equação como expressão algébrica. A presença da igualdade permite encontrar a solução de uma equação, isto é, o valor numérico da incógnita.

 

Exemplo 1

2x + 4 = 0

 

Exemplos 3

4x – 4 = 19 – 8x

 

Exemplos

a) x + 5

b) b2– 4ac

Cálculo de uma Expressão Algébrica

O valor de uma expressão algébrica depende do valor que será atribuído às letras.

Para calcular o valor de uma expressão algébrica devemos substituir os valores das letras e efetuar as operações indicadas. Lembrando que entre o coeficiente e a letras, a operação é de multiplicação.

Exemplo

O perímetro de um retângulo é calculado usando a fórmula:

P = 2b + 2h

Simplificação de Expressões Algébricas

Podemos escrever as expressões algébricas de forma mais simples somando seus termos semelhantes (mesma parte literal).

Para simplificar iremos somar ou subtrair os coeficientes dos termos semelhantes e repetir a parte literal.

Exemplo

3xy + 7xy4 - 6x3y + 2xy - 10xy4 = (3xy + 2xy) + (7xy- 10xy4) - 6x3y = 5xy - 3xy4 - 6x3y

Exemplo

ab - 3cd + 2ab - ab + 3cd + 5ab = (ab + 2ab - ab + 5ab) + (- 3cd + 3cd) = 7ab

 

Fatoração de Expressões Algébricas

Fatorar significa escrever uma expressão como produto de termos.

Transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de termos, frequentemente nos permite simplificar a expressão.

Para fatorar uma expressão algébrica podemos usar os seguintes casos:

 

Fator comum em evidência:

ax + bx = x . (a + b)

 

Agrupamento: 

ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)

 

Trinômio Quadrado Perfeito (Adição): 

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

 

Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença): 

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

 

Diferença de dois quadrados: 

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

 

Cubo Perfeito (Soma): 

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

 

Cubo Perfeito (Diferença): 

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

 

Monômios

Quando uma expressão algébrica apresenta apenas multiplicações entre o coeficiente e as letras (parte literal), ela é chamada de monômio.

Exemplos

a) 3ab

b) 10xy2z3

c) bh (quando não aparece nenhum número no coeficiente, seu valor é igual a 1)

Os monômios semelhantes são os que apresentam a mesma parte literal (mesmas letras com mesmos expoentes).

Os monômios 4xy e 30xy são semelhantes. Já os monômios 4xy e 30x2y3 não são semelhantes, pois as letras correspondentes não possuem o mesmo expoente.

 

Polinômios

Quando uma expressão algébrica possui somas e subtrações de monômios não semelhantes é chamada de polinômio.

Exemplos

a) 2xy + 3 x2y - xy3

b) a + b

c) 3abc + ab + ac + 5 bc

 

Operações Algébricas

 

Soma e subtração

A soma ou a subtração algébrica é feita somando-se ou subtraindo-se os coeficientes dos termos semelhantes e repetindo a parte literal.

Exemplo

a) Somar (2x2+ 3xy + y2) com (7x2- 5xy - y2)

(2x2 + 3xy + y2) + (7x2 - 5xy - y2) = (2 + 7) x2 + (3 - 5) xy + (1 - 1) y2 = 9x2 - 2xy

 

b) Subtrair (5ab - 3bc + a2) de (ab + 9bc - a3)

É importante observar que o sinal de menos na frente dos parênteses inverte todos os sinais de dentro dos parênteses.

(5ab - 3bc + a2) - (ab + 9bc - a3) = 5ab - 3bc + a2 - ab - 9bc + a3 =
(5 - 1) ab + (- 3 - 9)bc + a2 + a3 = 4ab -12bc + a2 + a3

 

Multiplicação

A multiplicação algébrica é feita multiplicando-se termo a termo.

Para multiplicar a parte literal, usamos a propriedade da potenciação para multiplicação de mesma base: "repete-se a base e soma-se os expoentes".

Exemplo

Multiplicar (3x2 + 4xy) com (2x + 3)

(3x2 + 4xy) . (2x + 3) = 3x. 2x + 3x. 3 + 4xy . 2x + 4xy . 3 = 6x3 + 9x2 + 8x2y + 12xy

 

Divisão de um polinômio por um monômio

A divisão de um polinômio por um monômio é feita dividindo os coeficientes do polinômio pelo coeficiente do monômio. Na parte literal, usa-se a propriedade da divisão de potência de mesma base (repete-se a base e subtrai os expoentes).

Exemplo

  

O que é equação?

Equação é uma expressão algébrica que contém uma igualdade. Ela foi criada para ajudar as pessoas a encontrarem soluções para problemas nos quais um número não é conhecido. Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, por exemplo, é possível encontrar esses dois números por meio de equações.

Antes de aprender a resolver equações, é preciso compreender o significado da definição dada acima.

 

Expressões algébricas

Expressões algébricas são um conjunto de operações matemáticas básicas aplicadas a números conhecidos e a números desconhecidos. Para representar esses números desconhecidos, são utilizadas letras. É mais comum utilizar as letras x e y, mas isso não significa que elas são as únicas. Em alguns casos, são utilizadas letras do alfabeto grego e até símbolos diversos.

Exemplos:

1) 12x2 + 16y + 4ab

2) x + y

3) 4 + 7a

Todas essas expressões possuem letras representando números e números sendo somados e multiplicados.

 

Igualdade

Toda expressão algébrica que possuir uma igualdade em sua composição será chamada de equação.

Exemplos:

1) x + 2 = 7

2) 12x2 + 16y + 4ab = 7

3) 1:x = 3

A igualdade é o que permite encontrar os resultados de uma equação. É a igualdade que relaciona uma operação matemática aplicada em alguns números com o seu resultado. Portanto, a igualdade é peça fundamental ao procurar os resultados de uma equação.

 

Exercícios resolvidos

00) Dada a equação x – 14 = 8, qual é o valor de x?

Resolução:

x – 14 = 8

x = 8 + 14

x = 22

Somando 14 e 8, teremos 22 como resultado.

 

Grau de uma equação

O grau também pode ser dado pelo produto de incógnitas diferentes.

ax + b = 0 ( 1º grau)

ax2 + bx + c = 0 (2º grau)

 

00) Qual o valor de x na equação 4x + 4 = 2x – 8?

Resolução:

4x + 4 = 2x – 8

4x – 2x = – 8 – 4

2x = – 12

2x = – 12

x = –12
      2

x = – 6

Conclusão:  o valor de x é – 6.

 

00) Sabendo que a soma de dois números consecutivos é igual a 11, quais são esses dois números?

Resolução:

x + (x + 1) = 11

x + x + 1 = 11

x + x = 11 – 1

2x = 10

2x = 10

x = 10
      2

x = 5

Conclusão: como x representava o primeiro número, então os números consecutivos cuja soma tem 11 como resultado são 5 e 6.

 

00) (PUC – RJ) 3/5 de um número somados a ½ é igual a 2/3 desse mesmo número. Indique a opção que apresenta esse número.

(A) 0

(B) 1

(C) 20/33

(D) 33/20

(E) 15/2

Resolução:

Como desconhecemos o número procurado no exercício, podemos identificá-lo como a incógnita x. Sendo assim, podemos escrever a expressão literal 3/5 de um número somados a ½ é igual a 2/3 desse mesmo número” como:

.  + 1 = 2. x
5       2    3

Calculando o mínimo múltiplo comum entre os denominadores 2, 3 e 5, teremos:

6 . 3x + 15.1 10 . 2x
    30          30

18x + 15 = 20x

15 = 20x – 18x

15 = 2x

2x = 15

x = 15
       2

Alternativa: E

 

00) Resolva a equação do 1° grau: 4.(x + 3) – x = 24 + x

Resolução:

Aplicando a propriedade distributiva ao primeiro membro da equação do 1° grau, temos:

4.(x + 3) – x = 24 + x

4x + 12 – x = 24 + x

Ao organizar a equação, manteremos todos os elementos que possuem a incógnita no lado esquerdo da equação e todos aqueles que não estão acompanhados da incógnita x permanecerão no lado direito:

4x – x – x = 24 – 12

2x = 12

x = 12
       2

x = 6

Conclusão: a equação, encontramos que o valor da incógnita x é 6.

 

00) Encontre a raiz da equação do 1° grau: 9x + 75 = 34
                                                                         x 

Resolução:

Para identificar a raiz da equação, inicialmente vamos trocar de membro a incógnita x. Dessa forma, ela irá para o segundo membro da equação através de uma multiplicação:

9x + 75 = 34
    x

9x + 75 = 34x

75 = 34x – 9x

75 = 25x

25x = 75

x = 75
      25

x = 3

Conclusão: a raiz da equação é 3.

 

00) (Unicamp) Um copo cheio de água pesa 385 g; com 2/3 da água pesa 310 g. Pergunta-se:

a) Qual é o peso do copo vazio?

Resolução:

Se o copo cheio pesa 385 g e, com 2/3 de água, pesa 310 g, podemos encontrar o peso do copo através da diferença entre o peso do copo cheio pelo peso do copo parcialmente preenchido, isto é, se x representa o peso da água, então:

x – 2.x = 385 – 310
      3
1.x = 75
3
x = 75.3
x = 225 g

Seja o peso do copo. Retirando 225 g de água do peso do copo cheio (385 g), teremos:

y = 385 – 225
y = 160 g
Conclusão: o copo vazio pesa 160 g.

 

b)Qual é o peso do copo com 3/5 da água?

Resolução:

 

00) Já sabemos que o peso do copo vazio é de 160 g e que a quantidade de água suficiente para encher o copo é de 225 g. Basta então calcular o valor correspondente a 3/5 dessa quantidade de água e adicioná-lo ao peso do copo. Seja z o peso do copo com 3/5 da água:

z = 3.225 + 160
      5

z = 675 + 160
       5

z = 135 + 160

z = 295 g

Conclusão: quando o copo está preenchido com 3/5 da água, seu peso é de 295 g.

 

 

Continua...