7º ANO - 2º BIMESTRE

7º ANO - 2º BIMESTRE

Professor Diminoi

7º ANO - 2º BIMESTRE

Geometria / Medidas

Ângulos

Triângulos

Teorema e Tales

Polígonos

Circunferência

Simetrias

Construções geométricas

Poliedros

 

Geometria 

Geometria é uma das três grandes áreas da Matemática, ao lado de cálculo e álgebra. A palavra “geometria” tem origem grega e sua tradução literal é: “medir a terra”. Essa informação nos dá pistas de como nasceu e o motivo pelo qual ela se desenvolveu durante os séculos.

 

geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume. 

Geometria Plana: Todas as figuras, formas e definições são feitas para objetos pertencentes ao plano, isto é, que possuem apenas largura e comprimento, mas não possuem profundidade.

Os conceitos discutidos pela geometria plana são de ponto, reta, plano, posições relativas, distância entre dois pontos, ângulos, polígonos, áreas e trigonometria, entre outros.

Geometria Espacial: Os objetos pertencem ao espaço tridimensional, ou seja, agora existe a possibilidade de considerar a sua profundidade.

Os conceitos discutidos na geometria espacial são: todos os da geometria plana, além de planos, poliedros e corpos redondos.

Geometria Analítica: Subárea que relaciona a geometria com a álgebra e utiliza uma para resolver problemas provenientes da outra.

Os conceitos discutidos na geometria analítica são: todos os conceitos e definições da geometria plana e espacial do ponto de vista algébrico, coordenadas, vetores, matrizes, quádricas e sólidos de revolução, entre outros.

 

Conceitos de Geometria Plana

Ponto - Conceitos adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam um localidade e são indicados com letras maiúsculas.

Reta - É representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se apresentar em três posições:

Observação: retas perpendiculares são retas que formam um ângulo de 90º entre si.

Segmento de Reta - Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos.

Plano - Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas.

Ângulos - Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:

Área - A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área.

Perímetro - O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

 

Figuras da Geometrias Planas

Triângulo - É uma figura plana fechada de três lados, o triângulo é uma figura geométrica plana formada por três segmentos de reta.

Segundo a forma dos triângulos, eles são classificados em:

Triangulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°);

Triangulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes;

Triangulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes.

Ângulos - No tocante aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em:

Triângulo retângulo: possui um ângulo interno de 90°;

Triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo obtuso interno, maior que 90°;

Triângulo octangular: possui três ângulos internos menores que 90°.

Quadrado - Polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°).

Retângulo - Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os outros dois paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°).

Círculo - Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade.

Trapézio - Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o trapézio é uma figura geométrica plana.

Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em:

Trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º;

Trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida;

Trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes.

Losango - Quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e o retângulo, é considerado um paralelogramo.

Ou seja, é um polígono de quatro lados os quais possuem lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.

Figuras da Geometrias Planas

Calculando Área e Perímetro

 

Teorema de Pitágoras

Uma das fórmulas mais importantes para esta frente matemática é o Teorema de Pitágoras.

Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos (os “lados” que formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta maior da figura).

 

Exercícios resolvidos

01) Temos um triângulo equilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?

Resolução:

Perímetro: 6 . 3 = 18cm

Área:

 

02) Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio?

Resolução:

 

03) Sabendo que a área de um quadrado é 36 cm², qual é seu perímetro?

Resolução:

Vamos descobrir o lado do quadrado:

x . x = 36

x = 

x = 6

Conclusão: seu perímetro é 6 . 4 = 24cm.

 

Ângulos

O estudo dos ângulos é fundamental para compreender conceitos ligados a geometria, trigonometria, entre outros ramos da Matemática. O estudo dos ângulos é um dos responsáveis pelos avanços que possuímos atualmente em vários ramos, como a navegação e a astronomia. Um exemplo notável é o astrolábio náutico (inventado pelo grego Hiparco) usado para medir ângulos. Nos séculos V e VI, os navegadores construíram esse instrumento para medir a elevação das estrelas e do sol com o intuito de localizar suas embarcações. Mais tarde, o astrolábio deu origem ao sextante, mais simplificado, mas que cumpria a mesma função.

Definição de ângulo

Chama-se ângulo a região entre duas semirretas que partem de uma mesma origem. Podemos dizer, ainda que um ângulo é a medida da abertura de duas semirretas que partem da mesma origem.

Indica-se: 

∠AOB, ∠BOA, AÔB, BÔA ou Ô.

 

O ponto "O" é o vértice do ângulo e as semirretas OA¯¯¯¯¯¯¯¯ e OB¯¯¯¯¯¯¯¯ são os lados do ângulo.

Ângulos consecutivos

Dois ângulos são consecutivos se eles compartilham um mesmo lado, ou seja, se o lado de um, for também o mesmo lado do outro.

Ângulos adjacentes

Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, e somente se, não compartilham pontos internos, ou seja, não estão sobrepostos um ou outro.

Congruência (≅)

Para que ângulos possam ser considerados congruentes (iguais), devem satisfazer os seguintes postulados:

reflexiva:

todo ângulo é congruente a si mesmo (aôb  aôb)

simétrica:

se aôb côd, então côd aôb

transitiva:

se aôb côd e côd eôf então aôb  eôf

Adição de ângulos

Se a semirreta OB é interna ao ângulo AÔC, o ângulo AÔC é a soma dos ângulos AÔB e BÔC. Assim:

AÔC = AÔB + BÔC

Bissetriz de um ângulo

A bissetriz de um ângulo é a semirreta que parte do vértice do ângulo e o divide em dois ângulos congruentes (iguais).

Formalmente falando, uma semirreta ob interna ao ângulo aôc, é bissetriz desse ângulo se, e somente se, aôb bôc.

Ângulos opostos pelo vértice

Dizemos que dois ângulos são opostos pelo vértice se as semirretas que os formam partem do mesmo vértice e são opostas aos lados do outro.

Α = β

Medida de um ângulo - amplitude

A medida de um ângulo é um número real positivo associado a ele, de forma que:

Ângulos congruentes têm medidas iguais e ângulos iguais são congruentes.

Se um ângulo α é maior que um ângulo β, então a medida de α será maior que a medida de β.

A soma de dois ou mais ângulos é a soma das medidas de cada um desses ângulos.

Observação: chama-se a medida de um ângulo de amplitude.

Unidades de medida de um ângulo

Grau (°)

A unidade principal de medida de um ângulo é o grau (°).

(um grau) equivale a 1/360 de uma circunferência, ou seja, 1° corresponde a uma das 360 partes em que uma circunferência foi dividida. Assim, uma circunferência inteira possui 360°.

Minuto ( ‘ )

Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que , utilizamos a medida minuto ( ‘ ). Um minuto corresponde a 1/60 de um grau, ou seja, 1 minuto (1’) corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de foi dividido.

1’ = 1º/60

Um grau possui 60 minutos (1º = 60').

Segundo ( '' )

Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida segundo ( '' ). Um segundo corresponde a 1/60 de um minuto, ou seja, 1 segundo (1'') corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de 1' foi dividido.

1′′ = 160

Um minuto possui 60 segundos (1' = 60'').

Grado

Esta medida não é muito usual.

Um grado corresponde a 9/10 de um grau, ou seja, 1 grado (1 gr) corresponde a 9 das 10 partes em que um ângulo de foi dividido.

Classificação de ângulos

Os ângulos podem ser classificados de acordo com a sua medida.

Ângulo agudo: ângulo com medida menor que 90º (0° < α < 90°).

Ângulo reto: ângulo com medida igual a 90º.

Ângulo obtuso: ângulo com medida maior que 90º (90° < α < 180°).

Ângulo raso: ângulo com medida igual a ou 180º.

Ângulo Côncavo: ângulo com medida entre 180º e 360º.

Ângulo completo ou de uma volta: ângulo com medida igual a 360°.

Ângulos complementares

Dizemos que dois ângulos são complementares quando a sua soma equivale a 90°.

α + β = 900

Ângulos suplementares

Dizemos que dois ângulos são suplementares se, e somente se, a sua soma for igual a 180°.

α + β = 1800

Ângulos replementares

Dois ângulos são replementares quando a sua soma for igual a 360°.

 Α + β = 3600

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Duas retas paralelas e distintas, r e s, cortadas por uma outra reta transversal t delimitam oito ângulos, como na figura. Esses ângulos serão suplementares ou congruentes.

Exercícios resolvidos

00) Um ângulo excede o seu complemento em 48°. DETERMINE o suplemento desse ângulo.

Resolução:

Seja x o ângulo procurado e y o seu complemento. x = 48 + y. Como x e y são complementares, x + y = 90. Assim, y = 90 – x. Então

x = 48+(90-x)

x = 48+90-x

x = 138-x

2x = 138

x = 138/2 = 69º

Conclusão:  69° somado com seu suplemento deve ser igual a 180°. Assim, o suplemento será 180°- 69° = 111°.

00)   

 

 Triangulo

 Triângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos.

Para que o triangulo exista, cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois.

Observação:

A soma dos ângulos internos de um triângulo sempre vale 180˚.

A soma dos ângulos externos sempre vale 360˚.

As vértices do triângulo são representadas por letras maiúsculas, A, B, e C.

Os lados são representados por letras minúsculas, a, b, c.

 

Classificação dos triângulos

Os triângulos podem ser classificados de duas formas: pelos lados e pelos ângulos internos.

Classificação quanto aos lados:

Triângulo Equilátero

Todos os lados são congruentes. O triangulo equilátero também é equiângulo e por isso os ângulos internos medem 60˚.

Triângulo Isósceles

Possui dois lados iguais. Nada se afirma sobre o terceiro lado, em geral é diferente e nesses casos é chamado de base do triangulo isósceles. É importante lembrar que caso o terceiro lado seja congruente aos demais não há problema e o triangulo se encaixará na classificação anterior, isto é, será equilátero.

Triângulo Escaleno

Nenhum dos lados possui mesma medida.

 

Classificação quanto aos ângulos:

Triângulo acutângulo

O maior dos ângulos é menor que 90˚.

Triângulo Retângulo

O maior dos ângulos mede 90˚

Triângulo Obtuso

O maior dos ângulos é maior que 90˚

 

Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos ordenadamente congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes proporcionais. Usamos o símbolo ~ para indicar que dois triângulos são semelhantes.

Para saber quais são os lados proporcionais, primeiro devemos identificar os ângulos de mesma medida. Os lados homólogos (correspondentes) serão os lados opostos a esses ângulos.

Razão de Proporcionalidade

Como nos triângulos semelhantes os lados homólogos são proporcionais, o resultado da divisão desses lados será um valor constante. Esse valor é chamado de razão de proporcionalidade.

Considere os triângulos ABC e EFG semelhantes, representados na figura abaixo:

Os lados a e eb e gc e são homólogos, sendo assim, temos as seguintes proporções:

a / e = b / g = c / f = k

Onde k é a razão de proporcionalidade.

Casos de Semelhança

Caso Ângulo Ângulo (AA)Dois triângulos são semelhantes se possuírem dois ângulos correspondentes congruentes.

Não é necessário verificar o terceiro ângulo e nenhuma proporcionalidade entre os lados. Basta que dois ângulos sejam congruentes e os dois triângulos já podem ser declarados semelhantes, como no exemplo a seguir:

Caso Lado Lado Lado (LLL)Se dois triângulos possuem três lados proporcionais, então esses dois triângulos são semelhantes. Portanto, não é necessário verificar os ângulos.

Na imagem acima, observe que as razões entre lados correspondentes têm o mesmo resultado:

AB = BC = CA = 1
DE    EF    FD    2

Então, pelo segundo caso de semelhança, esses triângulos são semelhantes.

Caso Lado Ângulo Lado (LAL)Dois triângulos que possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre eles congruente são semelhantes. Observe este caso de semelhança no exemplo:

AB CA = 1
DE    FD    2

Nesse exemplo, o ângulo de 90 graus fica entre os lados proporcionais. Configurando assim o caso LAL.

Teorema Fundamental da semelhança

Quando uma reta paralela a um lado de um triângulo intersecta os outros dois lados em pontos distintos, forma um triângulo que é semelhante ao primeiro.

Na figura abaixo, representamos o triângulo ABC e a reta r paralela ao lado .

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Os triângulos que possuem um ângulo igual a 90º são chamados de triângulos retângulos. O lado oposto ao ângulo de 90º é chamado hipotenusa e os outros dois lados são chamados de catetos.

No triângulo representado abaixo, o lado a é a hipotenusa e b e c são os catetos.

Ao traçar a altura relativa à hipotenusa, dividimos o triângulo retângulo em dois outros triângulos retângulos. Conforme figura abaixo:

Observando os medidas dos ângulos desses três triângulos, percebemos que eles são semelhantes, ou seja:

Usando as proporções entre os lados, determinamos as seguintes relações:

Congruência de Triângulos

Triângulos semelhantes não são triângulos iguais. Os triângulos são considerados congruentes (iguais) quando coincidem ao serem sobrepostos.

Casos de congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes quando for verificado um dos seguintes casos:

1º caso: Os três lados são respectivamente congruentes.

2º caso: Dois lados congruentes (mesma medida) e o ângulo formado por eles também congruente.

3º caso: dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente.

 

Exercícios resolvidos

00) Dados os triângulos abaixo, responda:

a) Eles são semelhantes? Justifique a resposta.
Resolução:

São semelhantes porque têm dois ângulos iguais.

 

b) Qual é o ângulo que não aparece nas figuras?

Resolução:

A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º. Logo:

72º + 35º = 107º

180º - 107º = 73º

Conclusão: o ângulo é 73º

 

00) (ENEM)O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?

(A) 1 m
(B) 2 m
(C) 2,4 m
(D) 3 m
(E) 2 √6 m

Resolução:

Alternativa: C

 

Teorema de Tales

Teorema de Tales é uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado entre retas paralelas e transversais.

O teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto (624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.

O experimento de Tales foi realizado através da observação de uma sombra da pirâmide. A partir disso, ele conseguiu calcular a altura da pirâmide Quéops, no Egito, com base na sombra que ela projetava.

O Teorema de Tales possui inúmeras aplicações nas diversas situações envolvendo cálculo de distâncias inacessíveis e possui grande aplicabilidade nas questões relacionadas à Astronomia.

 

Enunciado

Retas paralelas cortadas por retas transversais formam segmentos proporcionais. Observe:

No esquema acima, as retas a, b e c são paralelas e as retas r e r’ são transversais. De acordo com o Teorema de Tales, temos as seguintes proporcionalidades:

Exemplo

Para compreender melhor o teorema de tales, observe a figura abaixo:

Na figura acima as retas transversais u e v interceptam as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: M, N e O. Logo, de acordo com o Teorema de Tales:

Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF.

Teorema de Tales nos Triângulos

O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um exemplo em que se aplica o teorema:

De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É representado da seguinte forma:

Δ ABC ~ Δ AED

Exercícios Resolvidos

00) Observe o seguinte exemplo, nele aplicaremos o Teorema de Tales para encontrar o valor do segmento desconhecido:

Resolução:

 

 

 

Polígono

Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Em outras palavras, são figuras geométricas planas formadas por lados, que, por sua vez, são segmentos de reta.

Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se tocam apenas nas extremidades.

Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é chamado de complexo.

Polígono convexo e côncavo

A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava.

Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece.

Polígonos regulares

Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo.

Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular.

Elementos do Polígono

Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono.

Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos.

Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.

Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela seguinte fórmula:

A = (n – 2)180

Nessa fórmula, n é o número de lados do polígono.

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°, e o número de diagonais de um polígono convexo é obtido pela fórmula abaixo:

d = n(n – 3)
     2

Polígonos regulares

Quando um polígono convexo possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos com a mesma medida, ele é chamado de regular.

As propriedades dos polígonos regulares são:

Cada ângulo interno de um polígono regular pode ser obtido pela fórmula:

A = (n – 2)180
      n

Nessa fórmula acima, o numerador do segundo membro é a fórmula usada para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, e n é o número de lados do polígono.

Cada ângulo externo de um polígono regular de n lados pode ser obtido pela seguinte fórmula:

S = 360°
      n

Em que n é o número de lados do polígono.

Ângulos externos: São ângulos formados entre um lado de um polígono e o prolongamento do lado consecutivo a ele.

Diagonais: São segmentos de reta que ligam dois vértices consecutivos de um polígono convexo.

A imagem a seguir mostra cada um desses elementos de um polígono:

segmento CD é lado desse polígono, e o ponto C é um de seus vértices. O ângulo α é um de seus ângulos internos, e β é um de seus ângulos externos. Além disso, o segmento AD é uma de suas diagonais.

 

Exercícios resolvidos

04) A respeito das classificações que os polígonos podem sofrer, assinale a alternativa que for correta:

(A) Um polígono é chamado convexo quando, dados os pontos A e B em seu interior, existe um único segmento que liga esses pontos.

(B) Um polígono é chamado não convexo quando, dados os pontos A e B, nem todos os pontos do segmento AB estão no interior do polígono.

(C) Um polígono é chamado regular quando todos os seus ângulos possuem a mesma medida.

(D) Um polígono é chamado regular quando todos os seus lados possuem a mesma medida.

(E) Um polígono convexo não pode ser regular.

Resolução:

a) Incorreta!

No plano, sempre existirá um segmento de reta que ligará dois pontos. Portanto, a afirmativa é inconclusiva. Apenas com essa afirmativa é impossível determinar se um polígono é convexo ou não, pois, para que um polígono seja convexo, é necessário que nenhum dos pontos do segmento AB seja exterior ao polígono, quando os pontos A e B estiverem em seu interior.

b) Correta!

c) Incorreta!

Um polígono é regular quando seus ângulos internos têm a mesma medida e, ao mesmo tempo, seus lados são todos congruentes.

d) Incorreta!

Os ângulos desse polígono precisam ter a mesma medida para que ele seja regular.

e) Incorreta!

Para que um polígono seja regular, ele precisa obrigatoriamente ser convexo.

Alternativa: B

 

05) Todo polígono é composto por elementos que são outras figuras geométricas e que recebem um nome especial por causa de sua função, definição e propriedades. A respeito desses elementos dos polígonos, assinale a alternativa correta:

(A) Os triângulos não possuem diagonais.

(B) Uma diagonal de um polígono é qualquer segmento de reta que liga dois de seus vértices.

(C) Um ângulo externo de um polígono é qualquer ângulo que pertença a ele e que não seja um ângulo interno.

(D) Os quadrados possuem apenas uma diagonal.

(E) Os retângulos e os quadrados possuem um número diferente de diagonais.

Resolução:

a) Correta!

As diagonais são segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos de um polígono. Não existem vértices que não sejam consecutivos em um triângulo, por isso não existem diagonais nele.

b) Incorreta!

Para ser diagonal, o segmento de reta precisa ligar dois vértices não consecutivos do polígono.

c) Incorreta!

Um ângulo externo é a abertura entre um lado e o prolongamento do lado adjacente a ele. Portanto, não é qualquer ângulo que pode ser considerado um ângulo externo de um polígono.

d) Incorreta!

Os quadrados possuem duas diagonais.

e) Incorreta!

Quadrados e retângulos possuem o mesmo número de diagonais.

Alternativa: A

 

06) Um polígono convexo que possua exatamente 170 diagonais é formado por quantos lados?

(A) 10 lados

(B) 13 lados

(C) 15 lados

(D) 17 lados

(E) 20 lados

Resolução:

Para descobrir o número de lados de um polígono convexo, sabendo-se seu número de diagonais, basta usar a fórmula da soma das diagonais de um polígono convexo. Substituindo nessa fórmula o número de diagonais desse polígono, teremos:

S = n(n – 3)
         2

170 = n(n – 3)
            2

170·2 = n(n – 3)

340 = n2 – 3n

n2 – 3n – 340 = 0

 Δ = b2 – 4·a·c

Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 340)

Δ = 9 + 1360

Δ = 1369

n = – b ± √Δ
           2ª

n = – (– 3) ± √1369
       2

n = 3 ± 37
      2

n’ = 3 + 37 = 40 = 20
   2        2

n’’ = 3 – 37 = – 34 = – 17
           2           2            

Como não pode existir um polígono com – 17 lados, então essa figura tem exatamente 20 lados.

Alternativa: E

 

07) Qual é a medida de um ângulo interno de um eneágono regular?

(A) 100°

(B) 110°

(C) 120°

() 140°

(E) 150°

Resolução:

Um eneágono é um polígono que possui nove lados. A medida de cada um dos ângulos internos dessa figura é dada pela seguinte expressão:

A = (n – 2)180
            n

A = (9 – 2)180
           9

A = (7)180
          9

A = 1260
         9

A = 140°

Cada ângulo interno de um polígono convexo que possua nove lados mede 140°.

Alternativa: D

 

08) Os polígonos podem ser classificados como convexos ou não convexos, regulares ou não regulares. A respeito dessa classificação, assinale a alternativa correta:

(A) Um polígono é dito convexo quando possui todos os lados iguais.

(B) Um polígono é dito convexo quando possui todos os ângulos iguais.

(C) Um polígono é regular quando possui lados congruentes.

(D) Um polígono é convexo quando qualquer segmento de reta, que possui extremidades em seu interior, não possui pontos fora dele.

(E) Um polígono é dito regular quando um segmento de reta, que possui extremidades em seu interior, possui pontos fora dele.

Resolução:

Um polígono é dito convexo quando não existe nenhum segmento de reta com extremidades em seu interior com pontos fora dele. Um polígono é dito regular quando seus lados são congruentes e todos os seus ângulos internos têm a mesma medida. Assim, as alternativas ab, c e e estão incorretas.

Alternativa: D

 

09) Considerando os elementos dos polígonos convexos e suas definições básicas, assinale a alternativa correta:

(A) Os lados de um polígono são segmentos de reta que podem cruzar-se em qualquer ponto.

(B) O vértice de um polígono é o ponto de encontro entre seus dois maiores lados.

(C) Os ângulos externos de um polígono são a abertura entre dois lados consecutivos, só que pelo lado externo do polígono.

(D) Os ângulos internos do polígono são a abertura entre dois lados consecutivos do polígono, em seu interior.

(E) As diagonais de um polígono são segmentos de reta que ligam dois de seus vértices.

Resolução:

a) Incorreta!

Os lados de um polígono são segmentos de reta que não se cruzam. Esses elementos encontram-se apenas em suas extremidades.

b) Incorreta!

Os vértices de um polígono são todos os pontos de encontro entre seus lados.

c) Incorreta!

Os ângulos externos de um polígono são a abertura entre um lado e o prolongamento do lado adjacente.

d) Correta!

e) Incorreta!

As diagonais de um polígono são segmentos de reta que ligam dois de seus vértices, com a condição de que esses vértices não sejam consecutivos. O segmento de reta que liga dois vértices consecutivos de um polígono é o lado.

Alternativa: D

 

10) A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é igual a 2340°. Quantos lados esse polígono possui?

(A) 13 lados

(B) 15 lados

(C) 17 lados

(D) 19 lados

(E) 21 lados

Resolução:

Para fazer esse cálculo, basta usar a fórmula:

S = (n – 2)180

Em que S é a soma dos ângulos internos do polígono e n é seu número de lados. Substituindo 2340° nessa fórmula, teremos:

2340 = (n – 2)180

2340 = n – 2
  180             

13 = n – 2

n = 13 + 2

n = 15

O polígono possui 15 lados.

Alternativa: B

 

11) Um polígono convexo possui 25 lados. Qual é o número total de diagonais que esse polígono possui?

(A) 200

(B) 225

(C) 250

(D) 260

(E) 275

Resolução:

Para encontrar o número de diagonais de um polígono convexo, basta usar a fórmula:

d = n(n – 3)
           2    

Na qual n é o número de lados do polígono. Substituindo n por 25, teremos:

d = n(n – 3)
          2   

d = 25(25 – 3)
             2    

d = 25(22)
         2   

d = 25·11

d = 275

 Alternativa: E

 

Circunferência

Circunferência é uma figura geométrica com formato circular que faz parte dos estudos de geometria analítica. Note que todos os pontos de uma circunferência são equidistantes de seu raio (r).

Elementos do círculo e da circunferência

Os elementos do círculo e da circunferência são raio, diâmetro, corda, arco da circunferência, setor circular e coroa circular, entre outros.

Para um dado ponto C, chamado centro, uma circunferência é o conjunto de todos os pontos que possuem uma distância fixa até C. Essa distância geralmente é representada pela letra r. Os círculos, por sua vez, são compostos por todos os pontos de uma circunferência e por seus pontos interiores. A imagem a seguir ilustra uma circunferência e um círculo.

Destacamos a seguir os elementos dessas duas figuras, que possuem grande importância para a Geometria:

Raio

raio é a distância entre um ponto de uma circunferência e seu centro. O raio do círculo é a distância entre a borda do círculo e seu centro.

Dizemos que um ponto é interior a uma circunferência quando a sua distância até o centro é menor que o raio; o ponto é externo quando a distância entre o centro e ele é maior que o raio; e, por fim, dizemos que um ponto pertence a uma circunferência quando sua distância até o centro é igual ao raio.

O raio da circunferência (e/ou do círculo) é indispensável em cálculos, como comprimento, área etc.

Cordas

Em uma circunferência, a corda é qualquer segmento de reta que liga dois de seus pontos. Atenção: o centro não é ponto da circunferência!

Dessa maneira, as cordas, em um círculo, podem ser compreendidas como segmentos de reta que ligam dois pontos distintos de sua borda.

Diâmetro

O diâmetro é uma corda da circunferência que contém o centro. Dessa maneira, o diâmetro é a maior corda possível em uma circunferência e sua medida é igual a duas vezes o raio.

d = 2r

O resultado da divisão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro sempre será igual a uma constante, representada pela letra grega π, que é aproximadamente 3,14. Isso independe do tamanho da circunferência, pois seu comprimento e seu diâmetro são proporcionais e a razão de proporcionalidade é igual a π.

Comprimento

comprimento de uma circunferência é a medida da própria circunferência em alguma unidade de medida conhecida. Esse comprimento pode ser obtido pela fórmula:

C = 2πr

Nessa fórmula, π é uma constante (aproximadamente 3,14) e r é a medida do raio da circunferência.

Arco

Considere os pontos A e B sobre uma circunferência. As duas partes formadas que vão de A até B são chamadas de arcos da circunferência, como demonstrado na figura a seguir:

Em outras palavras, o arco é uma parte de uma circunferência limitada por dois pontos.

Setor circular

É o equivalente ao arco, porém para o círculo. Em dados dois raios distintos de um círculo, o setor circular é a parte limitada por eles.

setor circular é algo que se parece com uma fatia de pizza. A parte restante também é chamada de setor circular.

Ângulo central

É um ângulo cujo vértice está no centro de um círculo e os lados são seus raios. Um ângulo central está ligado a um arco no círculo onde foi definido. A imagem seguinte mostra um exemplo de ângulo central.

Coroa circular

coroa circular é uma figura geométrica limitada por dois círculos que possuem o mesmo centro (concêntricos) de raios diferentes. Essa figura é a que mais se assemelha a um anel, como mostra a imagem abaixo.

Equação Reduzida da Circunferência

A equação reduzida da circunferência é utilizada para determinar os diversos pontos de uma circunferência, auxiliando assim, em sua construção. Ela é representada pela seguinte expressão:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Onde as coordenadas de A são os pontos (x,y) e de C são os pontos (a,b).

Equação Geral da Circunferência

A equação geral da circunferência é dada a partir do desenvolvimento da equação reduzida.

x2 + y2 – 2 ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Área da Circunferência

A área de uma figura determina o tamanho da superfície dessa figura. No caso da circunferência, a fórmula da área é:

Perímetro da Circunferência

O perímetro de uma figura plana corresponde a soma de todos os lados dessa uma figura.

No caso da circunferência, o perímetro é o tamanho da medida do contorno da figura, sendo representado pela expressão:

Comprimento da Circunferência

O comprimento da circunferência está intimamente relacionado com seu perímetro. Assim, quando maior o raio dessa figura, maior será seu comprimento.

Para calcular o comprimento de uma circunferência utilizamos a mesma fórmula do perímetro:

C = 2 π . r

Donde:

C = comprimento
π = constante Pi (3,14)
r = raio

Circunferência e Círculo

Muito comum haver confusão entre a circunferência e o círculo. Embora utilizamos esses termos como sinônimos, eles apresentam diferença.

Enquanto a circunferência representa a linha curva que limita o círculo (ou disco), este é uma figura limitada pela circunferência, ou seja, representa sua área interna.

Exercícios resolvidos

12) A respeito das definições de círculo e circunferência e dos elementos dessas duas figuras geométricas, assinale a alternativa correta.

(A) As palavras “círculo” e “circunferência” são sinônimas, pois representam o mesmo objeto.

(B) Um círculo e uma circunferência diferem apenas pelo comprimento.

(C) Um círculo e uma circunferência que possuem o mesmo raio também possuem o mesmo comprimento.

(D) O círculo é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é igual a uma constante chamada de raio.

(E) A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é menor que uma constante chamada de raio.

Resolução:

a) Incorreta!

Embora as figuras geométricas planas chamadas de “círculo” e “circunferência” possuam o mesmo formato, elas não são iguais, por isso essas palavras não são sinônimas.

b) Incorreta!

Existem diversas diferenças entre um círculo e uma circunferência, entretanto, se elas possuem raios iguais, seu comprimento também será igual.

c) Correta!

d) Incorreta!

O círculo é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é menor que a constante chamada de raio.

e) Incorreta!

A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo, chamado de centro, é igual a uma constante chamada de raio.

Alternativa: C

 

13) Um jardineiro possui um espaço em sua casa usado para o cultivo de algumas plantas. O formato desse canteiro é de um setor circular de raio 10 m. Sabendo que o ângulo central desse setor circular é de 60°, qual é a área do espaço usado para plantio na casa desse jardineiro?

(A) 52,33 m2

(B) 10,47 m2

(C) 31,4 m2

() 20,94 m2

(E) 100 m2

Resolução:

A área do setor circular é parte da área do círculo. Para encontrar a área dessa figura, basta calcular a área do círculo e usar regra de três para determinar a área do setor circular. Para isso, lembre-se de que a área do círculo é equivalente à área de um setor circular com ângulo central de 360°.

Ac = π · r2

Ac = 3,14·102

Ac = 3,14·100

Ac = 314 m2

Fazendo a regra de três, temos:

Ac = 360°
 A      60°

314 = 360
 A        60

360A = 60·314

360A = 18840

A = 18840
         360

A = 52,33 m2, aproximadamente.

Alternativa: A

 

14) Duas circunferências concêntricas são usadas para determinar a área de um terreno, de modo que a primeira possui raio 10 m, a segunda possui raio 15 m e a área entre as duas é a área a ser determinada. Qual é a área desse terreno?

(A) 942,5 m2

(B) 628 m2

(C) 157 m2

(D) 392,5 m2

(E) 250 m2

Resolução:

Como a área a ser descoberta está entre as circunferências, calculamos a área dos círculos determinados por cada uma delas e subtraímos a área da menor da área da maior.

AC = π . r2

AC = 3,14·152

AC = 3,14·225


AC = 706,5 m2

Ac = π . r2

Ac = 3,14·102

Ac = 3,14·100

Ac = 314 m2

A diferença entre as áreas é:

A = AC – Ac

A = 706,5 – 314

A= 392,5 m2

Alternativa: D

 

15) Um círculo e um retângulo possuem mesma área. Sabendo que o retângulo possui base igual a 1000 cm e altura igual a 314 cm, qual é o raio do círculo?

(A) 10 cm

(B) 25 cm

(C) 50 cm

(D) 75 cm

(E) 100 cm

Resolução:

A área do quadrado é dada pelo quadrado da medida de seu lado:

Ar = bh = 1000·314 = 31400 cm2

A área do círculo é dada pela fórmula a seguir. Substituindo a área do círculo nessa fórmula, temos:

A = π · r2

31400 = 3,14·r2

31400 = r2
3,14

10000 = r2

r = √10000
r = 100 cm

Alternativa: E

 

16) Uma coroa circular é a região limitada por dois círculos concêntricos com raios de medidas distintas. Qual é a área de uma coroa circular cujos raios medem 10 cm e 20 cm?

(A) 942 cm2

(B) 1000 cm2

(C) 1042 cm2

(D) 1142 cm2

(E) 2000 cm2

Resolução:

A área da coroa circular é dada pela área da circunferência maior menos a área da circunferência menor. Se R e r são os respectivos raios, a fórmula poderá ser dada por:

A = πR2 – πr2

A = π(R2 – r2)

Substituindo os valores dos raios e de π, teremos:

A = π(R2 – r2)

A = 3,14(202 – 102)

A = 3,14(400 – 100)

A = 3,14(300)

A = 942 cm2

Alternativa: A

 

Simetria

Na geometria, um objeto apresenta simetria quando se parece o mesmo depois de uma transformação, como reflexão ou rotação. O eixo de simetria é uma linha, real ou imaginária, que atravessa o centro da figura.

Um triângulo isósceles é um exemplo de simetria reflexiva. Matematicamente, um objeto que exibe a simetria do espelho é considerado “invariante sob a reflexão”, significando que refletir o objeto de uma certa maneira não muda sua aparência.

Simetrias axiais ou em relação a retas: São aquelas onde pontos, objetos ou partes de objetos são a imagem espelhada um do outro em relação à reta dada, chamada eixo de simetria. O eixo de simetria é a mediatriz do segmento que une os pontos correspondentes.

Simetrias Centrais: São aquelas em que um ponto, objeto ou parte de um objeto pode ser girado em relação a um ponto fixo, central, chamado centro da simetria.

 

Exercícios resolvidos

00)

Construção geométrica de perpendiculares com régua e compasso

Retas perpendiculares são aquelas que se interceptam formando um ângulo reto entre elas, ou seja um ângulo de 90°90°. Utilizamos o símbolo ⊥⊥ para descrever perpendicularidade entre duas retas.

Traçando uma reta perpendicular por um ponto qualquer pertencente a uma reta dada
Traçando uma reta perpendicular por um ponto qualquer não pertencente a uma reta dada
Método 1: 

Método 2: 

Traçando uma reta perpendicular pelo ponto médio de um segmento de reta

As distâncias entre as extremidades do segmento aos pontos CC e DD além de se perpendicular ao segmento, divide-o em duas partes iguais pelo ponto MM.

 

Exercícios resolvidos

00)

 

Poliedros

Poliedro é uma figura espacial fechada formada por polígonos reunidos que formam as suas faces. As faces são os lados e são formadas por arestas unidas nos vértices.

Existem dois tipos de poliedros: convexos e não convexos:

Convexo: é convexo quando dois pontos que formam um segmento de reta na superfície está inteiramente contido no poliedro;

Côncavo ou não convexo: é côncavo quando dois pontos que formam um segmento de reta nas extremidades e parte deste segmento de reta não pertença ao poliedro.

Definição de Poliedro Convexo

Seja um poliedro com um número n, com n ≥ 4, de polígonos convexos, de forma que:

Dois polígonos do poliedro não pertença ao mesmo plano;

Cada lado de um polígono no poliedro é comum a somente dois polígonos;

Cada plano de uma face deixa os demais polígonos das outras faces no mesmo semiespaço;

Dessa forma, temos n semiespaços que possuem origem no plano de um polígono da face que contem os demais.

Assim, o poliedro convexo é denominado pela intersecçao dos n semiespaços.

 

Elementos de um poliedro

Os poliedros convexos são formados pelos seguintes elementos:

Faces: as faces são formadas por polígonos convexos;

Arestas: as arestas são os lados dos polígonos das faces;

Vértices: os vértices são os mesmos vértices dos polígonos das faces;

Superfícies: as superfícies do poliedro são a reunião das faces.

 

Poliedros de Platão

Denominamos um poliedro de Platão se ele atende aos seguintes requisitos:

As faces possuem o mesmo número de arestas;

Nos vértices partem o mesmo número de arestas;

Vale a relação de Euler

V – A + F = 2

Os Cincos Poliedros de Platão

Legenda:

m: Número de arestas que parte do vértice

n = Número de aresta da face

A =  Arestas

V = Vértices

F = Faces

Relação de Euler para poliedro convexo

Segundo Euler, em todos os poliedros convexos valem a seguinte relação:

V – A + F = 2

ou

F + V = 2 + A

Onde:

V: é o número de vértices ;

A: é o número de arestas;

F: é o número de faces.

Essa relação do Teorema de Euler é válida para poliedros convexos, nos quais as faces são formadas por polígonos regulares com o mesmo número de arestas. Também pode ser válida para alguns poliedros não convexos.

Classificação dos poliedros

São classificados em regulares e não regulares:

Regulares: são os poliedros em que suas faces são formadas por polígonos regulares e congruentes:

Tetraedro = o tetraedro é um poliedro com 4 faces triangulares;

Hexaedro = 6 faces quadrangulares;

Octaedro = 8 faces triangulares;

Dodecaedro = 12 faces pentagonais;

Icosaedro = 20 faces triangulares.

Não Regulares: são os poliedros em que suas faces são formadas por polígonos regulares e não regulares:

Prisma: é uma figura geométrica espacial com duas base congruentes, uma inferior e a outra superior. As faces são formadas por quadriláteros ou paralelogramos.

Pirâmide: a pirâmide é uma figura geométrica espacial formada por uma base poligonal e faces triangulares unidas em um vértice que não pertence ao plano da base.

Exercícios resolvidos

17) Calcule o número de arestas de um sólido que possui 8 vértices e 6 faces.

Resolução:

V – A + F = 2

8 – A + 6 = 2

A = 14 – 2

A = 12


18) Um sólido geométrico tem 6 vértices e 10 arestas. Calcule o número de faces desse sólido.

Resolução:

V – A + F = 2

6 – 10 + F = 2

F = 2 + 4

F = 6

 

19) Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

Resolução:

Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:

De acordo com a relação de Euler, temos que:

F + V = A + 2

F + 20 = 50 + 2

F = 52 – 20

F = 32

Conclusão: o poliedro em questão possui 32 faces. 

 

20) Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

Resolução:

V = vértice

A =  arestas

F = faces

F = V – 3

F = 10 – 3

F = 7

O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.

 

21) Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

Resolução:

O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um. 

Faces: 6

Vértices: 8

Arestas: 12 

 

22) (FAAP-SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 

Resolução:

F + V = A + 2

A = V + 6

F + V = V + 6 + 2

F + V – V = 8

F = 8

Conclusão: o poliedro possui 8 faces.

 

23) (PUC-MG) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

Resolução:

P: pentagonais (5 arestas)

T: triangulares (3 arestas)

F = 3 . P + x . T

A = 4 . x

Número de arestas:

A = (3 . 5 + x . 3)/2

4x = (15 + 3x) / 2

4x . 2 = 15 + 3x

8x – 3x = 15

5x = 15

x = 15/5

x = 3

Conclusão: o poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.

 

24) (UF-AM) O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 

Resolução:

Arestas (A) = 22

Faces (F) = Vértices (V)

Pela relação de Euler, temos:

F + V = A + 2

No problema sugerido temos que F = V, portanto:

V + V = 22 + 2

2V = 24

V = 24/2

V = 12

Conclusão: como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.

 

 

Continua...