6º ANO 3º BIMSTRE

6º ANO 3º BIMSTRE

Professor Diminoi

 6º AMO - 3º BIMESTRE

GEOMETRIA PLANA

geometria plana ou euclidiana é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume. 

 

Conceitos de Geometria Plana

Ponto - Conceitos adimensional, uma vez que não possui dimensão. Os pontos determinam um localidade e são indicados com letras maiúsculas.

Reta - É representada por letra minúscula, é uma linha ilimitada unidimensional (possui o comprimento como dimensão) e pode se apresentar em três posições:

Observação: retas perpendiculares são retas que formam um ângulo de 90º entre si.

Segmento de Reta - Diferente da reta, o segmento de reta é limitado pois corresponde a parte entre dois pontos distintos.

Plano - Corresponde a uma superfície plana bidimensional, ou seja, possui duas dimensões: comprimento e largura. Nessa superfície que se formam as figuras geométricas.

Ângulos - Os ângulos são formados pela união de dois segmentos de reta, a partir de um ponto comum, chamado de vértice do ângulo. São classificados em:

Área - A área de uma figura geométrica expressa o tamanho de uma superfície. Assim, quanto maior a superfície da figura, maior será sua área.

Perímetro - O perímetro corresponde a soma de todos os lados de uma figura geométrica.

Figuras da Geometrias Planas

Triângulo - É uma figura plana fechada de três lados, o triângulo é uma figura geométrica plana formada por três segmentos de reta.

Segundo a forma dos triângulos, eles são classificados em:

Triangulo equilátero: possui todos os lados e ângulos internos iguais (60°);

Triangulo isósceles: possui dois lados e dois ângulos internos congruentes;

Triangulo escaleno: possui todos os lados e ângulos internos diferentes.

Ângulos - No tocante aos ângulos que formam os triângulos, eles são classificados em:

Triângulo retângulo: possui um ângulo interno de 90°;

Triângulo obtusângulo: possui dois ângulos agudos internos, ou seja, menor que 90°, e um ângulo obtuso interno, maior que 90°;

Triângulo octangular: possui três ângulos internos menores que 90°.

Quadrado - Polígono de quatro lados iguais, o quadrado ou quadrilátero é uma figura geométrica plana que possuem os quatro ângulos congruentes: retos (90°).

Retângulo - Figura geométrica plana marcada por dois lados paralelos no sentido vertical e os outros dois paralelos, no horizontal. Assim, todos os lados do retângulo formam ângulos reto (90°).

Círculo - Figura geométrica plana caracterizada pelo conjunto de todos os pontos de um plano. O raio (r) do círculo corresponde a medida da distância entre o centro da figura até sua extremidade.

Trapézio - Chamado de quadrilátero notável, pois a soma dos seus ângulos internos corresponde a 360º, o trapézio é uma figura geométrica plana.

Ele possui dois lados e bases paralelas, donde uma é maior e outra menor. São classificados em:

Trapézio retângulo: possui dois ângulos de 90º;

Trapézio isósceles ou simétrico: os lados não paralelos possuem a mesma medida;

Trapézio escaleno: todos os lados de medidas diferentes.

Losango - Quadrilátero equilátero, ou seja, formado por quatro lados iguais, o losango, junto com o quadrado e o retângulo, é considerado um paralelogramo.

Ou seja, é um polígono de quatro lados os quais possuem lados e ângulos opostos congruentes e paralelos.

 

Figuras da Geometrias Planas

Calculando Área e Perímetro

Teorema de Pitágoras

Uma das fórmulas mais importantes para esta frente matemática é o Teorema de Pitágoras.

Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos (os “lados” que formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (a aresta maior da figura).

Exercícios Resolvidos

01) (ENEM) O Esquema I mostra a configuração de uma quadra de basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.

Visando atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de Basquete (Fiba) em 2010, que unificou as marcações das diversas ligas, foi prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser retângulos, como mostra o Esquema II.

 

Após executdas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada por cada garrafão, que corresponde a um(a)

(A) aumento de 5 800 cm².

(B) aumento de 75 400 cm².

(C) aumento de 214 600 cm².

(D) diminuição de 63 800 cm².

(E) diminuição de 272 600 cm².

Resolução:

Comecemos pela área do trapézio da figura I, que é dada por (600 + 360).580 / 2 = 278 400. Calculando a área da figura II temos 580 . 490 = 284 200 cm².

Assim, o aumento da área foi de 5 800 cm².

Alternativa: A

 

02) (ENEM) Um senhor, pai de dois filhos, deseja comprar dois terrenos, com áreas de mesma medida, um para cada filho. Um dos terrenos visitados já está demarcado e, embora não tenha um formato convencional (como se observa na Figura B), agradou ao filho mais velho e, por isso, foi comprado. O filho mais novo possui um projeto arquitetônico de uma casa que quer construir, mas, para isso, precisa de um terreno na forma retangular (como mostrado na Figura A) cujo comprimento seja 7 m maior do que a largura.

Para satisfazer o filho mais novo, esse senhor precisa encontrar um terreno retangular cujas medidas, em metro, do comprimento e da largura sejam iguais, respectivamente, a

(A) 7,5 e 14,5.

(B) 9,0 e 16,0.

(C) 9,3 e 16,3.

(D) 10,0 e 17,0.

(E) 13,5 e 20,5.

Resolução:

Primeiramente, dividimos a figura B em dois triângulos B1 e B2, um com altura de 21 m e base de 3 m e outro com altura e base medindo 15 m.

Assim, temos que área da figura A = área da figura B = B1 + B2

x(x + 7) = 15.15 / 2 + 21.3/2 = 144

Fatorando 144, temos que:

x(x + 7) = 9.16
x(x + 7) = 9(9 + 7)

Assim, as medidas do retângulo são 9 m e 16 m

Alternativa: B

 

03) Calcule a medida da hipotenusa do triângulo retângulo presente na figura a seguir.

Resolução:

Observe que 3 cm e 5 cm são as medidas dos catetos do triângulo acima. A outra medida refere-se ao lado oposto ao ângulo reto, portanto, a hipotenusa. Usando o teorema de Pitágoras, teremos:

a2 = b2 + c2

a2 = 42 + 32

a2 = 16 + 9

a2 = 25

a = √25

a = 5

A hipotenusa desse triângulo mede 5 centímetros.

 

04) O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo mede 15 centímetros e um dos outros dois lados mede 12 centímetros. Calcule a medida do terceiro lado.

Resolução:

O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os outros dois são catetos. Representando o cateto que falta pela letra b, podemos usar o teorema de Pitágoras para descobrir a terceira medida. Basta lembrar que ela também é um cateto. Sendo assim, teremos:

a2 = b2 + c2

152 = b2 + 122

Observe que a medida da hipotenusa foi colocada no lugar da letra a, pois essa letra representa essa medida. Resolvendo a equação, encontraremos o valor de b:

225 = b2 + 144

225 – 144 = b2

81 = b2

b2 = 81

b = √81

b = 9

O terceiro lado mede 9 centímetros.

 

05) (ENEM) Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

(A) 1,8 m.

(B 1,9 m.

(C) 2,0 m.

(D) 2,1 m.

(E) 2,2 m.

Resolução:

Observe o seguinte triângulo retângulo sobre o corrimão da imagem do exercício.

Perceba que o comprimento do corrimão é igual à soma 30 + a + 30 e que “a” é a medida da hipotenusa do triângulo colocado sobre a imagem. Além disso, note que b = 90 e que c = 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 120. Assim, para descobrir a medida de a, faremos:

a2 = b2 + c2

a2 = 902 + 1202

a2 = 8100 + 14400

a2 = 22500

a = √22500

a = 150 centímetros.

A medida do corrimão é 30 + 150 + 30 = 210 cm ou 2,1 m.

Resolução: D.

 

06) Determine a medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles em que a hipotenusa mede 30 cm.

Resolução: 

Sabemos que o triângulo isósceles possui dois lados iguais. Então:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos ter que:

202 = c2 + c2

2c= 400

c2 = 200

Assim, as medidas dos catetos do triângulo medem, respectivamente:

  

07) Calcule a medida da hipotenusa para o triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sendo que os catetos AB e BC, têm medidas de 6 cm e 8 cm, respectivamente.

Cálculos dos quadrados dos catetos:

(AB)² = 6² = 36 cm

(BC)² = 8² = 64 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

(AC)² = (AB)² + (BC)²

x² = 36 + 64, com x > 0 ⇔ x² = 100 ⇔ x = √100 ⇔ x = 10 cm

 

08) Calcule a medida do cateto AB do triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em B, sabendo que a hipotenusa AC tem medida igual a 10 cm, e o cateto BC mede 5 cm.

Cálculo do quadrado da hipotenusa AC e do cateto BC:

(AC)² = 10² = 100 cm

(BC)² = 5² = 25 cm

Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

(AC)² = (BC)² + (AB)²

100 = 25 + x², com x > 0 ⇔ x² = 100 – 25 ⇔ x² = 75 cm ⇔ x = √75 ⇔ x = 5√3 cm

 

09) (ENEM 2013) Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é

(A) 6.
(B) 7.
(C) 8.
(D) 11.
(E) 12.

 

10) (ENEM 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas.

Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada.

A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:

(A) N/9
(B) N/6
(C) N/3
(D) 3/N
(E) 9/N

 
11) Qual a área e o perímetro de um campo de futebol, de base 25 m e altura 5 m?

(A) A= 100m², P= 50m

(B) A= 150 m², P= 60m

(C) A= 125 m², P= 60 m

(D) A= 120 m², P= 50 m

Resolução:

Esse campo tem a forma de um retângulo, então para calcularmos a área basta multiplicar a base pela altura:

A= 25 * 5= 125 m²

O perímetro é a soma de todos os lados:

P = 25 + 5 + 25 + 5
P= 60 m.

Alternativa: C

 

12) Um campo de futebol de formato retangular tem 100 metros de largura por 70 metros de comprimento. Antes de cada treino, os jogadores de um time dão cinco voltas e meia correndo ao redor do campo. Sendo assim, determine:

a) Quantos metros os jogadores correm ao dar uma volta completa no campo?

b) Quantos metros eles percorrem ao dar as cinco voltas e meia ao redor do campo?

c) Se eles repetem essa corrida cinco vezes por semana, quantos metros os jogadores correm em uma semana?

Resolução:

a) Vamos calcular o perímetro do campo:

2p = 100 + 100 + 70 + 70
2p = 200 + 140
2p = 340 m

Ao dar uma volta completa, os jogadores percorrem 340 metros.

b) Se ao dar uma volta, os jogadores percorrem 340 metros, ao dar cinco voltas, eles percorrem 340 * 5 = 1700 metros. Para cinco voltas e meia, ele vai andar os 1700metros e metade de uma volta (340 : 2 = 170).Basta somar 1700 +170: 1870 metros.

c) Considerando que os jogadores correm 5 vezes por semana, se todos os dias eles correm 1870 metros, façamos 1870 * 5 = 9.350. Em uma semana, os jogadores correm 350 metros.

 

13) Sabendo que o perímetro de um hexágono regular é 48,6 cm. Qual é a medida de cada lado do hexágono?

Resolução:

Resolução:

Um hexágono regular possui seis lados de mesma medida, e o perímetro é a soma desses lados. Portanto, para saber a medida de cada lado, basta fazer:

48,6 : 6 = 8,1 cm

Cada lado do hexágono mede 8,1 cm.

 

14) Sabe-se que o perímetro de um retângulo é 60 cm e o comprimento desse retângulo é de 22 cm. Defina a largura do retângulo.

Resolução:

Um retângulo possui lados paralelos de medidas iguais. Então, se um lado do retângulo mede 22 cm, o lado paralelo a esse deve medir 22 cm também. Considere que a largura da figura é x. Visualizemos a figura:

Se o perímetro, que é a soma de todos os lados do retângulo, é 60 cm, então temos:

2p = 22 + x + 22 + x
60 = 44 + 2x
2x = 60 – 44
2x = 16
x = 16
       2
x = 8,0 cm.

Portanto, a largura do retângulo é de 8,0 cm. 

 

15) Considere um triângulo isósceles T cujo perímetro seja 70 cm, diminuindo 2 cm na base do triângulo e aumentando 5% nos lados de mesma medida, obtém-se outro triângulo isósceles P de mesmo perímetro. Quais são as dimensões dos dois triângulos?

Resolução:

Por se tratar de triângulos isósceles, sabemos que eles possuem dois lados de mesma medida. Vamos considerar que o lado de medida diferente é a base do triângulo. Digamos que o triângulo T tem base x e dois lados iguais y, podemos afirmar que o triângulo P possui comprimento igual a x – 2 e largura igual a y*1,05. Uma informação importante da qual dispomos é que o perímetro de ambos são iguais. Vejamos então:

Perímetro de T → x + 2*y = 70 *

Perímetro de P → (x – 2) + 2*(y*1,05) = 70

x – 2 + 2,1 y = 70

x +2,1 y = 70 + 2

x + 2,1 y = 72 **

Vamos isolar o 2*x na primeira e na quarta equação e igualar o restante dos termos:

x = 70 + 2*y *

x = 72 – 2,1*y **

Igualando o segundo membro das duas equações, temos:

72 – 2,1*y = 70 + 2*y

2*y – 2,1*y = 70 – 72

( – 1). – 0,1 *y = – 2 .( – 1)

0,1 *y = 2

y = _2_
​      0,1

y = 20 cm

Substituindo o valor encontrado de y em *, temos:

x = 70 – 2 *y

x = 70 – 2 * 20

x = 70 – 40

x = 30 cm

Portanto, o triângulo T tem lados de medidas 20 cm e base de 30 cm. Vamos verificar as medidas do Triângulo P.

Base: x – 2 = 30 – 2 = 28 cm

Lados de mesma medida: y * 1,05 = 20 * 1,05 = 21 cm

As medidas do triângulo P são lados de medidas 21 cm e base de 28 cm.

 

16) Calcule a área e o perímetro da figura a baixo:

                           10 cm
12cm12 cm
                           5cm

Resolução:

Na figura temos um trapézio, para calcular sua área devemos somar a base maior com a base menor e multiplicar pela altura e dividir por dois:

A= (B + b) h
          2

A= (10 + 5) 6 ---------- Lembrando que a altura tem que fazer um ângulo reto
    
       2                        com a base, por isso 6 cm é a altura, não 12 cm.

A= 15 * 6
         2

A= 90
      2

A= 45 cm ²

P= 10 + 5 + 12 + 12
P= 39 cm

 

17) Calcule a área e o perímetro do losango de diagonal maior 8 cm e diagonal menor 4 cm.

Resolução:

Vamos esboçar esse losango:

8 cm

Para calcular a área de um losango, multiplica-se a diagonal maior pela menor e divide por dois:

A= D * d
        2

A= 8 * 4
       2

A= 32/2
A= 16 cm ²

Para calcular o perímetro precisaremos descobrir a medida de um lado. Podemos usar o teorema de Pitágoras para calcular essa medida. Basta tomar como catetos metade das medidas das diagonais, pois, além de se encontrarem em seus pontos médios, ainda são perpendiculares, o que garante a existência de um triângulo retângulo que possui essas medidas e o lado do losango como hipotenusa. Observe:

l2 = 42 + 22

l2 = 16 + 4

l2 = 20

√l2 = √20

l = 4,47

Agora basta multiplicar o lado por 4 para obter o perímetro.

P = 4·4,47

P = 17,88 cm

 

18) (ENEM) Em canteiros de obras de construção civil, é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde

(A) à mesma área do triângulo AMC.

(B) à mesma área do triângulo BNC.

(C) à metade da área formada pelo triângulo ABC.

(D) ao dobro da área do triângulo MNC.

(E) ao triplo da área do triângulo MNC.

Resolução:

Para solucionar essa questão, devemos determinar a medida dos segmentos BP, PA, BM, MC, AN e NC. Essas medidas são estabelecidas por meio do ponto médio, que é o ponto que divide o segmento em duas partes iguais. Observe no desenho as medidas dos segmentos de acordo com os seus três pontos médios: M, N e P.

Agora que sabemos as medidas dos segmentos descritos anteriormente, podemos calcular a área.

Dados para o cálculo da área do triângulo MCN:

a = base
2

b = altura
2

Fórmula para calcular a área do triângulo: A = base . altura
                                                                           2

Cálculo da área do triângulo MCN:

AMCN = . b
            2   2
              2

AMCN = ab . 1
             4    2

AMCN = ab
             8

8 . AMCN = ab

Dados para o cálculo da área do triângulo BAC:

a = base

b = altura

Fórmula para calcular a área do triângulo: A = base . altura
                                                                           2

Cálculo da área do triângulo MCN:

ABAC = a . b
              2

ABAC = 8 . AMCN
                 2

ABAC = 4 AMCN

ABAC = 3 AMCN + AMCN

Logo, AABMN = 3 AMCN

A área a ser calçada corresponde a 3 AMCN . 

Alternativa: E

 

19) (UFMT) Assinale a medida do lado de um quadrado, sabendo-se que o número que representa o seu perímetro é o mesmo que representa sua área.

(A) 5

(B) 4

(C) 6

(D) 8

Resolução:

Essa questão será resolvida pelo método de tentativas. Sendo assim, consideremos que o quadrado possui como medida de lado: 4, 5, 6 ou 8.

  • O cálculo da área de um quadrado é dado pela seguinte fórmula: A = (lado)2 → A = l2.
  • Já a fórmula do perímetro é a soma dos quatro lados do quadrado: P = l1+ l2 + l3 + l4

→ Considerando o lado do quadrado como 4, temos:

A = l→ A = 42 → A = 16

P = l1 + l2 + l3 + l→ P = 4 + 4 + 4 + 4 = 16

Quando o lado do quadrado é 4, a área é igual ao perímetro.

→ Considerando o lado do quadrado como 5:

A = l→ A = 52 → A = 25

P = l1 + l2 + l3 + l→ P = 5 + 5 + 5 + 5 = 20

Quando o lado do quadrado é 5, a área é diferente do perímetro.

→ Considerando o lado do quadrado como 6:

A = l→ A = 62 → A = 36

P = l1 + l2 + l3 + l→ P = 6 + 6 + 6 + 6 = 24

Quando o lado do quadrado é 6, a área é diferente do perímetro.

→ Considerando o lado do quadrado como 8:

A = l→ A = 82 → A = 64

P = l + l + l + l → P = 8 + 8 + 8 + 8 = 32

Quando o lado do quadrado é 8, a área é diferente do perímetro.

Alternativa: D

 

20) Uma escola pretende ladrilhar o seu pátio retangular, que possui as seguintes dimensões: 4 m e 5,5 m. Os ladrilhos utilizados são quadrados com 16 cm de lado. Calcule o número de ladrilhos necessários.

Resolução:

Dados da questão:

Dimensão do pátio: 4 m e 5,5 m
Dimensão do lado do ladrilho: 16 cm → 0,16 m

Cálculos:

Área total do pátio = 4 m x 5,5 m = 22 m2

Área do ladrilho = (0,16 m)2 = 0,0256 m2

Quantidade de ladrilhos necessários: 22 m: 0,0256 m2 = 859, 375 ladrilhos.

São necessários aproximadamente 859 ladrilhos para cobrir toda a área do pátio da escola.

 

21) Uma cadeira tem o seu assento na forma de um quadrado. Suponhamos que uma formiga, partindo de um dos cantos da cadeira, andou três metros para contornar todo o assento. Qual é a área do assento da cadeira?

Resolução:

Para solucionar essa questão, devemos realizar o cálculo do perímetro (que é a soma dos lados de um polígono) com a finalidade de descobrir a medida do lado do assento da cadeira. Como o assento é quadrado, todos os seus lados possuem a mesma medida.

P = l + l + l + l
3 = 4l
3/4 = l
0,75 = l

Cada lado do assento da cadeira mede 0,75 metros. Para saber a sua área, vamos utilizar a fórmula para o cálculo de área de um quadrado.

A = l2
A = (0,75 m)2
A = 0,5625 m2

A área do assento da cadeira é de: 0,5625 m2.

 

22) (PM Pará 2012) A figura abaixo mostra um telhado de uma casa, onde AB = AC, BC = 4 m, AM = 1,5 m, CD = BF = 15 m e M é o ponto médio de BC. Considerando que para cobrir um metro quadrado de telhado são utilizadas 16 telhas, a quantidade de telhas para cobrir esse telhado será de:

(A) 800

(B) 900

(C) 1000

(D) 1200

(E) 1500

Resolução:

Primeiramente vamos calcular a medida de AC:

Como AB = AC e M é ponto médio de BC, temos que AMC é um triângulo retângulo, onde AC é a hipotenusa, MC = 2 pois BC = 4 e AM = 1,5.

Utilizando o Teorema de Pitágoras:

AC² = MC² + AM²

AC² = 2² + 1,5²

AC² = 4 + 2,25

AC² = 6,25

AC = 2,5m

Agora vamos calcular a área de um dos lados do telhado, depois multiplicar por 2:

Área = AC.CD = 2,5.15 = 37,5m²

2.37,5 = 75m²

Como cada m² equivale a 16 telhas:

16.75 = 1200

Alternativa: D

 

23) (PM Pará 2012) Um empresário possui um espaço retangular de 110 m por 90 m para eventos. Considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas, a capacidade máxima de pessoas que esse espaço pode ter é:

(A) 32.400

(B) 34.500

(C) 39.600

(D) 42.500

(E) 45.400

Resolução:

Vamos calcular a área do espaço:

A = 90 x 110 = 9900 m²

Como cabem 4 pessoas por m²:

Capacidade = 4.9900 = 39600

Alternativa: C

 

24) (PM Pará 2012) Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. A área desse triângulo é:

(A) 5 u.a

(B) 6 u.a

(C) 7 u.a

(D) 8 u.a

(E) 9 u.a

 

Resolução:

Veja no desenho como fica o triângulo:

Fórmula para cálculo de área de um triângulo:

A = base x altura / 2

base = 5 – 2 = 3

altura = 7 – 3 = 4

A = 3.4/2 = 6

Alternativa: B

 

25) (CFO PM ES 2013 – Exatus) Adriana planta flores num canteiro circular de raio 8 m. Ao redor desse canteiro, ela pretende plantar ervas medicinais formando uma coroa circular, de maneira que a parte destinada às flores sofrerá uma redução de 2 m em seu diâmetro. A área ocupada pelas ervas medicinais neste canteiro será igual a:

(A) 14π

(B) 12π

(C) 5π

(D) 15π

Resolução:

Adriana planta em um circulo de raio 8, de onde podemos concluir que o diâmetro mede 16 metros.

Se reduzirmos o diâmetro em 2 metros, passando a medir 14 metros, o raio passará a medir 7 metros.

Assim, a área da coroa circular será a diferença entre a área do circulo de raio 8 e do circulo de raio 7 (Área circunferência = π.r²):

π.8² – π.7² = 64π – 49π = 15π

Alternativa: D

 

26) (PM ES 2013 – Funcab) Um para-raios instalado em um determinado prédio protege uma área circular de raio R = 20 m no solo. O valor total da área do solo, em metros quadrados, protegida por esse para-raios, é de:

(Adote o valor aproximado de π= 3,14)

(A) 1.256 m²

(B) 1.294 m²

(C) 1.306 m²

(D) 1.382 m²

(E) 1.416 m²

Resolução:

Calculando a área do círculo:

Área = π . r²

Área = 3,14 . 20²

Área = 3,14 . 400

Área = 1256

Alternativa: A

 

27) (PM Acre Músico 2012 – Funcab). A área de um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 4, e dois de seus ângulos medem 45º, corresponde a:

(A) 4 u.a.

(B) 8 u.a.

(C) 12 u.a.

(D) 16 u.a.

(E) 20 u.a.

Resolução:

Temos um triângulo retângulo (o valor da altura e da base é 4).

A = base x altura / 2

A = 4×4/2

A = 8

Alternativa: B

 

28) (Correios 2011 – Cespe) Em 2008, nos 200 anos do Banco do Brasil, os Correios lançaram um selo comemorativo com uma tiragem de 1.020.000 unidades. No selo, cujo formato é de um retângulo medindo 40 mm × 30 mm, a estampa ocupa um retângulo que mede 35 mm × 25 mm. Dadas essas condições, é correto afirmar que a área do retângulo da estampa é

(A) superior a 90% da área do retângulo do selo.

(B) inferior a 75% da área do retângulo do selo.

(C) superior a 75% e inferior a 80% da área do retângulo do selo.

(D) superior a 80% e inferior a 85% da área do retângulo do selo.

(E) superior a 85% e inferior a 90% da área do retângulo do selo.

Resolução:

Como estamos trabalhando com porcentagem, não há necessidade de utilizar a medida mm.

Basta dividirmos a área da estampa pela área do selo. Veja:

Alternativa: B

 

29) (PM Paraná 2010 – Cops) Considere uma placa de trânsito na forma de um hexágono regular com lados de L centímetros. Sabe-se que um hexágono regular de lados L é formado por seis triângulos equiláteros de lados L. Como a leitura desta sinalização (placa) depende da área A da placa, temos que A, em função do comprimento L, é dada por:

Resolução

Primeiramente, a área do hexágono é 6x a área do triângulo.

Aplicando o Teorema de Pitágoras, vamos descobrir a altura h do triângulo para descobrirmos sua área:

l² = h² + (l/2)²

l² – l²/4 = h²

(4l² – l²)/4 = h²

3l²/4 = h²

h = l√3/2

Calculando a área:

A∆ = l . l√3/2/2

A∆ = l² √3 /4

A área do hexágono regular será igual a 6 vezes a área do triângulo equilátero.

A = 6 . l² √3/4

A = 3 l² √3 / 2

Alternativa: B

 

30) (PRF 2008 – Cespe) Considerando, em relação às figuras abaixo, que, na figura I, as 4 curvas são quartos de circulo; nas figuras II, III e IV, as curvas são 2 semicírculos; na figura V, aparece 1 quarto de círculo e, interno a ele, um semicírculo, nessa situação, as figuras em que as partes sombreadas têm áreas iguais são:

(A) I e IV.

(B) I e V.

(C) II e III.

(D) II e V.

(E) III e IV

Resolução

Figura I:

Temos um quadrado com 4 semicírculos inscritos, que resultam em um círculo completo. Então a área sombreada será a área do quadrado menos a área do círculo com raio de 1 cm. Calculando as áreas:

Área do quadrado: 2 x 2 = 4 cm²;

Área do círculo: ∙π 1² = π cm²;

Área sombreada: 4 – π.

Figura II:

A área sombreada é formada por 3/4 da área de um círculo com raio de 1 centímetro, menos a área de 2 semicírculos de raio igual a 1/2 centímetro. Lembre que dois semicírculos formam um círculo. Então:

Área do círculo com raio de 1 cm: π 1² = π cm²;

3/4 da área do círculo anterior: 3π/4

Área do círculo com raio igual de 1/2 cm: π.(1/2)² = π/4

Área sombreada: 3π/4 – π/4 = 2π/4 = π/2cm².

Figura III:

Se o semicírculo sombreado trocar de lugar com o semicírculo brando, a área sombreada será igual a 3/4 da área do círculo de raio de 1 cm. Veja:

Área do círculo de raio de 1 cm: π1² = π cm²;

Área sombreada: 3π/4 cm².

Figura IV

Se encaixarmos o semicírculo sombreado no semicírculo branco, têm-se um retângulo com a metade sombreada e a outra branca. Dessa forma, a área sombreada seria igual a metade da área de um retângulo de 2 x 2. Veja:

Área sombreada: 2.2/2 = 2 cm².

Figura V:

A área sombreada será obtida com a subtração da área de um quarto de círculo de raio igual a 2 centímetro pela metade de um semicírculo de raio igual a 1 centímetro. Calculando as áreas:

Área de 1/4 de círculo de 2 cm de raio: π2²/4 = πcm².

Área de um semicírculo de 1 cm de raio: π1²/2 = π/2cm².

Área sombreada: π – π/2 = π/2 cm².

Alternativa: D

 

31) (SAP SP 2013) Ricardo esteve em um lançamento imobiliário onde a maquete, referente aos terrenos, obedecia a uma escala de 1:500. Ricardo se interessou por um terreno de esquina, conforme mostra a figura da maquete.

A área, em metros quadrados, desse terreno é de

(A) 300.

(B) 755.

(C) 120.

(D) 525.

(E) 600.

Resolução

Primeiramente, vamos utilizar a escala 1:500 para sabermos as dimensões reais do terreno:

2cm equivale a 2.500 = 1000cm = 10m

6cm equivale a 6.500 = 3000cm = 30m

5cm equivale a 5.500 = 2500cm = 25m

Sabendo disto, para calcularmos a área é muito simples, basta dividirmos a figura em duas, um retângulo e um triângulo:

O retângulo terá base 30m (6cm) e altura 10m (2cm):

Área = 30×10 = 300m²

O triângulo terá base 30m (6cm) e altura 15m (3cm):

Área  = 30×15/2 = 225m²

Área total = 300 + 225 = 525m²

Alternativa: D

 

32) O professor Diminoi informou aos seus alunos que usariam um dos 4 símbolos nacionais para reforçarem o cálculo de área e perímetro. Para isto, pediu-lhes que eles analisassem a figura abaixo. Em seguida ela apresentou uma bandeira do Brasil aos alunos, conforme o desenho a seguir, e pediu-lhes que calculassem o quanto foi gasto de tecido para confeccionar as partes verde e amarela presentes nesta bandeira.

Resolução:

A parte verde tem a forma de um retângulo de medidas 14 cm de altura e 20 cm de base. Sabe-se Área do retângulo = base x altura.

Área do retângulo = 20 ∙ 14 = 280 cm2

A parte amarela tem a forma de um losango.

Área do Losango = diagonal maior ∙ diagonal menor / 2

Diagonal maior do losango = 20 1,7 1,7 = 16,6 cm.

Diagonal menor do losango = 14 1,7 1,7 = 10,6 cm.

Área do losango = 16,6 ∙ 10,6 / 2 = 87,98 cm2

Logo, foi gasto 280 cm2 de tecido verde e 87,98 cm2 de tecido amarelo, na condição de que o losango que representa a parte amarela da bandeira foi costurado sobre a parte verde.

 

PLANIFICAÇÃO

planificação de sólidos geométricos é uma forma de apresentar esses sólidos usando apenas um plano, ou seja, é uma forma de representar um objeto tridimensional em apenas duas dimensões. Para tanto, basta construir cada superfície externa do sólido do modo como essa figura seria no plano, respeitando suas medidas.

Todo sólido geométrico é formado por, pelo menos, uma superfície. Quando essa superfície é plana e poligonal, ela é chamada de face; quando ela é curva, é preciso imaginar como seria se ela fosse “esticada”. A superfície curva do cilindro, por exemplo, pode ser compreendida como um paralelogramo que foi enrolado.

Planificação de pirâmides

Pirâmide de base pentagonal.

Lembre-se de que uma pirâmide é formada por uma base poligonal – que pode ser qualquer polígono – e por faces laterais triangulares. Assim, fica fácil concluir que a planificação da pirâmide apresenta um polígono e alguns triângulos.

Observe que o número de triângulos sempre será igual ao número de lados do polígono da base. A planificação de uma pirâmide pentagonal, por exemplo, é composta por cinco triângulos e por um pentágono, como mostra a imagem a seguir:

Dito isso, a planificação de uma pirâmide de base triangular é composta por quatro triângulos: uma da base e três das faces laterais.

A planificação de uma pirâmide cuja base é um quadrilátero é composta por um quadrilátero e quatro triângulos, que também não são necessariamente congruentes.

Resumindo: o número de triângulos da planificação de uma pirâmide é igual ao número de lados da base.

Vale dizer que os triângulos não precisam ser congruentes, pois existem casos de pirâmides oblíquas.

Planificação dos prismas

Prisma de base pentagonal.

O prisma é um sólido geométrico formado por duas bases poligonais congruentes e por faces laterais que são paralelogramos.

O número de paralelogramos presentes na planificação do prisma é igual ao número de lados de uma de suas bases. Além disso, na planificação, aparecerão dois polígonos congruentes, que são as bases. A figura a seguir mostra a planificação de um prisma de base pentagonal:

Como o número de paralelogramos é igual ao número de lados da base do prisma, um prisma de base octogonal possui oito paralelogramos em sua planificação. Esses paralelogramos não necessariamente são congruentes, apenas nos casos em que o prisma é reto.

Planificação dos cones

O cone é um sólido formado por uma base circular e por uma superfície curva, como mostra a figura anterior. A planificação do cone apresenta um setor circular e um círculo, como mostra a figura a seguir:

Planificação dos cilindros

O cilindro é um sólido formado por duas bases circulares congruentes e por uma superfície curva, como mostra a figura anterior. Essa figura pode ser compreendida como um retângulo ou um paralelogramo que foi “enrolado”.

Planificação de um cilindro.

Obs.: Todas as planificações apresentadas buscavam mostrar um exemplo de como a planificação pode ser apresentada. Vale dizer que a posição dessas figuras pode variar de acordo com o problema, intenção do autor etc.

Perceba que o número de lados da base de uma pirâmide é igual ao número de triângulos que aparecem na sua planificação. Observe também que os triângulos não necessariamente são congruentes (iguais), o que só acontece quando o polígono da base é regular.

 

Nos prismas, a quantidade de faces laterais também é igual ao número de lados de uma de suas bases. Sendo assim, sua planificação sempre apresenta dois polígonos congruentes e alguns paralelogramos, que só serão todos iguais se as bases do prisma forem regulares.

Os cones são sólidos geométricos formados por um círculo, que é sua base, e por uma superfície curva no formato de funil. As duas figuras geométricas resultantes da planificação de um cone são um setor circular e um círculo.

A área dos cones pode ser encontrada pela seguinte expressão:

A = πr(g + r)

Na fórmula, r é o raio do cone e g é a geratriz. Mais detalhes sobre essa fórmula podem ser encontrados.

 

33) Qual é a área de um cone cuja geratriz mede 10 cm e o raio mede 5 cm?

Resolução:

Substitua esses dados na fórmula acima e considere π = 3,14.

A = πr(g + r)

A = 3,14·5(10 + 5)

A = 15,7·15

A = 235,50 cm2

Cilindros

Os cilindros são sólidos geométricos cujas bases são dois círculos paralelos e congruentes. Em sua planificação, temos dois círculos e um retângulo.

área do cilindro é determinada pela soma das áreas das duas bases e da superfície lateral. Sabendo que essas figuras são dois círculos congruentes e um retângulo, podemos realizar a seguinte soma:

A = 2AC + AR

A = 2πr2 + bh

Nessa fórmula, r é o raio do cilindro, h é a sua altura e b é a base do retângulo obtido na planificação. Essa base é exatamente o comprimento do círculo: 2πr.

A = 2πr2 + 2πrh

A = 2πr(r + h)

 

34) Um cilindro possui base circular cujo raio é 2 cm e a altura é 10 cm. Calcule sua área.

Resolução:

Substituindo na fórmula acima os valores dados e considerando π = 3,14, teremos:

A = 2πr(r + h)

A = 2·3,14·2·(2 + 10)

A = 12,56·12

A = 150,72 cm2

 

35) (ENEM) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações?

(A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.

(B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

(C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

(D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

(E)Cilindro, prisma e tronco de cone.

Resolução

Planificação de figuras espaciais. Cada figura espacial é formada por um conjunto específico ou variável (de acordo com sua característica) de figuras planas. Considerando as figuras espaciais retas, o cilindro é formado por 2 círculos e 1 retângulo, o cone por um círculo e um setor circular, com mesmo comprimento que o círculo. Já o prisma é formado por 2 bases (qualquer polígono) e “n” faces laterais retangulares, com “n” igual ao número de lados do polígono da base e a pirâmide por 1 base (qualquer polígono) e “k” faces laterais triangulares, com “k” igual ao número de lados do polígono da base. A base dos prismas e pirâmides os caracterizam. Assim, a primeira planificação representa um cilindro, a segunda um prisma de base pentagonal e a terceira uma pirâmide (de base triangular, também chamada de tetraedro). 

Alternativa: A

 

GEOMETRIA ESPACAL

Conceitos Básicos da Geometria

Os sólidos geométricos ou figuras espaciais são formadas por elementos da geometria que não precisam ser demonstrados ou provados, e portanto são chamados de axiomas.

Assim, para começar a entender algumas das figuras geométricas espaciais, precisamos entender esses conceitos básicos:

Ponto: o ponto é um elemento na geometria que não possui dimensão, é definido como alguma coisa que não possui partes. O ponto é importante pois os planos, retas, e todos os sólidos geométricos são formados por um conjunto de pontos reunidos;

Reta: as retas são pontos alinhados infinitamente, possuindo apenas comprimento. As retas são representadas por letras minúsculas do alfabeto;

Linha: a linha é diferente do conceito de retas. Apesar de ser formada por pontos, a linha pode ser curva ou não. Por exemplo, a circunferência é formada por uma linha curva;

Vértice: o vértice é um ponto que define o encontro de segmentos de retas que formam os lados dos sólidos geométricos;

Plano: planos são regiões infinitas bidimensionais (duas dimensões).

 

Figuras Geométricas Espaciais

A geometria espacial estuda diversos sólidos geométricos, entre as principais temos: cilindrocuboconeesferaparalelepípedo e a pirâmide.

As figuras geométrica espaciais são chamadas de poliedros, que são figuras geométricas tridimensionais, e possuem largura, comprimento e altura.

 

Cilindro

cilindro é um poliedro com duas bases circulares e congruentes. Além disso, os lados tem formato circular.

Entre os principais elementos do cilindro, temos:

Base: duas bases com formato circular e paralelas entre si;

Raio: as bases são círculos que possuem uma medida do centro até a extremidade, chamada de raio;

Geratriz: as geratrizes são segmentos de retas que formam o lado do cilindro;

Diretriz: a diretriz é o ponto na base da geratriz que indica a direção da geratriz.

 

Cubo

cubo é um hexaedro regular, ou seja, possuem 6 faces com as mesmas medidas, tanto para área, ângulos e quantidade de arestas.

O cubo é formado pelos seguintes elementos:

Arestas: possui 12 arestas congruentes;

Faces: possui 6 faces quadrangulares;

Diagonais: possui 4 diagonais internamente no cubo;

Vértices: possui 8 vértices;

Ângulos: possui 24 ângulos retos.

 

Cone

O cone é outro sólido geométrico bem popular, que tem o formato de uma pirâmide.

O cone possui os seguintes elementos na sua formação:

Raio da base: a base é um círculo que possui um raio;

Geratriz: segmentos de retas que formam os lados do cone;

Vértice: ponto que não pertence ao plano da base;

 

Esfera

esfera é uma figura geométrica espacial que é limitada por uma superfície esférica. A superfície da esfera é formado por um conjunto de pontos que ficam a uma distância do centro por uma medida que é chamada de raio.

A esfera possui algumas partes importantes chamadas de partes da esfera:

Superfície Esférica: é a região superficial da esfera;

Cunha Esférica: a cunha é uma região entre dois semicírculos;

Fuso Esférico: o fuso é uma parte da esfera obtida pelo giro de uma semicircunferência a um certo ângulo;

Calota Esférica: a calota esférica é uma parte da esfera cortada por um plano perpendicular ao eixo de rotação;

Polos: os polos são pontos nas extremidades do eixo de rotação da esfera;

Paralelo: é uma circunferência perpendicular ao eixo de rotação da esfera;

Meridiano: é uma circunferência na superfície na mesma direção do eixo de rotação da esfera.

 

Paralelepípedo

O paralelepípedo é um poliedro formado por paralelogramos. Suas faces opostas são paralelas, com ângulos retos.

O paralelepípedo possui os seguintes elementos na sua formação:

Faces: possui 6 faces;

Vértices: possui 8 vértices;

Arestas: possui 12 arestas.

 

Pirâmide

É um poliedro com base poligonal e os lados são formadas por polígonos triangulares, unidas num vértice que não pertence ao plano da base.

A pirâmide é formada pelos seguintes elementos:

Arestas laterais: segmentos de retas da base até o vértice;

Faces laterais: formadas por triângulos;

Arestas da base: segmentos de retas ligando os vértices;

Altura da pirâmide: definida pelo vértice;

Apótema da pirâmide: altura da face da pirâmide.

Observação: Na geometria, chama-se aresta o segmento de linha que se encontra com dois vértices em um polígono, poliedro, ou polítopo. Em um poliedro, ou generalizando um polítopo, uma aresta é um segmento de intersecção entre duas faces. Esse segmento comum é o "canto", ou "quina" da figura geométrica. A aresta também possui o nome de "reta".

 

Poliedros

São aqueles cujas superfícies são formadas apenas por polígonos planos.

Corpos redondos

São aqueles cujas superfícies têm ao menos uma parte que é arredondada (não plana).

Qualquer poliedro convexo possui a característica de Euler

V + F = A + 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e é o número de faces. Esta equação é conhecida por Fórmula de Euler. Por exemplo, um cubo tem 8 vértices e 6 faces, logo possui 12 arestas

 

Fórmulas de Área e Volume dos Sólidos

 

Exercícios resolvidos

01) (ENEM) Uma empresa especializada em conservação de piscinas utiliza um produto para tratamento da água cujas especificações técnicas sugerem que seja adicionado 1,5 mL desse produto para cada 1 000 L de água da piscina. Essa empresa foi contratada para cuidar de uma piscina de base retangular, de profundidade constante igual a 1,7 m, com largura e comprimento iguais a 3 m e 5 m, respectivamente. O nível da lâmina d’água dessa piscina é mantido a 50 cm da borda da piscina.

A quantidade desse produto, em mililitro, que deve ser adicionada a essa piscina de modo a atender às suas especificações técnicas é

(A) 11,25.

(B) 27,00.

(C) 28,80.

(D) 32,25.

(E) 49,50.

Resolução:

De acordo com o enunciado temos que o volume de água na piscina é igual a:

V = 5.3.1,2 = 15.1,2 = 18 m³ = 18 000 l

Logo, a quantidade de produto será: (18 000.1,5) / 1 000 = 27 ml

Alternativa: B

 

02) (ENEM) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá

(A) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

(B) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

(C) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

(D) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

(E) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

Resolução:

O volume do copinho plástico, em centímetros cúbicos, é π.2².4 = 16π

O volume da leiteira, em centímetros cúbicos, é π.4².20 = 320π

(Volume da leiteira) ÷ (volume do copinho) = 320π/16π = 20

Assim, para encher os vinte copinhos plásticos pela metade, é suficiente encher a leiteira até a metade.

Alternativa: A

 

03) (ENEM) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com 

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza

(A) massa.

(B) volume.

(C) superfície.

(D) capacidade.

(E) comprimento.

Resolução

O volume de um paralelepípedo é calculado através da multiplicação entre a área da base e a altura, em outras palavras, Volume de um paralelepípedo é exatamente o produto de suas três dimensões comprimento x largura x altura, como a questão especifica que o sólido é maciço, não existe a interpretação de “capacidade” no lugar de “volume”.

Alternativa: B

 

04) (ENEM) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?

(A) 156 cm³.

(B) 189 cm³.

(C) 192 cm³.

(D) 216 cm³.

(E) 540 cm³.

Resolução:

O volume de parafina gasto na nova vela corresponde à subtração do volume da pirâmide maior, com aresta da base de 6 cm e altura de 19 – 3 = 16 cm, pelo volume da pirâmide menor, com 1,5 cm de aresta da base e 4 cm de altura.

Como volume da pirâmide é calculado pela terça parte do produto da área da base pela altura, o volume de parafina, em cm³, é de 1/3.6.6.16 − 1/3.1,5.1,5.4 = 192 – 3 = 189 cm³.

Alternativa: B

 

05) (PM RJ – Exatus) Sobre retas, planos e suas relações posicionais, Adriana escreveu em seu caderno as seguintes afirmações:

I – Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

II – Se uma reta r está contida em um plano α , então existem retas paralelas a r fora de α .

III – Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.

IV – Dada uma reta r paralela a um plano α , então r não é paralela a todas as retas de α .

Está correto apenas o que se afirma em:

(A) Apenas as afirmativas I e II.

(B) Apenas as afirmativas II e III.

(C) Apenas as afirmativas II e IV.

(D) Apenas as afirmativas III e IV.

Resolução

Vamos analisar cada uma das afirmações:

I – Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre si.

A afirmação está incorreta. Veja na figura um exemplo de duas retas distintas (r, s), paralelas a um plano (em vermelho), e que não são paralelas entre si.

 

II – Se uma reta r está contida em um plano α , então existem retas paralelas a r fora de α .

A afirmação está correta. Existem infinitas retas paralelas a r (dentro e fora do plano α).

III – Duas retas concorrentes podem ser ortogonais.

A afirmação está correta. Basta que o ângulo entre elas seja de 90º.

IV – Dada uma reta r paralela a um plano α , então r não é paralela a todas as retas de α .

A afirmação está incorreta. Veja na figura que a reta r é paralela a α, porém não é paralela a reta s, que pertence a α.

Alternativa: B

 

06) (Prefeitura de Ceará Mirim – RN – Comperve) Um brilhante com formato de um octaedro é exibido em uma concorrida exposição. Por medida de segurança, ele foi colocado no interior de um cubo de vidro com seus vértices tocando, precisamente no meio de cada face do cubo, conforme a figura abaixo.

Se o volume do cubo é 1.728 cm³ , o volume do octaedro, em cm³ , será

(A) 144.

(B) 288.

(C) 432.

(D) 576.

Resolução

O primeiro passo é determinar a medida das arestas do cubo. Como o volume é igual a 1.728 cm³, podemos afirmar que cada aresta mede 12 cm. Veja:

12³ = 1728

O octaedro pode ser dividido em duas pirâmides. Como os vértices tocam precisamente no meio de cada face do cubo, a base dessas pirâmides é um losango onde as diagonais possuem as mesmas medidas da aresta do cubo. Também é possível observar que a altura é exatamente a metade da aresta do cubo.

Área da base da pirâmide (losango):

A = d1 x d2 / 2

A = 12 x 12 / 2

A = 72 cm²

Volume da pirâmide:

V = Ab x h / 3

V = 72 x 6 / 3

V = 144 cm³

Como o octaedro é composto por duas pirâmides:

2 x 144 = 288 cm³

Alternativa: B

 

07) (Bombeiros MG – Igetec) O hexaedro regular que inscreve a esfera de volume 9π/2 cm³, tem a medida da diagonal, em centímetros, igual a:

(A) 2,7

(B) √3

(C) 3√3

(D) 3

Resolução

Veja como é um hexaedro e o que seria sua diagonal:

Repare que como o hexaedro está inscrito a uma esfera, a diagonal é o dobro do raio da mesma.

Podemos calcular o raio pela fórmula pois sabemos seu volume:

Volume = π.r³.4/3

9π/2 = π.r³.4/3

9/2 = r³.4/3

r³ = 9.3/2.4

r³ = 27/8

r = 3/2

Logo, a diagonal é 2.3/2 = 3

Alternativa: D

 

08) (Vassouras RJ – IBFC) Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Desse modo, o total de vértices desse poliedro é:

(A) 12

(B) 9

(C) 15

(D) 11

() 10

Resolução

Utilizando a relação de Euler:

V + F = A + 2

V + 9 = 16 + 2

V = 18 – 9

V = 9

Alternativa: B

 

09) (PM ES – Exatus – Geometria Espacial) O volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 5 cm e base medindo 6 cm, em torno da base é igual a:

(A) 12π cm³

(B) 13π cm³

(C) 14π cm³

(D) 15π cm³

(E) 16π cm³

Resolução

Veja na figura que após a rotação em torno da base, teremos um sólido formado por dois cones iguais. Basta então calcular o volume de um deles e multiplicar por 2.

Calculando a altura h do cone através do Teorema de Pitágoras:

5² = 3² + r²

r² = 25 – 9

r² = 16

r = 4

Calculando o volume do cone:

V = Área da base x altura / 3

V = π . 4² . 3 / 3

V = π . 16

V = 16π cm³

Alternativa: E

 

10) (TRE PI – FCC) Uma pessoa fez quatro cortes paralelos igualmente espaçados em uma laranja esférica, dividindo-a nas cinco partes indicadas na figura.

Em relação a essa divisão, é correto afirmar que

(A) todas as partes obtidas têm o mesmo volume.

(B) a parte III é a de maior volume.

(C) o volume da parte I é maior do que o volume da parte II.

(D) não foram obtidas duas partes com o mesmo volume.

(E) a soma dos volumes das partes IV e V é menor do que a soma dos volumes das partes I e II.

Resolução

Como os cortes foram paralelos e igualmente espaçados, a parte que possuirá o maior volume será a que possui o maior raio. Nesta caso, a região de maior volume é a III.

Alternativa: B

 

11) (EsPCEx) A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz.

A medida da altura desse tronco de cone é

(A) 13 cm

(B) 12 cm

(C) 11 cm

(D) 10 cm

(E) 9 cm

Resolução

Veja na figura abaixo o tronco de cone que foi planificado.

Nela é possível observar que a altura do tronco pode ser calculada através do Teorema de Pitágoras:

13² = h² + 5²

169 = h² + 25

h² = 169 – 25

h² = 144

h = √144

h = 12 cm

Alternativa: B 

 

12) (FUVEST) Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face desse tetraedro é

(A) 2√3

(B) 4

(C) 3√2

(D) 3√3

(E) 6

Resolução

A parte mais complicada da questão é “enxergar” como os vértices de um tetraedro regular podem ser vértices de um cubo.

Na figura é possível observar que as arestas do tetraedro regular são diagonais das faces quadradas do cubo. Veja:

Utilizando o Teorema de Pitágoras para descobrir a medida “a” da aresta do tetraedro:

a² = 2² + 2²

a² = 4 + 4

a² = 8

a = √8

a = 2√2

Agora que sabemos a medida das arestas, basta calcular a área de uma das faces do tetraedro, ou seja, a área do triângulo equilátero de lado 2√2:

Alternativa: A

 

13) (EsPCEx – Geometria Espacial) Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11m² por galão.

O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é:

(A) 6

(B) 7

(C) 9

(D) 10

(E) 11

Resolução

Nosso objetivo é calcular a área lateral do tronco de pirâmide regular, ou seja, devemos calcular a área de um dos trapézios e multiplicar por 4.

As medidas da base maior e da base menor já foram informadas na figura.

Vamos descobrir a medida da altura dos trapézios.

Na figura acima é possível observar que a altura (x) do trapézio pode ser calculada através do Teorema de Pitágoras:

x² = 3,2² + 2,4²

x² = 3,2² + 2,4²

x² = 10,24 + 5,76

x² = 16

x = √16

x = 4 m

Calculando a área do trapézio cuja altura, base menor e base maior medem, respectivamente 4 m, 2,4 m e 7,2 m.

Como cada trapézio possui área de 19,2 m², a área lateral do tronco da pirâmide regular será:

4 . 19,2 = 76,8 m²

Se cada galão pinta uma área de 11 m²:

76,8 / 11 = 6,98

Daí, são necessários 7 galões.

Alternativa: B

 

14) (SISPREM RS – FUNDATEC) Um enfeite em formato de pirâmide regular e de base quadrada tem o lado da base medindo 10 cm e a altura de 30 cm. Qual é o volume em cm³ dessa pirâmide?

(A) 300.

(B) 690.

(C) 830.

(D) 950.

(E) 1.000.

Resolução:

Antes de calcularmos o volume da pirâmide, vamos calcular a área da base (quadrado):

Ab = 10² = 100 cm²

Calculando o volume da pirâmide:

Alternativa: E

 

15) (AFPR – COPS) A figura, a seguir, mostra um pedaço de cartolina que será dobrado e colado ao longo das bordas para formar uma embalagem na forma de um prisma hexagonal regular reto.

Supondo que l = 2 cm e h = 5 cm, qual é o volume dessa embalagem em cm3?

(A) √3 cm³

(B) √3/2 cm³

(C) 30√3 cm³

(D) 6√3 cm³

(E) 3√3 cm³

Resolução

O volume de um prisma pode ser calculado multiplicando-se a área da base pela altura.

Como a base é um hexágono regular, podemos calcular a área através da seguinte fórmula:

Ab = 3.l².√3/2

Ab = 3.2².√3/2

Ab = 3.4.√3/2

Ab = 6.√3

Calculando o volume do prisma:

V = h . Ab

V = 5 . 6.√3

V = 30.√3 cm³

Alternativa: C

 

16) (Petrobras – Cesgranrio) Uma fita retangular de 2 cm de largura foi colocada em torno de uma pequena lata cilíndrica de 12 cm de altura e 192π cm³ de volume, dando uma volta completa em torno da lata, como ilustra o modelo abaixo.

A área da região da superfície da lata ocupada pela fita é, em cm² , igual a

(A) 8π

(B) 12π

(C) 16π

(D) 24π

(E) 32π

Resolução

A informação que ainda não temos para calcular a área pedida é o raio da base do cilindro.

Nosso objetivo inicial será utilizar a medida da altura e do volume para descobrirmos o raio.

Utilizando a fórmula do volume:

V = π.r².h

192π = π.r².12

192 = 12r²

r² = 192/12

r² = 16

r = 4 cm

Agora que sabemos a medida do raio, vamos calcular a área lateral ocupada pela fita, cuja altura é de 2 cm.

Al = 2.π.r.h

Al = 2.π.4.2

Al = 16.π cm²

Alternativa: C

 

17) (SEDUC RJ – COPERJ) A figura abaixo representa uma caixa cúbica onde a distância do ponto A até o ponto B mede 3√5 decímetros:

Os pontos A e B são, respectivamente, o centro de uma face e o ponto médio de uma aresta da face oposta. O volume dessa caixa, em dm³ , é igual a:

(A) 125

(B) 216

(C) 343

(D) 512

(E) 729

Resolução

Precisamos calcular o volume do cubo representado na figura. Nosso primeiro objetivo é calcular a medida da aresta desse cubo, que representaremos inicialmente por x.

Vamos analisar o triângulo retângulo formado pela semi reta AB e pelas semi retas que dividem as faces ao meio.

Pelo Teorema de Pitágoras temos:

(3√5)² = x² + (x/2)²

45 = x² + x²/4

45 = 5x²/4

5x² = 4.45

5x² = 180

x² = 180/5

x² = 36

x = 6 dm

Calculando o volume do cubo:

V = x³

V = 6³

V = 216 dm³

Alternativa: B

 

 

Continua...