Professor Diminoi
6º ANO - 1º BIMESTRE
Valor absoluto e valor relativo do um número
Relativo
Ordens
Classes
Números Naturais
Múltiplos e divisores
Números Primos
Operações Básicas
Introdução às Potências
Frações
Representação
Comparação e ordenação
Operações
Aritmética - Valores absolutos e relativos dos algarismos
Absoluto - É o valor do algarismo por si mesmo. São apenas 10 (dez) valores absolutos dos dez algarismos. São 0 (zero), 1 (um), 2 (dois), 3 (três), 4 (quatro), 5 (cinco), 6 (seis), 7 (sete), 8 (oito) e 9 (nove).
Relativo - O valor relativo dos algarismos depende de sua posição dentro do número. Os algarismos são classificados em ordens e classes.
Ordens - Temos a ordem das unidades, dezenas e centenas, formando uma classe.
Classes - Temos a classe das unidades, a classe dos milhares, a classe dos milhões, classe dos bilhões, classe dos trilhões, quatrilhões e … (não termina nunca).
O número da primeira linha na tabela é 9.843.156 = 6 – seis unidades simples
50 – cinco dezenas
100 – uma centena de unid
3000 – três unid. de milhar
40000 – quatro dezenas milhar
800000 – oito centenas de milhar
9000000 – nove unidades milhão
Podemos decompor o número em suas ordens e classes, onde cada algarismo assumirá o seu valor relativo.
Veja o segundo número: 87359 = ………………………….
9 – nove unidades simples
50 – cinco dezenas de unidade
300 – três centenas de unidades
7000 – sete unidades de milhar
80000 – oito dezenas de milhar
Mais um número 591329805 = ……………………………….
5 – cinco unidades simple
00 – zero dezenas de unidades.
800 – oito centenas de unidades
9000 – nove unidades de milhar
20000 – duas dezenas de milhar
300000 – três centenas de milha
1000000 – uma unidade de milhão
90000000 – nove dezenas de milhão
500000000 – cinco centenas de milhão.
Dessa forma vamos em frente. Com um pouco de prática, logo você domina o processo e não tem mais dificuldades para atribuir os valores relativos dos algarismos dependendo da posição que ocupam no número.
Fixação de número absoluto e número relativo
Para representar o valor de um algarismo, devemos utilizar os algarismos indo-arábicos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). A posição em que um esses algarismos encontram-se no número pode trazer-nos muitas informações a seu respeito. Ainda, devemos analisar, sob dois aspectos, essa a posição, são eles: valor absoluto e valor relativo.
Valor absoluto de um algarismo
O valor absoluto de um algarismo não está associado à posição em que ele se encontra no número, isto é, não depende da posição que ele ocupa, pois representa sua própria quantidade.
Exemplos:
Exemplo 1 – No número 1563, o algarismo 5 possui valor absoluto 5 assim como o algarismo 6 possui valor absoluto 6.
Exemplo 2 – No número 84, o algarismo 8 possui valor absoluto 8 e o algarismo 4 possui valor absoluto 4.
Observe que analisar o valor absoluto de um algarismo é equivalente a olhar de maneira isolada para ele, ou seja, não levamos em consideração nem classe nem ordem.
Valor relativo de um algarismo
O valor relativo de um algarismo dependerá da posição em que ele se encontra, ou seja, da sua ordem. Por esse motivo, valor relativo é chamado também de valor posicional.
Exemplos:
Exemplo 3 – No número 1563, observe que o algarismo 5 é de terceira ordem, ou seja, a ordem das centenas, portanto, o valor relativo ou posicional do algarismo é 500. Já o algarismo 6 ocupa a ordem das dezenas e, portanto, o seu valor relativo é 60.
Exemplo 4 – Determine o valor relativo dos algarismos do número 1.563.124.
Uma maneira mais eficiente de determinar o valor relativo dos algarismos é realizando a decomposição do número, veja:
Observe que, após realizar-se a decomposição, é possível determinar o valor relativo de todos os algarismos do número sem muita dificuldade.
Observe que, ao somar-se todos os valores relativos, obtemos o número original.
1.000.000 + 500.000 + 60.000 + 3000 + 100 + 20 + 4 = 1.563.124
Números ordinais – números que indicam ordem e posição
Exemplo 5 – Determine os valores absolutos e relativos de todos os algarismos do número 5555.
A fim de facilitar, o primeiro passo é realizar a decomposição do número 5555.
Assim, observe que o valor absoluto de todos eles é igual a 5. Agora o valor relativo é:
Portanto podemos afirmar que:
5000 + 500 + 50 + 5 = 5555
Números naturais
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.
Exemplo:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.
Exemplo:
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }
A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.
Exemplos:
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.
Quando um conjunto é finito?
O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}
Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}
Exemplos:
O conjunto dos alunos da classe.
O conjunto dos professores da escola.
O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.
Múltiplos e divisores
Múltiplos são todos os resultados da multiplicação entre um número e qualquer número natural. Divisores são os números usados nessa multiplicação.
Dizemos que um número é múltiplo de outro quando o primeiro é resultado da multiplicação entre o segundo e algum número natural. Nesse mesmo caso, também é possível dizer que o segundo é divisor do primeiro.
Em outras palavras, dados os números x e y, dizemos que x é múltiplo de y se existir algum número natural n tal que:
x = y . n
Se esse número existir, podemos dizer que y é um divisor de x e podemos escrever:
x = n
y
Dessa maneira, um bom teste para descobrir se um número qualquer y é divisor de outro número x é observar o resultado da divisão de x por y. Se o resultado for exato, y é divisor de x.
Exemplo:
70 é múltiplo de 2, pois o número natural 35 multiplicado por 2 tem 70 como resultado. Em outras palavras:
70 = 2 . 35
Também podemos afirmar que 10 é divisor de 70, pois
70 = 7
10
Múltiplos de um número natural
O conjunto que contém os múltiplos de um número natural é um subconjunto infinito do conjunto dos números naturais. Isso acontece porque os múltiplos são obtidos ao multiplicar o número em questão por todos os números naturais. Assim, o conjunto dos múltiplos do número 2 pode ser obtido da seguinte maneira:
2 . 0 = 0
2 . 1 = 2
2 . 2 = 4
2 . 3 = 6
Esses resultados podem ser escritos na notação de conjuntos:
P = {0, 2, 4, 6, 8, …}
Esses resultados são conhecidos como conjunto dos números pares.
Observe que é possível listar os múltiplos de um número qualquer realizando um procedimento exatamente igual ao de construir a tabuada daquele número.
Divisores de um número natural
Já o conjunto dos divisores de um número natural é um subconjunto finito dos números naturais. Isso acontece em virtude de alguns resultados diretos da definição de divisores:
a) O número 1 sempre é o menor divisor de qualquer número natural;
b) O próprio número sempre é o seu maior divisor;
c) Zero não é divisor de nenhum número.
Como existe um “maior elemento” no conjunto dos divisores de um número natural qualquer, esse conjunto é finito.
Para encontrar os divisores de um número natural, é necessário dividir esse número por todos os naturais menores que ele.
Exemplo:
Os divisores do número 48, por exemplo, são:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48
Dizemos que o número 48 é divisível por qualquer elemento da lista acima.
Muitas vezes não é necessário realizar a divisão para saber se um número é divisível (ou divisor de) por outro.
Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
Ao analisar dois ou mais números, é possível identificar o menor múltiplo comum que eles possuem, ou seja, escrevendo a lista de múltiplos de ambos, destacar o menor dos múltiplos que aparecem em ambas as listas simultaneamente. Por exemplo: O mínimo múltiplo comum (também chamado de MMC ou apenas mínimo) entre 6 e 20 é:
Múltiplos do 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …
Múltiplos do 20: 0, 20, 40, 60, 80, …
Máximo divisor comum
Segue a mesma ideia do mínimo múltiplo comum, porém, procurando o maior divisor nas duas listas.
Exemplo:
O máximo divisor comum (também chamado de MDC) entre 6 e 20 é:
Divisores do 6: 1, 2, 3 e 6
Divisores do 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20
O número 2 é o maior dos divisores comuns entre os números 6 e 20 (e o único).
Exercícios resolvidos:
Situações-problemas envolvendo adição
01) Uma empresa tem 1748 pessoas trabalhando na sua fábrica e 566 pessoas trabalhando no seu escritório. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa empresa?
Resolução:
Para resolver esse problema, devemos fazer 1748 + 566, ou seja
1748---parcela
+566---parcela
2314---soma ou total (resultado da operação)
Conclusão: podemos dizer que nessa empresa trabalham 2314 pessoas
02) Em uma escola, o início das aulas é às 7h 30min. Como cada aula tem 50 minutos de duração, a que horas termina a primeira aula?
Resolução:
Para resolver esse problema, devemos fazer 7h 30min + 50 min, ou seja
7h 30 min----parcela
+ 50 min----parcela
7h 80 min----soma ou total
Como 1 hora tem 60 minutos, então 80 minutos correspondem a 1h 20 min.
Então 7h 80 min = 7 h + 1h 20 min = 8 h 20 min
Conclusão: podemos dizer que a primeira aula termina às 8 h 20 min
03) Durante o ano de 2008, uma equipe de futebol venceu 49 partidas, empatou 18 partidas e perdeu 5 partidas. Quantas partidas essa equipe disputou durante o ano de 2008?
Resolução:
Para resolver o Problema, devemos calcular 49 + 18 + 5, ou seja :
49---parcelas
18---parcelas
+5---parcelas
72---soma ou total
Conclusão: podemos dizer que essa equipe disputou 72 partidas
04) Uma empresa tem 1748 pessoas trabalhando na sua fábrica e 566 pessoas trabalhando no seu escritório. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa empresa?
Resolução:
Para resolver esse problema, devemos fazer 1748 + 566, ou seja
1748---parcela
+566---parcela
2314---soma ou total (resultado da operação)
Conclusão: podemos dizer que nessa empresa trabalham 2314 pessoas
05) Em uma escola, o início das aulas é às 7h 30min. Como cada aula tem 50 minutos de duração, a que horas termina a primeira aula?
Resolução:
Para resolver esse problema, devemos fazer 7h 30min + 50 min, ou seja
7h 30 min----parcela
+ 50 min----parcela
7h 80 min----soma ou total
Como 1 hora tem 60 minutos, então 80 minutos correspondem a 1h 20 min.
Então 7h 80 min = 7 h + 1h 20 min = 8 h 20 min
Conclusão: podemos dizer que a primeira aula termina às 8 h 20 min
06) Durante o ano de 2008, uma equipe de futebol venceu 49 partidas, empatou 18 partidas e perdeu 5 partidas. Q6antas partidas essa equipe disputou durante o ano de 2008?
Resolução:
Para resolver o Problema, devemos calcular 49 + 18 + 5, ou seja :
49---parcelas
18---parcelas
+5---parcelas
72---soma ou total
Conclusão: podemos dizer que essa equipe disputou 72 partidas
Situações-problemas envolvendo subtração
07) Dom Pedro II, imperador do Brasil, faleceu em 1891 com 66 anos de idade. Em que ano ele nasceu?
R: 1825
08) Um avião Boeing 747 pode transportar 370 passageiros e um avião DC-10 pode transportar 285 passageiros. Quantos passageiros o Boeing 747 pode transportar a mais que o DC10?
R: 85 passageiros
09) À vista um automóvel custa 26.454 reais. À prazo o mesmo automóvel custa 38.392 reais. A diferença entre o preço cobrado é chamado de juros. Qual é a quantia que pagará de juros?
R: 11.938
10) Um avião pode transportar 295 passageiros. Em determinado vôo, o avião está transportando 209 passageiros. Quantas poltronas desse avião não estão ocupadas?
R: 86
11) Se Antônio tem 518 selos e Pedro tem 702 selos, Quantos selos Pedro tem a mais que Antônio?
R: 184
12) Ézio tem 95 reais e quer comprar uma máquina fotográfica que custa 130 reais. Quantos reais faltam para ele comprar a máquina?
R: 35
13) De acordo com o Censo de 1980, a população de uma cidade era de 79.412 habitantes. Feito o Censo em 1991, verificou-se que a população dessa cidade passou a ser de 94.070 habitantes. Qual foi o aumento da população dessa cidade nesse período de tempo?
R: 14.658
14) Uma indústria, no final de 1991, tinha 10.635 empregados. No início de 1992 em virtude da crise econômica dispensou 1.880 funcionários. Com quantos funcionários a indústria ficou?
R: 8.755
15) Qual a diferença entre 10.000 e 5.995?
R: 4005
16) Quantas unidades faltam a 499 para atingir 1 unidade de milhar?
R: 501
Situações-problemas envolvendo multiplicação
17) Considerando 1 mês = 30 dias e 1 ano = 365 dias, uma semana = 7 dias, determine:
a) quantos dias há em 15 semanas completas.
R: 105 dias
b) Quantos dias há em 72 meses completos.
R: 2160 dias
c) Quantos dias há em 8 anos completos.
R: 2920 dias
18) Para uma demonstração de ginástica, um professor de Educação Fisíca prepara 64 grupos de alunos. Cada grupo é formado por 25 alunos. Quantos alunos devem participar dessa demonstração?
R: 1600
19) Com 12 prestações mensais iguais de 325 reais posso comprar uma moto. Quanto vou pagar por essa moto?
R: 3900 reais
20) Qual é o número natural que você vai obter quando multiplicar 736 por 208?
R: 153.088
21) Para cobrir o piso de um barracão foram colocados 352 placas de 35 metros quadrados cada uma. Quantos metros quadrados tem o piso desse barracão?
R: 12320 metros quadrados
22) Um carro bem regulado percorre 12 quilômetros com um litro de gasolina. Se numa viagem foram consumidos 46 litro, qual a distância em quilômetros que o carro percorreu? R: 552 quilômetros
23) Em um teatro há 18 fileiras de poltronas. Em cada fileira foram colocadas 26 poltronas. Quantas poltronas há nesse teatro?
R: 468 poltronas
24) Em uma multiplicação, os fatores são 134 e 296. Qual o produto?
R: 39.664
25) Numa mercearia há 7 caixas de bombons e cada caixa contém 3 dúzias de bombons. Quantos bombons há na mercearia?
R: 252
26) Uma pessoa deu R$ 4.700,00 de entrada na compra de um objeto e pagou mais 6 prestações de R$ 2.300,00. Quanto custou o objeto?
R: 18.500
27) Um motorista percorreu 749 km em 6 dias. Nos cinco primeiros dias andou 132 km por dia. Quanto percorreu no 6º dia ?
R: 89
Situações-problemas envolvendo divisão exata
28) Um colégio levou 72 alunos numa excursão ao jardim zoológico e para isso repartiu igualmente os alunos em 4 ônibus. Quantos alunos o colégio colocou em cada ônibus?
Resolução:
Para resolver esse problema, devemos fazer uma divisão 72 : 4 = 18 , sendo assim cada ônibus tinha 18 alunos.
29) Calcule as divisões
a) 20 : 5= 4
b) 48 : 8 = 6
c) 37 : 37 = 1
d) 56 : 14 = 4
30) Observe a igualdade 56 : 7 = 8 e responda:
a) Qual é o nome da operação?
R: divisão
b) Como se chama o número 56?
R: dividendo
c) Como se chama o número 7?
R: divisor
d) como se chama o número 8?
R: Quociente ou resultado
31) Efetue as divisões
a) 49 2: 4 = 123
b) 891 : 9 = 99
c) 4416 : 6 = 736
d) 2397 : 17 = 141
e) 1584 : 99 = 16
f) 1442 : 14 = 103
g) 21000 : 15 = 1400
h) 7650 : 102 = 75
i) 11376 : 237 = 48
32) Responda
a) Qual é a metade de 784?
R: 392
b) Qual é a terça parte de 144?
R: 48
c) Qual é a quinta parte de 1800?
R: 360
d) Qual é a décima parte de 3500?
R: 350
33) Em um teatro há 126 poltronas distribuídas igualmente em 9 fileiras. Quantas poltronas foram colocadas em cada fileira?
R: 14 poltronas
34) Quantos garrafões de 5 litros são necessários para engarrafar 315 litros de vinho?
R: 63 garrafões
35) Uma pessoa ganha R$ 23,00 por hora de trabalho. Quanto tempo deverá trabalhar para receber R$ 391,00?
R: 17 horas
36) Uma torneira despeja 75 litros de água por hora. Quanto tempo levará para encher uma caixa de 3150 litros ?
R: 42 horas
37) Numa pista de atletismo uma volta tem 400 metros. Numa corrida de 10.000 metros, quantas voltas o atleta tem de dar nessa pista?
R: 25 voltas
38) Um livro tem 216 páginas. Quero terminar a leitura desse livro em 18 dias, lendo o mesmo número de páginas todos os dias. Quantas páginas preciso ler por dia?
R: 12 paginas
39) Quantos grupos de 18 alunos podem ser formados com 666 alunos?
R: 37 grupos
40) Uma tonelada de cana de açúcar produz aproximadamente 85 litros de álcool. Quantas toneladas de cana são necessárias para produzir 6970 litros de álcool?
R: 82 toneladas
Situações-problemas envolvendo divisão exata
Nem sempre é possível realizar a divisão exata em N considerando 7 : 2 = 3 sobra 1 que chamamos de resto
Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor
41) Uma indústria produziu 183 peças e quer colocá-las em 12 caixas, de modo que todas as caixas tenham o mesmo número de peças. Quantas peças serão colocadas em cada caixa?
Resolução:
Para resolver esse problema devemos fazer 183 : 12, tendo como resultado 15 e resto 3.
Como o resto é 3, dizemos que esta é uma divisão com resto ou uma divisão não exata.
Conclusão: na caixa serão colocadas 15 peças, sobrando ainda 3 peças.
42) Determine o quociente e o resto das seguintes divisões:
a) 79 : 8 = resto=7
b) 49 : 8 = 6 resto = 1
c) 57 : 8 = 7 resto = 1
d) 181 : 15 = 12 resto = 1
e) 3214 : 10 = 321 resto = 4
f) 825 : 18 = 45 resto = 15
g) 4937 : 32 = 154 resto = 9
h) 7902 : 12 = 658 resto = 6
i) 1545 : 114 = 13 resto = 63
43) (PMSC1201/001-Assistente Administrativo) Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi
(A) 74.
(B) 88.
(C) 96.
(D) 102.
(E) 112.
Resolução:
A quantidade máxima de itens em cada pacotinho para que eles tenham a mesma quantidade de itens será dada pelo MDC entre o número de marcadores, corretivos e blocos de rascunho.
140, 120, 148 | 2
70, 60, 74 | 2
35, 30, 37 | 2
35, 15, 37 | 3
35, 5, 37 | 5
7, 1, 37 | 7
1, 1, 37 | 37
1, 1, 1 | 22 = 4
O número máximo de itens em cada pacote é 4. Como esse pacotinho deve conter apenas itens de um mesmo tipo, calcularemos quantos pacotinhos serão usados da seguinte maneira:
140:4 = 35
120:4 = 30
148:4 = 37
35 + 30 + 37 = 102 pacotinhos
Alternativa: D
44) (Bio – Rio) O MDC entre 2³.3.5² e 2².3.7² é igual a:
(A) 6
(B) 12
(C) 60
(D) 50
(E) 300
Resolução:
O MDC entre dois números é o produto entre os fatores comuns que aparecem na decomposição desses dois números. No caso desse exercício, ainda vamos expandir a forma fatorada e escrevê-la da seguinte maneira:
2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 5 e 2 . 2 . 3 . 7 . 7
Observe que os fatores comuns são 2, 2 e 3. O produto entre eles é 12 e, por isso, o gabarito é a Alternativa: B
45) Quais dos números a seguir estão entre os divisores de 148?
(A) 4, 7 e 8
(B) 4, 8 e 37
(C) 2, 4, 37 e 148
(D) 2, 8 e 37
(E) 2, 4, 7 e 37
Resolução:
Um bom caminho para encontrar os divisores de um número é fazer sua decomposição em fatores primos.
148 | 2
74 | 2
37 | 37
1 |
Os fatores primos desse número são 2 e 37. Fazendo o produto entre esses fatores, encontraremos 4 ou 74, que também são divisores de 148. Para finalizar o exercício, basta lembrar que todo número é divisor de 1 e de si mesmo. Logo, a lista completa com os divisores de 148 é: 1, 2, 4, 37, 74 e 148.
Alternativa: C
46) O conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros positivos. Das alternativas a seguir, qual representa um conjunto de múltiplos de um número natural e, ao mesmo tempo, um subconjunto dos números naturais?
(A) {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}
(B) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}
(C) {…, -4, -2, 0, 2, 4, ...}
(D) {2, 4, 8, 10, 12, 14, …}
(E) {-1, -2, -3, -4, -5, -6, …}
Resolução:
Na alternativa a), temos o conjunto dos números ímpares. Cada um deles é um múltiplo de algum número natural, mas nem todos são múltiplos do mesmo número, como 3 e 5. Na alternativa b), temos o conjunto dos números primos, que também não são múltiplos de um mesmo número natural, pois cada um deles só é múltiplo de si mesmo. Na alternativa c), temos um conjunto de múltiplos do número 2, mas nem todos os resultados pertencem ao conjunto dos números naturais, como o – 4.
A alternativa d) apresenta o conjunto dos números pares, que é formado apenas por múltiplos de 2 e está totalmente contido no conjunto dos números naturais, portanto, ela é a alternativa correta.
Já a alternativa e) está errada por apresentar, assim como a C, números negativos na solução.
Números primos
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo:
15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc, até que tenhamos:
- ou uma divisão com resto zero (e neste caso o número não é primo),
- ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
O número 161:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1 + 6 + 1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
Exemplo:
O número 113:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1 + 1 + 3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
Divisibilidade
Divisibilidade por 2: todo número par é divisível por 2. Os números pares são aqueles terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.
Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos der um número divisível por 3.
Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 se ele for divisível duas vezes por 2 ou, então, se seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4.
Divisibilidade por 5: todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por cinco.
Divisibilidade por 6: se um número for par e também divisível por 3, será divisível por 6.
Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número resultar em um número múltiplo de 7.
Decomposição em fatores primos
Por meio da fatoração decomposição dos números em fatores primos, conseguimos representar os números de acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética. Vamos observar alguns exemplos em que os numerais serão escritos na forma fatorada.
8 = 2 x 2 x 2
9 = 3 x 3
10 = 2 x 5
27 = 3 x 3 x 3
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
Crivo de Eratóstenes
Um matemático grego chamado Eratóstenes (285-194 a.C) criou um sistema simples e objetivo para descobrir números primos, que foi chamado de crivo de Eratóstenes. Para representar a forma de utilizar o crivo, vamos considerar uma tabela com os números naturais de 1 a 100.
1º passo: localizar o primeiro número primo da tabela, que é o 2;
2º passo: marcar todos os múltiplos desse número;
3º passo: localizar o segundo número primo (3) e marcar todos os seus múltiplos;
4º passo: Repetir a operação até o último número.
Na tabela dos 100 primeiros números naturais, destacamos em roxo os números primos entre 1 e 100. São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Exercícios resolvidos:
47) Quais dos números a seguir são primos? Justifique.
a) 88
Resolução:
Para ser número primo, um número deve ser divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Em outras palavras, caso um número seja múltiplo de qualquer outro, ele não é primo.
88 é divisível por 2, 4, 8, 11, 22, entre outros. Logo, como existem divisores diferentes de 1 e de 88, dizemos que 88 não é primo.
b) 19
Resolução:
19 não é divisível por qualquer número. Existem dois resultados para facilitar os cálculos. O primeiro diz que o 19 não é divisível por nenhum número maior que ele. O segundo afirma que, para testar se 19 é divisível por algum número, é necessário tentar dividi-lo por todos os números entre 1 e metade de 19. Não é necessário tentar dividi-lo por qualquer número maior que sua metade.
Conclusão: 19 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, nem por 7, nem por 11. Como 11 já é maior que metade de 19, não é necessário tentar mais nenhuma divisão.
c) 101
Resolução:
101 é primo porque não é divisível por nenhum número primo menor que ele
48) Determine a decomposição em fatores primos dos seguintes números:
a) 600
Resolução:
Para encontrar a decomposição em fatores primos de um número, basta realizar o seguinte procedimento:
600|2
300|2
150|2
75|3
25|5
5|5
1
Conclusão: a decomposição em fatores primos de 600 é 23·3·52. Logo, podemos escrever: 600 = 23·3·52
b) 1024
Resolução:
1024|2
512|2
256|2
128|2
64|2
32|2
16|2
8|2
4|2
2|2
1
Logo, a decomposição de 1024 em fatores primos é 210.
Conclusão: 1024 = 210
c) 720
Resolução:
720|2
360|2
180|2
90|2
45|3
15|3
5|5
1
A decomposição de 720 em fatores primos é 24 . 32 . 5
Conclusão: 720 = 24. 32 . 5
49) Calcule o mínimo múltiplo comum entre 720 e 600.
Resolução:
O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais números é o produto entre as maiores potências cuja base é um número primo presente nas decomposições desses números. Dessa maneira, observe as decomposições dos números 720 e 600:
720 = 24 . 32 . 5
600 = 23 . 3 . 52
O MMC entre 720 e 600 é 24 . 32 . 52, pois essas são as maiores potências encontradas na decomposição de ambos.
Conclusão: o MMC entre 720 e 600 é 3600.
50) Calcule
a) √3600
Resolução:
Para calcular raízes, é possível utilizar a decomposição em fatores primos. Observe:
√3600 = √(24 . 32 . 52)
A raiz quadrada de qualquer número elevado ao quadrado é o próprio número.
Conclusão: √(22 . 22 . 32 . 52) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
b) √720
Resolução:
Como 720 não possui raiz quadrada exata, é possível escrever essa raiz quadrada como o produto de um número pela raiz de um número primo ou calcular uma aproximação. Observe:
√720 = √(24 . 32 . 5) = √(22 . 22 . 32 . 5)
A raiz quadrada de qualquer número elevado ao quadrado é o próprio número. Portanto,
√(22 . 22 .32 . 5) = 2 . 2. 3√5 = 12√5
Conclusão: √720 = 12√5. Caso seja necessário uma aproximação do valor numérico de √720, o seguinte pode ser feito:
√720 = 12√5 = 12 . 2,23 = 26,83
51) (PM AC 2012 – Funcab) Determine o produto dos cinco primeiros números primos, quando dispostos em ordem crescente.
(A) 2310
(B) 72(0
(C) 30030
(D) 2520
(E) 15015
Resolução:
Para resolver a questão, basta recordarmos quais são os 5 primeiros números primos.
São eles: 2, 3, 5, 7 e 11.
Multiplicando:
2.3.5.7.11 = 2310
Alternativa: A
52) (BB) O número natural abaixo é divisível por:
(A) 6
(B) 10
(C) 14
(D) 22
(E) 26
Resolução:
Colocando o fator comum em evidência:
Nota-se que só existem fatores primos 2 e 13, de onde podemos descartar todas as alternativas, exceto a letra E
53) (Bombeiros AC 2012) Determine o valor de n/2, sabendo que é o número de divisores naturais de 3000.
(A) 3
(B) 4
(C) 8
(D) 16
(E) 24
Resolução:
Vamos calcular a quantidade de divisores naturais de 3000. Para tanto, vamos fatorá-lo:
3000 = 2³. 3¹. 5³
Para calcular o número de divisores, basta somar 1 a cada expoente e depois multiplicá-los:
n = 4 . 2 . 4 = 32
Como a questão pede n/2:
n/2 = 16
54) (PM - AC – Músico) Sendo D o número de divisores naturais de 252, e N o número de divisores naturais de 1296, então o valor de 2.D + 3.N será:
(A) 18
(B) 25
(C) 43
(D) 75
(E) 111
Resolução:
Vamos calcular a quantidade de divisores de cada um dos números. Para isso precisamos faturá-los:
252 = 2.2.3.3.7
1296 = 2.2.2.2.3.3.3.3
Para saber o número de divisores, basta somar 1 a cada expoente e multiplicá-los:
252 tem 3.3.2 = 18 divisores
1296 tem 5.5 = 25 divisores
Assim, 2.D + 3.N:
2.18 + 3.25 = 36 + 75 = 111
Alternativa: E
Características
- Possui símbolos diferentes para representar quantidades de 1 a 9 e um símbolo para representar a ausência de quantidade (zero).
- Como é um sistema posicional, mesmo tendo poucos símbolos, é possível representar todos os números.
- As quantidades são agrupadas de 10 em 10, e recebem as seguintes denominações:
10 unidades = 1 dezena
10 dezenas = 1 centena
10 centenas = 1 unidade de milhar, e assim por diante
Exemplos
No sistema de numeração decimal cada algarismo representa uma ordem, começando da direita para a esquerda e a cada três ordens temos uma classe.
55) Sabendo que o valor de um algarismo depende de sua posição no número, dê o valor absoluto e valor relativo do algarismo 5 em cada número:
A alternativa que corresponde corretamente a solicitação é alternativa:
(A) Valor absoluto: 5, 5, 5 e 5. Valor relativo: 500, 500 000, 5000 e 50 000
(B) Valor absoluto: 5, 5, 5 e 5. Valor relativo: 50, 50 000, 5000 e 50 000
(C) Valor absoluto: 5, 5, 5 e 5. Valor relativo: 50, 500 000, 5000 e 50 000
(D) Valor absoluto: 5, 5, 5 e 5. Valor relativo: 50, 5000, 5000 e 50 000
Alternativa: C
56) Em relação aos sucessores e antecessores de um número, qual é o sucessor de 17? E o de 7?
(A) Sucessor de 17 é o 18. O de 7 é o 8
(B) Sucessor de 17 é o 17. O de 7 é o 8
(C) Sucessor de 17 é o 18. O de 8 é o 8
(D) Sucessor de 18 é o 11. O de 7 é o 8
Alternativa: A
57) Em relação aos sucessores e antecessores de um número, qual é o antecessor de 94? E o de 50?
(A) Antecessor de 94 é o 93. O de 50 é o 49
(B) Antecessor de 93 é o 93. O de 50 é o 49
(C) Antecessor de 94 é o 94. O de 50 é o 49
(D) Antecessor de 94 é o 93. O de 10 é o 49
Alternativa: A
58) Um ciclista percorreu 5781 km em um ano, este número é formado por:
(A) 8 unidades de milhar, 7 centenas, 8 dezenas e 1 unidade
(B) 5 unidades de milhar, 5 centenas, 8 dezenas e 1 unidade
(C) 5 unidades de milhar, 7 centenas, 8 dezenas e 2 unidade
(D) 5 unidades de milhar, 7 centenas, 8 dezenas e 1 unidade
Alternativa: D
59) Faça a decomposição do número 93121 temo:
(A) 8 dezenas de milhar, 3 unidades de milhar, 1 centena, 2 dezenas e 1 unidade.
(B) 9 dezenas de milhar, 3 unidades de milhar, 1 centena, 2 dezenas e 1 unidade.
(C) 10 dezenas de milhar, 3 unidades de milhar, 1 centena, 2 dezenas e 1 unidade.
(D) 11 dezenas de milhar, 3 unidades de milhar, 1 centena, 2 dezenas e 1 unidade.
Alternativa: B
60) A forma correta de representar o valor por “extenso” de R$ 2 345 000,00 é:
(A) Dois mil trezentos e quarenta e cinco reais.
(B) dois milhões trezentos e quarenta e cinco mil reais.
(C) Vinte e três mil quatrocentos e cinquenta reais.
(D) Dois milhões trezentos e quarenta e cinco reais.
Alternativa: B
61) Quantas dezenas há no número 52 536?
(A) 536
(B) 52
(C) 525
(D) 5 253
Resolução:
Baste efetuar a operação: 52 536 / 10 = 5 253,6
Alternativa: D
62) No número 75 432, qual o valor posicional do algarismo 5?
(A) 500 000
(B) 50 000
(C) 5 000
(D) 500
Alternativa: C
63) O ábaco é um instrumento de cálculo muito antigo que os egípcios, romanos, hebreus e hindus utilizaram em épocas remotas; na atualidade, é utilizado para reforçar a aprendizagem e a compreensão dos algoritmos, por meio da manipulação com seus elementos básicos, e para realizar operações de adição, subtração e multiplicação.
Observe o ábaco abaixo.
Qual é o número representado no ábaco? (Sistema de Numeração Decimal - Números e Operações)
(A) 456.789
(B) 45.789
(C) 455.789
(D) 456.889
Alternativa: A
64) Encontre o número decimal correspondente à seta indicada na escala abaixo, em seguida, marque a opção correta: (Números Decimais - Números e Operações)
(A) 52,1
(B) 52,2
(C) 52,3
(D) 52,4
Alternativa: A
Introdução às potências
O que é potenciação?
Seja a multiplicação 2 . 2 . 2 . 2, onde todos os fatores são iguais. Podemos indicar este produto de modo abreviado:
2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16
Denominação:
Base: o número que se repete.
Expoente: o número de fatores iguais.
Potência: o resultado da operação.
A operação efetuada é denominada potenciação.
Exemplos:
54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625
43 = 4 . 4 . 4 = 64
Leitura
3² (lê-se “três elevado ao quadrado ou o quadrado de três”)
2³ (lê-se “dois elevado ao cubo ou o cubo de dois”)
74 (lê-se “sete elevado à quarta potência ou a quarta potência de sete”)
65 (lê-se “seis elevado à quinta potência ou a quinta potência de seis”)
Observação:
Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores iguais. Por exemplo, os números 4, 36 e 100 são quadrados perfeitos, pois
a) 2² = 4
c) 6² = 36
b)10² = 100.
Em geral, quando nos deparamos com uma potência, precisamos repetir o produto da base quantas vezes indicar o expoente. Mas três regras são facilmente vistas:
Quando a base for zero, o resultado da potência será zero.
0n = 0
Quando o expoente for um, o resultado da potência será exatamente o valor da base.
a1 = a
Quando o expoente for zero, o resultado da potência será sempre um.
a0 = 1
Exercícios resolvidos
65) 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
66) 5² = 5 x 5 = 25
57) 2¹ = 2
58) 25¹ = 25
69) 30 = 1
70) 80 = 1
Fração
Fração é a forma de dividir alguma coisa através da razão de dois números inteiros. Dessa forma, nada mais é do que uma divisão onde o dividendo é numerador e o divisor é o denominador.
Quando dividimos uma pizza, por exemplo, estamos fracionando a pizza. Cada fatia representa uma parte da pizza, ou seja, uma fração. Geralmente ela é dividida em 8 pedaços, então cada pedaço de uma pizza representa 1 / 8 (um oitavo) de uma pizza.
Exemplo - 1
Exemplo - 2
Tipos de frações
As frações, na matemática, recebem classificações, para orientar o estudante. Os nomes servem somente para dizer de que tipo de solução se trata aquele problema matemático.
Fração Própria - A fração é própria quando o numerador é menor que o denominador.
Fração Imprópria - A fração é imprópria quando o numerador é maior que o denominador.
Fração Mista - A fração é mista quando ela for constituída por um número inteiro e também por uma fração própria.
Fração aparente - É um tipo de fração imprópria onde o numerador é divisível pelo denominador, portanto, equivale a quantidades inteiras.
Frações equivalentes - São frações que representam a mesma parte do todo. são equivalentes. Para encontrar frações equivalentes, devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Multiplicação de fração
Basta multiplicar o numerador de uma fração pelo numerador (número de cima) da outra fração, e multiplicar o denominador ( número de baixo) de uma pelo denominador da outra.
Exemplos:
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Divisão de fração
Copia a primeira e multiplica pelo inverso da segunda
Exemplos:
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Adição e subtração com denominadores iguais
Basta subtrair e/ou somar os numeradores e conservar apenas “um” denominador.
Exemplos:
Adição e/ou Subtração com denominadores diferentes
Passo 1: Calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. ...
Passo 2: Reescrever as frações com o novo denominador, deixando o espaço do numerador para os números que serão encontrados no passo seguinte. ...
Passo 3: Encontre os numeradores das novas frações.
Exemplos:
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Fração e Porcentagem
A palavra porcentagem apresenta ligações estreitas com a ideia de fração, uma vez que significa partes de 100. Ora, a parte de um todo então é uma fração.
Definição de porcentagem:
Se é um número real, então x% representa a fração x100
Isso significa que:
Como a porcentagem pode ser escrita na forma de fração, podemos realizar facilmente cálculos que envolvam essas ideias. Veremos alguns exemplos de como isso pode ser feito.
Exercícios resolvidos:
71) Sabe-se que 55% dos estudantes de uma sala são do sexo feminino. Como na classe há 40 estudantes, quantas meninas há nessa sala?
Resolução:
Vamos fazer uma interpretação simples do problema. Foi dito que: 55% dos alunos são do sexo feminino. Ou seja:
Número de meninas = 55% de 40
Nesse tipo de problema, a palavra “de” representa a operação de multiplicação.
Assim, teremos:
55% de 40 = 55% . 40
Dessa forma não é possível realizar o cálculo. Devemos, então, escrever a porcentagem na forma de fração.
Conclusão: podemos afirmar que nessa sala há 22 alunos do sexo feminino.
72) Calcule:
a) 36% de 125
Resolução:
b) 42% de 80
Resolução:
c) 70% de 200
Resolução:
d) 99% de 52
Resolução:
Observação: para facilitar os cálculos, as frações que representam a porcentagem podem ser simplificadas.
Resolução:
73) Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é 516 reais e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário?
Resolução:
Esse trabalhador não trabalhou o ano inteiro, de 12 meses do ano ele trabalhou 7. A fração que corresponde ao tempo que ele trabalhou é 7/12 . Como a situação problema informou que o valor recebido no 13º salário é a mesma fração do tempo trabalhado, podemos escrever que ele irá receber 7/12 do salário normal. Como o salário dele é 516 reais, para descobrir quanto ele irá receber no 13º salário, devemos encontrar: 7/12 de 516. Então 516 : 12 = 43 e 43 . 7 = 301.
Conclusão: o salário que o trabalhador irá receber no seu 13º salário será de 301 reais que corresponde a 7 meses trabalhados durante o ano.
74) João Carlos é operário e seu salário é de apenas 520 reais por mês. Gasta 1/4 com aluguel e 1/2 com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: 3/8 do seu salário foram gastos com remédios. Sobrou dinheiro?
Resolução:
Para saber se o salário de João Carlos foi suficiente para pagar todas as suas despesas é preciso encontrar o valor que ele gastou com o pagamento do aluguel, com a alimentação e com os remédios. Então, veja:
1 de 520 = 520 : 4 . 1 = 130.
4
2 de 520 = 520 : 5 . 2 = 104 . 2 = 208
5
3 de 520 = 520 : 8 . 3 = 195.
8
Conclusão: ele gastou com essas despesas um total de 130 + 208 +1 95 = 533 reais. Portanto, não sobrou nada de seu salário; pelo contrário, ele ficou devendo, pois suas despesas foram 13 reais a mais que seu salário.
75) Carlos fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcule quantos quilômetros Carlos percorreu a cavalo.
Resolução:
76) Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?
Resolução:
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77) Juliana tinha R$ 245,00 e gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou?
Resolução:
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Juliana tinha R$ 245,00 e gastou R$ 7,00, portanto ficou com R$ 238,00.
78) (Vunesp) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81 quilômetros restantes, determine a extensão total dessa estrada.
Resolução:
Uma das empresas irá pavimentar 2/5 e a outra os 81 quilômetros restantes que representam, na forma de fração, 3/5. Dessa forma, temos que cada 1/5 de pavimentação corresponde a 27 quilômetros. Portanto, as cinco partes de pavimentação correspondem a 5 * 27 = 135 quilômetros.
Podemos resolver o problema utilizando a equação:
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79) (Uece) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 1/10 de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Determine o comprimento, em metros, da peça antes da lavagem.
Resolução:
Podemos resolver diretamente pela equação:
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80) (Olimpíada Brasileira de Matemática) Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida à três lojas. Para a loja A foi vendida a metade da produção; para a loja B foram vendidos 2/5 da produção e para a loja C foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica?
Resolução:
Continua...