6º ANO - 1º BIMENSTRE

6º ANO - 1º BIMENSTRE

Professor Diminoi

6º ANO - 1º BIMESTRE

Números Naturais

Múltiplos e divisores

Números Primos

Operações Básicas

Introdução às Potências

 

Frações

Representação

Comparação e ordenação

Operações

 

Números naturais

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.

Exemplo:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } 

Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N.

Exemplo:

N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }

A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}  ou  N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }

Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um número.

Exemplos:

• 6 é o sucessor de 5.

• 7 é o sucessor de 6.

• 19 é antecessor de 20.

• 47 é o antecessor de 48.

Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.

Quando um conjunto é finito?

O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}

Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}

Exemplos:

O conjunto dos alunos da classe.

O conjunto dos professores da escola.

O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.

 

Múltiplos e divisores

Múltiplos são todos os resultados da multiplicação entre um número e qualquer número natural. Divisores são os números usados nessa multiplicação.

Dizemos que um número é múltiplo de outro quando o primeiro é resultado da multiplicação entre o segundo e algum número natural. Nesse mesmo caso, também é possível dizer que o segundo é divisor do primeiro.

Em outras palavras, dados os números x e y, dizemos que x é múltiplo de y se existir algum número natural n tal que:

x = y . n

Se esse número existir, podemos dizer que y é um divisor de x e podemos escrever:

x = n
y     

Dessa maneira, um bom teste para descobrir se um número qualquer y é divisor de outro número x é observar o resultado da divisão de x por y. Se o resultado for exato, y é divisor de x.

Exemplo:

70 é múltiplo de 2, pois o número natural 35 multiplicado por 2 tem 70 como resultado. Em outras palavras:

70 = 2 . 35

Também podemos afirmar que 10 é divisor de 70, pois

70 = 7
10      

Múltiplos de um número natural

O conjunto que contém os múltiplos de um número natural é um subconjunto infinito do conjunto dos números naturais. Isso acontece porque os múltiplos são obtidos ao multiplicar o número em questão por todos os números naturais. Assim, o conjunto dos múltiplos do número 2 pode ser obtido da seguinte maneira:

2 . 0 = 0

2 . 1 = 2

2 . 2 = 4

2 . 3 = 6

Esses resultados podem ser escritos na notação de conjuntos:

P = {0, 2, 4, 6, 8, …}

Esses resultados são conhecidos como conjunto dos números pares.

Observe que é possível listar os múltiplos de um número qualquer realizando um procedimento exatamente igual ao de construir a tabuada daquele número.

 

Divisores de um número natural

Já o conjunto dos divisores de um número natural é um subconjunto finito dos números naturais. Isso acontece em virtude de alguns resultados diretos da definição de divisores:

a) O número 1 sempre é o menor divisor de qualquer número natural;

b) O próprio número sempre é o seu maior divisor;

c) Zero não é divisor de nenhum número.

Como existe um “maior elemento” no conjunto dos divisores de um número natural qualquer, esse conjunto é finito.

Para encontrar os divisores de um número natural, é necessário dividir esse número por todos os naturais menores que ele.

Exemplo:

Os divisores do número 48, por exemplo, são:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 e 48

Dizemos que o número 48 é divisível por qualquer elemento da lista acima.

Muitas vezes não é necessário realizar a divisão para saber se um número é divisível (ou divisor de) por outro.

 

Mínimo Múltiplo Comum (MMC)

Ao analisar dois ou mais números, é possível identificar o menor múltiplo comum que eles possuem, ou seja, escrevendo a lista de múltiplos de ambos, destacar o menor dos múltiplos que aparecem em ambas as listas simultaneamente. Por exemplo: O mínimo múltiplo comum (também chamado de MMC ou apenas mínimo) entre 6 e 20 é:

Múltiplos do 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, …

Múltiplos do 20: 0, 20, 40, 60, 80, …

 

Máximo divisor comum

Segue a mesma ideia do mínimo múltiplo comum, porém, procurando o maior divisor nas duas listas.

Exemplo:

O máximo divisor comum (também chamado de MDC) entre 6 e 20 é:

Divisores do 6: 1, 2, 3 e 6

Divisores do 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20

O número 2 é o maior dos divisores comuns entre os números 6 e 20 (e o único).

 

Exercícios resolvidos:

Situações-problemas envolvendo adição

01) Uma empresa tem 1748 pessoas trabalhando na sua fábrica e 566 pessoas trabalhando no seu escritório. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa empresa?

Resolução:

Para resolver esse problema, devemos fazer 1748 + 566, ou seja

1748---parcela

+566---parcela

2314---soma ou total (resultado da operação)

Conclusão: podemos dizer que nessa empresa trabalham 2314 pessoas


02) Em uma escola, o início das aulas é às 7h 30min. Como cada aula tem 50 minutos de duração, a que horas termina a primeira aula?

Resolução:

Para resolver esse problema, devemos fazer 7h 30min + 50 min, ou seja

7h 30 min----parcela

+ 50 min----parcela

7h 80 min----soma ou total

Como 1 hora tem 60 minutos, então 80 minutos correspondem a 1h 20 min.

Então 7h 80 min = 7 h + 1h 20 min = 8 h 20 min

Conclusão:  podemos dizer que a primeira aula termina às 8 h 20 min


03) Durante o ano de 2008, uma equipe de futebol venceu 49 partidas, empatou 18 partidas e perdeu 5 partidas. Quantas partidas essa equipe disputou durante o ano de 2008?

Resolução:

Para resolver o Problema, devemos calcular 49 + 18 + 5, ou seja :

49---parcelas

18---parcelas

+5---parcelas

72---soma ou total

Conclusão: podemos dizer que essa equipe disputou 72 partidas

 

04) Uma empresa tem 1748 pessoas trabalhando na sua fábrica e 566 pessoas trabalhando no seu escritório. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa empresa?

Resolução:

Para resolver esse problema, devemos fazer 1748 + 566, ou seja

1748---parcela

+566---parcela

2314---soma ou total (resultado da operação)

Conclusão:  podemos dizer que nessa empresa trabalham 2314 pessoas


05) Em uma escola, o início das aulas é às 7h 30min. Como cada aula tem 50 minutos de duração, a que horas termina a primeira aula?

Resolução:

Para resolver esse problema, devemos fazer 7h 30min + 50 min, ou seja

7h 30 min----parcela

+ 50 min----parcela

7h 80 min----soma ou total

Como 1 hora tem 60 minutos, então 80 minutos correspondem a 1h 20 min.

Então 7h 80 min = 7 h + 1h 20 min = 8 h 20 min

Conclusão:   podemos dizer que a primeira aula termina às 8 h 20 min

 

06) Durante o ano de 2008, uma equipe de futebol venceu 49 partidas, empatou 18 partidas e perdeu 5 partidas. Q6antas partidas essa equipe disputou durante o ano de 2008?

Resolução:

Para resolver o Problema, devemos calcular 49 + 18 + 5, ou seja :

49---parcelas

18---parcelas

+5---parcelas

72---soma ou total

Conclusão:  podemos dizer que essa equipe disputou 72 partidas

 

Situações-problemas envolvendo subtração

07) Dom Pedro II, imperador do Brasil, faleceu em 1891 com 66 anos de idade. Em que ano ele nasceu?

R: 1825


08) Um avião Boeing 747 pode transportar 370 passageiros e um avião DC-10 pode transportar 285 passageiros. Quantos passageiros o Boeing 747 pode transportar a mais que o DC10?

R: 85 passageiros


09) À vista um automóvel custa 26.454 reais. À prazo o mesmo automóvel custa 38.392 reais. A diferença entre o preço cobrado é chamado de juros. Qual é a quantia que pagará de juros?

R: 11.938


10) Um avião pode transportar 295 passageiros. Em determinado vôo, o avião está transportando 209 passageiros. Quantas poltronas desse avião não estão ocupadas?
R: 86


11)
Se Antônio tem 518 selos e Pedro tem 702 selos, Quantos selos Pedro tem a mais que Antônio?

R: 184


12) Ézio tem 95 reais e quer comprar uma máquina fotográfica que custa 130 reais. Quantos reais faltam para ele comprar a máquina?

R: 35


13) De acordo com o Censo de 1980, a população de uma cidade era de 79.412 habitantes. Feito o Censo em 1991, verificou-se que a população dessa cidade passou a ser de 94.070 habitantes. Qual foi o aumento da população dessa cidade nesse período de tempo?

R: 14.658


14) Uma indústria, no final de 1991, tinha 10.635 empregados. No início de 1992 em virtude da crise econômica dispensou 1.880 funcionários. Com quantos funcionários a indústria ficou?

R: 8.755


15) Qual a diferença entre 10.000 e 5.995?

R: 4005


16) Quantas unidades faltam a 499 para atingir 1 unidade de milhar?

R: 501

 

Situações-problemas envolvendo multiplicação

17) Considerando 1 mês = 30 dias e 1 ano = 365 dias, uma semana = 7 dias, determine:

a) quantos dias há em 15 semanas completas. 

R: 105 dias

 


b) Quantos dias há em 72 meses completos. 

R: 2160 dias

 

c) Quantos dias há em 8 anos completos. 

R: 2920 dias

18) Para uma demonstração de ginástica, um professor de Educação Fisíca prepara 64 grupos de alunos. Cada grupo é formado por 25 alunos. Quantos alunos devem participar dessa demonstração? 

R: 1600


19) Com 12 prestações mensais iguais de 325 reais posso comprar uma moto. Quanto vou pagar por essa moto? 

R: 3900 reais


20) Qual é o número natural que você vai obter quando multiplicar 736 por 208?

R: 153.088

 

21) Para cobrir o piso de um barracão foram colocados 352 placas de 35 metros quadrados cada uma. Quantos metros quadrados tem o piso desse barracão?
R: 12320 metros quadrados


22) Um carro bem regulado percorre 12 quilômetros com um litro de gasolina. Se numa viagem foram consumidos 46 litro, qual a distância em quilômetros que o carro percorreu? R: 552 quilômetros

23) Em um teatro há 18 fileiras de poltronas. Em cada fileira foram colocadas 26 poltronas. Quantas poltronas há nesse teatro? 

R: 468 poltronas


24) Em uma multiplicação, os fatores são 134 e 296. Qual o produto? 

R: 39.664


25)
Numa mercearia há 7 caixas de bombons e cada caixa contém 3 dúzias de bombons. Quantos bombons há na mercearia? 

R: 252


26) Uma pessoa deu R$ 4.700,00 de entrada na compra de um objeto e pagou mais 6 prestações de R$ 2.300,00. Quanto custou o objeto? 

R: 18.500


27) Um motorista percorreu 749 km em 6 dias. Nos cinco primeiros dias andou 132 km por dia. Quanto percorreu no 6º dia ? 

R: 89

 

Situações-problemas envolvendo divisão exata

28) Um colégio levou 72 alunos numa excursão ao jardim zoológico e para isso repartiu igualmente os alunos em 4 ônibus. Quantos alunos o colégio colocou em cada ônibus?

Resolução:

Para resolver esse problema, devemos fazer uma divisão 72 : 4 = 18 , sendo assim cada ônibus tinha 18 alunos.

29) Calcule as divisões

a) 20 :  5= 4

b) 48 : 8 = 6

c) 37 : 37 = 1

d) 56 : 14 = 4


30) Observe a igualdade 56 : 7 = 8 e responda:

a) Qual é o nome da operação?

R: divisão


b)
Como se chama o número 56?

R: dividendo


c)
Como se chama o número 7?

R: divisor


d)
como se chama o número 8?

R: Quociente ou resultado

31) Efetue as divisões

a) 49 2: 4 = 123

b) 891 : 9 = 99

c) 4416 : 6 = 736

d) 2397 : 17 = 141

e) 1584 : 99 = 16

f) 1442 : 14 = 103

g) 21000 : 15 = 1400

h) 7650 : 102 = 75

i) 11376 : 237 = 48

32) Responda

a) Qual é a metade de 784?

R: 392

 

b) Qual é a terça parte de 144?

R: 48

 

c) Qual é a quinta parte de 1800?

R: 360

 

d) Qual é a décima parte de 3500?

R: 350


33) Em um teatro há 126 poltronas distribuídas igualmente em 9 fileiras. Quantas poltronas foram colocadas em cada fileira?
R: 14 poltronas


34) Quantos garrafões de 5 litros são necessários para engarrafar 315 litros de vinho?
R: 63 garrafões



35) Uma pessoa ganha R$ 23,00 por hora de trabalho. Quanto tempo deverá trabalhar para receber R$ 391,00?
R: 17 horas



36)
Uma torneira despeja 75 litros de água por hora. Quanto tempo levará para encher uma caixa de 3150 litros ?

R: 42 horas

 

37) Numa pista de atletismo uma volta tem 400 metros. Numa corrida de 10.000 metros, quantas voltas o atleta tem de dar nessa pista?
R: 25 voltas


38) Um livro tem 216 páginas. Quero terminar a leitura desse livro em 18 dias, lendo o mesmo número de páginas todos os dias. Quantas páginas preciso ler por dia?
R: 12 paginas


39) Quantos grupos de 18 alunos podem ser formados com 666 alunos?
R: 37 grupos


40) Uma tonelada de cana de açúcar produz aproximadamente 85 litros de álcool. Quantas toneladas de cana são necessárias para produzir 6970 litros de álcool?
R: 82 toneladas

 

Situações-problemas envolvendo divisão exata

Nem sempre é possível realizar a divisão exata em N considerando 7 : 2 = 3 sobra 1 que chamamos de resto
Numa divisão, o resto é sempre menor que o divisor

41) Uma indústria produziu 183 peças e quer colocá-las em 12 caixas, de modo que todas as caixas tenham o mesmo número de peças. Quantas peças serão colocadas em cada caixa?

Resolução:

Para resolver esse problema devemos fazer 183 : 12, tendo como resultado 15 e resto 3.

Como o resto é 3, dizemos que esta é uma divisão com resto ou uma divisão não exata.

Conclusão: na caixa serão colocadas 15 peças, sobrando ainda 3 peças.


42) Determine o quociente e o resto das seguintes divisões:

a) 79 : 8 =  resto=7

b) 49 : 8 = 6 resto = 1

c) 57 : 8 = 7 resto = 1

d) 181 : 15 = 12 resto = 1

e) 3214 : 10 = 321 resto = 4

f) 825 : 18 = 45 resto = 15

g) 4937 : 32 = 154 resto = 9

h) 7902 : 12 = 658 resto = 6

i) 1545 : 114 = 13 resto = 63

 

43) (PMSC1201/001-Assistente Administrativo)  Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marcadores de texto, 120 corretivos e 148 blocos de rascunho e dividiu esse material em pacotinhos, cada um deles contendo um só tipo de material, porém todos com o mesmo número de itens e na maior quantidade possível. Sabendo-se que todos os itens foram utilizados, então o número total de pacotinhos feitos foi

(A) 74.

(B) 88.

(C) 96.

(D) 102.

(E) 112.

Resolução:

A quantidade máxima de itens em cada pacotinho para que eles tenham a mesma quantidade de itens será dada pelo MDC entre o número de marcadores, corretivos e blocos de rascunho.

140, 120, 148 | 2
     70, 60, 74 | 2
     35, 30, 37 | 2
     35, 15, 37 | 3
      35, 5, 37 | 5
        7, 1, 37 | 7
        1, 1, 37 | 37
         1, 1, 1 | 22 = 4

O número máximo de itens em cada pacote é 4. Como esse pacotinho deve conter apenas itens de um mesmo tipo, calcularemos quantos pacotinhos serão usados da seguinte maneira:

140:4 = 35

120:4 = 30

148:4 = 37

35 + 30 + 37 = 102 pacotinhos

Alternativa: D

 

44) (Bio – Rio) O MDC entre 2³.3.5² 2².3.7² é igual a:

(A) 6

(B) 12

(C) 60

(D) 50

(E) 300

Resolução:

O MDC entre dois números é o produto entre os fatores comuns que aparecem na decomposição desses dois números. No caso desse exercício, ainda vamos expandir a forma fatorada e escrevê-la da seguinte maneira:

2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 5 e 2 . 2 . 3 . 7 . 7

Observe que os fatores comuns são 2, 2 e 3. O produto entre eles é 12 e, por isso, o gabarito é a Alternativa: B

 

45) Quais dos números a seguir estão entre os divisores de 148?

(A) 4, 7 e 8

(B) 4, 8 e 37

(C) 2, 4, 37 e 148

(D) 2, 8 e 37

(E) 2, 4, 7 e 37

Resolução:

Um bom caminho para encontrar os divisores de um número é fazer sua decomposição em fatores primos.

148 | 2
  74 | 2
  37 | 37
   1 |

Os fatores primos desse número são 2 e 37. Fazendo o produto entre esses fatores, encontraremos 4 ou 74, que também são divisores de 148. Para finalizar o exercício, basta lembrar que todo número é divisor de 1 e de si mesmo. Logo, a lista completa com os divisores de 148 é: 1, 2, 4, 37, 74 e 148.

Alternativa: C

 

46) O conjunto dos números naturais é composto por todos os números inteiros positivos. Das alternativas a seguir, qual representa um conjunto de múltiplos de um número natural e, ao mesmo tempo, um subconjunto dos números naturais?

(A) {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}

(B) {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …}

(C) {…, -4, -2, 0, 2, 4, ...}

(D) {2, 4, 8, 10, 12, 14, …}

(E) {-1, -2, -3, -4, -5, -6, …}

Resolução:

Na alternativa a), temos o conjunto dos números ímpares. Cada um deles é um múltiplo de algum número natural, mas nem todos são múltiplos do mesmo número, como 3 e 5. Na alternativa b), temos o conjunto dos números primos, que também não são múltiplos de um mesmo número natural, pois cada um deles só é múltiplo de si mesmo. Na alternativa c), temos um conjunto de múltiplos do número 2, mas nem todos os resultados pertencem ao conjunto dos números naturais, como o – 4.

A alternativa d) apresenta o conjunto dos números pares, que é formado apenas por múltiplos de 2 e está totalmente contido no conjunto dos números naturais, portanto, ela é a alternativa correta.

Já a alternativa e) está errada por apresentar, assim como a C, números negativos na solução.

 

Números primos

Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos:

2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.

17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.

10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações:

1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.

é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.

Exemplo:

15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

 

Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc, até que tenhamos:

  • ou uma divisão com resto zero (e neste caso o número não é primo),
  • ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

O número 161:

não é par, portanto não é divisível por 2;

1 + 6 + 1 = 8, portanto não é divisível por 3;

não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

por 7:  161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

Exemplo:

O número 113:

não é par, portanto não é divisível por 2;

1 + 1 + 3 = 5, portanto não é divisível por 3;

não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;

por 7:  113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).

por 11:  113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

 

Divisibilidade

Divisibilidade por 2: todo número par é divisível por 2. Os números pares são aqueles terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.

Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos der um número divisível por 3.

Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 se ele for divisível duas vezes por 2 ou, então, se seus dois últimos algarismos forem divisíveis por 4.

Divisibilidade por 5: todo número terminado em 0 ou 5 é divisível por cinco.

Divisibilidade por 6: se um número for par e também divisível por 3, será divisível por 6.

Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a diferença entre o dobro do último algarismo e o restante do número resultar em um número múltiplo de 7.

 

Decomposição em fatores primos

Por meio da fatoração decomposição dos números em fatores primos, conseguimos representar os números de acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética. Vamos observar alguns exemplos em que os numerais serão escritos na forma fatorada.

8 = 2 x 2 x 2

9 = 3 x 3

10 = 2 x 5

27 = 3 x 3 x 3

32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

 

Crivo de Eratóstenes

Um matemático grego chamado Eratóstenes (285-194 a.C) criou um sistema simples e objetivo para descobrir números primos, que foi chamado de crivo de Eratóstenes. Para representar a forma de utilizar o crivo, vamos considerar uma tabela com os números naturais de 1 a 100.

1º passo: localizar o primeiro número primo da tabela, que é o 2;

2º passo: marcar todos os múltiplos desse número;

3º passo: localizar o segundo número primo (3) e marcar todos os seus múltiplos;

4º passo: Repetir a operação até o último número.

Na tabela dos 100 primeiros números naturais, destacamos em roxo os números primos entre 1 e 100. São eles: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

 

Exercícios resolvidos:

47) Quais dos números a seguir são primos? Justifique.

a) 88

Resolução:

Para ser número primo, um número deve ser divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Em outras palavras, caso um número seja múltiplo de qualquer outro, ele não é primo.

88 é divisível por 2, 4, 8, 11, 22, entre outros. Logo, como existem divisores diferentes de 1 e de 88, dizemos que 88 não é primo.

 

b) 19

Resolução:

19 não é divisível por qualquer número. Existem dois resultados para facilitar os cálculos. O primeiro diz que o 19 não é divisível por nenhum número maior que ele. O segundo afirma que, para testar se 19 é divisível por algum número, é necessário tentar dividi-lo por todos os números entre 1 e metade de 19. Não é necessário tentar dividi-lo por qualquer número maior que sua metade.

Conclusão: 19 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, nem por 7, nem por 11. Como 11 já é maior que metade de 19, não é necessário tentar mais nenhuma divisão.

 

c) 101

Resolução:

101 é primo porque não é divisível por nenhum número primo menor que ele

 

48) Determine a decomposição em fatores primos dos seguintes números:

a) 600

Resolução:

Para encontrar a decomposição em fatores primos de um número, basta realizar o seguinte procedimento:

600|2
300|2
150|2
  75|3
  25|5
    5|5
      1

Conclusão: a decomposição em fatores primos de 600 é 23·3·52. Logo, podemos escrever: 600 = 23·3·52

 

b) 1024

Resolução:

1024|2
  512|2
  256|2
  128|2
   64|2
   32|2
   16|2
     8|2
     4|2
     2|2
       1

Logo, a decomposição de 1024 em fatores primos é 210.

Conclusão: 1024 = 210

 

c) 720

Resolução:

720|2
360|2
180|2
  90|2
  45|3
  15|3
    5|5
      1

A decomposição de 720 em fatores primos é 24 . 32 . 5

Conclusão: 720 = 24. 32 . 5

 

49) Calcule o mínimo múltiplo comum entre 720 e 600.

Resolução:

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre dois ou mais números é o produto entre as maiores potências cuja base é um número primo presente nas decomposições desses números. Dessa maneira, observe as decomposições dos números 720 e 600:

720 = 24 . 32 . 5

600 = 23 . 3 . 52

O MMC entre 720 e 600 é 24 . 32 . 52, pois essas são as maiores potências encontradas na decomposição de ambos.

Conclusão: o MMC entre 720 e 600 é 3600.

 

50) Calcule

a) √3600

Resolução:

Para calcular raízes, é possível utilizar a decomposição em fatores primos. Observe:

√3600 = √(24 . 32 . 52)

A raiz quadrada de qualquer número elevado ao quadrado é o próprio número.

Conclusão: √(22 . 22 . 32 . 52) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60

 

b) √720

Resolução:

Como 720 não possui raiz quadrada exata, é possível escrever essa raiz quadrada como o produto de um número pela raiz de um número primo ou calcular uma aproximação. Observe:

√720 = √(24 . 32 . 5) = √(22 . 22 . 32 . 5)

A raiz quadrada de qualquer número elevado ao quadrado é o próprio número. Portanto,

√(22 . 22 .32 . 5) = 2 . 2. 3√5 = 12√5

Conclusão: √720 = 12√5. Caso seja necessário uma aproximação do valor numérico de √720, o seguinte pode ser feito:

√720 = 12√5 = 12 . 2,23 = 26,83

 

51) (PM AC 2012 – Funcab) Determine o produto dos cinco primeiros números primos, quando dispostos em ordem crescente.

(A) 2310

(B) 72(0

(C) 30030

(D) 2520

(E) 15015

Resolução:

Para resolver a questão, basta recordarmos quais são os 5 primeiros números primos.

São eles: 2, 3, 5, 7 e 11.

Multiplicando:

2.3.5.7.11 = 2310

Alternativa: A

 

52) (BB) O número natural abaixo é divisível por:

(A) 6

(B) 10

(C) 14

(D) 22

(E) 26

Resolução:

Colocando o fator comum em evidência:

Nota-se que só existem fatores primos 2 e 13, de onde podemos descartar todas as alternativas, exceto a letra E

 

53) (Bombeiros AC 2012) Determine o valor de n/2, sabendo que é o número de divisores naturais de 3000.

(A) 3

(B) 4

(C) 8

(D) 16

(E) 24

Resolução:

Vamos calcular a quantidade de divisores naturais de 3000. Para tanto, vamos fatorá-lo:

3000 = 2³. 3¹. 5³

Para calcular o número de divisores, basta somar 1 a cada expoente e depois multiplicá-los:

n = 4 . 2 . 4 = 32

Como a questão pede n/2:

n/2 = 16

 

54) (PM - AC – Músico) Sendo D o número de divisores naturais de 252, e N o número de divisores  naturais de 1296, então o valor de 2.D + 3.N será:

(A) 18

(B) 25

(C) 43

(D) 75

(E) 111

Resolução:

Vamos calcular a quantidade de divisores de cada um dos números. Para isso precisamos faturá-los:

252 = 2.2.3.3.7

1296 = 2.2.2.2.3.3.3.3

Para saber o número de divisores, basta somar 1 a cada expoente e multiplicá-los:

252 tem 3.3.2 = 18 divisores

1296 tem 5.5 = 25 divisores

Assim, 2.D + 3.N:

2.18 + 3.25 = 36 + 75 = 111

Alternativa: E

 

Introdução às potências

O que é potenciação?

Seja a multiplicação 2 . 2 . 2 . 2, onde todos os fatores são iguais. Podemos indicar este produto de modo abreviado:

2 . 2 . 2 . 2 = 24 = 16

Denominação:

Base: o número que se repete.

Expoente: o número de fatores iguais.

Potência: o resultado da operação.

A operação efetuada é denominada potenciação.

Exemplos:

54 = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

43 = 4 . 4 . 4 = 64

Leitura

(lê-se “três elevado ao quadrado ou o quadrado de três”)

(lê-se “dois elevado ao cubo ou o cubo de dois”)

74 (lê-se “sete elevado à quarta potência ou a quarta potência de sete”)

65 (lê-se “seis elevado à quinta potência ou a quinta potência de seis”)

Observação:

Um número natural é um quadrado perfeito quando é o produto de dois fatores iguais. Por exemplo, os números 436 e 100 são quadrados perfeitos, pois 

a) 2² = 4

c) 6² = 36

b)10² = 100

Em geral, quando nos deparamos com uma potência, precisamos repetir o produto da base quantas vezes indicar o expoente. Mas três regras são facilmente vistas:

Quando a base for zero, o resultado da potência será zero.

0n = 0

Quando o expoente for um, o resultado da potência será exatamente o valor da base.

a1 = a

Quando o expoente for zero, o resultado da potência será sempre um.

a0 = 1

 

Exercícios resolvidos

55) 4³ = 4 x 4 x 4 = 64

 

56) 5² = 5 x 5 = 25

 

57) 2¹ = 2

 

58) 25¹ = 25

 

59) 30 = 1

 

60) 80 = 1

 

Fração

Fração é a forma de dividir alguma coisa através da razão de dois números inteiros. Dessa forma, nada mais é do que uma divisão onde o dividendo é numerador e o divisor é o denominador.

Quando dividimos uma pizza, por exemplo, estamos fracionando a pizza. Cada fatia representa uma parte da pizza, ou seja, uma fração. Geralmente ela é dividida em 8 pedaços, então cada pedaço de uma pizza representa  1 / 8 (um oitavo) de uma pizza.

Exemplo - 1

 Exemplo - 2 

 

Tipos de frações

As frações, na matemática, recebem classificações, para orientar o estudante. Os nomes servem somente para dizer de que tipo de solução se trata aquele problema matemático.

 

Fração Própria - A fração é própria quando o numerador é menor que o denominador.

Fração Imprópria - A fração é imprópria quando o numerador é maior que o denominador.

Fração Mista - A fração é mista quando ela for constituída por um número inteiro e também por uma fração própria.

Fração aparente -  É um tipo de fração imprópria onde o numerador é divisível pelo denominador, portanto, equivale a quantidades inteiras.

Frações equivalentes -  São frações que representam a mesma parte do todo. são equivalentes. Para encontrar frações equivalentes, devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Multiplicação de fração

Basta multiplicar o numerador de uma fração pelo numerador (número de cima) da outra fração, e multiplicar o denominador ( número de baixo) de uma pelo denominador da outra.

Exemplos:

 

Divisão de fração

Copia a primeira e multiplica pelo inverso da segunda

Exemplos:

Adição e subtração com denominadores iguais

Basta subtrair e/ou somar os numeradores e conservar apenas “um” denominador.

Exemplos:

 

Adição e/ou Subtração com denominadores diferentes

Passo 1: Calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. ...

Passo 2: Reescrever as frações com o novo denominador, deixando o espaço do numerador para os números que serão encontrados no passo seguinte. ...

Passo 3: Encontre os numeradores das novas frações.

Exemplos:

 

Fração e Porcentagem

A palavra porcentagem apresenta ligações estreitas com a ideia de fração, uma vez que significa partes de 100. Ora, a parte de um todo então é uma fração.


Definição de porcentagem:
Se  é um número real, então x% representa a fração x100


Isso significa que:

Como a porcentagem pode ser escrita na forma de fração, podemos realizar facilmente cálculos que envolvam essas ideias. Veremos alguns exemplos de como isso pode ser feito.

Exercícios resolvidos:

61) Sabe-se que 55% dos estudantes de uma sala são do sexo feminino. Como na classe há 40 estudantes, quantas meninas há nessa sala?

Resolução:

Vamos fazer uma interpretação simples do problema. Foi dito que: 55% dos alunos são do sexo feminino. Ou seja:

Número de meninas = 55% de 40

Nesse tipo de problema, a palavra “de” representa a operação de multiplicação.

Assim, teremos:

55% de 40 = 55%  . 40

Dessa forma não é possível realizar o cálculo. Devemos, então, escrever a porcentagem na forma de fração.

Conclusão: podemos afirmar que nessa sala há 22 alunos do sexo feminino.

62) Calcule:

a) 36% de 125

Resolução:

b) 42% de 80

Resolução:

c) 70% de 200

Resolução:

d) 99% de 52
Resolução:

Observação: para facilitar os cálculos, as frações que representam a porcentagem podem ser simplificadas.

Resolução:

 

63) Em certo país, os trabalhadores recebem dois salários mínimos em dezembro: o salário normal e o 13º salário. Se a pessoa trabalhou os 12 meses do ano, os dois salários serão iguais. Se a pessoa trabalhou uma fração do ano, o 13º salário corresponderá a essa fração do salário normal. Se o salário normal de uma pessoa é 516 reais e ela trabalhou 7 meses nesse ano, quanto ela vai receber de 13º salário?

Resolução:

Esse trabalhador não trabalhou o ano inteiro, de 12 meses do ano ele trabalhou 7. A fração que corresponde ao tempo que ele trabalhou é 7/12 . Como a situação problema informou que o valor recebido no 13º salário é a mesma fração do tempo trabalhado, podemos escrever que ele irá receber 7/12 do salário normal. Como o salário dele é 516 reais, para descobrir quanto ele irá receber no 13º salário, devemos encontrar: 7/12 de 516. Então 516 : 12 = 43 e 43 . 7 = 301.

Conclusão: o salário que o trabalhador irá receber no seu 13º salário será de 301 reais que corresponde a 7 meses trabalhados durante o ano.

 

64) João Carlos é operário e seu salário é de apenas 520 reais por mês. Gasta 1/4 com aluguel e 1/2 com alimentação da família. Esse mês ele teve uma despesa extra: 3/8 do seu salário foram gastos com remédios. Sobrou dinheiro?

Resolução:

Para saber se o salário de João Carlos foi suficiente para pagar todas as suas despesas é preciso encontrar o valor que ele gastou com o pagamento do aluguel, com a alimentação e com os remédios. Então, veja:

1 de 520 = 520 : 4 . 1 = 130.
4

2 de 520 = 520 : 5 . 2 = 104 . 2 = 208
5

3 de 520 = 520 : 8 . 3 = 195.
8

Conclusão: ele gastou com essas despesas um total de 130 + 208 +1 95 = 533 reais. Portanto, não sobrou nada de seu salário; pelo contrário, ele ficou devendo, pois suas despesas foram 13 reais a mais que seu salário.

 

65) Carlos fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcule quantos quilômetros Carlos percorreu a cavalo.   

Resolução:

 

66) Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno? 

Resolução:

 

67) Juliana tinha R$ 245,00 e gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou?  

Resolução:

Juliana tinha R$ 245,00 e gastou R$ 7,00, portanto ficou com R$ 238,00. 

 

68) (Vunesp) Duas empreiteiras farão conjuntamente a pavimentação de uma estrada, cada uma trabalhando a partir de uma das extremidades. Se uma delas pavimentar 2/5 da estrada e a outra os 81 quilômetros restantes, determine a extensão total dessa estrada.  

Resolução:

Uma das empresas irá pavimentar 2/5 e a outra os 81 quilômetros restantes que representam, na forma de fração, 3/5. Dessa forma, temos que cada 1/5 de pavimentação corresponde a 27 quilômetros. Portanto, as cinco partes de pavimentação correspondem a 5 * 27 = 135 quilômetros.  

Podemos resolver o problema utilizando a equação:

 

69) (Uece) Uma peça de tecido, após a lavagem, perdeu 1/10 de seu comprimento e este ficou medindo 36 metros. Determine o comprimento, em metros, da peça antes da lavagem. 

Resolução:

Podemos resolver diretamente pela equação: 

 

70) (Olimpíada Brasileira de Matemática) Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida à três lojas. Para a loja A foi vendida a metade da produção; para a loja B foram vendidos 2/5 da produção e para a loja C foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica? 

Resolução:

 

 

 Continua...