7º ANO - 1º BIMESTRE

7º ANO - 1º BIMESTRE

Professor Diminoi

7º ANO - 1º BIMESTRE

 

Números Naturais

Sistemas de numeração na Antiguidade

O sistema posicional decimal

Números Inteiros

Representação

Operações

Números Racionais

Representação fracionária e decimal

Operações com decimais e frações

  

Sistemas de numeração na Antiguidade

Durante toda a história, assim como a palavra, o número também passou por diversas mudanças na sua representação. Os símbolos “9”, “nove”, “IX”, são numerais diferentes que representam o mesmo número, apenas escrito em idiomas e épocas distintas.

Sistema de numeração
é um sistema que representa números de uma forma consistente, representando uma grande quantidade de números úteis, dando a cada número uma única representação, reflete as estruturas algébricas e aritméticas dos números.

Foram criados então símbolos e regras originando assim os diferentes Sistemas de Numeração.

Sistema de numeração Egípcio (3000 a.C.)

Um dos primeiros sistemas de numeração que temos conhecimento é o egípcio, que foi desenvolvido pelas civilizações que viviam no vale do Rio Nilo, ao nordeste da África.

Sistemas de numeração Babilônico (2000 a.C.)

Os babilônios viviam na Mesopotâmia, nos vales dos rios Tigres e Eufrates, na Ásia. Esta região é ocupada atualmente pelo Iraque.

Sistema de numeração Romano

O sistema de numeração romano, apesar das dificuldades operatórias que apresentava, foi utilizado na Europa durante muitos séculos. Esse sistema de numeração foi desenvolvido pela civilização romana, cuja sede era a cidade de Roma, situada na Itália.

Sistema de numeração Indo-Arábico

O sistema de numeração indo-arábico tem esse nome devido aos hindus que o inventaram, e devido aos árabes, que o transmitiram para a Europa Ocidental.

Na Índia encontramos colunas de pedras datadas no ano 250 a.C., com símbolos numéricos que seriam os precursores do nosso sistema de numeração, mas nesses não encontramos nem o zero (sinal para marcar ausência de unidade ou "o espaço vazio" de uma unidade faltante) e nem a notação posicional. Porém, a idéia de valor posicional e zero devem ter sido introduzida na Índia antes do ano 800 a.C., pois o matemático persa Al-Khowârizmî descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro datado no ano 825 d.C..

Observe que, inicialmente, os hindus não utilizavam o zero. A criação de um símbolo para o nada, ou seja, o zero, foi uma das grandes invenções dos hindus.

 

Exercícios resolvidos

00)

 

Números Naturais

O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros não negativos, ou seja, pelos números positivos e pelo zero.

conjunto dos números naturais é formado por todos os números, ao mesmo tempo, inteiros e positivos e pelo zero. É importante destacar que esse conjunto também pode ser definido como o conjunto formado por todos os números inteiros não negativos, uma vez que o zero não é positivo nem negativo.

A saber, a lista com os elementos (números) que pertencem ao conjunto dos números naturais é:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Essa é a sequência de números que usamos para contar. Acredita-se que sua origem seja essa: a contagem. Essa lista também pode ser representada pela notação de conjuntos da seguinte maneira:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}


Sucessor de um número natural

Como o conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros, podemos discutir seu ordenamento usando as ideias de antecessor e sucessor. Para isso, é necessário que todo o conjunto esteja em ordem crescente, como a sequência apresentada anteriormente.

Assim, o sucessor de um número natural n é o número que aparece à sua direita. O sucessor de um número natural n é sempre uma unidade maior que esse número, por isso, o sucessor de n é n + 1. Assim:

Sucessor de n = n + 1

Exemplos:

Sucessor de 1 = 2

Sucessor de 2 = 3

Sucessor de 10 = 11

Todo número natural tem sucessor. Pensando em números naturais pequenos, o primeiro deles tem um sucessor, ou seja, o sucessor de 0 = 1. Pensando em números naturais grandes, dado o número natural x, por maior que ele seja, sempre existirá um número natural uma unidade maior que ele. Assim, garantimos que o sucessor de x = x + 1 e que o conjunto dos números naturais seja infinito.

Antecessor de um número natural

antecessor de um número natural n é o número que está à sua esquerda, caso os elementos do conjunto estejam em ordem crescente. Assim, o antecessor de um número natural n é sempre uma unidade menor que ele. Logo:

Antecessor de n = n – 1

Exemplos:

Antecessor de 10 = 9

Antecessor de 8 = 7

Antecessor de 1000 = 999

Nem todo número natural, porém, possui antecessor. Na realidade, apenas um número natural não possui antecessor: o zero. Como ele é o primeiro número desse conjunto, não existe nenhum número menor que ele dentro do conjunto dos naturais. Contudo, todos os outros números naturais possuem antecessor.

Dessa característica, concluímos que o conjunto dos números naturais, embora infinito, seja limitado, pois não existe nenhum número natural menor que zero.

 

                
Conjuntos Numéricos

Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos cujos elementos são números. Eles são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.

Conjunto dos Números Naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.

Subconjuntos dos Números Naturais

N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero.

Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.

Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: conjunto dos números naturais primos.

Conjunto dos Números Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros é representado por Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z):

Subconjuntos dos Números Inteiros

Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: conjuntos dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros e não-negativos. Note que Z+ = N.

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.

 = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos.

Z* = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.

Conjunto dos Números Racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é representado por Q. Reúne todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}

Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.

Subconjuntos dos Números Racionais

Q* = subconjunto dos números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.

Q+ = subconjunto dos números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.

Q*+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.

Q = subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.

Q* = subconjunto dos números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.

Conjunto dos Números Irracionais (I)

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...

Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...

Conjunto dos Números Reais (R)

O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Assim, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.

Mas, observe que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.

Subconjuntos dos Números Reais

R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.

R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.

R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.

R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.

R* = {x ∈ R│x

 

Intervalos Numéricos

Há ainda um subconjunto relacionado com os números reais que são chamados de intervalos. Sejam e b números reais e a intervalos reais:

Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a

Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Intervalo aberto à direta (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x

Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a

Propriedades dos Conjuntos Numéricos

Diagrama dos conjuntos numéricos

Para facilitar os estudos sobre os conjuntos numéricos, segue abaixo algumas de suas propriedades:

O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N Z).

O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z Q).

O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).

Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).

 

Exercícios resolvidos

01) (FCC – MANAUSPREV) Excetuando-se o 1, sabe-se que o menor divisor positivo de cada um de três números naturais diferentes são, respectivamente, 7; 3 e 11. Excetuando-se o próprio número, sabe-se que o maior divisor de cada um dos três números naturais já citados são, respectivamente, 11; 17 e 13. A soma desses três números naturais é igual a:

(A) 271.

(B) 159.

(C) 62.

(D) 303.

(E) 417.

Resolução:

Nessa questão, trabalhamos somente com números naturais, ou seja, positivos. Devemos descobrir quais são os três números naturais que possuem como menor divisor os números 7, 3 e 11, respectivamente, e como maior divisor os números 11, 17 e 13, respectivamente.

Para encontramos esses números, devemos elaborar três equações para relacionar o menor divisor de cada número com o maior.

Primeira equação: x = 11
                                7

x → Um dos números naturais desconhecidos.
7 → Menor divisor de x.
11 → Maior divisor de x

Segunda equação: y = 17
                                 3

y → Um dos números naturais desconhecidos.
3 → Menor divisor de y.
17 → Maior divisor de y.

Terceira equação: z = 13
                               11

z → Um dos números naturais desconhecidos.
11 → Menor divisor de y.
13 → Maior divisor de y.

Vamos resolver as equações:

Solução da primeira equação:

 x = 11 → x = 11 . 7 → x = 77
 7

Solução da segunda equação:

 y = 17 → y = 3 . 17 → y = 51
 3

Solução da terceira equação:

 z = 13 → z = 11 . 13 → z = 143
11

A questão pede para encontrar o valor referente à soma dos três números naturais:

x + y + z = 77 + 52 + 143 = 271

Alternativa: A

 

02) (IESES – IGP – SC) Faça a leitura das frases sobre conjuntos numéricos:

I. O número natural n pode ser chamado antecessor de n+1.

II. O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.

III. A soma de dois números inteiros ímpares é sempre um número inteiro par.

IV. Entre dois números racionais, a e b, com a diferente de b, existe sempre outro número racional. A sequência correta é:

(A) Apenas as assertivas I, III e IV estão corretas.

(B) Apenas as assertivas III e IV estão corretas.

(C) As assertivas I, II, III e IV estão corretas.

(D) Apenas as assertivas I e II estão corretas.

Resolução:

Devemos resolver essa questão verificando a validade de cada afirmação:

Afirmação I. O número natural n pode ser chamado antecessor de n+1.

Resposta: Essa afirmação é verdadeira, pois o sucessor de um número n qualquer é dado por n+1, logo, n é o antecessor.

Afirmação II. O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.

Resposta: Essa afirmação é verdadeira, pois o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.

Afirmação III. A soma de dois números inteiros ímpares é sempre um número inteiro par.

Resposta: Essa afirmação é verdadeira.

Afirmação IV. Entre dois números racionais, a e b, com a diferente de b, existe sempre outro número racional.

Resposta: Essa afirmação é verdadeira. Veja:

a = 1,02

b = 0,02

a – b = 1,02 – 0,02 = 1

O número 1 obtido como resposta faz parte do conjunto dos número racionais. Isso acontece porque o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais.

Alternativa: C

 

03) Ana Laura têm 5 tios e, de um deles, ganhou 4 presentes; do outro, 2 presentes; e dois tios juntaram-se e compraram juntos 1 presente. Represente a expressão que mostra todos os presentes que Ana Laura ganhou e indique quantos foram.

Resolução:

Presentes que Ana Laura ganhou:

4 presente de um tio;

2 presentes de outro tio;

1 presente que dois tios deram juntos.

A quantidade total de presentes é dado por:

4 + 2 + 1 = 7

Conclusão: Ana Laura ganhou de seus tios, no total, 7 presentes.

 

04) Dos números representados no conjunto a seguir, indique aqueles que são números naturais:

Conjunto = { -3, -1,234..., 0, +1, +1, + 2,+ 3, + 4,5}
                                                2

Resolução:

Conclusão: nesse conjunto, os números que são naturais são: {0, + 1, + 2, + 3}. O conjunto dos naturais apresenta somente números positivos e inteiros.

 

05) (PM SC 2011) Leia as afirmações a seguir:

I. Os números Naturais são aqueles inteiros não positivos mais o zero.

II. Os números Irracionais são aqueles que representam dízimas periódicas.

III. Os números Reais representam a soma dos números Racionais com os Irracionais.

Assinale a alternativa correta:

(A) Somente a assertiva II está correta.

(B) Somente a assertiva III está correta.

(C) Somente a assertiva I está correta.

(D) Somente as assertivas II e III estão corretas.

Resolução:

Vamos analisar caso a caso.

I. Falsa – Os números naturais são os inteiros positivos mais o zero.

II. Falsa – Podemos ter dízimas irracionais e irracionais que não são dízimas.

III. Correto – Os Reais é a união dos irracionais com os racionais.

Alternativa: B

 

06) (PM - AC) Sendo D o número de divisores naturais de 252, e N o número de divisores  naturais de 1296, então o valor de 2.D + 3.N será:

(A) 18

(B) 25

(C) 43

(D) 75

(E) 111

Resolução:

Fatorando os números temos:

252 = 2 . 2 . 3 . 3 . 7 = 2² . 3² .  7¹

1296 = 2 . 2 .  2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 = 2434

Quantidade de divisores de 252:

( 2 + 1 ).( 2 + 1 ).( 1 + 1 ) = 3 . 3 . 2 = 18

Quantidade de divisores de 1296:

( 4 + 1 ).( 4 + 1 ) = 5 . 5 = 25

2D + 3N = 2 . 18 + 3 . 25 = 36 + 75 = 111

Alternativa: E

 

O sistema posicional decimal

O sistema de numeração decimal é de base 10, ou seja utiliza 10 algarismos (símbolos) diferentes para representar todos os números.

Formado pelos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, é um sistema posicional, ou seja, a posição do algarismo no número modifica o seu valor.

É o sistema de numeração que nós usamos. Ele foi concebido pelos hindus e divulgado no ocidente pelos árabes, por isso, é também chamado de "sistema de numeração indo-arábico".

Como surgiu o Sistema de Numeração Decimal 

Aproximadamente no século VI, os hindus criaram um sistema de 10 símbolos com a invenção do 0. Mas, foram os indianos que incluíram esse símbolo no sistema matemático, no final do século VI.

Características

Possui símbolos diferentes para representar quantidades de 1 a 9 e um símbolo para representar a ausência de quantidade (zero).

Como é um sistema posicional, mesmo tendo poucos símbolos, é possível representar todos os números.

As quantidades são agrupadas de 10 em 10, e recebem as seguintes denominações:

10 unidades = 1 dezena
10 dezenas = 1 centena
10 centenas = 1 unidade de milhar, e assim por diante

Exemplos

 

Ordens e Classes

No sistema de numeração decimal cada algarismo representa uma ordem, começando da direita para a esquerda e a cada três ordens temos uma classe.

Para fazer a leitura de números muito grandes, dividimos os algarismos do número em classes (blocos de 3 ordens), colocando um ponto para separar as classes, começando da direita para a esquerda.

Exemplos

a) 57283

Primeiro, separamos os blocos de 3 algarismos da direita para a esquerda e colocamos um ponto para separar o número: 57. 283.

No quadro acima vemos que 57 pertence a classe dos milhares e 283 a classe das unidades simples. Assim, o número será lido como: cinquenta e sete mil, duzentos e oitenta e três.

 

b) 12839696

Separando os blocos de 3 algarismos temos: 12.839.696

O número então será lido como: doze milhões, oitocentos e trinta e nove mil, seiscentos e noventa e seis.

 

Exercícios resolvidos

Nos exercícios 07, 08 e 09, escreva os valores por extenso

07) 2 351

Resolução:

Dois mil trezentos e cinquenta e um.



08) 30 423 048

Resolução::

Trinta milhões, quatrocentos e vinte e três mil e quarenta e oito.

 

09) 246 102 025

Resolução:

Duzentos e quarenta e seis milhões cento e dois mil e vinte e cinco.

 

10) A população de Corumbá, no Mato Grosso do Sul, é de 95.704 habitantes. O número de pessoas que moram em Corumbá escrito por extenso é:

(A) Noventa e cinco mil setecentos e quatro habitantes

(B) Noventa e cinco mil e setenta e quatro habitantes

(C) Noventa e cinco mil, setecentos e quarenta habitantes

(D) Noventa e cinco mil e setenta e quarenta habitante

Alternativa: A

 

11) Quatro amigos anotaram num quadro os pontos ganhos num jogo: André - 2.760; Bento - 2.587; Carlos - 2.699; Dario - 2.801. Qual menino fez mais pontos?

(A) André                   

(B) Bento                   

(C) Carlos          

(D) Dario

Alternativa: D

 

12) Uma professora da 4ª série pediu que uma aluna marcasse numa linha do tempo o ano de 1940.

Que ponto a aluna deve marcar para acertar a tarefa pedida?

(A) A                     

(B) B                    

(C) C                    

(D) D
Resolução:

Os números aparecem de 10 em 10 e apenas o primeiro e o último estão escritos. A tarefa é supor quais são os demais.
Alternativa: A


13) Um garoto completou 1.960 bolinhas de gude em sua coleção. Esse número é composto de

(A) 1 unidade de milhar, 9 dezenas e 6 unidades.

(B) 1 unidade de milhar, 9 centenas e 6 dezenas.

(C) 1 unidade de milhar, 60 unidades.

(D) 1 unidade de milhar, 90 unidades.

Alternativa: B


14) No ábaco abaixo, Cristina representou um número

Qual foi o número representado por Cristina?

(A) 1.314                    

(B) 4.131                     

(C) 10.314                     

(D) 41.301
Resolução:

Não há nada explicitado em um número que dê pistas das operações de adição e multiplicação que, de fato, o compõem. Por isso, é preciso saber observar as regularidades, o registro e a reflexão sobre o sistema de numeração para conseguir dar conta dos dois itens.

Alternativa: C


15) A professora de João pediu para ele decompor um número e ele fez da seguinte forma: 4 . 1000 + 3 . 10 + 5 . 1

Qual foi o número pedido?

(A) 4035                  

(B) 4305                   

(C) 5034                   

(D) 5304

Resolução:

Para resolver este item, é essencial a composição e a decomposição de números, isto é, compreender o caráter aditivo e multiplicativo do sistema de numeração.

Alternativa: A

 

16) O número natural que é obtido quando é feita a adição de 3.415 e 295 é:

(A) 6.365                   

(B) 3.710                   

(C) 3.610                   

(D) 3.600

Alternativa: B


17) Numa adição, as parcelas são 45.099; 742; 6.918 e 88. Qual é o valor da soma?

(A) 44.357                 

(B) 47.439                 

(C) 52.847                

(D) 114.279

Alternativa: C

 

18) Um fazendeiro tinha 285 bois. Comprou mais 176 bois e depois vendeu 85 deles. Quantos bois esse fazendeiro tem agora?

(A) 266                     

(B) 376                   

(C) 476                  

(D) 486

Alternativa: B

 

19) Vamos medir o parafuso?

(A) 2,1 cm.               

(B) 2,2 cm.               

(C) 2,3 cm.                

(D) 2,5 cm.

Resolução:

O desafio da tarefa solicitada é o de perceber a disposição dos números racionais na reta numérica e utilizá-los para medir comprimentos. Problemas que solicitam intercalar números racionais entre dois dados (por exemplo, na reta numérica) envolvem a ideia de que entre dois deles existem outros infinitos.

Alternativa: D

 

20) O professor Diminoi comprou para seu filho os materiais escolares abaixo. Quanto ela gastou?

(A) R$ 22,80          

(B) R$ 31,80          

(C) R$ 32,80           

(D) R$ 33,80

Alternativa: C

 

21) João participou de um campeonato de judô na categoria juvenil, pesando 45,350 kg. Cinco meses depois estava 3,150 kg mais pesado e precisou mudar de categoria. Quanto ele estava pesando nesse período?

(A) 14,250 kg          

(B) 40,850 kg           

(C) 48,500 kg          

(D) 76,450 kg

Alternativa: C

 

Números inteiros

Os números inteiros são os números positivos e negativos. Estes números formam o conjunto dos números inteiros, indicado por ℤ.

O conjunto dos números inteiros é infinito e pode ser representado da seguinte maneira:

ℤ = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...}

Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+).

O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo.

A relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto dos números naturais (ℕ) junto com os números negativos.

Todo número inteiro possui em antecessor e um sucessor. Por exemplo, o antecessor de -3 é -4, já o seu sucessor é o -2.

Representação na Reta Numérica

Os números inteiros podem ser representados por pontos na reta numérica. Nesta representação, a distância entre dois números consecutivos é sempre a mesma.

Os números que estão a uma mesma distância do zero, são chamados de opostos ou simétricos.

Por exemplo, o -4 é o simétrico de 4, pois estão a uma mesma distância do zero, conforme assinalado na figura abaixo:

Subconjuntos de ℤ

O conjunto dos números naturais (ℕ) é um subconjunto de ℤ, pois está contido no conjunto dos números inteiros. Assim:

Além do conjunto dos números naturais, destacamos os seguintes subconjuntos de ℤ:

* : é o subconjunto dos números inteiros, com exceção do zero. ℤ* = {..., -3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, ...}

: são os números inteiros não-negativos, ou seja ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

_ : é o subconjunto dos números inteiros não-positivos, ou seja ℤ_= {..., -4,-3,-2,-1, 0}

*: é o subconjunto dos números inteiros, com exceção dos negativos e do zero. ℤ*+ = {1,2,3,4, 5...}

*_ : são os números inteiros, com exceção dos positivos e do zero, ou seja ℤ*_= {..., -4,-3,-2,-1}

 

Exercícios resolvidos

00)

 

Números racionais

O conjunto dos números racionais é constituído por números: inteiro (positivo e negativo), decimais, dizima periódica composta/ simples e frações. Utilizamos esses números para representar quantidades e medidas. Os conjuntos dos números naturais e inteiros fazem parte do conjunto dos números racionais. Na reta numérica podemos representar esse conjunto da seguinte forma:

Notação e relação de inclusão

O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo Q. A relação de inclusão é estabelecida com os conjuntos dos números naturais (N)inteiros (Z).

Observe o diagrama a seguir:

N Z Q

Lê-se:

N está contido em Z,

Z está contido em Q,

N está contido em Q.

Elementos do conjunto dos números naturais (N)

N = {0, +1, +2, +3, +4, +5}

Elementos do conjunto dos números inteiros (Z)

Z = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5}

Elementos do conjunto dos números racionais (Q)

Q = {-7; -6; -5; -4; -3,4; -3; -2; -1,55...; -1; -0,422...; −13; -0,02; 0; +12; +0,8; +1; +2; +3; +4; +5; +9,6}

Subconjuntos dos números racionais

Os números racionais também possuem subconjuntos, os mesmos estão listados a seguir:

Conjunto dos números racionais não nulos

Q* = { x Q / x 0 }

Exemplo: 

Q* = {...+2,5; -2; -1,5; -1; +12, +1; +1,5; +2; + 2,5...}

Observação:

O (*) significa que o zero não pertence ao conjunto por ser o elemento nulo.

Conjunto dos números racionais não negativos

Q+ = { x Q / x 0 }

Exemplo: 

Q+ = {0; +12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...}

Conjunto dos números racionais positivos e não nulo

Q+* = { x Q / x > 0 }

Exemplo: 

Q+* = {+12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...}

Conjunto dos números racionais não positivos

Q− ={ x Q / x 0 }

Exemplo: 

Q− = {-2; -1,5; -1; 0}

Conjunto dos números racionais negativos e não nulo

Q* = { x Q / x < 0 }

Exemplo: 

Q−* = {-2; -1,5; -1}

 

Exercícios resolvidos

22) Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 1/6 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com 3/4 das figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?

Resolução:

 

23) Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1/4do livro e no dia seguinte leu 1/6 do livro. Então calcule:

a) a fração do livro que ela já leu.

Resolução:

 

b) a fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

Resolução:

 

24) Em um pacote há  4/5 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há 1/3. Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

Resolução:

 

25) A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5/9 da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?

Resolução:

 

26) Calcule:

Resolução:

 

27) Calcule:

Resolução:

 

28) No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1/3 desses apartamentos foi vendido e 1/6 foi reservado. Assim:

a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?

Resolução:

 

b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

Resolução:

 

29) Calcule o valor da expressão: 

Resolução:

 

Representação decimal de uma fração ordinária

Podemos transformar qualquer fração ordinária (ou seja, uma fração que não é decimal) em número decimal, devendo para isso dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos:

Observe os seguintes números decimais:

0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, 8/10.

0,65 (lê-se "sessenta e cinco centésimos"), ou seja,65/100 .

5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos"), ou seja, 536/100.

0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 47/1000

Observe então que:

Observação:

Um número decimal é igual à fração que se obtém escrevendo para numerador o número sem vírgula e dando para denominador a unidade seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

 

Transformação de fração decimal em número decimal

Observe as igualdades entre frações decimais e números decimais a seguir:

Conclusão:

Para se transformar uma fração decimal em número decimal, basta dar ao numerador tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador.

 

Exercícios resolvidos:

30) Converta 3/4  em número decimal.

 

 

Conclusão: 3/4 é igual a 0,75 que é um decimal exato.

 

31) Converta 1/3 em número decimal.

Conclusão: 1/3 é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples.

 

32) Converta 5/6 em número decimal.

Conclusão: 5/6 é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta.

 

 

Continua....